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TRAITS X MECANIQUE CELESTE F. TISSERAND, iOFKSSBIiin A LA VACDLTi DBS SC DIBBCTBDR VB l'o B8BK VAT OIR TOME IV. THS0RIC8 DES SATELLITES DE JUPITER ET DE SATDRNE. FERTORBATIOHS DES PETITES PLAHETES. PARIS, GADTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIUEURS-UBRAIRES DD BUREAD DES LO>GITlIDES, DE L'£COLE P O L T TEC B K 1 Q D E, Quai des Grands-Augustins, 55. 1896 PREFACE. Ce Volume termine le Trait^ auquel j'ai consacre dix ann^es de tra- vail. 11 se compose de trois parties principales : La th^orie des mouvements des satellites de Jupiter et de Saturne ; Le calcul des perturbations des cometes, et T^tude de la figure de ces astres ^tranges ; Enfin, Tensemble des travaux de Mecanique celeste suscit^s par la d^couverte des petites planetes. La th^orie des satellites de Jupiter a pris, entre les mains de Laplace, une perfection qui n'a pas ^t^ surpass^e. Toutefois, les calculs n'avaient pas ^t^ pouss^s assez loin pour donner aux Tables toute la precision compatible avec les observations. M. Souillart a eu le m^rite d'yap- porter les complements n^cessaires. Mais, si la Mecanique celeste pr^sentait toute Tampleur voulue pour la theorie des satellites de Jupiter, il n'en ^tait pas de meme pour les satellites de Saturne, par la raison qu'a T^poque de Laplace on n'avait presque pas d'observations. Le plus faible des satellites, et le dernier d^couvert, Hyperion, a pr^sent^ une difficult^ singuliere dont M. New- comb a rendu compte par la theorie, en decouvrant une libration ana- logue a celles des satellites de Jupiter. Des librations semblables existent VI PREFACE. pour d'autres satellites : c'est la un champ de travaux int^ressants et nouveaux. Nous savons peu de chose sur les perturbations des satellites des autres planetes; cependant, une anomalie constat^e dans le mouve- ment du satellite de Neptune a recu, il y a quelques ann^es, une expli- cation plausible, que nous avons reproduite. Laplace avait consacr^ un Chapitre au calcul des perturbations des cometes quand elles approchent tres pres des planetes. Nous avons donne une certaine extension a sa th^orie ; mais les additions portent surtout sur la figure des cometes : nous avons expos^ les beaux travaux de Roche, Bessel, Schiaparelli, etc. La d^couverte des petites planetes a donn^ une vive impulsion a la theorie gen^rale des perturbations; de la sont n^s les travaux remarquables de Cauchy, Hansen, Gylden, etc. ; nous avons fait une place d'honneur a la m^thode de Cauchy, invent^e en quelques se- maines par Tillustre geometre, pour verifier de longs calculs de Le Verrier. Nous avons juge utile d'exposer aussi une methode ^l^gante de Jacobi, pour la determination de la grande in^galit^ de Jupiter et de Saturne. n etait impossible de r^diger un Traite aussi etendu sans parler des belles recherches de M. Poincar^ sur le probleme des trois corps. Nous leur avons consacre un Chapitre. Dans un dernier Chapitre, nous avons fait connaitre les r^sultats de la grande enquete faite par Le Verrier, continu^e par M. Newcomb, pour confronter la loi de Newton avec T ensemble des observations des planetes : tout marche avec un accord admirable, sauf une ou deux petites difficult^s dont nos successeurs triompheront sans doute. On pent juger, par cet aper^u sommaire, de T^tendue des progres de la Science depuis Laplace, et de Tutilit^ qu'il y avait a les exposer dans un Ouvrage special. PREFACE. VII Qu'il nous soitpermis, en terminant, de presenter tons nos remer- ciments a M. O. Callandreau et a M. R. Radau, qui ont bien voulu nous preter encore le concours de leurs conseils; il nous a 4^16 tres pr^cieux. Je remplis enfin un devoir agr^able en remerciant MM. Gauthier- Villars des soins minutieux qu'ils n'ont cess^ d'apporter dans Timpres- sion de cet Ouvrage qui leur fera lionneur. F. TiSSERAND. Paris, Janvier 1896. TABLE DES MATIERES DU TOME IV. Preface V CHAPITRE 1. Th6orie des satellites de Jupiter i Equations diff6rentielles du mouvement des satellites 3 Developpement des fonctions perturbatrices 5 CHAPITRE n. Calcul de la variation i4 In6galit6s ^ courtes p6riodes i5 In^galit6s s6culaires des excentricit6s et des p6rijove8 i8 Grandes in6galit6s des longitudes moyennes a3 De la libratioD. — Th6oremes de Laplace 25 Calcul de r6quation annuelle et de I'^vection 29 Complements de M. Souillart 35 CHAPITRE HI. In^galit^s s^culaires des nceuds et des inclinaisons 43 Integration des Equations dififerentielles 47 Determination des constantes arbitraires 53 Position de requateur de Jupiter 59 CHAPITRE IV. In^galites periodiques des latitudes 63 Equations seculaires des longitudes 67 CHAPITRE V. Des eclipses des satellites 70 Figure de Tombre de Jupiter 71 Determination de Tensemble des constantes arbitraires 76 Historique relatif k la theorie des satellites de Jupiter 82 CHAPITRE VI. Theorie des satellites de Saturne 85 Equations differentielles du mouvement des satellites 87 T. - IV. b X TABLE DES MATI^RES. Pages. D6veloppemont des fonctions perturbatricos 89 Perturbations s6culaires do Japet 91 Discussion des observations de Japet 98 Determination de la masse de Titan 100 CHAPITRE Vn. Perturbations d'Hyp^rion io4 Travaux de M. Newcomb 106 Determination du mouvomont d*Hyp6rion par Ics quadratures no Autre solution 1 1 3 M6thode de M. Hill 117 M6moire de M. 0. Stone 119 Determination, par les observations, de la libration d' Hyperion I'ri CHAPITRE VHI. Perturbations des satellites int6rieurs do Saturne iiS Le syst^me Mimas-Tethys 1 9.9 Le syst^mo Encclado-Dion6 1 38 Theor6mes de M. H. Struve 1 39 CHAPITRE IX. Du satellite de Neptune 141 Des satellites de Mars 148 Des satellites d'Uranus 1 49 CHAPITRE X. Formules d'interpolation 1 5 1 Interpolation des fonctions p6riodiques d'uno variable 1 57 Interpolation des fonctions p6riodiques do deux variables 166 CHAPITRE XI. Formules de quadrature 171 Calcul num6rique des perturbations par la m6thode des quadratures 1 89 CHAPITRE XII. Des perturbations des com^tes lorsqu'clles s'approchont beaucoup des plan^tes 198 Critorium d6duit do rint6gralo do Jacobi io3 Cometes p^riodiques du groupo do Jupiter 5to5 Capture des cometes p6riodiques 206 CHAPITRE XUI. Influence d'un milieu resistant sur les mouvements des plan^tos et des com6tes 217 CHAPITRE XIV. Figure de latmosphfero du Soleil et des plan^tes ^33 Discussion des surfaces de niveau 234 Rdsum^ do Thypoth^so cosmogonique do Laplace 239 TABLE DES MATlfeRES. XI CHAPITRE XV. Pages. Figure des comfetes. — Recherches do Roche . a45 Discussion des surfaces de niveau ferm^es 248 Discussion de la surface libre 262 CHAPITRE XVI. Recherches de Schiaparelli sur la figure des com6tes 258 Recherches de Bcssel 261 Recherches de MM. Charlier et L. Picart 269 CHAPITRE XVH. Methode de Cauchy pour le calcul des in6galit6s k longues p^riodes 278 CHAPITRE XVni. * Sur une methode de Jacobi pour le calcul de la grande in6galit6 do Jupiter et de Saturne 3oi CHAPITRE XIX. D6vcloppement de M. Newcomb pour la fonction perturbatrice 3i3 CHAPITRE XX. M^lhode de Hansen pour les perturbations des petites plan^tes 323 Principe de la methode 328 Transformation des formules 335 CHAPITRE XXI. Suite de la methode de Hansen. — D6veloppement de la fonction perturbatrice 340 CHAPITRE XXU. Fin de la mdthode de Hansen. — Integration 358 Cas d*exception des formules 364 Tableau d*ensemble des formules 37 1 Determination des constantes arbitraires 372 CHAPITRE XXni. Methode de M. Gyld^n pour les perturbations des petites plan6te$ 376 Formation des 6quations diff6rentielles 877 D^veloppement de la fonction perturbatrice 38i Temps r6duit 387 CHAPITRE XXIV. Suite de la m6thode de M. Gyld6n. — Partie 616mentaire du rayon vecteur 395 Calcul des termes k courtes p6riodes du rayon vecteur 4o3 Analyse d'un M6moire de M. Brende! 407 CHAPITRE XXV. Recherches sur les cas de commensurabilit6 tr^s approch^e enlre les moyens mouvements des petites plan^tes et celui de Jupiter. — Cas de la libralion. — Examen des deux lacunes prin- cipales du groupo des petites planeles 417 Xn TABLE DES MAT1^.RES. CHAPfTRE XXVI. Sur la forme g6n6rale des d6veIoppements dos coordonn6es dans le problcme des Irois corps. . . 44^ CHAPITRE XXVll. Indication des travaux de M. Poincar6 sur lo probl6me des trois corps 4^3 Solutions p6riodiquos 465 Exposants caract6risllques 4^7 Solutions as^mptotiquos 4^8 Divergence des series 4<>9 Invariants int^graux 172 Quelques developpcments sur les solutions p^riodiques 481 CHAPITRE XXVIII. Propagation do Tattraclion. — Id^os do Laplace 494 Loi 61ectrodynamiquo de Weber, suppos6e applicable aux mouvemenls des plan6tes 499 Loi de Riemann 5o4 Loi de Glausius 509 CHAPITRE XXIX. Confrontation do la loi de Newton avec les observations. — Le Verrier ct Newcomb 5i2 Th6orie de la Torre 5i4 Th6orie de Mercure 5i6 Ilypotheso des plan^tes intra-mercurielles 52 1 Thdories de Jupiter et de Saturne 53o Travaux de M. Newcomb 532 Errata du Tome II 543 Errata du Tome IH 544 Errata du Tome IV 548 FIN DE LA TABLE DES MATIKRES DU TOME IV. TRAITfi DE MECANIQUE CELESTE. TOME IV. CHAPITRE I. THfiORIE DES SATELLITES DE JUPITER. - l&QUATIONS DIFF^RENTIELLES ET FONCTIONS PERTURBATRICES. i. Considerations g6n6rales. — Jupiter possede cinq satellites. Les quatre premiers, visibles avec la plus faible lunette, ont ete decouverts par Galilee les 7 et 8 Janvier 1610. M. Barnard, de robservaloire Lick, a trouve le cinquieme, le 9 septembre 1892; il n'y a guere que trois instruments de tres grande puis- sance avec lesquels on ait pu jusqu'ici suivre son mouvement. Au point de vue de la Mecanique celeste, il y a lieu de le mettre a part; sa masse est trop faible pour qu'il exerce une influence sensible sur les quatre anciens qui, de leur cote, ne le troubleront pas sensiblement parce qu'il en est eloigne, et tres voisin de la planete, dont Tattraction sera absolument preponderante. Le cin- quieme satellite pourra cependant eprouver quelques derangements au sujet des- quels nous renvoyons le lecteur a deux Notes des Comptes rendus (t. CXVII, p. io24,etCXIX,p. 5). On pent doncconsiderera part les quatre gros satellites; la determination de leurs mouvements constitue Tun des plus beaux problemes de la Mecanique celeste. Le mouvement de chacun d'eux est incessamment devie de Tellipse invariable de Kepler : i^ Par la force perturbatrice du Soleil, dont Taltraction n'est pas la meme que sur la planete; T. - IV. I 2 CHAPITRE 1. 1^ Par le renflement equatorial de la planete, qui fait que son attraction ne se compose pas seulement du terme en -^) 3** Par les attractions des trois autres satellites. Avant d'aborder la theorie, il est bon de donner quelques indications gene- rales sur les mouvements des satellites. lis se meuvent a peu pres dans le plan de Tequateur de Jupiter. Les excentricites sont insensibles pour les satellites I et II (les plus voisins de la planete), de o,ooi et de 0,007 pour 111 et IV. Les moyens mouvements diurnes sideraux ont pour valeurs n = 2o3®,488 955 28, /i' = 101% 874 72896, 11'= 500,81760833, n"^ 2i«,57i07i 83. On en conelut n — 2 n' z= o", 789 607 36, n' — 2n" = o*», 789 507 3o. On voit done que le moyen mouvement du premier satellite est a fort .peu pres le double de celui du second, lequel est de meme sensiblement le double de celui du troisieme. Mais ce qui frappe le plus, c'est Tegalite presque absolue des differences n — 2/1' et n' — 2/1", de sorte que la relation n — 3/i' -I- 2/i' 1= o est vcrifiee presque rigoureusement. Ce sont ces relations de commensurabilite qui font tout Tinteret et toute la difficulte du probleme; bien que les masses des satellites soient trcs faibles vis-a-vis de celle de Jupiter, les perturbations sont neanmoins considerables. Voici les rapports des masses a celle de Jupiter : ni =:r 0,000 017 ; m' = 0,000 028 ; m" = 0,000 088 ; ni" = 0,000 042. Les coefficients des plus grandes inegalites periodiques des longitudes jovi- ccntriques des satellites atteignent cependant 26', 62', 8' et 5o'. Voici enfin les distances moyennes des satellites a la planete, exprimees en rayons de son equateur : 5,93; 9»44; 10,06; 26,49- Le quatrieme satellite a une theorie a part, analogue a celle de la Lune, pre- sentant en miniature toutes les inegalites de notre satellite; les trois premiers forment un groupe dans lequel ils sont etroitement unis par les relations de commensurabilite approchee. Ces satellites presentent aux observateurs les phenomenes les plus varies. A THEORIE DES SATELLITES HE JUPITER. chacune de leurs revolutions, les trois premiers s'eclipsenten disparaissant dans le cone d'ombre de Jupiter, ou bien ils sont caches par le disque meme de la planete. D'autres fois, ils passent sur ce disque qui peut aussi etre traverse par leurs ombres. C'est Tobservation de ces eclipses qui a conduit Roemer a la pre- miere determination de la vitesse de la lumiere; c'est elle encore qui a permis aux geographes de faire les premieres mesures un peu exactes des longitudes terrestres, et, en particulier, de poser sous Louis XIV les bases de' la premiere Carte officielle de la France. On comprend done Tinteret qui s'attache a une theorie precise des satellites de Jupiter. Nous allons exposer la theorie en prenant pour base la methode de la varia- tion des constantes arbitraires, comme Ta fait M. Sonilhrt (Memoirs of the Royal Astronomical Society, t. XLV), enlui apportant quelques modifications. Au fond, cette methode estadoptee par Laplace, a partir du troisieme ChapitreduTomelV de la Mecanique celeste; nous croyons preferable de Temployer des le debut. 2. liquations diff6rentielles des mouvements des satellites. — Soient m, x,y, z,r= \/x^ -^7^-Hs^ m\ x\ y\ z\ r\ m\ x'\ y\ z\ r\ rn^Xyy^^yr^ les masses et les coordonnees rectangulaires des quatre satellites et du Soleil; ces coordonnees sont rapportees a des axes rectangulaires qui se coupent au centre de gravite de Jupiter, le plan des xy etant celui de Torbite de Jupiter a une epoque donnee, i85o,o par exemple. Designons, en outre, par /Wo la masse de Jupiter, et par/ la constante de Tattraction universelle. Les equations diffe- rentielles du mouvement du premier satellite seront / d}x -, ^ X dR (-) rfZ? -^/('"» -*-'"> H="-jp' ouR represente la fonction perturbatrice ; elle est la somme de plusieursautres, ^o.u ^0,2* ^0,3 correspondent aux satellites II, III et IV; ^ au Soleil, et^, a 4 CHAP!TRE 1. I'aplatissement de Jupiter. On a, comme on sait, Lv/(^,-^)'+(7,-j)' + (::,-5)« r\ J c'ft, =/nio5 -3(0— sin*fi^j. L'expression de At resulte de la formule (43) (t. II, p. 210); elle suppose que la planete est de revolution ; b est le rayon equatorial, d la declinaison du satel- lite au-dessus de Tequateur de Jupiter, et J la constante J == X X,, 2 X designant Taplatissement de la surface de la planete, et x^ le rapport de la force centrifuge a Tattraction pour un point de Tequateur. Nous prendrons desormais b pour unite de longueur. La fonction des forces correspondant a Tattraction complete de Jupiter sera r Si Ton neglige la fonction perturbatrice R, les equations (i) deviennent celles du mouvement elliptique. Vu la petitesse des excentricites, on pent prendre ' /• - = I — e cos ( / — Gj ), a (2) ^ ^' = /+ 2esin(/— Gj), - — - cost' -I- -
quantite petite qui,
meme pour le quatrieme satellite, comme pour la Lune, ne depasse pas ^. Le
meme calcul que nous avons fait a plusieurs reprises dans le Tome III nous
donnera avec une precision suffisante
(5, «=/„,£;[5(.-±/*-=.y_i].
On peut remplacery>w, par n]a% en designant par /i, et a, le moyen mouve-
ment et le demi grand axe de Torbite de Jupiter. On developpe Si suivant les
puissances de e et e, , de 9 et de 9^ .
Nous designerons par ^,, cp^, xs^ et 0, I'excentricite, Tinclinaison, les longi-
tudes du perihelie etdu noeud de Torbite de Jupiter autour du Soleil; il vient
finalement
Slz=z ,ija« i -H - (e*4-ej) 4^- 7 cos(2/— 2/1) — -ecos(/ — w)
3 3
-^ J Ci COS(/, — GJ,) 4- J e cos (3/1 ~ 3/-hGT)
(6)
— je C0S(2/, — /— 2Gy) -h -^ e*C0S(2/, — 2CJ)
r 3 3 3
H-/iJa« — g (?*-+- 9t)-+- 7 ??iCOs(^— 0,)4-g 9* COS (2/,— 2 5)
3 3 1
-r g 9? C0S(2/, — 20,) - 7 991 C0S(2/, — 0 _ 0,) .
La premiere partie de cette expression provient de la formuIe(i5) (t. Ill,
p. 189); nous n'avons garde, d'ailleurs, que les termes qui sont appelesa jouer
un role dans la question actuelle. La seconde partie s'obtient en negligeant les
6 CHAPITRE I.
excenlricites dans la formule (5), el tenant compte des inclinaisons par les
expressions (3)dea:, y, z et les expressions analogues de j:?!, y, et5,,cequi
donne (t. I, p. 3i5)
.^-•^AJ^r^L-t^_-J ^cos(/-/,)~ ' (P«sin(/~0)sin(/,-9)
9? sin (/—(?,) sin (/, — Oi) -h cpot sin(/— 0)sin(/, — 9i);
on elevant au carre, portant dans c*fi, et conservant les termes de la forme
voulue, on trouve bien la seconde ligne de Texpression (6).
Passons maintenant au developpement de c'R.,. L'orbile du satellite et Tequa-
teur de Jupiter font des angles petits avec le plan fixe des xy. On en conclut que
Ton pent prendre
s designant la latitude du satellite au-dessus du plan fixe, et ^^ celle du point dc
Tequateur ayant la meme longitude que le satellite, relativement au meme plan
fixe. Or on a, en negligeant Texcentricite,
s =: 9sin(/— 0),
Si = wsin[/— (i8o«— 4^)] — — ci)sin(/-H4'),
en designant par i8o**— ^j; et co la longitude du noeud ascendant de Tequateur
de Jupiter sur le plan fixe, et son inclinaison sur ce plan. II vient done
d =: cp sin(/— (/) 4- w sin(/-t- ^),
on a d'ailleurs
^^.--^-•^[?sin(/-0)4-a3sin(/^^)P;
r II
- —I— ecos(l~w)-\- - e^ c' cos(2/ — 20),
a 2 2
d'ou
J o
— =:\-h 3eCOS{l — TJ3) H e^-h- e'C0S(2/— 2CJ),
/•»
et il en resulte, en remplagant/zwo par Az^a',
/ r Q
1 Ai = Jn* -r 4- ^cos(/— gt) -^ - e*-+- - e*cos(2/— 2cj) cp' w*
I I ^ 2 2 2 2
(7) ( H- - Cp'C0S(2/— 26) -h- Ci)*C0S(2/-h 2^)
— 9WC0S(i}^ -4 6) -h9&)C0S(2/— 0-4-4') •
II reste enfin a passer au developpement de .^o,!-
Les formules (37) et (4i) du Tome I, p. 309 et 3 10, donnent, en changeant
THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 7
X et CO en / et ts, ce qui peut se faire a cause de la petitesse des inclinaisons mu-
tuelles des orbites des satellites,
-^ eRo.t = - A» 4- - y A(0 cos(«T - ^7) - -^ cos(/'~ /)
- - y (2/A(^>4-A'/0«cos[/T-(i-i)/-Gj]
H 7^ ecos(/' — cj) Ti e cos(2/— V —m)
2 a" ^ ' 1 a'
(8)
- ^ Ti'BCJ 4- ' (A',«'4- A',")
_i(4A") + A',")ecos(2/'-/-BT)4- ^(^3A<')4-A'," — |^)e'cos(a/'-/-oj')
+ 7(23A<») + 7A<,*' + A',»')e'cos(4/'— a/-2nj)
4
-h - (A(«) - Ai^' - Ai»0 ^^' cos(Gj - Gj')
— - (21 A(') 4- 7A\') + k^i'^)ee' cos(4/' — 2/ — cj- gj')
-H7(i9A<»>4-7A^i»^4-A;»0«'*COS(4/'— 2/— 2GJ')
4- - YJ«B<»> C0S(4/'- 2/— 2t').
Dans Ics signes y, i doit prendre toutes les valeurs entieres positives et ne-
gatives, excepte zero. Toutefois, dans le second ^ , i ne doit pas recevoir la
valeur -h 2, car le terme correspondant a ete ecrit plus loin explicitement, en
raison du role important qu'il est appele a jouer. Dans les termes du second
ordre, relativement a e, e' et y), nous n'avons conserve que les termes seculaires
en e^, e'^,ee'cos(Gy — cj'), y)*, et les termes en [\l' — 2/, qui donneront nais-
sance a des inegalites a longues periodes, en raison de la petitesse de la quan-
tite
t\n' — 2/iiz: 2(2/1' — n),
Les deux dernieres formules (4) du Tome I, p. 293, donnent
ifi sinr' = 9 sin 0 — 9' sin0',
ancosr' — 9cosd — cp'cos0';
on en tire aisement
4n* = cp'4- 9'*— 2 , ^ = 9i cos 01 ;
et nous trouverons sans peine les equations
dp
Tt
§7 +[Z]7-(o,i)7'-(o,2)7^-(o,3)7--(o)7«^=-h[o]^,
dq
It
^ _[V]/» + (O, !)/>'+ (0,2)/,"+ (0,3 )/,'+(0)7'^=-[0]«',
(9)
dt
+ QIlv'-(>,o)7-(i,2)y"-(i,3)7"-(i)/>''' = + [i]?.
- CjI1/''+ (•'0)/> + (i,a)/>''+ (i,3)/>»+ (i)/>'^=- [i]a\
rfyo
dt
'^-(0)q-(l)q'-(2)q'-Q)q-'H-Or= + Q%
dq
IV
^/
® /> H- ©/>'+ ® />'-+-©/>'- 0/>''= - 0 «»
Les quantites ® et ^qui fixent la position de I'orbite de Jupiter par rapport
au plan fixe, a Tepoque /, sont des fonctions du temps qui restent tres petites
pendant plusieurs siecles, et dont nous donnerous les expressions plus loin.
46 CHAPITRE III.
Nous allons integrer d'abord les equations (9) en faisant abstraction des
seconds membres; nous aurons alors un systeme de dix equations lineaires
simultanees, a coefficients constants. Leurs integrates generates seront de ta
forme
(10)
/ p — N
sin(6/-l-y)4-Ni sin(^,/ -hyi) -i- . .
.H-N^ sin(^^^-hy*)»
p' =N'
sin(6/-hy) 4-Nj sin(6i/4-yi) 4-..
. .4-N^ siii(^4/4-y4),
^IV._J^..
' sin(6^ -h y) 4- N7 sin(6i/ 4- yi) 4- .
. .H-N';sin(64/-i-yO;
q — N
cos(^/-hy) -hNi cos(^i^4-yi) 4-.
. .-I-N4 €05(64/ -hyO,
q' =N'
cos(6/-hy)-hNi cos(6i/4-yi)4-. .
. .-t-N^cosC^^^-hyOj
\ 7'^ = N'^
cos(6^-hy)4-N7cos(^i/-hy,)4-. .
. .4-N5;'cos(64/-hy4)
oil les N, Y et 6 sont des constantes. En ecrivant que ces expressions verifient
les equations (9) privees de leurs seconds membres, et egalant a zero les
termes d'argument bt + y, on trouve les relations
(")
(6 + [^)N4-(o,i)N'-i-(o,a)N''-*-(o,3)N'+(o)N''' = o,
(i,o)N-(6-t-[T3))N'+(i,2)N'H-(i,3)N'-t-(i)N'' = o,
»
0 N 4- © N' + © N'+ © N'- (6 -h O) N"' = o;
si Ton elimine entre ces cinq equations homogenes les cinq quantites N, N', N',
N* et N", on obtient I'equation
(12)
(*+ « )
(0.1)
(0,2)
(0,3)
(0)
(1,0)
-{b+-r\)
(1,2)
(1,3)
(0
(2,0)
(2,1)
-(6-H 2 )
(2,3)
(2)
(3,o)
(3,1)
(3,2)
-(6+^-)
(3)
©
®
©
©
-(*+©)
= 0,
qui est du cinquieme degre, et qui a pour racines b, &,, b.^, b^ et b^. Les rap-
ports
m
(.3)
N
— (7.
W
N
L'lV
N
m (J
IV
seront determines par quatre des equations (ii) qui seront des equations du
THEOniE DES SATELLITES DE JUPITER. 47
premier degre relativement aux inconnues a', . .., c'^. On aura de meme
( - (^ + [Z] )Ni 4- (o,i)n; + (o,2)n; -t- (o,3)n: -t- (o)n- = o,
(III) '
( (o)N,+©N;-h©N;-f-®N7-(^H-0)N7=-«.
ce qui determinera les rapports
N' N'' N'" N'^
til -' ill -" ill -w ill -IT .
on arrivera ainsi jusqu'au calcul de
N' N" N'" N"''
ili ' il* _w tl^ '" ili -„
IV
Finalement, il restera les dix constantes arbitraires
(«4) N, N„ N„ N3, N4; y, y„ y„ ya, y^.
Les equations (lo) donneront done bien les integrales generates cherchees.
On demontrera, comme on I'a fait pour les inegalites seculaires des planetes
(t. I, p. 4i 0> m^^ Tequation (12) a ses racines reelles et inegales.
18. Integration des Equations (9) avec leurs seconds membres. — Nous
ferons, pour plus de symetrie,
La premiere chose a faire est de connaitre les expressions de 9 el de ^en
fonction du temps. Nous choisirons pour plan fixe le plan de Torbite de Jupiter
a Tepoquezero. La theorie des inegalites seculaires des planetes donne, relati-
Yemeni a Tecliptique de i85o, les valours de $ et de ^, que nous designerons
pour plus de clarte par ^^ et ^^, sous la forme
tf/ r^ V S sin {st 4- $), '^f ~- 2 ^ cos(.?^ 4- $),
ou les signes V comprennent autant de termes qu'il y a de planetes, soit huit;
les S et g sont des constantes, et Ton sail que les valeurs des s sont Ires petites.
Relativement a I'ecliptique de 18.10, la position de Torbite de Jupiter a Tepoque
48 CHAPITRE III.
zero sera determinee par les formules
la position de Torbite de Jupiter a I'epoque t, rapporfee a la position qu'elle
occupe a Tepoque zero, sera determinee par les formules approchees (t. I,
p. 345),
On aura done
I ^rz: VS[C0S(.9/ -h$) —cos?].
Les formules (i5) et (16) determinent P, P, . . ., Q, Q', . . . en fonction de /.
Nous conserverons les expressions analytiques (10) pour exprimer les inte-
grates generales des equations (9) avec seconds membres, mais en y regardant
comme variables les dix constantes arbitraires (i4)- La nouvelle expression
de -J- sera egale a Tancienne, augmentee de
It -\- 1/1 4- Mj -H Mj -h f/^,
en posant, d'une maniere generale,
r/N/ dy-
Mais Tancienne expression de ^> ajoutee a
I ^> I q — (0,1)7' — . • . - (o)7'^
donnait et donnera encore un resultat nul identiquement. II viendra done
U -h W, -H Ut -\- W3 -h W; = P.
La troisieme des equations (9) donnera de meme, en ayant egard aux rela-
tions (iv3),
ff'w 4- 0"', f/, -h . . . H- fT\ U^ rr^ P'.
On aura, d'autre part, des resultats analogues, relatifs aux quantites q, en
faisant
(18) cv = ^'cos(^»,^-+-y,)-N,~^'sin(^/4-y,),
THEORIE DES SATELLITES DE JLPITER.
49
de sorte que I'on obticndra cet ensemble d'equations :
('9) ^'u
ti -h ill
0-, Mj-hO-, «,
«4 4- W3 -h 1/4 = P ;
0*8 "3 -h (J^ Mi — P ;
i' -H «'i -H Vt 4- Ta -h ('4 = Q,
T^' -+- 7, r, -H 0-'^' Tj 4- 0-3 ^3 4- 0-'^ ('4 = Q',
Pour resoudre ces equations, il est necessairc d'etablir quelques relations
preliminaires.
19. Formules preliminaires. — Posons pour plus de clarte
m , m'
(20) C= 1 c'=: -p-
/7i
n
■■y c =z —z — ; >
c'«'=z
m
m
m „w
C'^ =
z — ;x,
/iiC
n a
/I'rt' 3(2C — A — B)
et nous trouvons aisement les relations suivantes, en nous reportant aux for-
mules (2) et (10) du Chapitre I*% et (6) du Chapitre actuel,
(21)
I (o,i)c=:(i,o)c'; (0,2 )c — (2,0)0";
\ (i,2)c'^(2,i)c';
• • •
(o)c = (o)c'\-
En admettaat pour les constantcs ^^ — -, et i les valeurs de Laplace, on
peut calculer les constantes c, c', c", c" et 'cos6')cos(4/'— 2/— ^) H- (9 sin0 — 7 sinA = sinA sin2a,
IL K. 4- A.
l'equation (i5) donnera
« •» . • » • • 5D C Kcos*yo4-K'cos«yi ^^
cos'p cos'B 4- sin*p cos* QSin'B = ^ ^^r, = it itt ^ = cos' N,
en designant par yo-et y'o '^s valeurs initiales de y et y'> et par N un nouvel
angle auxiliaire. Nous aurons ainsi cet ensemble de formules,
K'
tang* a zz: 1^ J sin 2 B = sin A sin 2 a,
^ * cos*N=:cos'yoCOs'a4- cos'yo sin*a,
sin'N = sin'yo cos*a 4- sin^y^ sin'a,
(17) cos*B cos'p 4- sin*B sin*p cos*9=: cos*N,
dont la derniere est l'equation de la courbe; les relations (16) font connaitre
THtoRIE DES SATELLITES DE SATURNE. q5
lesquantites auxiliaires N, B, a en fonction des constantes K, K', A, yo et y'o-
Cherchons lesaxes 2p'et 2^" de notre ellipse spherique, 2p etant dirige sui-
vant Tare DD'. Nous aurons a faire, dans Tequation (17), (p = o et (p = 9o*';
nous trouverons aisement
, ox n COSN , COS2N
(18) COSp^^i ^^ C0S2p':zz ;
^ cosB ^ C0S2H
on pent constater sans peine Finegalite p' > f.
Laplace a considere un plan fixe, precisement celui qui a pour pole le
centre C de notre ellipse spherique; il dit que I'orbite du satellite se meut en
gardant sur ce plan fixe une inclinaison a peu pres constante. C'est dire que
I'ellipse ne differe pas beaucoup d'un petit cercle de la sphere. Nous aliens
donner la raison de ce fait. L'angle B n*est pas tres grand; il est au plus egal a
i3**ou i4**; s'il etait nul, les formules (18) donneraient
Dans tons les cas, cosB et C0S2B ne different pas beaucoup de i, et la diffe-
rence p' — p" sera assez petite; on a
tang — tang — = tang' -> tang(N — p') tang(N4- p') rz:iang*B,
Ja Ja JL
d'oii Ton tire ces valeurs approchees,
N — p' ^"^ 2 lanff'B
lang — = ^-, lang(N — p') = ^ -. •
^ 2 tangN ^ ^ lang2N
Nous verrons plus loin que la difference p' — p" est d'environ i4'» quantite
petite, mais non negligeable.
Soit AA' le grand axe de Tellipse; on voit que la valeur de y = MD sera tou-
jours comprise entre DA et DA', et la valeur de y' = MD' entre D'A' et D'A.
Nous voyons done que jamais I'orbite deJapet ne pourra coi'ncider, ni avec le
plan de Tanneau, ni avec i'orbite de Saturne.
38. Loi du mouvement du pdle sur son ellipse. — Si Ton prend pour
plan des xy le plan fixe de Laplace, I'origine des longitudes etant fixee a I'in-
tersection de ce plan fixe avec le plan de Tanneau, on aura
96 CHAPITRE VI.
et la seconde des equations (11) donnera
d? ^
da
dt /la'sinp ^9
Or, 12 = Kcos-Y-^- K'cos^Y' ^ pour expression, en fonclion de p et de 9, la
moitie du premier membre de I'equation (i5), ou encore
(K -4-K') (cos*pcos*B -4- sin*psin'Bcos*9).
On trouvera done
na
«^=-
2K
dt
sin p cos' a
y— sin'p sin*B sin9 COS9.
Nous allons eliminer(p a I'aide de Tequation de Tellipse que Ton pent ecrire,
en introduisant p' et p",
COS'p
cos' p" — cos' p' . , - , -
d'oii
(•9)
sin'p'
sin'p cos'9 zn cos'p" ;
»«"
J^^cJr.*.' C0S-p"-C0S-p
sin'pcos'9 = sin'p
ite."
it e.1
cos'p — COS'p
l«'
. , . , . , ,, cos*p — cos*p
sin'p sin'9 =1 sin'p''
.1 r^^
ir,l
COS*p' — COS*p
'''' dt
2K
. ,^ sinp'sinp" /- ^-z T-^. 5-7-
-r- sin'B — ^ ^—r—. sjico^^p"— cos'p)(cos'p — cos*p').
sinpcos'a cos'p"— cos'p' ^ ^ ^ ^ ^
Si Ton pose, en designant par [x une nouvelle variable.
I* r% nf\c% r\^ nt\c^
ir.' cint
cos'p = cos'p' cos'fjL -+■ cos'p sin'fji,
do
on trouve que la valeur precedente de -tt donne
dt
(20)
oil Ton a fait
(21)
dix
\/i — /«* sin'fjL
Ar.f
---ndt,
'i^'
H =
,^ COS'p' — COS'p'
cos'p
2K sin'B sinp' sinp" cosp'
/la'cos'a
cos'p" — cos'p'
En remplaQant p' et p" par leurs valeurs(i8), I'expression de H se simplifie et
devient
(22)
H=:2K
cosNv/cos2B
na* cos* a
TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 97
On voit que Ton est ramene a des integrales ellipliques, et les formules (19)
et (20) donneront, en designant par ^o une constante arbitraire,
1^ = am (H/o — H^),
sinp C0S9 = sinp' sin/ji,
, sinp sin(p = sinp'^cosfjL.
Le module h est voisin de zero ; il convient de proceder a des developpements
en series, en negligeant A\ On trouve successivement
fl^fjif i-h - /i*sin*|jLj = d\k\i-\-jh^ — J A*cos2|jLj = — Hfl?^
|jL=:H'(/o — 0-^ g-sm2H'(^o — 0»
H 7^'
lango — -r-~ cola = -r-S cotH'(/o — 0>
"^^ sinp' ^ sinp' I ,, ,„,. ^.
4
lang9 = (i — 2/) cotH'(^o — ^)»
. sinp' — sinp*' h^ ^
2 sinp' 8 '
/est une petite quantite de Tordre de A^. En posant
qui proviennent de Taction du Soleil, /» et &o designant respectivement la lon-
gitude du Soleil et celle du noeud de I'ecliptique sur I'orbite de Saturne.
M. H. Struve applique les formules (i i) qui deviennent, en remplacant K par
sa valeur (9),
sini -7- =— 7 5? sinycosy ^ H- it- smy' cosy' -fr )>
3 nl / . dy K' . , , dy'\
4 Tf r "y "^^y de -^ K ''"y "^^y 09 )
nil — elr ^ ^
TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 99
Solent (Jig* 3)
xk recliptique,
AC i'orbite de Saturne,
BC Torbite de Japet,
Fig. 3.
Le triangle ABC donne
cosy =. cos* cos 1*1 -t-sin/sini, cos(0 — ^j),
d'oii i'on tire
siny -r^ nzsinicosi'i — cos/sini, cos(0 — 0i) = siny cos^p,
siny ^ = sin£sinii sin(6— 9i) = sine siny sin^'.
Les expressions precedentes de 57 ^t de ^ deviendront done, si Ton utilise
ies relations analogues pour -^ ^t ^»
I sin/ -J- =— ^ 2 — -j-( smycosy cos4^ -f- w siny' cosy' cos 4^' 1,
I ^ ,1(1— ejyi \ /
3 w' / K' \
, ="t" 7 ^^ — 3" (siny cosy sin^-h -^ siny' cosy' sin^p' j.
t^'est Tare intercepte sur Torbite du satellite, entre recliptique et le plan de
Tanneau.
M. Struve a calcule par les formules precedentes les variations annuelles AO
et Ai, pour 1785,0 et i885,o, en remplaQant dans chaque easy* Y* 4'» ^' ^^ 'P^'*
les valours correspondantes; ce double calcul a pour but d'eviter la considera-
tion des termes du second ordre. II a trouve ainsi
Pour 1785. Pour i885.
A0= — a',647-4- i',446 Y' AO =-2',632-f-i',533 ^\
Ai =-f-o',o83— o',7r5^', A/ =-f-o',o73 — o' 816 ~ •
(28)
' di
I02 CHAPITRE VI. ^
ne pourra pas esperer obtenir m^^ avec quatre chiffres significatifs. Quoi qu'il
en soit, enportant ces valeurs dans les equations (29) et (3o), elles deviennent
i83,4 = (3,2i43)X-t- (5,8372)/nxi,
1800 =:(4,84o4)X-4-(6,o8o8)mTi,
d'oii
X =0,02227, mxi iz:
4678
J'avais obtenu autrefois (Annates de l' observatoire de Toulouse^ t. I), par la
discussion d'une observation faite par Cassini II en i7i4»
I
I 1000
ce qui conduirait pour la masse de Titan a une valcur trois fois plus faible, au
moins, que celle a laquelle arrive M. H. Struve. Mais I'observation dont il s'agit
consiste en une simple estime, ou plutot, dans Textrapolation de resultats esti-
mes. Le dessin de Cassini presente d'ailleurs des particularites difficiles a com-
prendre. II n'y a evidemment pas de parallele a etablir entre les consequences
que Ton en pent deduire et celles qui sont fondees sur des series nombreuses
de Bernard, Herschel, Jacob, Hall et Struve; de sorte que la valeur nouvelle
I
4700
presente toutes les garanties. Nous verrons d'ailleurs, dans le Chapitre suivant,
qu'elle est confirmee par la theorie des perturbations d'Hyperion.
41. Masse de Tanneau. — On a les formules
/Wo \ 2 /'
d'oii
. I w, A, 3
A = X x, -I t; ^= 0,0224.
2 mo 0^
Or, on a mesure Taplatissement de Saturne x, et Ton pent calculer aise-
mentx,. M. H. Struve adopte
X — X, = 0,0194,
2
et il en resulte
mi A'l
— Ti =0,0029.
m© o^
TIIEORIE DES SATELLITES DE SATLRNE. Io3
On a, d'ailleurs, en supposant I'anneau homogene {voir la page 89),
cela conduirait a
kt 3 R'
6' 8
-t-R"
6. =.9;
m^
I
Wo
lOOO
Mais il ne faut pas se dissimuler que cette determination est presque illusoire,
d'abord k cause de Tinfluence des masses imparfaitement connues sur la valeur
de la constante X, ensuite et surtout parce qu'il suffirait de legeres modifica-
tions de X et de 6 pour la changer beaucoup, et il suffit d'un coup d'oeil jete
sur les determinations de x et de 6, obtenues par des observateurs tres habiles,
pour reconnaitre la possibilite de telles modifications.
Remarque. — Si, dans la formule (29), on neglige e^ et ce qui depend de Tat-
traction des satellites, il vient
K 3M„ a
5
K
de sorte que, quand on considere des satellites plus voisins de la planete, ^
decroit rapidement, comme a^ On a done, au lieu de Tequation (12),
K'cos*y'=: const.
Ainsi, rinclinaison de Torbitc d'un satellite sur Fanneau demeure constante
et toujours tres petite si elle Ta ete seulement a un moment donne.
Io4 CHAPITRE VII.
CHAPITRE VII.
THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. - PERTURBATIONS D'HYPfiRION.
42. Recherches sur le mouvement d'Hyp6rion (Memoire de M. New-
comb intitule : On the Motion of Hyperion , a new Case in Celestial Mechanics^
Astronomical Papers ^ t. III). — Hyperion, nous I'avons dit deja, estle plusfaible
de tous les satellites de Saturne. II a ete observe, pendant quelque temps, par
Bond en 1848, etpar Lassell en 1848, i85o, i852, i853, i860 et 1864. Ces ob-
servations, dont la precision laissait peut-etre un peu a desirer, n'ont ete
employees qu'a une premiere determination de Torbite, qui ne parut rien
presenter d'extraordinaire, sinon que Texcentricite etait beaucoup plus forte
que pour les autres satellites; elle etait d'environ -• Ce n'estqu'en 1875 que
nous trouvons de nouvelles observations d'Hyperion. La grande lunette de
26 pouces, de Washington, nous a revele des particularites bien imprevues.
Les observations de M. A. Hall, faites en 1875, ont donne pour la longitude
du perisaturne d'Hyperion 174*". H resulte des observations de Lassell qu'en
1 852 la meme longitude etait de 240®. Les deux directions du grand axe de Tor-
bite font done entre elles un angle de 66®; et cette rotation des apsides est bien
certaine, malgre la difficulte des mesures, car I'excentricite de Torbite est tres
prononcee.
Quelle pouvait etre la cause de cette perturbation considerable? II fallait evi-
demment la chercher dans Taction des autres satellites et, en particulier, dans
celle de Titan.
D'abord, il est evidemment le plus gros de tous; ensuite, sa distance
moyenne a Saturne (2o",5) differe peu de celle d'Hyperion (25'',i). La plus
petite distance d'Hyperion a Saturne etant de 22^,6, la distance des deux satel-
lites peut s'abaisser a 2",i et devenir ainsi 12 fois plus petite que la distance
d'Hyperion a Saturne.
En attribuant a Titan une masse egale seulement a — ^ — > son action sur Hy-
^ 1 1000 "^
THlfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. Io5
p^rion pourra atteindre —^ = ^de Taction de la planete (avec la masse de
Titan 7-i— donnee dans le Chapitre precedent, on trouve ^ au lieu de -^V C'est
une force perturbatrice considerable, dont reffet se trouve encore augmentepar
cette circonstance que les moyens mouvements des deux satellites sont a tres
peu pres commensurables. II resulte, en effet, du Tableau de la page 86, que
Ton a, en designant par T et T' les durees de revolution de Titan et d'Hype-
rion,
T' /I 4
II en resultera done une inegalite a longue periode, dependant de Targument
4/' — 3/, inegalite qui sera d'autant plus sensible que, relativement aux excen-
tricites, elle sera de Tordre 4 — 3 = i ; elle contiendra done un facteur e ou e'; or
e" est assez grand.
J*avais appele Tattention des astronomes sur ces particularites (Observatory,
t. Ill, p. 235). Pour aller plus loin, il fallait de nouvelles donnees de I'obser-
vation.
Voici celles qui ont ete fournies par M. A. Hall (Monthly Notices, mai 1884) :
Date. a'.
i852,9 2i7',o5
1875,7 216, 25
1876,7 216,52
1879,8 211,17
1880,9 212,41
1881,9 2i3,o5
1882,9 2i5,46
i883,9 212,90
M. Hall en conclut que la valeur de ci' est representee a fort peu pres par la
formule
Gj' = 1 74°, 24 — 20°, 344 ^ — o<», 1 o3 1^,
oii/designe le nombre d'annees compte a partir de 1875,7. Ainsi, le perisa-
turne d'Hyperion fait une revolution dans le sens retrograde en dix-huit ans, et,
de i852 a 1876, son mouvement a ete, non de GG*", mais de 66** + 36o° = 4^6''.
C'est la une decouverte qui fait honneur a M. Hall, et qui a demande une
longue suite d'observations difficiles, en meme temps qu'une discussion bien
conduite.
43. C'est ici qu'intervient la theorie avec M. Newcomb; les inegalites secu-
laires de cj' seront donnees par la formule suivante, qui resulte de formules
T. — IV. i4
e'.
ct'.
a — a'
0,1201
240,18
28*
0,1026
'7iM
94
0,1290
1 56,92
If I
0,0780
93,17
175
0,0823
60,01
208
0,0898
36,91
23 1
0,0884
20,04
248
0,0982
353,27
275
»
lo6 CHAPITRE VII
connues (t. I, p. 169 et4o5),
chs'
dt
= i ma' /i'JA^,«^-f-Ai»'+[Ai,*^--AV^-Ai«»]icos(iij'-iij)
dR
On a remplace ^i — e'^ par i, et neglige le terrae en -^.; d'ailleurs, dans tout
ce qui suit» nous ferons abstraction de Tinclinaison mutuelle, tr^s petite du
reste, des orbites de Titan et d'Hyperion. Voici les donnees numeriques d'oii part
M. Newcomb :
Titan. Hyperion.
0 o
Moyen mouvement 8id6ral diurne... /i = 22,57700 //= r6, 91988
P6ri8aturne (1880,0) m = a68,6 ro'= 88,0
Mouvement annuel --- = -4- o,5o -r- = — ^o,3
dt ^ dt ^
Excentricit6 e = 0,0287 ^' = o, 100
Rapport des moyennes distances — -7 =: a = 0,825
En supposant m = > la formule prec6dente donne un mouvement direct
*^^ 1 0000 *
de 3® par an, tandis que le mouvement observe est retrograde et de 20® environ.
M. Newcomb remarque ensuite que Ton a
4/1^^=67% 6795, 3/1 =167% 7810, ^n' — 3/1 = — o*>,o5i5;
en un an
4/i' — 3/i = — i8«,8.
Or, le mouvement annuel de ©' est de — 20**, quantite trfes voisine de
-i8S8.
II y a done lieu de penser que, si Ton considfere Targument
sa partie proportionnelle au temps sera nulle, et que V sera constant, ou bien
oscillera autour d'une valeur moyenne constante C. On en conclut, dans cette
hypothese,
3(/'~/)4-/'-zij' = C;
de sorte que, si Ton cherche les conjonctions des deux satellites, on aura
Or, pour que les inegalites seculaires aient un sens pratique, il faut que, dans
le cours du temps, les inegalites periodiques se detruisent; k une longitude
THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. I07
moyenne donnee de Tune des planetes doivent correspondre successivement
toutes les longitudes moyennes de I'autre, et, en particulier, les conjonctions
doivent se produire en tons les points de chaque orbite. Or, d'apres la for-
mula (i)» les conjonctions auraient toujours lieu dans le voisinage d*une
meme anomalie moyenne d'Hyperion. II est done impossible que les termes en
cosi(''— o')sedetrui8ent,etle mouvementprogressifduperisaturneseraproduit,
non pas seulement par les termes seculaires, mais par les termes periodiques.
M. Newcomb considere, aprfes ce preambule, les termes principaux de la
fonction perturbatrice R. Nous allons reproduire son exposition, en supposant
toutefois nuUe la petite excentricite de Torbite de Titan et faisant
II calcule les U^ et leurs derivees premieres et secondes, et trouve
I,
*(•■).
0 2,61
1 — o,a5
2 0,79
3 o,56
-* 0,41
2,39
5,84
2,82
2,61
2,36
I* — ; —
i3,33
4,48
14, 1
14,8
l5,2
d*ou il deduit
Co=: -7 «
C, = ^ 6t») -h - a —J—
da'
%^ da} ---^2'27,
= -h 3 , 26,
a'
— — 21,1;
les valeurs dei^*^ et de ses derivees ont regu les corrections respectives
— a-', H-2a-', —6oi.-^y
pour avoir egard a la seconde partie de la fonction perturbatrice
— m
xx' -h yy' -h zz
^^1
r'
44. liquations pour la variation des 616ments. — Ces equations sont
fournies par les formules (A) (t. I, p. 169), en conservant seulement les termes
I08 CHAPITRE VU.
principaux; on trouve
dn' _ ^ „ dja'W) de' _ mn' d{a'V^)
— _^6mn —jjj—^ ~di-'^~^ ~d^^'
dxs' mn' d{a'\\) dt' , ,, c^R
dt e' de' dt da'
II vient cnsuite, en ayant egard aux donnees numeriques du numero prece-
dent,
de'
-J- =:— 3,26m/i' sin(4/' — 3/ — gj'),
at
(2)
dxs'
— r— =z mn
dt
'["4,53+^^005(4/'- 3/- GJ')1,
Si Ton pose
-:j- := -h 39 , 1 mn'^ e' sin ( 4 /' — 3 / — cj' ),
di'
-J- =4- 42,2m/i'e'cos(4/'— 3/ — cj').
V' = 4/'— 3/-GJ',
et que Ton remplace e et e' par leurs valeurs numeriques, il vient
dn'
-J- =-i-3,9i/n/i'*sinV',
dt'
(3) { -j- =:-i-4,22m/i'cosV',
^ = m/i'(4,53 + 32,6 cos V).
La derniere de ces equations montre que, si Tangle V conserve une valeur
constante, le terme -h 82, 6 cos V pent etre beaucoup plus grand que Tensemble
des deux termes seculaires de — ; mais, pour que -^ soit negative, il faut que
cos V soit negatif.
45. iSquation diffdrentielle pour la libration de Y\ — En considerant le
mouvement de Titan comme elliptique, on a
dV' . , ^ .de' dxs'
_^4^'«3,. + 4^--^.
d^\' _. dn^ / ^ _ f^'
dt^ '"^ dt '^^ dt* dt*
TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 109
Or on trouve, en partant de (3),
'' dt -
i5,64ff»n'*sinV',
.d'e'
*dl^
dV'
i6,9 /n/i'*sinV' -r-r ,
" n' dt
iTTT = 02,6 m/i'*sinV' — p-r-.
at^ n at
En substituant ces expressions dans celle de -^tt' ^^ faisant
t'=n't,
il vient
d^y d\'
--77-- = i5,6msinV'-i-i5,7msinV' —r-r •
dt^ dt
II est remarquable que les coefficients i5,6 et i5, 7 sont a fort pen pres egaux
entre eux. On pent ecrire
d^y - A - • v// ^v'\
Cette equation admet Tintegrale premiere
dW' , r d\
dt
J — log ( I -f- -rp- ] -H i5,6m cos V = const.,
comme on s'en assure aisemcnt. Supposons qu'a un moment donne on ait
dt'
dV
T = V'o et --Tjr = o; la constante se determine immediatement, et il vient
dW / dV \
(4) -377 — logf n--^j = i5,6m(cosV;— cosV).
dt'
dW
La fonction de-^> qui constitue Ic premier membre de cette equation, est
dV
positive quand -^ varie de •— i a -h 00. II doit done en etre de meme du second.
Done V doit rester compris entre V'^, et 211 — V'^. Les observations montrant que
V varie tres pen, il doit en itre de mfme des limites prdcedentes ; done V'^, est voisin
de ir. Nous admettrons qu'il est egal air. Alors, on aurait constamment
ce qui exprime un beau theoreme.
no CHAPITRE VII.
II est vraisemblable que ^ est toujours tres petit, V variant tres lentement
et tres peu. Si, dans Tequation (4)» on neglige -^ > il vient
dV'*
■-rjf^ =3i,2m(cosV'^ — cosV),
d'ou, en faisant
d}W'
-^P^= i5,6msinV',
v'-i8o«+n,
-TTTj- =— i5,6m smH.
En integrant, et designant par a et p deux constantes arbitraires, il vient
(5) H = «cos/x^'4- (3sin/x^', /jL=:\/i5,6m.
Telle serait Texpression de la libration. Nous la supposerons nuUe dans una
premiere approximation et nous prendrons simplement
V'r=i8o°.
La derniere des equations (3) donne, quand on y fait V'= i8o®,
-T- = — 20,1 m/i'.
at
En egalant cette valeur a celle, — 20^, 3, deduite des observations par M. Hall,
il viendrait
20 , 3 20 , 3 I
m =
28,1/1' 28,1x6180 85oo
Tel serait done le rapport de la masse de Titan a celle de Saturne. Si Ton se
reporte a la formule (i), et que Ton y fasse C = 180®, on en conclut que, lors
des conjonctions d'Hyperion et de Titan, le premier est toujours dans le voisi-
nage de son aposaturne.
46. Resolution du probl^me par les quadratures. — Dans la discussion
precedente, on a considere seulement les termes principaux pour chaque argu-
ment, pensant que cela sufKirait pour donncr le caractere general du pheno-
mene, et conduire a une approximation numerique satisfaisante. Mais un exa-
men attentif a montre a M. Newcomb que les termes en 2V', 3V% .. • peuvent
avoir une influence plus grande que ceux en Y\ II a trouve en efiet, par un calcul
th£orie des satellites DE SATURNE. I I I
sommaire,
a'R = ...-+■ i5e'» cosa V'-f- gSe'* cos3 V + . . . ,
d'oii
— , > , =. . .H-SocosaV'-f- 285e'cos3V'-H. . . = . . . + SocosaV'-i- 28,5cos3V'-f-. . ..
e ae*
Ces termes auront une repercussion considerable sur le mouvement du peri-
saturne, et I'on voit en meme temps que la convergence est trop lente pour que
Ton puisse essayer de les calculer avec precision. Dans ces conditions, M. New-
comb a pense, avec raison, que le mieux a faire etait d'avoir recours aux qua-
dratures mecaniques.
Consid^rons dans a'R Tensemble des termes
a'R = Ato^-^iCOsV'-i- A, cosaV'-f-. . ..
Comme on oblige encore I'excentricite de Titan, les coefficients ij seront des
fonctions des deux arguments
En faisant V = i8o^, il vient
^'=1800— 3L,
oil les coefficients i'j sontdes fonctions periodiques de L. II en sera de meme de
,dR , , flte' m/i' ,dR
dm*
Pour avoir le terme constant de -^> il faut obtenir le terme non periodique
de «' 3-/> ce qui se fera en donnant a L un certain nombre de valours nume-
riques, 72 par exemple, distantes de 5^, calculant les valours numeriques de
a'^> faisant la somme, et divisant cette somme par 72. II nous faut done dire
comment on procedera au calcul des valours dea'^- On a
I r'cosV,
R ^^ ^= 1 >
\/r'* H- a* — 2 ar' cos Vj ^
Vi = t''— /, i''= longit. vraie d'Hyp^rion.
Soit pos6
r' a
a ^ a'
112 CHAPITRE VII.
On trouvera sans peine
a'R=: - — i — ^, A* = p'* -4- a»~ 2 ap' cos V„
de'~- dp' de' "^ dVj de' '
a'^=«p's.nV. (-.-^.j
On aura ensuite, en designant par/' ct w' les anomalies vraie et excentrique,
f /i -h e' u'
u'—e'sinu'=g\ p'—i — e' cosm', tang — = i / , tang — , e' = 0,100;
d'ou
dp' ,, df i + e' cos/' . .,
Si Ton considere les valeurs
Lo, Lo -f-i 20°, Lo 4- 240°
de L, les valeurs de ^ , et, par suite, celles de ^ et de ^ seront les memes.
On pourra done donner a ^ les valeurs
0°, i5o, 3o% ..., 180°.
Les quantites qui interviennent sont d'ailleurs les memes quand g^ change
de signe; il est done inutile de faire depasser 180® a g\ dans les calculs pr6pa-
ratoires. M. Newcomb a obtenu ainsi, par des calculs faciles, les valeurs num^-
riques suivantes :
§
.dK
■ *
,fJR
g'
«D?-
g-
«c^'-
0"
-+- 1,8
i5
-h 1,6
34 S**
-h 1,6
3o
-+- 1 ,9.
33o
-+- 1 ,2
45
-4- 0,4
3i5
-H 0,4
60
— 0,7
3oo
- 0,7
75
- 1,8
285
- 1,8
90
— 3,0
270
— 3,0
io5
- 4,4
255
-4,4
\io
5,9
a4o
5,9
i35
— 7,7
225
— 7,7
i5o
9,7
210
— 9,7
i65
— 12,7
195
-12,7
180
— 13,8
THtoRIE DES SATELLITES DE SATURNE. I l3
On en tire
2,dR .
«^— -97,4.
En divisant par 72, on trouve — i,35; on a done, pour le moyen mouvement
du perisaturne,
dt ' e'
En Tegalant a la valeur observee 19°, 3, il vient
19,3 I
m — ^ —
i3,5 X 6180 4320
M. Newcomb avait trouve m = —^ — > parce que, par inadvertance, il avail
employe le diviseur 24 au lieu de 72. C'est M. Hill qui a signaie cette meprise
{Astron. Journal, n® 176). II convient de remarquer que ce n'est que plus tard
que M. H. Struve a donne a tres peu pres la meme valeur, comme on I'a vu dans
le Ghapitre precedent.
M. Newcomb cherche ensuite a avoir egard a la libration de V; il trouve
qu'en posant
n = GT — ©'„ = 1 85*^,0 -f- 19^,5 (^ — 1880,0),
on a ces inegalites
il'=: — 2*>,osinn, dGT'= -f- io<» sinll, 5e' = 4-0,0170081!;
mais, pour cette derniere partie, nous renvoyons le lecteur au Memoire ori-
ginal.
47. Autre solution. — J'ai donne, apres M. Newcomb {Bulletin astronom.,
t. Ill, p. 4^5), une solution qui me parait encore presenter aujourd'hui quelque
interet; je vais la rappeler brievement.
Soient P et P' deux corps, planetes ou satellites, circulant dans un meme plan
autour d'un corps central.
Si nous nous reportons au Ghapitre XXII (t. I), nous verrons que les inega-
lites independantes des excentricites sont donnees par les formules
(6) /• =a i-t-m'^ E;C0se(/-/') , v = I — m'^ C/si!u(/- /'),
cos
i{l-l') , v'=l'^m^C\s\ni{l-^l');
13
Il4 CHAPITRE VII.
retr, (^ et ^', / et /', m et m! designent respectivement les rayons vecteurs, les
longitudes vraies, les longitudes moyennes et les rapports des masses a la masse
du corps central. Soient encore n et n' les moyens mouvements; les coefficients
E^. et C) ont les expressions suivantes (t. I, p. 365 et 366)
/I- — i'{n — /* )* \ da n — n' J
n' n — n' I \ da n — n' J
On aurait des expressions toutes semblables pour E, et C/. Les quantites B^'^
sont definies par Tequation
(ai-^ a'^—'iaa' cosX)"^ = I B(o)4- ^ B^i) cos A.
En faisant
(x=z — f a<,a\
a'
1
on peut ecrire
E; = - -r,-^!^ rr. (bf + ^i±^; ^(0 ) .
(8) { V y \
ci = - 2 ^Lzi::^ ie;4- -^ i (^^/^+ ^^^^
n' n — n' I \ ^ n — n' J
pour I = I, on doit remplacer W^ et b^^^ par 6^*^ j et ^V ^""1* Enfin,ilyalieu
de remarquer que les formules (6) et (7) ne donnent qu*une premifere approxi-
mation, car on a tenu compte seulement des premieres puissances de m et m'.
Supposons actuellement que les moyens mouvements n et n' offrent un rap-
port de commensurabilite tres approchee, represente par une fraction de la
forme '^—^^j etant un entier positif. On aura done, en designant par a un
1/
J
nombre tres petit,
On voit que le denominateur n'^ — i^{n — n'y^ qui figure dans les for-
mules (8), sera tres petit pour i=j\ et qu'il ne le sera que pour cette valeur
del. Lavaleur de Ey sera done beaucoup plus grand e que celles de Ey^^,E}^j, ...,
THlfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. Il5
et il en sera de meme de Cy. On pourra reduire sensibleinent les formules (7) a
^'^^ I (^'=:/'+mC}siny(/-/');
mais il faut bien remarquer que cette reduction n'a reellement de sens que si 0-
est une fraction trfes petite. II y a plus; le petit denominateur, qui rend Cj sen-
sible, ne figure que dans la premiere partie de Texpression (8) de C-. On pent
done se borner a
cequi donne, en vertu de la seconde des relations (9),
c; = -2(i + <7)e;,
ou, a fort pen pres,
\aj — "~~ 2 Kjj •
Si done on pose
les formules (10) pourront s'ecrire
(II) r'= a'[i -+- e\ cosj{l - /')]» <''= /'— 2e, s\nj{l—l').
On a
n
-ns-)-
n
n
d'oii, en rempla<;ant — par i h r— et conservant seulement la partie prin-
cipale,
(12) e\=^^W^^('2j^i)bU)].
Gela etant, posons
(i3) ©',:=. i8o«^(/-M)/'-y7,
et les formules (i i) donneront
(i4) r'=za'[i — e\cos(l'—m\)], v'z=zl'-^2e' sin(/'— cr',).
Or ces deux equations representent, aux petits termes pres en e"^, e'\ . . ., un
mouvement elliptique keplerien, dans lequel I'excentricite seraite' et la longi-
Il6 CHAPITRE VII.
tude du perihelie ts\. Les equations (9) et (i3) montrent que le p6rihelie est
anime d'un mouvement uniforme tres lent, dont la vitesse est egale a
ce mouvement est retrograde si a est positif.
De la cette consequence : alors meme que Texcentricite propre e^(laquelle
est une constante absolue) serait nuUe, il y aura une excentricite e\ produite
par les perturbations, et dont la valeur fournie par Tequation (12) pourra etre
tres sensible.
Les conditions precedentes sont realisees pour Titan et HyperioUc On a
3/1 — 4^*'== o°,o5i5 =ii8**,8 en un an,
y^ii3, o-=i: -h o,oo3o43.
Done, dans une premiere approximation, le mouvement d'Hyperion pourra
etre considere comme un mouvement elliptique, le grand axe tournant unifor-
mement dans le sens retrograde de 18°, 8 en un an.
Si Ton suppose e'^ = o,i, comme on a, pour y = 3,
la formule (12) donnerait
I
m = —
10700'
c'est une valeur trop faible, tenant sans doute aux termes d'ordre superieur
qui ont ete negliges.
Les considerations suivantes serviront a eclairer la solution qui vient d'etre
donnee. M. Hill, dans un Memoire que nous allons analyser dans un moment,
fait remarquer que la theorie de la Lune de Delaunay permet de suggerer la
forme du developpcment final de r' et ^', quand on a cffectue toute la serie des
approximations :
(i5)
r' = /' + 2 J^ sin (iL ^jg ^j'g%
oil L = /'— / designe la difference des longitudes moyennes, get ^ les ano-
malies moyennes; les quantites L, /', g et g' sont de la forme a -h ^t, oil a et ^
sont deux conslantes absolues. Enfin, les coefficients A et B contiennent en
facteur e^^, e^^' y <*„ et e^ etant les excentricites propres des constantes abso-
TB^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. II7
lues. On peut concevoir que les conditions initiates aient ete telles que e^ = o,
e'^==o; alors, les formules (i5) dcviennent
/•' = aM n- 2 AcosiL |, i^'= /'-h y] BsiniL.
On a ainsi Tune des solutions periodiques de M. Poincare; les formules (7)
reproduisent les premieres approximations pour les coefficients A et B.
Remcurque. — L'integrale de Jacobi (t. Ill, p. 259), appliquee a Hyperion, en
supposant I'orbite de Titan circulairo, donne
I v/rt'(i — e'*)
2 a'
^^ — -= — - -hm --=z=r===^= J cos(i''— /) = const.
a^a \yr'^-\-a'^ — 2 ar' cos ( i''— /) ^ J
Quand M. Hall faisait de longues series d'observations pour deduire de cha-
cune les elements c^ et e\ il est permis de croire que le coefficient de m dans
Tequation precedente prenait presque toujours une meme valeur moyenne;
done, dans ce cas, on devrait avoir
\/a'{i — e'^)
, , - — ^^ — ;= — - = const.
2«' a\/a
En fait, cette relation est sensiblement verifiee par les valeurs de a' et e" den-
udes a la page io5.
48. Solution de M. Hill. — Le Memoire de M. Hill, dont nous avons deja
parleplushaut, est insere dans VAstronomicalJoumal, n^ 176. L'auteur suppose
que, Texcentricite de Titan etant prise egale a zero, le mouvement d'Hyperion
est represente par la solution periodique
M. Hill admet les donnees
/I =2 2®, 5770090, a =176', 916,
n'=: i6**,9i98837, g'= 192'', 582 = a'{i — e')z-Oj^a\
La duree T de la periode synodique est
T' — 63i, 6365612, -- = 3iJ,8i828o6.
I |8 CHAPITRE VII.
Le mouvement de Titan et le moyen mouvement d'Hyperion, dans le teraps
T'
— ) ont pour valeurs
7i8o,36r6o9=:72o°- i°38'i8%20,
538°,36i6o9 == 36o° -h i78°2i'4i%8o.
Partons d'une opposition, a Tepoque zero, Hyperion etant k son perisaturne;
T'
au bout du temps —> nous aurons une conjonction. On aura alors L =o , et,
d'apres Texpression (i6) de /,
dt
= — a'\^iA siniL = o.
Done, Hyperion sera a son aposaturne distant du perisaturne precedent de
i78*'2i'4i"»8o; tandis que, si le mouvement avait ete purement elliptique, on
aurait eu un deplacement angulaire de i8o°. La difference
i°38'i8*'--5898''
donnera done I'effet des perturbations d'Hyperion par Titan sur la position de
la ligne des apsides. Or on pent calculer cet effet par les formules de quadra-
ture. C'est ce qu'a fait M. Hill, en supposant
7/1 = 0,0001, e=o,i,
et calculant les valeurs numeriques de -j- de ^ jour en \ jour, depuis 0^,0 jus-
qu'a 32^o. II a trouve ainsi, par interpolation, pour Tintervalle Si^SiSnS,
Sgt' = — 2634". Comme ce calcul neglige les puissances de m superieures a la
premiere, on en conclut que, pour mettre d'accord les valeurs, observee et cal-
culee, de gj', il faut prendre
5898 I
^=.0,0001x^^3^ = ^^.
Dans un second calcul, M. Hill tient compte de toutes les puissances de la
force perturbatrice. En supposant le rayon vecteur de Topposition, a'(f — e'),
bien connu, il cherche a determiner la vitesse angulaire d'Hyperion a Toppo-
sition et la masse de Titan, de maniere qu'au bout du temps 3I^ 81828 il y
ait opposition, et qu'en meme temps Hyperion soit a son aposaturne. 11 en
resulte deux equations de condition pour determiner les deux inconnues, ou
plutot les corrections de ces inconnues, lesquelles sont fourniespar deux equa-
tions du premier degre. Ce nouveau calcul de quadrature donne m = -. — j-
THE0R1E DES SATELLITES DE SATURKE. 1 1 9
Enfin, M. Hill reduit en Table les inegalites de la solution periodique qu'il
vient de calculer, en prenant pour argument le temps qui separe Tepoque
choisie de I'epoque de Topposition voisine.
49. M6moire de M. O. Stone. — Dans ce Memoire, publie dans les Annals
ofMatJiemaiics, t. Ill, n° 6, 1'auteur prend» comme premiere approximation, les
expressions suivantes, qui decoulent des formules (6) et (7) de la page ii3, en
faisant m ^ o,ooof ,
-7 = I — 0,0004 cos (/— /') — 0,OOl4cOS2(/ — /')
^'^' 1 -f-o,iooocos3(/— /') -+- 0,0006 cos4(/— i')y
i/=:/'H-io'sin(/-/')-^i3'sin2(/— /') — 683'sin3(/— /') — 3'sin4(/-/'),
et il se propose d'obtenir avec plus d'approximation la solution periodique dont
nous avons parle. II pose
(18) r'z=a'(i + <7), ^^n'ii + x),
( (T = ai cos^-+-a, C0S2 6^ -i-. . .,
(19) B=l-V.
r T = /I, cos 0 -h /It COS 2 0 -h . . . ;
a, n\ a<, a^, .. ., /i|, Wj, . . . sont des constantes. M. Ormond Stone emploie en-
suite les equations differentielles suivantes (t. I, p. 4G2-463)
(20)
d^r' ,dv'^ k^ ,, ^
dl^ dt^ r'
A* = r'* -h a* — 2 ar' cos {v — v');
kyja'{\ — v) represente une constante d'integration; on aurait v = o si I'orbite
etait circulaire.
La premiere des equations (20) donne, quand on a egard aux relations (18),
/ X '•'* d^' • ^ kJi — ^f k^m r^ ,j
I no CHAPITRE VII.
L'inspection des formules (17) ayant montre que Ton peut considerer :
a,, n„ comme de petites quantit^s du premier ordre,
a,, at, ^4, /^i, /!„ /14, » du Iroisi^me ordre,
^59 • • • 9 ^89 ^^(9 • - • 9 ^89 » du quatri^me ordre,
M. 0. Stone developpe Tequation (21) en negligeant le cinquieme, et la met
sous la forme
n a^ at ^ *
ou A|, .. ., Ag designent des fonctions assez simples des coefficients Ui et /i|.
On tire ensuite des equations (20)
oil Ton a fait
p = R + JL \iksja\i-v) Csr'dt-h k^m ( fsr' dtY^ .
On en deduit» en vertu de (18),
d*(T k* g H- V __ ^*^ n
On tire ensuite des expressions (19)
^"^^-; =v aj(i — 2v) — -^a}(2 — 3v) 4- Bj cosfl H-. . . + Bg cos80,
(,H_cr)«— 2 »' ' 8
en designant par B|, B^, ... des fonctions de v, a,, a^y ... faciles a former. On
a d'ailleurs
II s'agit maintenant d'obtenir les developpements, suivant les sinus et
cosinusdes multiples de 0,
de
P elde fsr'dt= ^^ , f^r'de.
TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. £21
M. 0. Stone pose
Pa'« = yp,cosi0, ^\ , ,, rSr'e/0=ys,cos/0;
-^irf {/I — n')n'a^j ^id
il n'introduit pas le terme So qui ne ferait que modifier v dans I'equation (21).
On effectuera ces developpements par les quadratures mecanique^, en attri-
buant a 6 des valeurs equidistantes entre o® et iSo'^, et calculant les valeurs
isolees de P et de S/ avec les valeurs (17) de r' et de v\ adoptees pour la pre-
miere approximation. On pent done supposer que les expressions numeriques
des quantites P| et S/ sont assez bien connues.
Les expressions (20) vont devenir maintenant
(2a) i-h - a| -hflj/i, 4- A, COS0-+-. . .-*- AjCOsS© — 5 w^^ S/COs/0 = o,
n'a!^
(23)
3 i5
V al(i — 2v) ^aj(2 — 3v) + B| cos 9-+-. . .-I- B, cos 89
— fx(a, cos0-h4«i cosa^-hgasCOsS^-h. . .) — /wV P/ cost0 = o;
on a fait, pour abreger,
f^ =
k'
En egalant a zero, dans les equations precedentes, les coefficients de
COSOQ, COS©, ..., cos80,
I
on trouvera un ensemble de dix-huit equations propres a determiner les incon-
nues (jL, V, /w, A|, Aj, . . ., B^, Bj, — On en conclura ensuite a<, a-j, .. ., /i,,
/ij, .... Deux de ces equations seront
k \j \ — V n — n!
3 i5
V — - a5(i — av) — -g- a;(a — 3v)=:mPo.
Avec la valeur o,T adoptee pour ^3, on en deduira [xetv quand on aura la
valeur de m, qui sera trouvee en egalant a zero les coefficients de cos30 dans
Tequation (23). On pourra, apres avoir ainsi obtenu les valeurs des incon-
nues, reprendre le calcul numerique des coefficients P, et S,, et proceder a une
nouvelle approximation
T. - IV. 16
122 CIIAPITRE VII
M. 0. Stone trouve finalement
— , = I — 0,0012 COS0 — 0,0071 COS20 -f- o, iooocos39
+ 0,0025 cos 4 ^4- 0,00 1 7 cos 50 -+- o,ooo3cos60,
v' — /'4- 26' sin0 4- 66' sin2 0 — 682' sin 30
— i5'sin40 — 5'sin50— i'sin69.
La valeur-5 — a laquelle il arrive pour m est certainement beaucoup trop
forte. Mais, dans sa Note de \ Astronomical Journal citee plus haut, M. Hill dit
que M, Stone lui a ecrit qu'apres avoir rectifie une faute de calcul il arrivait a
peu pres a la meme masse que lui.
II y aurait lieu, pensons-nous, de revenir sur certains points de la theorie
precedente pour les eclaircir, surtout en ce qui concerne la determination des
inconnues. M. 0. Stone a public depuis un Memoire sur le meme sujet, mais
purement analytique, et dont les resultats definitifs n'ont pas ete mis en evi-
dence.
Nous bornerons a ce qui precede ce que nous voulions dire de la theorie des
perturbations d'Hyperion. G'est une question qui demande encore des comple-
ments; il faudra en particulier arriver a tenir compte d'une fagon satisfaisante
de I'excentricite de Titan; mais les resultats deja obtenus sont bien interes-
sants.
50. Determination de la libration par les observations. — Depuis le
Memoire de M. Newcomb, M. H. Struve a public (^Astr. Nachr., n^ 3060, 1891)
un essai sur la determination de la libration de Tangle V en partant des obser-
vations. II a trouve, d'apres les valeurs connues de /', /et cj', les nombrescom-
pris dans la deuxieme colonne du Tableau ci-dessous :
Dates. V (observe). V (calculd). 0 — C.
1887 mars i5,o i77*,3 176,5 -h o',8
1888 mars 21,0 '70,9 166,1 -+-4,8
(^^) < 1889 mars i5,o 201,1 204,9 — 3,8
1890 f6vr. 26,0 146,1 149,3 — 3,2
1891 mars 22,0 "^13,7 2i5,8 — 2,1
II a cherche ensuite a representer ces valeurs observees de V par la formule
(25) V'rzrl8o»-hAsili:^(/-^),
oil A et /o sont des constantes d'integration, comme dans la formule (5). La
THEORIE DES SATELLITES DE SATIRNE. 123
durees de la periode de la libration depend de m et des coefficients de la fonc-
tion perturbatrice ; la valeur obtenue plus haul (p. no)
27: T
n'sjibfini ^ihfiin
a semble sans doute a M. Struve emaner d'une theorie trop incomplete encore
pour que Ton puisse Temployer. Aussi a-t-il considere A, G et t^ comme trois
constantes a determiner par I'ensemble des valeurs (24) de V. II a ete ainsi
conduit a prendre
A = 360; ^, = 1887 mars 25; GrrrG^Si; l^^o^^o^.
Les valeurs de V calculees par la formule (25) figurent dans la troisieme
colonne du Tableau (24), et les valeurs de 0 — C, placees dans la quatrieme
colonne, montrent que la representation est satisfaisante.
Toutefois, M. H. Struve a juge bon de reprendre les anciennes observations
de Lassell et celles de M. Hall. II a adopte -^ = o'',562 au lieu de o°,5G,
A et t^ restant les memes. La formule
lui a donne
et cette formule donne les valeurs suivantes de /' — ol\ ramenees a une meme
epoque :
/' - ar.
Lassell i852 nov. 9-7,0 293.38
A.Hall 1882 janv. 2,0 291.53
9 1884 janv. 26,0 292.49
» 1884 d6c. 4,0 291.43
H. Struvo 1887 mars i5,o 292. 2
» 1888 mars 21,0 294. 2
» 1889 mars i5,o 292.10
J) 1890 fi6vr. 26,0 292.57
» 1891 mars 22,0 293.23
Get accord est satisfaisant. Toutefois une libration de 36** doit etre accompa-
gneedetermes secondaires sensibles; enfin il faudrait tenir compte de I'excen-
tricite de Titan.
51. Depuis le travail de M. Struve, une discussion tres complete des obser-
vations de Washington a ete faite par M. Eichelberger (Astronomical Journal^
t. XI, n**' 259-260, 1892), sous Tinspiration de M. Newcomb.
1^4 CHAPITRE VII.
Les observations dont il s'agit s'etendent de 1876 a 1890, et se rapportent a
neuf oppositions; dans chaque opposition, il y a une vingtaine d'observations,
reparties sur environ deux raois.
L'auteur a adopte des elements provisoires empruntes a M. Newcomb; il y a
neuf series de ces elements; dans chacune d'elles, les elements sont supposes
constants; on a tenu compte seulementdu mouvement uniforme du perisatume,
variable d'ailleurs d'une serie a I'autre, d'aprfes la formule
P = Po — /x/ -h 5| sin n.
On a forme le tableau des differences 0 — C pour les deux coordonnees ssinp
et scosp; on a ensuite cherche a faire disparaitre ces differences en formantdes
equations de condition entre les corrections des elements, et la resolution de
COS equations, par la methode des moindres carres, a donne neuf series de va-
leurs des elements.
Les neuf valeurs de la longitude du perisaturne sont bien representees par
la formule
P = 8«,46 — i8<»,442^ -h i4%4o Sinn — 1% 4o sinall -h i%i i sinSII,
oil
n=:263»,54 -*-I8^942^
i designant un nombre d'annees, a partir de i884>o.
On a trouve de meme
e=:o,io56 -h 0,0258 cosll -+-0,0008 cos 2 n,
et, pour la longitude moyenne de Tepoque E,
(35qo \
48% 07 -h ^3 — ? t j.
On remarquera que la libration de E est, a fort peu pres, la meme que celle
de H. Struve, pour Tamplitude et la periode. Enfin Tangle V a 6te trouve
6gal k
/ 36o® \
V = 1800,45 -h 36s 20 sin I 48*»,o7 + ^ — p ^ j — i4s4o sinll -+- i«,4o sin 2!! — i«,i i sin3n.
Cette formule represente tres bien les valeurs observees de V.
II ne resterait plus qu'a obtenir par un calcul theorique les expressions pre-
c^dentes. Nous remarquerons, en terminant, que les residus auxquels arrive
M. Eichelberger, tout en etant petits, sont legerement systematiques ; ils tiennent
peut-etre a Texistence d'inegalites a courtes periodes qui doivent se rencontrer,
notamment dans a et e, comme le montre Tintegrale de Jacobi.
TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 125
CHAPITRE VIII.
THfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. — PERTURBATIONS
DES SATELLITES INT^RIEURS.
PERTURBATIONS DE MIMAS ET T^THYS, D*ENCELADE ET DE DIONE.
52. Points de conjonction de deux satellites. — Nous commenQons par des
considerations preliminaires empruntees a M. Newcomb {Astronomical Papers,
1. 1, p. 8-10). Soient deux planetes ou deux satellites se mouvant dans le meme
plan. Comptons le temps a partir d'une conjonction, et les longitudes a partir
de la ligne de conjonction correspondante.
Nous aurons
les conjonctions ulterieures auront lieu pour
q d^signant un entier.
Soient t^ et l^ les valeurs correspondantes de / et de /; il viendra
tg=: ,y /^zza^TT
n — n' " ' n — n'
Supposons les moyens mouvements commensurables
n i' .,
— = -» t el « entiers.
On trouvera, en representant par T et T' les durees des revolutions des deux
satellites et faisant V — i = v,
I
I!l6 CUAPITRE VIII.
en (lonnant a q les valeurs o, i, 2, . . ., v — i, on obtient v points de conjonction
egalement espaces. Si Ton continuait, en prenant y = v, on retomberait sur le
premier point de conjonction; le temps correspondant serait i'T ou iV.
Si les moyens mouvements ne sont pas commensurables, nous pourrons rap-
porter les longitudes a un axe tournant avec la vitesse angulaire k\ les moyens
mouvements relatifs seront n — k ein' — k^ ei nous aurons a satisfaire a la con-
dition
n — k I ,, , , in — in in' — in
—7 J- 1= —, a ou KZ= — : — = •
n' — k I I — i V
Le mouvement relatif des points de conjonction sera nul. Done, en assignant
aux y points de conjonction la vitesse constante k^ les conjonctions des deux corps
auront toujours lieu en ces ^ points.
Theoriquement, les nombres entiersi et i' sont arbitraires; mais, pour retirer
de la conception quelques avantages, on doit les prendre de fagon que leur rap-
port soit aussi voisin que possible de — > et, ce qu'il y a de mieux a faire, c'est
d'adopter les numerateurs et les denominateurs des reduites successives de la
fraction continue qui exprime — • Si Ton prenait des reduites d'ordre tres eleve,
on aurait Tinconvenient d'avoir un grand nombre de points de conjonction,
mais Tavantage que leur vitesse k serait tres petite.
53. Thdor^me concemant les satellites de Satume. — M. Newcomb, dans
une Note de V Astronomical Journal^ t. VIII, n® 182, s'est demande si, dans le
systeme de Saturne, il existe un autre cas analogue a celui d'Hyperion; les
resultats de la theorie de M. Newcomb (Chapitre precedent) peuvent s'6noncer
en disant que Taposaturne d'Hyperion est anime d'une libration, de part et
d'autre du point moyen de conjonction. Nous allons reproduire ici la substance
de la Note de M. Newcomb.
Considerons deux satellites MetM', dont les moyens mouvements presentent
un rapport de commensurabilite approchee de la forme ^4^; soient R la fonc-
tion perturbatrice pour le satellite interieur M, R' celle qui correspond a M'.
Nous aurons, en ayant egard a I'aplatissement de la planete centrale et aux
termes les plus importants de R et de R',
^-^ e*-+-^'e;ycos[(/-M)/'-i7-GTl,
ia a' ' ^ ' -"
R'=^^e'*-h^c'y'cos[(/-+-i)/'-£7-Gj'l;
P et P' designent des coefficients constants dependant de Taplatissement du
THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 1 27
corps central dont la masse est jtiq; y et Y sont des fonctions de a et a\ Posons
i h =^e sine;, k = e cosgt,
(a) }
( h'^^e'sxnis'f k' =z e' costs' :
il en resultera
R := ^ ( At ^_ ^.t) ^ ^ (^- cosV -+- h Sin V),
2 a a'
j^,__ 21^ (/j/i ^_ X:'«) -h ^' (A'cosV 4- A'sin V),
2 a' a' ^
en faisant, pour abreger,
/?»^'
//lo
Nous aurons, d'apres les formules (17) (t. I, p. 171), en remplagant par
le facteur / omis dans R et R',
dh na OR dk na f^R
di mo dk dt mo dh
dji^ _ nW dR' ^^_ ^ ^
dt niQ dk' dt mo dh'
ce qui devient, en tenant compte des expressions prec^dentes de R et de RS
dh a I ^' \T
dt ^ m© '
dk o , f^^' • \T
-r- zm — p // At a ^^ y sm V,
a^ "^ mo ' a
(X= — o. Puisque ^ ^st < o dans Tintervalle des
observations, on doit avoir
sin(0'— do) > o, siii(6' — &,) > o;
d^oii
i84",i <&'<36o«,4.
Mais on a vu plus haut que cosC est < o, quand 6' depasse 293^,9; il en re-
sulte
(10) i84",i <0'<293",9.
J'ai fait une serie de calculs numeriques, en attribuant a 6' des valeurs equi-
distantes, comprises entre les limites (10). On voit par la formule (a') que 9'
augmente jusqu'a 137** pour diminuer ensuite, et il est facile de demontrer, a
IVide des formules (a) et (6), que, dans le meme intervalle, C croit constam-
ment. J'ai determine les valeurs de 9' et de C par les formules (a) et (6), et
cellesde " T" ^^ ~ 37' P^^^ '^s epoques /©, t^ et i.^, par les formules (5); (^j
et f ^2) representent les moyennes aritlimetiques des trois valeurs de ^ ®t ^v
J'ai ainsi obtenu le Tableau suivant :
6' 190,3 195,3 200,3 2o5,3 210,3 2i5,3 220,3
(p' ^26, 7 129,1 i3i,o i3';i,6 i34,o i35,i '35,9
C 7,1 12,1 iG,4 2o,5 24,4 28,2 3i,7 •
(-^) Oi'74 0,209 0,342 0,423 o,5oo 0,574 " 0,643
(-^) 0,139 0,225 0,309 0,391 0,470 0,545 0,616
P \ «' / 1
— ~ ( "^ ) 0,108 0,194 0,279 0,362 0,441 o,5i8 0,591
-|-T-) o,o5'5 0,1 32 0,209 0,284 o,356 0,426 o,494
1 / //ft \
-(-T-j 0,121 0,195 0,268 0,339 0,407 0,472 0,534
-(-j-j 0,164 o,236 o,3o6 0,374 0,439 o,5oi 0,559
~(S)„=(S)«-"- ''^^ •••^' ■'■« '''* '''7 '''7 '''^
(S).=(^), ^'° ''8 ''5 '.5
T. — IV. 19
l46 CHAPITRE IX.
D'apres les equations (9), les nombres de ravant-derniere ligne devraient
etre egaux a ' 2 = 1,1 5. Mais il y a plus : d'apres lesvaleurs (7), les nombres
de la derniere ligne horizontale devraient etre egaux a ^'^ty = o»9» mais, a
cause des erreurs des observations, on peut admettre 1,0 ou meme i»i, mais
non pas 3«o, ni meme 1,8, i,5, i,3 et meme 1,2. II me semble que Ton peut
admettre des lors que Ton a
J*ai trouve
— (^^ '(^) =i,»(^ et 1,17, pour 9'=z:23o»,3 et 0'=i25o",3,
\dt)^' \de)o
I ,07 el 1 ,00, »
»
Nous arrivons done a
(11) 22O»<0'<293\
J'ai trouve, en prolongeant le Tableau precedent, que toutes les valeurs de 0'
comprises entre les limites (11) representent egalement bien les observations;
on a, entre ces limites,
ii2®< o'< i37**»
de fagon que la valeur de 9' est assez bien determinee; enfin,
32» .
0^-
Le triangle spherique QsM' dans lequel on connait deux cotes Q.s = cp,
sM'= 90®— P', et Tangle compris QsM' = 90** 4- X' — 0, donnera, en lui appli-
quant le groupe dcs formules de Gauss,
(34)
sinB' = sin(3' coscp — cos(3' sincp sin(X' — 0),
cosB'cosL' = cos;3'cos(X' — 6),
cosB' sinL' = sin(3' sincp -h cos(3'coscp sin(X' — 0),
et ces relations donnent L' et B'. Soient maintenant P la position de la planete
troublee, M sa projection sur la sphere celeste, on aura MB = 1/ — u,
(35)
^' = r'cosB'cos(L'— w),
y)'=/'cosB'sin(L' — u),
C'=:/'sinB'.
Les ephemerides donnent/^, X' et P'; les formules (34) serviront a calculer
L' et B', apres quoi on tirera $', yj' et ^' des formules (35).
T. - IV.
2D
194 CHAPITRE XI.
81. Indications sur le calcul des quadratures. — Supposons que, dans
les seconds membres des equations (3i), on remplace les elements osculateurs
G, -r->
dt ^ ^ dt dt S n^ ' dt ^ dt
d'oii, en rempla?ant ^ ^t^ par leurs valeurs (3o), et reunissant les termes
en S et en T,
da (i — e)*sin(Vc \ — e V'xp , ., vim
37 = 1==^ S -H . -f - (I -H ^) (cos w -h COSiv) T.
RemplaQons
cos w-\- e
cosu par »
I -4- e costv
et transformons ; il viendra
■jT = -T 7'snnr H — I -f ecos'— »
^^ AV/> k)/p i-^e \ 1)
d'oii, en mettant -^«u lieu de-~et introduisantS, et T,, par les formules (32),
(4o) CO -^ = — ^'S,sinf^4- —Tc ' sm«-( i-hecos'-j;
c'est la formule cherchee.
En second lieu, il convient d'introduire le temps t du passage au perihelie.
On a, pour la longitude moyenne,
d'oii
) D r^sulte de Id, au bout du temps /, / 6tant exprim6 en jours, Tin^galit^
-<- -o'. io»4 X 1200 X ( ) =-h69/,4( I ,
2 \iaoo/ \i20o/
dans la longitude de la comete.
INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. 227
II y a done eu la un changement dont la cause est restee inexpliquee. De
1871 a 1881, M. Backlund a trouve une certaine valeur de Sn, et de iSSi a 1891,
une valeur plus petite de — environ. La resistance a-t-elle diminue reellement?
M. Backlund trouve une autre explication possible dans I'influence des
grandes perturbations de la comete sur la resistance elle-meme; mais alors il
arrive a cette conclusion que I'exposant q serait negatif, de sorte que, toutes
choses egales d'ailleurs, la resistance augmenterait avec la distance au Soleil.
Mais cela est bien improbable, car alors d'autres cometes periodiques auraient
du accuser ['existence du milieu resistant. M. Backlund pense que le moyen
d'echapper a cette contradiction consiste a supposer le milieu resistant discon-
tinu; la resistance serait alors variable avec les points de rencontre de la comete
avec ce milieu, et son expression ne pourrait pas etre developpee en serie sui-
vant les puissances de -- S'il etait possible d'observer la comete tout le long de
son orbite, on arriverait a reconnaitre les points ou se produisent les maxima ou
les minima de resistance.
Un apergu des dernieres recherches de M. Backlund a ete public dans le
Bulletin astronomiquey Tome XI, page 473; Tensemble paraitra prochainement.
Nous devons dire que Tauteur a ete amene a conserver dans Texpression de Tano-
malie moyenne un petit terme periodique, provenant de la resistance, et dont le
coefficient est d'environ 5".
On nous permettra d'indiquer un point qu'il y aurait peut-etre lieu d'exa-
miner. On a remarque que le noyau des cometes periodiques diminue dans le
voisinage du perihelie (voir une Note de Valz, Comptes rendus, i. VII); la surface
de la comete diminuant, il doit en etre de meme de la resistance. II pourrait
done en resulter un facteur r^ avec y'>o, ce qui ramenerait a Tune des conclu-
sions de M. Backlund. Enfin, le diametre de la comete d'£ncke n'est pas le meme
dans toutes les apparitions; la loi de ces changements est inconnue; il doit en
resulter des variations plus ou moins regulieres dans Tintensite de la resistance;
il y aurait peut-etre lieu d'avoir egard a la diminution de la masse de la comete,
a la suite des emissions de matiere.
C'est Encke le premier qui a reconnu la diminution progressive de la duree
de la revolution de la comete, et a conclu a Texistence du milieu resistant, dont
il supposait Taction de la forme -t^-- Sescalculs ontete poursuivis parV. Asten,
mais surtout par M. Backlund, qui a merite la reconnaissance des astronomes par
son immense labeur. Oppolzer avait cru remarquer une acceleration seculaire
du mouvement de la comete de Winnecke, mais les recherches du baron de
Haerdtl ont montre qu'il n'en etait rien.
97. On pourrait supposer un milieu resistant, r^pandu dans tout I'espace, tel
que Tether, dans lequel se deplacerait le Soleil, entrainant avec lui les planfetes
23o CHAPITRE XIII.
Les formules (i8), (19) et (20) donnent ensuite, apres reduction.
da _ %h F(V)
dt~ nsjx^e^ V"~"
asintr — p(costr-h e) — wa
VI- ^« J
(21) \ — =-^ \^\-r^ _3,^^^ COSci'H-6')
j at na \ I v i e-
I . r, i-hecoS(r\l
cosw I a sintr — 3 rosir — nn :::== — ) •
99. Supposons d'abord la resistance proportionnelle a la vitesse, de sorte
que nous pouvons prendre
F(yj^^
Nous trouvons, en negligeant les inegalites periodiques, pour ne conserver
que les termes seculaires,
I sm^K'dt =zo, I cos ^vdi T=, — et.
et la premiere des formules (21) donnera
— = — 2/1/, — —-\-6nl;
a n
d*oii une acceleration seculaire du moyen mouvement, independante du mou-
vement de translation du Soleil; — serait le meme, a une epoque donnee, pour
WW
toutes les planetes ou cometes.
Passons au calcul de Be; nous trouverons sans peine, dans les memes condi-
tions que precedemment,
/ cos// s\ni%' dt TTzo,
/ cos // dlzzz t,
J 2
/cos// COSH'<:/^= - t,
2
et la s^conde des formules (21) donnera
3 s/l'-'
2 na
INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. 23 1
€ n'aurait done d'inegalite seculaire que si Ton a egard au mouvement de trans-
lation du Soleil, et eette inegalite ne dependrait que de la composante p.
100. Je suppose en second lieu la resistance proportionnelle au cube de la
vitesse (les calculs sont plus faciles que dans le cas du carre). On aura done
FiV) ^. (dx \« fdv ^y
on a d'ailleurs
(22) V*z=za«4-(3*+yS
et, en ayant egard aux relations (20), on trouve sans peine
F(V) ,-, , , I H- e*^- 2e cos«' S(cos«r-+- e) — asini*'
— V- = VJ 4- n^a' -, ^ina^ — ==
La premiere des formules (21) donne ensuite
I ih V ^ i-\-e^ . /' inae \ \
= — , I — pe — na ■ + asinw — f 3 4- , ) cos^v
[^T* • • I -+- ^* 2/iafe3 ina ina /^ nae \ 1
VJ -+■ n^a} j-h — -^ , asin(i'-h , ( p H- —z:r-7zz^ ] coswl
Si Ton a egard aux relations etablies precedemment et a la suivante,
r ^ 3^*— 3H-2(I — eM*
1 cos 2 u' at —. / ,
e"-
on trouve, apres un calcul assez long.
ou bien
^ L ayi — e^ \ + yJi — e^ V'^^ i + ^i — e*J
En remettant pour VJ sa valeur (22), on pent ecrire
(23)
— = — 2AM «« V -h y* H ;: ( ^ 4- 3 -7= — =- |
_ _ 1^' _ 1
232 CHAPITRE XIU. INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT.
cette quantite est toujours negative; il y aurait done toujours une acceleration
seculaire du moyen mouvement.
Le calcul de Se est encore plus long. J'ai trouve
(24)
I ,.=_„[.—■(
\
a
--h3a
- ^*
V/'
I —
— i
V!\
Si Ton suppose Texcentricite petite, et qu^on la neglige dans le second
membre, il vient
^''=-^"P;|(7-^^«il)'
de sorte que, pour une orbite convenablement placee, on pourrait avoir %e posi-
tif ou negatif, suivant le signe de ^ qui est la composante de la vitesse du Soleil
dans la direction du petit axe de I'orbite elliptique initiale.
FIGURE DES ATMOSPH^.RES DU SOLEIL ET DES PLANI^TES.
233
CHAPITRE XIV.
DE LA FIGURE DES ATMOSPHfiRES DU SOLEIL ET DES PLAN^TES.
THEORIE COSMOGONIQUE DE LAPLACE.
tOi. Soit 0 (^fig. 9) le centre de gravite du Soleil ou de la planete que Ton
considere; ce corps, de masse M, est anime d'un mouvement de rotation uni-
forme autour de Os, de vitesse co.
L'atmosphere AB est supposee tourner avec la meme vitesse autour de Os.
Chacun de ses points est soumis a I'attraction du corps central et a Tattraction
de Tatmosphere; il faut yjoindre la force centrifuge quand on etudie Tequi-
libre relatif. On neglige I'attraction de Tatmosphere, qui doit etre tres faible.
Dans Tetat d'equilibre, la forme d'une surface de niveau BD doit etre telle
qu'en chaque point la resultante des forces qui sollicitent une molecule soit
normale a la surface, ou bien que le potentiel soit constant. Prenons deux axes
rectangulaires, Oa? et Oj, dans le plan de I'equateur; soient a;, j, z les coor-
donnees d'un point quelconque N de la surface de niveau consideree. On devra
avoir
'L\ H- - Gj*(a?' -^-J'*) = const.
Sjx'
Cette equation suppose que Ton neglige Taplatissement du corps central, de
T. — IV. 3o
234 CHAPITRE XIV.
facon que son attraction sur le point N soil la meme que si toute la masse etail
concentree en 0.
Soient 0N = /\ 5ON — 0; on aura
.r» -h y* — / ' sin' 5, z- — r* cos' 9,
et Tequation generate des surfaces de niveau de Tatmosphere deviendra
1- - r,)^r- sin- 9 — const.
ou bien
en designant par k une constante positive, et faisant
(a) ^•=4'-
102. Discussion de T^quation des surfaces de niveau. — Toutes ces
surfaces sont de revolution autour de Os; il suffit d'etudier la section meri-
dienne, dont on a Tequation (1) en coordonnees polaires.
On a les formules
s
(3)
On doit done avoir
en faisant
. - , /3 Ar — 2 />
cosy=i
= /
,.:i
/• > /\, et U > o.
(4) • \:^r^-^bnr-^'xb\ /•o=^||-
Ainsi, la surface de niveau est tout entiere exterieure a la sphere r= r„.
Soit yj Tangle que fait la tangente en N avec le prolongement du rayon vec-
teur r. On a,'d'apres les formules (3),
dO Sb(b^kr)
dr >^/('6kr — 9.b){r^—'6b'kr~\-^b^)
L'equation U = o a toujours une racine negative, et n'en a qu'une, d'apres
le theoreme de Descartes. La condition de realite
donne
FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET DES PLAN^TES. 235
Ceci nous amene a distinguer deux cas :
T*" X' > I . L'equation U = o aura deux racines positives; soit r' la plus petite.
Le rayon vecteur r devra etre compris entre r^ el r';
/•„ < /••'.
Pour
rzi^r', 0 = 90''.
La formule (5) montre que -.- s'annule pour ^= ?:> niais, pour cette valeur,
on a
h^ b
U r^-Tj (I — ^*'), U lo{?^.
Telle est Tinegalite qui devra etre verifiee; on voit que son premier membre
augmente avee k; il suffira de prendre la plus petite valeur de k satisfaisant a
rinegalite.
133. Calcul de a,, b, et f|. — On pent calculer explicitement ces valours
quand on neglige les secondes puissances des excentricites et de Tinclinaison
mutuelle. Les formules (6) et (9) donnent alors
/ U = ^^cos(7-t'), Pm-Qz=sin(T' — t),
f^gzzz— 2 aa' cos (r — t'),
h -— — /i'=z 2aa'sin(T — r'),
(57) ( 6 = a' 4- a'*, iz=zo, i'=:o,
c :=z — 2a[ae — a'6'cos(T — r')],
c'=: — 2a'[a^e' — aecos(T — t')],
d=^ 2 aa' e' s>in{T'—T)f d'=^ 2aa'esin(T — t').
Si Ton pose
(58)
ae — a'e'cos(T — T')=Acosa,
I A > o,
a t''siii(T — t') = A sin a,
a'e' — aecos(T--T') = A'cosa', i
A'>o,
V — aesin(T — t') = A' sin a', I
T. — IV. 38
298 CHAPITRE WII.
on tire aisement des formules (52), (37) et (58)
(59) H'=ia»4-a'«— 2A'a'cos(«'— «')»
i K'cosci)'— — aAacosa — 2aa'cos(M'-hT'— t),
(60) ]
I K'sinci)' = — aAasin a — 2aa'sin (m'-ht' — t).
A est de Tordre de e et de e'\ en negligeant le second ordre, on a
K'*=4rt»a'»-h8Aa*a'cos(a'— a-+-T' — t),
(61) K' =2aa'n — ^cos(w'— a-hr' — t) .
On tire d'ailieurs des formules (58),
A cos (a -+- T — t') = — A' cos a',
A sin (a -h t — t') = — A'sina',
d'oii
A = A', a -*- T — t' = a' -i- r.
La formuie (6j) devient done
K'=2aa' I — ^cos(w'-- a') ,
et, en combinantcette formuie avee la formuie (Sg), on trouve
(62) -=-,- = ; — \lA J -, ,, cos(m'— a') .
Mais en negligeant e*, Texpression de A^ se reduit a
et, en ecrivant que cette expression s'annule pour x = aE^*^"*, il vient
a K'
d'oii
(63) 9—00'-+- 71,
I 2 11'
h a 3z: •
a K'
En remplagant -jt,- par sa valeur (62), on aura
64) -4-a== — H 1 ,-- - cos(tt' — ol').
METHODE DE CAUCHY.
a
399
Supposons a>-a'; alors a difierera de — d'une quantite de I'ordrede A'; on
trouve sans peine
On voit que le maximum a, de a repond a
(65)
m'= a' 4-71,
a' ( A'
Les formules (60), (63) et (65) donnent ensuite
K'cosa)' = — - 2a(A -H a') cos a,
K'sin ci)' = — 2a (A H- a') sin a,
d'oii
(»)'=: a -Htt,
?i= a.
On a enfin
*"*-!? -d^('""r)
Ainsi, en resume,
a >«',
a'
a
a / ^ 2aa' \ a'/
On trouverait de meme
a -^«
V/2
SUK UNE METHODE DE JACOBI.
3oi
CHAPITRE XVIIL
SUR UNE MtTHODE DE JACOBI.
134. Nous nous proposons d'exposer dans ce Chapitre les principaux resul-
tats du beau Memoire de Jacobi, intitule : Versuch einer Berechnung der grossen
Ungleichheit des Saturns nach einer siren gen Enlwickelung (Astron. Nachr.,
t. XXVIII, n°^ 653-654, et OEui^res completes, t. VII, p. i^S).
Soient
a, e, ui, / le demi grand axe, I'excentricite, le moyen mouvement et la longi-
tude raoyenne de Saturne;
a\ e\ [x, /' les memes quantites pour Jupiter.
11 s*agit, en somme, de trouver dans -r les termes qui dependent de iV — 5/,
A designant la distance des deux planetes. En partant des formules du Gbapitre
precedent, on a pour A* une expression de la forme
A»=:(o) — (i)cos(w — a'-t-D)-+-(2)C0S(l/-+-B) — (2')C0S(l/'-hB')
(0 I I I
H — a*c*cos2tt-f- - ci"e'*cos2a'-f- (3) cos(tt -h «'-hC),
2 2
les quantites (i), (2), (2') et (3) sont supposees > o. En se reportant aux no-
tations du Chapitre precedent, on trouve aisement
(o) = 6;
(1) cosD=:-i(/-h^), (1) sinD =^(A-/«'),
(2) cosB z=C,
(2')cosB' = — c',
(3) COSC =:i(/-^),
(2) sinB= — dy
(2')sinB'=d',
(3) sinC =-l(A-t-A');
2
(a)
3o2 CHAPITRE XVIII.
d'oii, en mettant pour b, c h' leurs valeurs (9) du Chapitre precedent,
(i) cosD = aa'(^ -f- N y/i — ^V' — «'*)»
(i) sinD -.aa'iQs/i— e'^ — P y/i^^^ ;
(2)cosB =2a(Mflr'e' — ac),
(2) sinB =: — 2Paa'e'\/i — e*;
(2') cosB'=: 2flr'(a'c' — Mflre),
(2') sinB'=: iQaa'esJi — e'*;
(3)cosC =— aa'(M — Ny/'i — eV>^^^)»
(3) sinC = aa' (P y/i — e» h- Q v/T"^^^^*) .
Nous recrirons d'ailleurs, pour plus de clarte, les valeurs de M, N, P et Q,
Mm cosTCOsr'-h sinr sinr'cosl.
N = sinr sint/ -t- cost cost' cosI,
(3) {
P =— sinTCOST'-f- COST sinr cosI,
Q = — COST sinT'+ sinTCOST'cosI.
Gela fait, Jacobi pose
(4) d.= b-b;,
(5) Ao = (o) — (i)cos(w -a'-f-B-B;) + (2)cos(a4-B) — (4)cos(i/'-hB;);
Ai = - flr*e*cos2i/ -+- - flr'*e'*cos2i/'-+- (3)cos(a-4- w'-h C)
(6) / 2 2
[(4) — (2') cos(B; — B')] cos(a' -+- B',) — (2') sin(B; - B') sin(i/'-h B',).
La quantite (4) est restee arbitraire. Nous verrons dans un moment que, si
Ton considere ^, e' et I comme de petites quantites du premier ordre, (o) et (i)
sont de I'ordre zero, (2) et (2') de I'ordre i, (3) de Tordre 2; enfin, la suite
du calcul montrera que (4) est du premier ordre, et que les coefBcients de
008(1/-!- B',) et de sin (m' -f- B',) dans la formule (6) sont du troisifeme ordre.
On a d'ailleurs identiquement
(7) A«zz:AoH-A„
de sorte que cette decomposition est avantageuse, A( restant toujours du second
ordre. Jacobi ecrit ensuite que Texpression (5) de Ao pent se mettre sous la
forme
I Ao == a' 4- a'* -+- a''* — 2aa'cos(w — m'h-B — B'.)
(8)
f -h 2aa"cos(« 4- B)-— 2a'a''cos(a'-h B',);
SUR UNE METHODE DE JACOBI. 3o3
oil CL, a! et cl" sont des quantites positives. Le rapprochement des expressions
(5) et (8) donne les conditions
a'-ha'^-ha'^^Co), laa' =(i),
2aa''=(2), 2a'a''=z:(4).
On en tire aisement
(9) «'-^, «'=^'^
9
2a Id
(lo) (4)= ;;r->
2 a'
• (l)*-t-(2)« , ,
^-^ 4a' "^(^)'
(J I) 2a» = (o) -hv/(o)«— (i)»— (2)».
Les formules (9), (10) et (11) determinent a, a', a" et la quantite (4).
135. Nous aliens evaluer les ordres de petitesse de nos diverses quantites.
Les formules (2) donnent d'abord, en y remplagant M, N, P et Q par leurs va-
leurs (3), et negligeant seulement le quatrieme ordre,
(3)cosC = — - aa'[( e»-he'»)cos(T — T')-hPcos(T-t-T')],
(3)sinC=z~- iaa'[(e'»— e»)sin(T — T')-t-Psin(T-t-T')];
done (3) est bien du second ordre.
On trouve, en operant de meme,
(j)cosD = laa' [ i -. j cos(t — r ),
(i) sinD = 2aa' ( i -. j sin(T — r );
d'oii
(12) \ 4 /
( D =:t — t';
ces expressions de (i) et D sont exactes aux lermes pres du quatrieme ordre.
Considerons le triangle CSC ayant pour sommets le Soleil et les centres des
deux orbites ; soient 0, y et y' les angles, S la distance des centres. On aura
CS = ae, C S = a' e\ M = cos B,
ae — Ma'e' = 3 cosy, a'e' — Mae = icosy',
a'e s\n9=id siny, aesinQ =- isiny'.
3o4 CHAPITRE XVllI.
Les relations (3) donnent, d'ailleurs,
Q^nhy/i — M*— sin'r sin'l;
or —Pet -+- Q different peu de sin(T— t'), et, dans le cas actuel, le calcul
numerique montre que ce sinus est positif. On doit done prendre
P =: — v^siii^O — siller' sin^I, Q =v/sin'6' — sin*Tsiii*l.
En ayant egard aux relations precedentes, les formules (2) donnent
(2) cosB = — 2a5cosy,
(2) sinB nr 2ad \/i — e* siny 4/ i r-r^sin*!,
(2')cosB'=: 2a'icosy',
(2') sinB'= la'is/i — c'^ siny'i/i— '*. ^^ sin*l.
^ ' ^ ' \ sin*d
On en tire
(2) =z 2a$ i/ I — sin'y (e* h :—^ sin'r' sin*I),
(2') = 2a'54/,_sin«y'(e'«-i--^^ sin'rsinM),
T. / i I sin^r' . ,-
tangB =— tangy sji — e'^U \— ^j^ suiU,
tangB'=: langyVi— «?''i/i— g!]^ sin'l;
d'ou,en conservant seulementletroisieine ordredans (2) et(2'),etle deuxieme
dans B et B\
(2)=2a5[x-isin«y(e«H-PJ;i;^)],
1800- B = y - J (e« 4- P ii^-) sin2y,
B-/-j(e--^pf;j;-^)sia2/.
On voit quo les valeurs approchees de (2), (2), B et B', qui sont respective-
ment egales a
laoy ia!oy i8o*» — y et y\
SUR UNE METHODE DE JACOBI. 3o5
s'expriment tres simplement au moyen des elements du triangle CSC. On a
d'ailleurs
et il en resulte
/ Kx n n n, !/• Psin*T'\ . I / ,, Psin-7\ . ,
(.5) 9 = li-B' - -^(e*+ -^r^Jsm^y- -^(e-+ -^r^jsin^y .
Mais Tequation
donne
cos^ = cos(t — t') I'sinTsinr'
2
2 sin(T — T )
ou bien, en ayant egard a Texpression (12) de D,
/ fi\ fl ¥\ ' u sinrsinr'
(16) d = D -^ -V - . -, •
^ 2 sin(T — t')
Les formules (4), (i5) et (16) donnent
SB', =B'-h^ (e*sin2y-he'*sin2y')
I -J sin2y sin^r'-h sinay'siii^T -h 2sinT sinr'sin©
On voit que la difference B', — B' est une petite quantite du second ordre.
136. Venons maintenant au calcul dea, a' et a". Les formules (2), (12) et
(i3) donnent
(o)«—(i)«— (2)«=:(a«— a'«)*— (a* — a'») I 3a»e«-h a'«e'«— \^ ^ \ V
— t^aa'ee' cos(t — t') ,
V^(o)«— (!)»—( 2)«rra«—a'«—- ez»e»— i a''e'»4- -^^^^ 1*4- 2aa'ce'cos(T — t');
3
2 2 a* — a'
(0) = a' 4- a'-H- - r3E*e* H — a'^e'^— 2aa'ee' cos(t — t') ;
2 2
en appliquant la formule (11), il vient
a^a'^'
2 a' = 2 AT* — a'e* H ; r. 1*.
a* — a"
(.8) «^«[._'(.._^^,,)j.
T. - IV. 39
3o6 CHAPITRE XVIII.
Les formules (9), (1 2) et (18) donnent ensuile
(•9)
«■="■[- K'--3^'.")]-
Ces expressions de a et a' sont cxactes aux termes pres du quatrieme ordre.
La seconde des formules (9) donne
(20) a" — 6,
aux termes pres du troisieme ordre. Enfin, on tire de la relation (10), en ayant
egard aux valeurs de (i), de (2) et de ol'\
(2') ~ 2a* (2') '
4 ^ ' '>. ' \ su\*0 J
(2')
1 . I a'^ ,. ^ ' 'i I { fi nSin*T\
2 2 a^ — a'* 2 ' \ sin*0/
I -h 7 e-cos2v — 7 e *C0S2y — 7 -; j-. P J
4 4 ' 4 « — a" f
(21) (4) = (2') • , , . , •,-,,/
(
4-1
2sin*0^
Les coefficients de cos(w' h- B',) et de sin(w'-f- B'^) dans la formule (6) peu-
vent s'ecrire
(4)-(2') et (2'){B;-B');
ils sont du troisieme ordre, ainsiquecela resulte des formules (i3), (17)61(21).
Jacobi fait toutes les transformations precedentes en operant sur les nombres;
nous avons pense que le calcul algebrique aurail I'avantage de mieux expliquer
les choses.
137. L'expression (8) de Ao pent s'ecrire
en faisant
Jacobi introduit ensuite les deux nouvcUes variables yj et yj' definies par les
equations
(^4) ; ;„
SUR UXE METHODE DE JACOBI. 3o7
on tire dc ia
/ / ns (i 4-fl«)cosy) — 2|3
, ^, ^ ' ' 1 — 2pcosrj4-p*
(25) '
i • / ox (j — 3-)sinYj
f sin ( w -i- B) = —5^ — .-^—- ^, ,
et deux formules analogues donnent cos(w'-f- B',) et sin(a'-f- B,); p et P' sont
des constantes encore indeterminees. On tire de la premiere formule (24)
(26)
(m -+- B - Yi) v^'^^ log(i - |3E-V-«) - log(i — (3E^v/-t),
Vi 2 3 ;
On trouve ensuite aisement
a^ a' —. -+- Of!' XTT.
x'
x' a"
a — OL' 1 =
X X
OL (i— pE*)v'^ — (3'E-^V-» H-(3;3'E^'J-^'H^
4-a''(E^v/-i — p — (3'E<^-^'V-t + pp'E-^'v^)
[a (i — P E-^v^^T^ p/EnV-i + pp/fi-f^-^')/^
-«' (E-<.-.-./- - (3E.-^ - p^E-.v^-^ ,S(3')
-i-a''(E-^'v'-i — (3 — ;3'E-^i-^'^v^-» -h |3(3'E^'*^),
On determine maintenant ^ et P' par les conditions
(28)
apres quoi les formules (22) et (27) donnent
( I — 2 (3 cosYj + (3- ) (I -- 2 ;3' cosr/ 4- (3'« ) Ao
=: [a(i H- (3(3'E(^-V)v'^) - a'({3j3'+ E^'i-^'^v^-O-^'lP "^ (3'E'^-^'^v^)]
X [a(i 4- PiS'E-f^-'iV^) - a'([3(3'-f- E-^'')-^V=T)_ ^'^((3 ^ ;3'E-(^->iV=T)J,
ou bien
(a--a^P;3^--a^^i3)^-f-(a^;3^-«-a^^i3r + ^(^-^^t3^~^^;3)(a3^^-y~a-p-^
(29) Ao— (I — 2^cosyj ■^i3^)(i - 2.3'cosY/-h;3'^) ~ *
138. Calcul de p et ,3^ — Posons encore
a" a"
(3o) sinA = ^,> sin/i'r= ;, o < A' < /* < qo«.
3o8 cnAPiTKE xvm.
Nous aurons
.f ^f *.ff ^"
sin/i sin/t sin A sin^
On lire des relations (28)
ou bien, en ayant egard aux formules (3i),
^ ^ ^ \sinh' smhj '^ [_ \sinh' sinA/ \sinA' sin A/ J '
2(3 \sinA sin/j'/ sin/isinA'*
I -t- sin A sin A' — cos A cos A'
p=
sinA H- sinA'
(33) (3 =
. A-hA'
sin
2
A^=T'
cos
L'equation (32) donne ensuite
. A -A/
sm
(34) (3'=-
cos
Faisons enfin
la formule (29) deviendra
.„-. I _ (1 — ap cosn -1- P')' (1 — a(3' cost)'-t- p")'
(00) -7= — j
y/A.
On trouve d'ailleurs aisement, en vcrtu des relations (Sa), (33) et (34), que
les expressions precedentes de A et de A' deviennent
. cos A cos A'
cos-
(36)
., .cos// cos//
. A H- A'
cos-
SUR UNE METHODE DE JACOBl. SoQ
Les formules(3o) montrent que h et h' sont du premier ordre; il en est de
nieme de ^ et de P' ; enfin , les diflerences A — a et A' — a' sont du second ordre.
On a aussi les relations suivantes, aisees a verifier,
(37) ^'
tangAiangA'' tangAtang^'' ^ ''^ aa'
139. D6veloppement de -7= Posons
— , =Po-f- aP, cos(yi — Y)')-+- 2P, cos2(y) — yj') -+-. . .
/ 2A' A^ V 1 > / » > /
4/ J T- COS(t, - y,') H- _
(38)/ V A A«
Nous savons calcuier les fonctions P|; elles ont ete etudiees dans le Gha-
pitre XVII du Tome I.
Faisons ensuite
(39) E'^v^(i~2(3cosn H-p«)^ =:(i — p«) 26(/;E<'^-'«n«+B)y/=r
m
(4o) E'^V=i"(i - 2(3'cosy)'-h p'*)'= (i - p'«) ^ftl^^'E^'-^'^'J^-'^-fi'-Jv^.
m'
Nous deduirons des formules (35), (89) et (4^), et de la relation
AA'
:(i-p«)(.-(3'«) = :i^,
qui resulte des formules (37),
(^,) _!?_ =: V V V ?LLLp^^U)^M/)£(/4-m)(i^^
^ ° i m m'
On aura done ainsi le developpement de -= suivant les sinus et cosinus des
multiples des anomalies excentriques; on passera de la au developpement
suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, en introdui-
sant les fonctions de Bessel, et Ton trouvera en particulier les termes en
2/' — 5/. Nous n'avons pas Tintention de developper ce calcul, mais nous tenons
a montrer comment on obtiendra b^l^ et 6^V. En se reportant aux formules (24),
3lO CHAPITRE XVm.
on trouvera
EiV^(i — 2(3 COSY) H- p')"* = E'V^(i — (3E^v^)« (i — (3E-^v^~)^
E'ti>P7(,_aj3cosr, + p')«= (^-^^y(,- (3')
X
(i4-(3jr)»(j?-f-(3)*
de sorte que la relation (Sg) deviendra
, -^Vft'i'^'".
On aura de nieme
(i-h(3j;) «
On a dans le cas actuel
(3=zo,o8, {3'=:o,o4;
ces quantites sontdonc petites, et il suffira de deduire des formules precedentes
des expressions de V^^ et ft)*,V developpees suivant les puissances de P et de P'
pour avoir un procede de calcul tres commode. On a
. 1 I
\ xj \ X 1.3 .r^
_ _i I H- - (/-h - ) (/-h - )
(H-(3x) ' »^i ^3^-^-^ ^-^-^^ ?.Z.p«^^_....
On en conclut aisement, par voie de multiplication,
F designant la serie hypergeometrique.
SUR UNE MtTUODE DE JACOBI. 3ll
On pout aussi ecrire, en employant une transformation connue [Tome I, for-
mule(i2), page 279],
(43) 6;o=.(-,y^^l^-ll(2!±^^)^^ -^inl, /n-M,— ^i)
2.4. ..2//* r \ r / \^ 2 2 1 — p V
Nous ne pousserons pas plus loin Ic ealcul du developpement de -—; on
V Ao
aurait ensuite, d'apres la formula (7),
(44)
a a I ^A, 3 aAj
- " ' t
nous renverrons le lecteur au Memoire de Jacobi pour le ealcul du second et du
troisieme terme de Texpression de^- Nous nous contentons d'avoir reproduit
la substance du Memoire et ses elegantes transformations.
140. Th6ordme de Jacobi. — Jacobi enonce ce theoreme {OEuvres, t. VII,
p. 287) : les coefficients du developpement de Tinverse ^ de la distance de deux
planetes, suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques
u et u\ peuvent s'exprimer lineairement a I'aide de quinze d'entre eux pris arbi-
trairement, sauf la reserve que ces coefficients ne soient pas relies les uns aux
autres a priori.
On pent demontrer ce theoreme comme il suit : en faisant
^ = E"v^, x' = E"V~,
la formule (8) du Chapitre precedent pent s'ecrire
\ X .t X * X XX
(45) \
Posons
(46) ^ - 7t=^ = 2 A-.-"^"-^'"'-
On aura, en differentiant cette equation par rapport a x.
2 En general, au bout du temps /, on a
(l3) dGJ=r -z—. rr nt.
II est aise devoir, en se reportant aux formules (i i) et (la), que la longitude
moyenne de I'epoque conliendra aussi un terme en nt\ mais on sait qu'il n'y a
pas a se preoccuper de ce terme; enfin il y aura des inegalites periodiques,
mais elles sont insensibles. L'inegalite seculaire (i3) n'arrivera a produire un
effet sensible qu'en raison du facteur t qui croit sans cesse.
Mercure est la planete pour laquelle, en un temps donne, Scr sera le plus
sensible, et cela en raison du facteur
n k
VITESSE DE PROPAGATION DE l' ATTRACTION. 5o3
qui sera d'autant plus grand que la planete sera supposee plus voisine du Soleil.
Soit ('o Id vitesse de la Terre dans son orbite, en negligeant son excentricite ; on
aura v\ = — > et la formule (i3) pourra s'ecrire
^ ' \c/a(i — e*)
Proposons-nous de calculer irs pour Mercure, au bout d'un siecle. Dans cet
intervalle de temps, le moyen mouvement de la planete est
nt =z 538107000*^;
d'ailleurs
— = o , SSt ; e =r o , 206 ;
d'oii
On pent prendre c© = 3o*''",o. D'autre part, Weber a trouve par ses experiences
electrodynamiques (voir ZoMneVf loc. cit., p. 112), c = 439450*"". En admettant
que c ait la meme valeur dans le cas de {'attraction du Soleil, on trouve
log ^^y== 9,668 42.
11 en resulte
5nj:= 6", 77.
Ainsi, en un siecle, en vertu de la loi de Weber, le perihelie de Mercure tour-
nerait dans le sens direct de 6*^,77; cette quantite est appreciable a cause de la
grande excentricite de I'orbite de Mercure. En un siecle, le perihelie de Venus
se deplacerait seulement de i'',36, cequi produirait un effetpresque insensible,
en vertu de la tres petite excentricite de Venus.
Concluons done que la substitution de la loi de Weber a celle de Newton ne
produirait aucun changement sensible dans les mouvenoents des planetes, si
ce n'est un petit deplacement proportionnel au temps dans le perihelie de Mer-
cure, a raison de 6", 77, par siecle.
Si Ton supposait c egal a la vitesse de la lumifere, 3ooooo^™, on trouverait,
pour Mercure, et en un siecle, lts = i^'\Si. Si Ton demandait enfin quelle
devrait etre la valeur de c pour que, en un siecle, le perihelie de Mercure
tourne de 38", on trouverait tr = 180000*"", soit les f de la vitesse de la
lumiere. Ces donnees numeriques trouveront leur application dans le Chapitre
suivant.
5o4 CHAPITRE XX VIII.
227. Loi de Riemaxm. — Riemann a propose une autre loi electrodyna-
mique (voir les Lemons de Riemann, Schwere, Elektricitdt und Magnetismus^ pu-
bliees par Hattendorff). Mais, avant d'arriver a cette loi, il convient d'indiquer
une extension de la notion du potentiel. Supposons que, dans les phenomenes
electrodynamiques, le potentiel ait pour expression, non plus— > mais
(.5) *-(i-,^).
oiiD est une fonctiondeo?,/, z etdea?' = ^,y = ^, s'= ^; nous supposons
D homogene et du second degre en x\ y\ z' . Soient X, Y, Z les composantes
de la force ; si Ton veut avoir encore I'equation du travail ou des forces vives,
Ax dX'¥\dy^Zdz)= f{Xx'-\- Yy-f- Zz') dt = k^ U - ^V
il faudra prendre (*)
(^^> r=^l^^Ao^'dc[dy)\^
^^~~i^ '^'^\ji~ di\d^^)\
Nous pouvons verifier aisement ce theorfeine. On tire, en effet, des for-
raules (i6), en supposant z = o, Z = o, pour simplifier Tecriture,
dl
Or on a
_ M "'■ *•[,!) ,<^D ,) J finales de /'Mservatoire, t. IV.
CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 5l5
Action de Mars.
d(/zin-2',4sin(2r— 2/'') — o%7 sin(2r— r— cj")
i',5sin(2r-r— cj'')-ho%5sin(4/''— Sr-cj*')
o%6sin(4/''— 2r-2cj*');
Action de Jupiter,
7%2 sin(/''— T) — 2%7 sin (2/'^— 2/') — !%5 sin (2/'^— /"— gj")
2%6sin(^' — T;j»'')-+-o%6sin(2/''— r — cj'^) — o",6sin(3/'^— 2/"— Gj"^).
t, f^ r et /'^ sont les longitudes moyennes de Venus, la Terre, Mars et Jupiter;
nous n'avons releve que les inegalites dont le coeflBcient est superieur a o", 5;
dans ces conditions, les perturbations causees par Mercure, Saturne et Uranus
devaient etre laissees de cote.
Le Verrier n'a pas discute moins de 891 1 observations du Soleil, faites de
1750 a 1846 dans les Observatoires de Greenwich, Konigsberg et Paris. Cette
discussion a presente des difficultes serieuses, provenant surtout de Tequation
personnelle, variable d'un astronome a I'autre, dans les observations des bords
du Soieil. La conclusion de cette discussion a montre que les observations
^taient bien representees par la theorie, a la condition d'astreindre les incon-
nues V, v', . . . a verifier certaines relations. Nous nous arreterons seulement a
Tune de ces relations, la plus importante, et qui resulte des determinations de
Tobliquite de I'ecliptique. Ces valours, quand on en defalque la nutation, sont
reproduites dans la troisieme colonne du Tableau suivant :
Obliquitd
moyenne
observde.
calculdc.
RdsiduH.
23 . 28 . I 5 , '22
i5"',3o
•
— 0,08
» 27.67,66
57,00
H-o,66
» 27.55,05
55,63
— o,58
i 27.47,48
47,85
-0,37
j 27.43,78
43,27
-h o,5i
») 27.35,56
35,95
— 0,39
» 27.33,88
33,66
-H 0,22
Anndes. N.
1755 i5
1795 20
1798 19
1815 j
1825 j^^
1841 12
1846 26
N designe le nombre de solstices employes. On pent relier les valours obser-
vees par la formule
(2) 03 = 23o27'3i%83 — o^4576^
Oil /designe le nombre d'annees, apres i85o,o. Les nombres de la quatrieme
colonne du Tableau ci-dessus designent les valeurs de co, calculees par ia for-
5l6 CHAPITRE XXIX.
mule (2), pour chacune des epoques considerees. On voit que les residus sont
assez faibles, et que leur allure ne presente rien de systematique.
Mais alors, en remplaQant dans la formule (i) co par sa valeur (2), et multi-
pliant le resuUat par 100, il vient, en iaissant de cote v'^ et v% qui peuvent etre
supposes bien connus,
(3) 28%9v'4-o%8v"'-ho%5v4-i%8i=o;
cette equation de condition est importante a cause de la grandeur du coefficient
de v'; il parait impossible que le terme tout connu soit en erreur de i".
231. Th6orie de Mercure (*). — Le Verrier a trouve, pour les inegalites
seculaires des elements e et ex, les formules suivantes :
( he = -h 0^,0419^ -ho'', 0282 v'/ -Ho'jOioev"/-!- . . . ,
^^ \ te= + 5\27i4^ + 2%8o64v'^ + o%836iv''/-h ....
Nous ne reproduirons pas ici les inegalites seculaires du noeud et de Tincli-
naison, non plus que les inegalites periodiques de la longitude heliocentrique
de Mercure.
Les observations anciennes rapportees dans V Almageste ne peuvent pas etre
employees utilement. Heureusement on possede des observations des passages
de Mercure sur le disque du Soleil, et Tobservation de chacun de ces phe-
nomenes permet d'en deduire, avec une grande precision, la position de la
planete.
Le premier qui aitete observe est celui du 7 novembre i63i. Les passages ont
lieu, soit quand la planete passe par son noeud ascendant, au mois de novembre,
ou au mois de mai, pres du noeud descendant. Apres discussion et rejet des ob-
servations defectueuses, Le Verrier a conserve neuf passages de novembre,
s'etendant de 1677 a 1848, etcinq passages de mai, de 1753 a i845. II a joint
a ce materiel 897 observations meridiennes faites a Paris de t8oi a 1842.
Donnons quelques indications sur la maniere d'utiliser les observations des
contacts dans les passages. Au moment d'un contact, la distance angulaire des
centres du Soleil etde Mercure cstegale a la somme ou a la difference des demi-
diametres apparents des deux astres, le tout etant vu du point oil se trouve
Tobservateur. Soient ^' etX' la longitude et la latitude du centre de Mercure,
0' et A' les memes coordonnees pour le centre du Soleil, les deux astres etant
vus du lieu d'observation ; soit enfin D la distance apparente de leurs centres.
On aura la formule
cosD = sin X' sin A' 4- cos X' cos A' cos (41'— B'),
(>) Jnnales de rObservatoire, I. V.
CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. Siy
d'oii
cosD = cos(X'-— A') — 2COs>/cosA'sin* ^^^ ;
la latitude A' du Soleil est extremement petite; X' est seulement petit. On peut
ecrire
I 1- I — .^ U -4- 1^^ i L_
* I » • • — — « I • • • I • • • f
2 2 2
et se borner a
Cette formule simple permettra de calculer la distance apparente des centres
pendant toute la duree du phenomene. Soit /© le moment de i'observation (sup-
posee exacte) d'un contact; soient 4^, X, 0 et A les valeurs des coordonnees
tirees des Tables pour i'epoque /©> et transportees du centre de la Terre au lieu
d'observation.
Ces valeurs ne sont pas exactes, mais elles ^»nt besoin de corrections S^, SX,
S0 et SA; de meme, si c designe, par exemple, la difference des demi-diametres
apparents, la quantite c aura besoin de la correction 8c.
Done, a I'instant /o> on doit avoir
D« = (<_— e -+- d\i— ssy 4- (X - A 4- dx - sa)* = (c 4- Scy.
Soit maintenant tc le temps du contact, calcule avec les valeurs tabulaires
inexactes; la valeur de 4La I'instant t^ sera egale a
On aura done
4:+§(/c-o
En retranchant cette equation de la precedente, et negligeant de tres petites
quantites, il vient
/ cdc = (^— e)(dc— 5^) + (^ — A) (dX — 6\)
Soient maintenant r, {^ et s les coordonnees heliocentriques de Mercure,
A sa distance au centre de la Terre, R la distance de la Terre au Soleil. On a
les formules
/ AcosXcos41 = rcosscosi' 4- R COS0,
(6) ' AcosXsin41= rcos^sint' -t-R sin0,
lAsinX =rsin5 -+-RsinA.
5l8 CHAPITRE XXIX.
Supposons que les quantites tabulaires r, v, ^, R et 0 aient besoin des correc-
tions Sr, S^, 8s, SR et §0, on pourra admettre que 8{^ est la correction de la
longitude dans Torbite. En differentiant la derniere des equations (6) et negli-
geant les quantites tres petites, on a d'abord
Les deux premieres equations donnent ensuite
— A cosX sin^d^-h cos413(A cosX) = — r cos5 sin i>dv
-h cos pd( r C0S5) — R sinOdO •+■ cos 03R ,
4- A cos X cos (^3(^4- sin^d(AcosX) = -h rcos^coscdi'
-h sini'd(rcos5) + RcosOdO -h sin6dR;
d'ou, parTelimination deS(AcosX),
A cosXd^ = rcos5 cos( p — -C)^^
sin( p — ^)d(rcoss) + R cos(e — i^) 50 4- sin (0 — 41)*I^-
Or, les differences ^— 0 et ^ — ^sont voisines, la premiere de zero, la seconde
de iSo**; on pent ecrire simplement
d'oii
341-30 ==-^di>+ 5^ 3e=^(3e-3r).
En portant dans Tequation (5) les valeurs que Ton vient de trouver pour SX
et S^— §0, et regardant comme exacte la latitude A du Soleil, il viendra
c3c = -(<_- 6) £ ((Ji' - 56) 4- (X - A) ^35 4- (^^- /o)A,
oil Ton a pose
(7, A=-(4:-e)^<^>-a-A)^(^.
L'avant-derniere equation sera mise sous la forme
(^) J^(oV-3e)-i^-:^&4-5c-(/,-o^ = o.
11 y aurait aussi a tenir compte, dans S^^— §0 et SX, de la correction a
CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. SlQ
apporter a la valeur attribute a la parallaxe du Soleil; mais cet effet est moins
important et peut etre laisse de cote.
Cela etant, nous allons reproduire I'equation (8) pour chacun des passages
observes, avec les valeurs numeriques correspondantes des coefficients; nous
ne nous attacherons qu'aux coefficients de S(^.
Passages de novembre.
(9)
(lo)
0,86
0,75
0,01
0,99
0,9^
1,81
Epoques. Entrde.
1697, 84
1723, 85 o,458('
1736, 86 o,288('
1743, 84 0,34 Sf'
1769, 85 0,44 8(^
1782, 86 o,i78('
1789, 84 o,388(»
1802, 85
\ i848, 86 -+-o,468('
Epoques. Entrde.
1753, 34
1786, 34. o,458('-h4",84
I '799* 34 o, Soot' H- 5,65
i832, 34 0,61 0(^ -HO, 17
\ 1845, 35 0,748;^— I, o3
o
o
o
o
o
o
Sortie.
0,398(^-4-0,45 = o,
o,i68('-+-o,i3 = o,
o,4'28(» -h 0,92 = o,
o,o38(' -*- 0,23 = o,
o, 44 Sf'-f- 0,97 = 0,
o,468p -H 1,47 = o;
-*-2,27 = o
Passages de mai.
Sortie.
o
o
o
o
0,778^^
0,6581^
0,6981^
0,7781'
12, o5
5,11
3,83
o,58
= 0,
= 0,
= 0,
= o.
L'inspection de ces equations est tres instructive :
c< On remarquera, des Tabord, que les observations des passages par le noeud
ascendant ne donnent lieu qu'a de faibles erreurs; tandis que les passages par
le noeud descendant donnent lieu a une erreur de i2'',o5 en 1753, et qui, dimi-
nuant a peu pres regulierement a mesure que le temps augmente, se reduit a
— i",o3 en 1845. Ces treize secondesde variation, en quatre-vingt-douzeannees,
demandent a etre prises en serieuse consideration, en raison de Texactitude du
mode d'observation dont elles resultent. Elles ne sauraient, en effet, etre attri-
buees aux incertitudes des observations des passages, puisqu'il faudrait supposer
que tons les astronomes auraient commis des inexactitudes considerables dans
la mesure des temps des contacts; ces inexactitudes devraient en outre varier
d'une maniere progressive avec le temps, et differer de plusieurs minutes au
bout de la periode de quatre-vingt-douze ans. Circonstances tout a fait inad-
missibles!
» Cela etant, on apergoit qu'on ne parviendra a detruire les erreurs signalees
dans les passages de mai, sans en introdulre dans les passages de novembre.
Sao CHAPITRE XXIX.
qu'en modifiant les valeurs attribuecs aux parties proportionnelles au temps de
deux des elements de Torbite. Les deux corrections devront se detruire a peu
pres dans les passages de novembre, tandis qu'en s'ajoutant, elles rendront
raison des ecarts observes dans les passages du mois de mai. La consideration
du mouvement du noeud ne peut des lors servir a resoudre la question; Terreur
de la longitude du noeud influe sur le calcul du temps des passages d*une ma-
niere toute differente, suivant la latitude de la planete (*). »
On a les formules
5
i'= /h- ijesin(/ — cj) + 7 e* sin(2/— 2Gj) -H. . .,
4
1 = nt -h e,
Supposons que nous fassions varier les elements n, t^ e et ts et, en outre, les
parties proportionnelles au temps, ou les inegalites seculaires de c et tzr; les va-
riations completes de ces deux elements seront done representees par
t designant un nombre d'annees ecoulees a partirde i85o. Nous aurons
ii'ziz {8e-htdn) i-{-2ecos{l — xn) -h - e'cos(2/— acj)
-t-(de-t- ^e') 2 sin(/ — Gj) -+- - e sin(2/— 2cj)
— (<5gJ-4-/GJ') 2eC0S(/ — CJ) 4- - e'C0S(2/— 2CJ)
OU bien
(ii) di^ = [e' — 9*— 9j4-29(pocos((? — 0o)];
9 sin0 =/?, 9 cos(? =^,
9oSin(?o = />o> 9ocos0o=7o;
On aura ensuite (t. I, p. 172)
d'ou
dp I d3{. dq 1 di^
dt nd^ dq dt /la* dp '
-£z=i I monaB(^^(qo — q),
•^ = — ^ monaB^'^ipo — p);
dp z= - moaB^*)(7o— 7)'i^
dq =— ym^aB^^^{p^--p)nt\
or on a trouve, page 525,
4
il viendra done, en rempla^ant Sex par 41'' pour Mercure,
5/> = 4i"(^o-^), ^g^=-^l''{p,-p)^
on aura des equations analogues pour Venus, avec une autre valeurque4i\et/>'
CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. SSq
et (( au lieu de p et de q. On aura aussi une equation pour faire cadrer la valeur
de cj' avec celle observec {voir le Tableau de la page 535); on remplacera de
nieme ^, S^r, Sp' et Sy' par leurs valeurs deduites de ce Tableau.
On aura done finalement cinq equations contenant au premier degre les in-
connues/>o et q^\ on en conclura/>oet q^^ puis on aura G,, et (po* M. Newcomb a
trouve ainsi
Nous ne reviendrons pas sur Timpossibilite physique d'une seule planete
perturbatrice.
M. Newcomb n'admetpas davantage Thypothese de Tanneau qui, etantdonnee
la grandeur de sa masse, reflechirait beaucoup de lumiere.
II sembic bien que cette hypothese ne soit guere admissible. On pent se de-
mander alors a quoi se rapportent les observations telles que celles de M . Les-
carbault. II ne serait pas absolument impossible que ce soient des passages de
cometes sur le disque du Soleil.
M. Newcomb ecarte aussi I'hypothese d'une masse etendue de matiere diffuse
analogue a celle de la lumiere zodiacale ; la partie qui agirait le plus pour faire
tourner le perihelie de Mercure dans le sens direct serait la partie voisine du
Soleil, etl'on rentrerait ainsi dans les difficultes de Thypothese precedente.
II trouve encore que Ton pourrait rendre compte des variations anormales des
Elements de Mercure et de Venus, en supposant un anneau d'astero'ides situe
entre ces deux planfetes; I'inclinaison devrait etre de 7°, 5. On pent se deman-
der comment il se fait que I'anneau pent etre suppose, soit en dedans de Mer«
cure, soit entre Mercure et Venus; cela tient a ce que, Texcentricite e' de Venus
etant tres petite, le produit e'^ts' sera encore assez petit, dans le second cas.
Mais un tel anneau n'aurait pas pu echapper jusqu'ici aux investigations des
astronomes.
Hypothese de M. A. Hall. — On sait par le theoreme de Newton (t. I, p. 49).
que, si Texposant de la loi d'attraction^ au lieu d'etre exactement egal a 2, en
differait tres peu, il en resulterait des deplacements tres sensibles pour les
perihelies des planetes: on pent voir (/oc. cit.) que, si Ton prenait 2,001 pour
la valeur de cet exposant, le perihelie de chaque planete se deplacerait de
io'48", dans le sens direct, au bout d'une revolution. On se trouvait ainsi
naturellement conduit a voir quelle modification il faudrait apporter a Texpo-
sant pour obtenir le deplacement de l\i'\ en un si^cle, pour le perihelie de
Mercure.
C'est ce qu'a fait M. A. Hall (AsironomicalJournal, t. XIV, p. 49); la formule
(34) (t. I, p. 49) donne, en designant par N I'exposant, tres voisin de 2,
. nt r (N-4-i)(N-2) .1
v/3 - N I »4 J
54o CHAPITRE XXIX.
En faisant N = 2 + a, et remplacant nt par 538 000 ooo"", le mouvemeni de
Mercure en un siecle, e par p et Star par 4i"» on trouve I'equation
, 538 000 000 / /
4'=— 7=— (i-v^»-
On en conclut, avec une precision suffisante,
200
...)
\ 100/
8a
538 000 000
(Tl 14-
a = 0,000 000 i5i, N = 2,000000 i5i
Les valeurs de Star, pour Venus, la Terre etMars, s'obtiendront en multipliant
4i" par les rapports des durees de revolution de Mercure aux durees de revolu-
tion des planetes considerees. On trouvera ainsi les nombres suivants :
00.
e8o.
Morcure 41"
V611U8 16"
8% 4
o',i
La Terre
Mars . . . .
60.
5"
0%2
o',5
de telle sorte que Ton representerait bien ainsi Tanomalie du perihelie de Mer-
cure, sans toucher aux perihelies de Venus et de la Terre qui vont bien; la
correction du perihelie de Mars serait meme presque celle qui convient, puisque,
d'apres le Tableau de la page 535, eStar est egal a -r- o'%75 pour Mars, en un
siecle.
Pour la Lune, la meme loi donnerait pour le mouvement seculaire du perigee
4- i4o"; la difference a expliquer est do -f- i56"; Taccord va done tres bien en-
core, mais il reste dans le noeud un desaccord de — 286'' qui n'est pas explique
par rhypothese de M. Hall; enfin,ranomalie du noeud de Venus reste entiere.
M. Newcomb cherche a annuler les corrections des variations seculaires des
elements autres que les perihelies, notamment celle du noeud de Venus, par
des corrections v, v', v" et v*^ convenables; les valeurs ainsi trouvees pour v, v'
etv*^ sont assez d'accord avec cellos employees precedemment; malheureuse-
ment, il n'en est pas de meme de v". La valeur trouvee pour cette derniere
quantite conduit a tt = 8", 759, valeur assez differente de celle a laquelle avaient
conduit les meilleures determinations de la parallaxe solaire.
Finalcment, pour construire les Tables, il fallait prendre un parti et distri-
buer, en quelque sorte, egalement les erreurs. M. Newcomb ajoute aux perihe-
lies des diverses planetes les mouvements seculaires suivants :
Mercuro 43", 87
V6nus 16", 98
La Terro.
Mars
io',45
5% 55
CONFRONTATION DE LA LOl DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 54 1
le premier de ces nombres etant suppose donne, les autres s'en deduisent enle
T T T T
multipliant par ^> =j^, ™ et ^iv; comme si la loi de Tattraction avail pour expo-
sant 2 000 000 1612 au lieu de 2. Les masses de Mercure, Venus et Mars sont
legferement modifiees; celle de la Terre repond a laparallaxe 8", 790; Texces de
la valeur de s\ui-^} pour Venus, est reduit a-{-o",25; mais, en supposant
bien connue la vitesse de la lumifere, la constante de Taberration se trouve
portee a 2o",5ii.
La supposition d'un exposantde la loi de Newton, egal a deux entiers plus seize
unites du huitieme ordre, est-elle vraisemblable? Les astronomes et les geo-
mfetres I'admettraient avee une certaine repugnance. Au reste, M. Newcomb ne
parait pas etre convaincu de la realite de cette augmentation; il semble I'avoir
adoptee, en I'absence de toutc hypothese vraisemblable, comme un procede
d'interpolation, en attendant mieux.
Les theories les plus recentes de la Physique donnent lieu de croire que les
attractions des corps celestes ne peuvent se transmettre a distance que par Tin-
termediaire d'un milieu, sans doute Tether. Mais on ne connait rien encore sur ce
modede transmission. II parait probableque le meme milieu sert devehiculeades
actions electriques ou electromagnetiques. Pour les cometes, Tinfluence d'une
action electrique du Soleil a ete admise par plusieurs astronomes, notamment
Olbers et Bessel. La relation entre les phenomenes magnetiques a la surface de
la Terre et les taches solaires tend a nous confirmer dans cette voie. G'est ainsi
qu'on se trouve amene a considerer, au lieu de la loi de Newton, des lois d'filec-
trodynamique, telles que celles de Weber; nous avons examine quelques-unes
de ces lois dans le Chapitre precedent, et nous avons cherche a faire disparaitre
Texces de mouvement du perihelie de Mercure (38" ou 4j")» en determinant
convenablement la constante qui figure dans les termes correctifs que ces for-
mules apportenta la loi de Newton. Mais nous sommes loin de pretendre a Texis-
tence de ces lois, d'autant plus qu'elles n'expliqueraient pas tons les petits
desaccords.
La loi de Newton represente, en somme, avec une tres grande precision, les
mouvements de translation de tons les corps celestes. Si I'on^se reporte ace
que nous avons dit a la fin du Tome III, on pent etre emerveille de voir que les
inegalites, si nombreuscs, si compliquees, et quelques-unes si considerables,
du mouvement de la Lune, soient representees comme elles le sont par la
th^orie. Sans doute, il reste quelque chose : dans un intervalle de deux siecles
et demi environ, la Lune s'ecarte pen a pen de la position calculee, jusqu'a un
maximum de i5", de maniere que, durant ce long intervalle, le bord eclair6 de
la Lune passera un pen plus tot ou un pen plus tard devant les fils d'araignee
de la lunette meridienne, sans que Tavance ou le retard depasse unesecondede
temps.
542 CHAPITRE XXIX. — CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON, ETC.
De meme, les positions des planetes, pendant un si^cle et demi d'observa-
tions precises, sont representees a moins de o!' pres. II y a une exception :
Mercure pent etre en avance ou en retard d'une quantite qui, pour certaines
regions de I'orbite, s'eleve a 8" environ, soit une demi-seconde de temps au
bout d'un siecle. Les desaccords pour le noeud de Venus et le perihelie de Mars
sont bien moins importants.
On ^prouve, en fin de comptc, un sentiment d'admiration profonde pour le
genie de Newton et de ses successeurs, et pour les immenses travaux de Le Ver-
rier, poursuivant pendant plus de trente ans son enquetemethodiquedans toute
I'etendue du systeme planetaire, travaux si habilement continues et developpes
par M. Newcomb.
FIN DU TOME IV ET DERNIER>
ERRATA.
TOME II.
Paf«f.
Llgnes.
8
26 f en remontant
32 5
46 8
5i 7
75 6 en remontant
99 5 en remontant
106 3
ii3 9
1 37 8 en remontant
186 0%^. 19)
207 3 en remontant
236 I en remontant
238 5 en remontant
25i i3
299 8
3o8 3
3ii 6 en remontant
325 12
/
An lieu de :
a — JC
— 4irM
F3-F,
X =
dadbdc
(Bi)
3— v/g(5 — 2a)
{/a(3 — 2a)»
/
04)
I
centre de S
S^CIettre suivant Si)
TQ| = P
^ sin* e COS* e sin* 6' cos* 0'
4
Y,
/
fff-^
Uses :
X
dadbdc
— 4'«fM
F*-Fs
X ^
f fip ""
(B')
3--v/tt(5 — 2a)
V^a«(3 — 2a)*
/"
(16)
/■
centre's
S, *
TQl = Pl
/'
i5 .
— sin«0 cosO sin* O'cosO'
4
Yi
544
ERRATA.
Paces.
377
Lifoes.
386
7 en
remontant
388
11 en
remontant
399
5 en
remontant
400
11
4ao
9 e»
remontant
434
6
439
17
45a
la
465
4 en
remontant
471
5oi
5ii
5ii
5i3
5i6
5i8
oai
ao
II
la
la
II
4
5ao I a
5ao i3
16
(8)
Au lieu de :
dr
di
di ~
03
(M)
fonuule (ao)
X
Q'Z
a = —
r^quation (la)
(i-hfx«)(afi-4-[ji)«
— i9,9C09(C
o,oi46y
0,00186,5 — Y
Li = Msina
M| = — Mcosa
dpo
cos©
Ao
dt
(/? sintpn-H ^ C09
i
7.V — 'inw
1 /\«7
7 en remontant
m'^a^
107
a'»
1 II
16 en remontant
^0
126
\ en remontant
-.(,
5 2 ,
1 33
1 en remontant
(H)-4-(liI)
i34
m
D
(II) + (III)
i5i
1 1 en remontant
21t
n'/' -i-|//i — i)
167
7
d3
188
I en remontant
— anomalie
190
2
Equations {a)
192
3
Equations (a)
I — 'im
e
'J
a
«o
...j — 8/71M— -/n /w«H-...J
T. - IV.
(I)-i-(IH)
(I) -(in)
27r
/»'(v/n-|m — i)
/ = anomalie
^nations (A)
Equations (A)
69
546
ERRATA
Ptfet.
Llgnet.
j4u lieu de :
207
4 en remontant
L
209
2 en remontant
A cos/
226
I
e
245
3 en remontant
2eJ«oa^*
258
1 en remontant
n
205
4 en remontant
22
266
i3 et i5
2
270
14
H-0,0I02I . . .
279
3
valeurs (Bo)
280
2 ot 3
1
1
283
10
i' — fo
287
•J
Chapilre IV
292
10 et i3
A 4-Be«
29^ 10
3 10 2
H21 8 en remontant
323 4 en remontant
3'27 9
329 10
329
J en remontant
335 9 en remontant
335 8 en remontant
rri
ik-^r
2FII
295
1 en remontant
E(ef-+-c«)-"A-e;
297
1 4
formule (8)
'97
1 1 en remontant
cosaj
297
7 en remontant
(Y*-Y?)
'-97
2 en remontant
(T*-T?)
298
10
(y'— Ti)^Y-Yi)^
3oi
1 1
sini -TT
ai
3o2
1 1 en remontant
sine
3o8
9 on remontant
formule (12)
a]
I en — I
45
fx«a*e'cos^'
16
B^i) D^i'^
2
■4- 00
-i°2
r(i -h v)
daQ
Or
Uses :
L'
A cos/'
ecosl
n'
2
0,01021. . .
valeurs (Ao)
S — So
Chapitro II
A-4-Be«
rrt
(k - ;)■
formule (4)
cosai
(T'-Y?)'
(Y*-Y])(T-Yi)
8.11,5-
sine
formule (i3)
r
i en — i et *' en — i'
^7 fX«W«'COS^'
c^)
2
-»- 80
■;«2
r(i -^ v)
d?
Pases.
336
*>.
336
a
330
3
318
37'
37';t
37A
373
3:4
3y5
398
399
399
401
411
419
I19
^9
49/)
Liffnet.
33- 7 et 8 en remont.
338 6
3 en remontant
343
4
345
^1
en
remontant
3>G
I
en
remontant
3:8
3
en
remontant
36;
i3
en
remontant
368
5
en
remontant
37.
8
on
remontant
6 en remontant
3-5t 'X
3
\
10
3 en remontant
I on remontant
\'x en remontant
7 en remontant
10
8 en remontant
6 en remontant
7 en remontant
II
\'X
i3
I en remontant
iijiiitii lii •
/4n lien de :
Ufi)
ot
2(1)
1
1 —
V
{^w
et
2(x)
547
a:
t>»T,
dg*
R =
t>T,
j //j ft^ '
(29) '1 (j^z ov^or^, ^ 0-; .)^, ^ 0-; '>b, o-; '^^ _. _
h A, /^j />3 Aj '
En effet, dans les expressions (28), lestermes en sin<; et cosg constituent une
solution des equations (1) dans lesquelles les seconds membres sont reduits a
— [oJ^Scosg, H- [classing, — [O^Scosg, -+-['] 2 S sing,
Or, cette solution se trouve immediatement sous la forme
p— —^S sing — //r=r// = . . .,
car, en suhstituant dans les equations (9), il vient
[ol-h(o)-f-(o,i)H-(o,ci) 4- (o,3)— I o I I^Scosg^io,
[i] + (r)H-(i,o)H-(i,2)-h(i,3)- [V] j^Scosc^o,
Or, ces conditions sont verifiees d'apres les formules (10) du Chapitre II. En
comparant la solution precedente, qui doit etre unique, a la partie constante de
la solution (28), on obtient les relations (29).
II est facile dVxprimer maintenant les latitudes A, X', X", X** des satellites
THKORIR DES SATELLTTRS DE JLIMTEU. 5*i
au-dessus du plan fixe. On a, en negligeant I'excentricite et les perturbations
de la longitude,
X = sin 9 sin (/ — 0) = 7 sin/ — /> cos/.
II en resulte, avec les expressions precedentes de/? et de y,
■ • \' ♦ '
Soient A, A', A", A*' les latitudes des satellites, rapportees a I'orbite de Ju-
piter pour Tepoque /. On aura
A — Xrn^cos/— ^sin/= 2 S sin (/—$) — 2 S sin (/ — .?/ — $).
A =2n sin(/ -bt-y) + ^s(^^-h...-hj^^ -i)sin(/ -st-g),
(3i) { \ » /
A'= 2N'si"(''- />' - y) + 2 * (y—b ■+■••■+ .7?ry^ ~ ') sin(/'-«f- s).
21. Determination des constantes arbitraires. — Soient
?o> ?o> ?o» 9o» Wo.
%. O'o. 01 9;, ^0
les valeurs des inclinaisons et des longitudes des noeuds a Tepoque o, rappor-
tees a la position correspondante de I'orbite de Jupiter;
Pof Po^ • • • » Po t ^09 ^Q9 • • • > ^0
les valeurs que Ton en deduit par les formules (8). Les expressions generales
de p, q, , , ., />*^ et y'^ s'obtiennent en faisant les sommes des expressions (10)
54 CHAPITUE 111.
et (28). Faisons-y / = o et
N siny = Xy Ni sinyi = x
i>
• • • ♦
Ncosy = r,
X = />o 4-
X'=/>'oH-
. . .4-
X^
^4 — 5
Njcosy,
\ sins,
j sing.
=ri
X
b- .V
Y-7.: + 2s
^■=«-2Kr^
')t>4
b^ — .9
64 — .V
')
-HI cosg,
')
-HI cosg,
et nous trouverons les equations
(32)
X -\- ;ri -f- . . . -h 0:4 1= X, y -^ Ji + • • • + V4 = Y,
c' a: 4- c'l a?! H- . . . -H c'^ 0^4 = X', ff'j -H ff'i Vt -4- . . . -+- 0-4 JK4 = Y',
• ' >
(7'\r -+- a'/Xj -h . . . 4- ffj' j:4 = X'% ff'^j -h <77/, -h . . . -h ay yv = Y'\
Ces equations sont de la meme forme que les equations (iq). et se resoudront
de meme. On aura done
.r=N siny = /X 4-/'X'h-. . .-h/" X-%
.r, = Nt siny, =/i X -h/; X'4- . . . 4-/r X-,
y — N cosy -/Y-h/'Y'+.,
. • +/" Y",
/, N.cosy. /.Y+/;Y'+.
. . -i-/',' Y",
22. Remarques relatives 2t Tordre de petitesse de divers coefficients.
— II convient de donner une indication sur le calcul numerique des racines 6,
64, — 64. On voit a priori que I'influence du deplacement de I'equateur de
Jupiter sur les deplacemcnts des orbites des satellites est faible, de sorte qu'au
lieu de I'equation (12), qui est du cinquieme degre, on pent considerer cette
equation du quatrieme degre :
— (^-hQT]), (0,1), (o',2),
(0,3)
(3,o), (3,1), (3,2), -(^-+-[X])
= 0.
TU£0R1£ DES SATELLITES DE JUPITER. 55
L'inspectioD des valeurs nuraeriques des quantites | i \ et {i,j) montre
que les premieres sont beaucoup plus grandes que les secondes, de sorte que,
dans un premier calcul d'approximation, ['equation precedente se reduitsensi-
blement k
(^ + [:Z])(^-^QD)(^-+-L^)(^-+-[X]) = o.
On a done ces valeurs approchees
La suite du calcul montre que Tapproximation est deja au moins de -^ pour
les trois premieres racines et de ^ pour la quatrieme. En partant de la, par des
tatonnements successifs, on trouve aisement des valeurs precises des cinq ra-
cines et des vingt quantites af. Voici les valeurs obtenues par M. Souillart pour
les racines :
6 = — O**, l4l 0919, 6,:-= — O**, 007 02 1 549,
6, = — o%o33 01 19, ^j =r — o°,ooi 900 689,
64 = — o**, 000 002 1 85.
Ces valeurs sont exprimees en degres sexagesimaux et rapportees au jour so-
laire moyen pris comme unite de temps. Voici, d'autre part, les valeurs de S,5
et q empruntees a Stockwell; I'unite de temps est la meme que pour les 6; les
coefQcients S sont exprimes en secondes sexagesimales, et nous donnons leurs
logarithmes :
Indices. logS. 5. C*
0
0,715 3i/<
— 0,000 oo3 898
21. 6.27
1 * • • . • •
0,29806
— 0,000 oo5oi3
i82.4o.58
2
T,7i4 lo/i
— 0,000018228
292.49.53
3
2,171 76W
— 0,000014000
251.45. 9
4a • * •
8,75756
0
106.14.18
5
2,89889
— 0,000000 5o3
20.3l.25
6......
2,258 61
— 0,000002218
i33.56.li
7
3,ii3 8o
— 0,000019 724
806.19.21
On observera que le coefficient S4, le plus grand de tous, disparait des expres-
sions (16) de 9 et de ^, parce qu'il repond a la racine nulle s^. Je me contenterai
de donner la valeur numeriquc de A, a laquelle parvient M. Souillart, en me
bornant aux dixifemes de seconde d'arc,
A
nt aux dixifemes de seconde d'arc,
5',5 sin(/— ^>^ — y) -+- 33',o sin(/— ^j / — yj -h 3',9 sin(/— 6, ^ — y,)
— I ', 4 sin ( / — 6, ^ — y,) -+- 3o8% 3 sin ( / — 6^ / — y^ )
-\- I i'',8sin(/ — 5/ — q) — 3'',5sin(/ — 5j^ — €1) -+- 74'>osiii(/ — 55 1-^ q^)
— i2i59',2sin(/ — 56 t — qti) — i46i'',4sin(/ — 5, ^ — <;^).
56 CHAPITRE III.
Le coefficient enorme de ravant-derniere inegalite vient de ce que le diviseur
^6 — *4» qui figure dans les formules (3i), est tres petit. On a, en efl'et,
5g — l)^=z — o*, ooo ooo o33.
Les calculs precedents, depuis le n^ 17, sont empruntes, sauf des differences
insignifiantes dans la forme, a un Memoire de M. Souillart {Bulletin astrono-
mique, t. XI, p. i45).
23. Transformation des formules. — La periode du terme en
Bin
cot
(^6 ^ H- «6 — />4 0»
qui figure dans les expressions (25) et (27) de dNj^ ^i^y^ et SN^ s\ny^, est d'en-
viron 3o millions d'annees. On ne pent avoir la pretention d'etendre la theorie
des satellites de Jupiter a des epoques aussi eloignees. Les formules trigonome-
triques qui donnent, dans $ et ^, les inegaiites seculaires du noeud et de Tin-
clinaison de Torbite de Jupiter, ccsseraient d'etre exactes au point de vue nu-
merique parce que les racines s^ dependent des masses des planetes qui ne sont
pas encore connues avec assezde precision; et aussi au point de vue analytique,
parce que, dans ces conditions, il faudrait tenir compte des carres des masses
des planetes. II faut se borner aux besoins de la pratique, pendant trois ou
quatre sifecles parexemple, et tenir compte du deplacementdeTorbitede Jupiter
en ajoutant aux quantites/i^'^ et y^'^ des corrections de la forme
ay 4- «! / -h ^j /* -h . . . :
on pourra, en toute securite, laisser de cote les termes en /*. On aurait plus
vite fait de determiner directement les 8/?^'^ et 8q^'^ sous la forme indiquee; mais
je prefere me servir des calculs de M. Souillart, comme je Tai fait deja {Bulletin
astronomique, t. XI, p. 159).
Je pars des expressions (25),
fi^^siny^
lie
l- - y^^ 2s[cos(.5^-i-5 — b^t) — cos(^ — ^4/)].
Je developpe le second membre suivant les puissances de ^ en negligeant t^\
il vient
^iV4siny4 ^r * V c
de meme
^- — f- — — %4 ^ > §5 COS€.
Or, si Ton developpe les expressions (16) suivant les puissances de /, on
THf.ORIE DES SATELLITES I>E JUPITER.
.)
trouve
(33
II vient ainsi
j A = Vs.vcos^, R =r — Vs.^sin^.
D'oii
dt
//
0 >\ cosyv ^= '^^n ^ ''•
Or, on a* en prenant encore le jour pour unite de temps,
A = ' , / > B = ^^^ ^1^, X. = 0^,000 0012 = — ^t, sensiblement,
303, ao 360,2,-)
oil ii faut encore multiplier X4 par sin i®. En faisant / = 365 210, ce qui cor-
respond ^ dix sifecles, on trouve seulement
Wi sinyv — — o^.c).
Nous pouvons done supposer
(34)
iNvSiny. == o, oN^cosy. -o.
Les expressions (25) donnent ensuite, en developpant suivant les puissances
de St et conservant bt sous les signes sinus et cosinus, parce quo A, 6,, b^ et A.,
sont beaucoup plus grands que les Si^
J^'"^ = — 3r,< 2 S.? sin($ - />0 — o;:,/( \\ c(^%bl h- a sin />/),
d*oii, en integrant sans ajouter de constante,
3N siny = ~ [ B/sin/;/ — Alcosbf f
iNcos
3f(y /
A /sin 6/ — B/cos/>/
Asin6/-h B cos bl
B sin^/ — A cos^/
)
)
On en tire deux des equations suivantes, celles qui repondent a ('= o.
SSt 8\n(bit -t- yi) =
(35)
Of bl
aN, cos(6,< + y,) = - 1^ A - ^' B< I
> (1 = 0, I, 2, 3).
T. - IV.
58
CHAPITRE III.
On a, dii reste, d'apres les formules (34)»
(36)
o\> sin(/>>4/ -hyi) — o, oNvros(6v^ + y^) = o.
On aura ensuite, en ayant egard aux relations (lo),
(37)
:;)Li
/. -2 \si"(^^-^-A)4-B2 5-' -A^Hf
0
4
0
s
Xl
0
s
X/
g =^ N,cos(M4-y,)~A2 ^ -"^^H^
0
4
0
3
0
S
<7/ oXG/
; p' =2< N, sin(6,7 + y,) + B^ ^' - A^^ ^
,/v^2'.X,sin(M + y,) + B2^'-A^i;^''
0
4
0
3
(7'/ aKi),
0
3
(7i^X/
./■v=2'^i.vN,cos(/,,..+y,)-A2 ^-' -B^2 ^'
Or, avec les valeurs donnees par M. Souillart pour Sf^^ x,, Xa, X,, X4 (Bui-
letin astronomique, t. XI, p. i53), ct de a^f (deuxieme Partie, p. i58),on trouve
2
.^ ^)^/
-;— =: — 0,0000 I ,
3
X
o
9/ 9
V
17 1 y^l
u
f>.
3
2
U
3
2
f'i
0
s
V
a'l' yZi
= — 0,00^)19,
rr — 0,026 1 5,
/'.
2d ~Tf~ "
10,3,
0
S
(T I Jy^i
2dnjr
62,6,
fj'ji^/
— o,i3o6i, 2 -'ji^' ----h 443,1,
0
3
<7l^X|
— 4- o,oood3, 2^ "%T~ ~ ~ ' '' •
Ob,
Les valeurs de ^ sont calculees avec Tannee pour unite de temps; on doit
done prendre maintenant A = — o'^ogSSy; B=—o", 12949, et il en resulte
THEOKIE DKS SATELLITES DE JUPITER.
que, dans ies formules (37), les termes complementaires ont pour valeurs
dp' =- i%3; oY=-+- i%o,
dp' =— 8%i — o",oo2^; dq' — -h 6",o — o%oo3/,
dp'' = — :)y\^ — o\oi3l; dg"' — -\- .\2\ f^ _ o%oi7/.
^^9
dp'''=-^o%2;
Oq
iv._
-0%1?.
On voit que les termes en t sont negligeabies pour les trois premiers satel-
lites et pour Tequateur; ils sont sensibles, bien que faibles, pour le quatrieme
satellite. Enfin, les parties eonstantes sont appreciables pour le troisieme et le
quatrieme; il y aurait lieu d'en tenircompte dans la determination des eon-
stantes N/ ety^ en modifiantlegerement les valeurs de pi, pi, q\, q\. C'est acela
que se borne TeflTet direct du deplacement de Torbite de Jupiter.
On aura ensuite
X—{q-\- dq) sin/ — (/? -h 3/>) cos/,
A — X — a'cos/ — ^sin/=Z(Acos/— Bsiii/),
d'oii
A =y]N sin(/ — ^^ — y) -h ^(o", 129 sin/ — 0^,096 cos/),
0
k
A' =2^' ^'"('' — bi — y)-h t{o\ 129 sin/'— o%o96 cos/')
(38)
1
0
V
-h i",osiii/' -+- I '',3 cos/',
A' =2N"siii(/" -bt- y) 4- t{o\}'26 sill/"- o", 094 cos/")
0
G'',osiii/''-h8%i cos/\
A^=2m sin(/''— l^i-y) -^ ^K, 1 12 sill/"— o%o83 cos/^)
-h 42% 4 sin /'^ 4- 57% 4 cos t",
24. Position de TSquateur de Jupiter. — On a, par les formules (10),
/>'^= &> sin^'^NV' s\n(b^t -+-71) -f- Nj sinib^l -f-ya) H. . .-f-N*^ siii(6^-hy),
<7*^=:: — wcos^ = \«J cos(O.J-hy^) -hN';'cos(/>3/4- ys) 4-. . . hN*^r()s(///4-y).
L'inspection des valeurs numeriques des coefficients N', , . . ., N*"" montre que
le premier, N'/ est au moins mille fois plus grand que la somme des valeurs
absolues de tons les aulres. On en deduit que b^t -+- y, est la partie moyenne de
180'*— '\ff car on a
ci) sin(^ -H /'v^ -Hy^) = >'; ^iniOat-hyi — b^i — y^) -+-...
4-N*^sin(/^/4- y- b^t — y^l),
— -o)Cos(^J^-h b^t-^y^) — N'; -hN'; cosC/'a^-hya- b^L —y^) -\- . , ,
-h Vcos(/;^-hy — /'i^— yi),
6o CliAPlTKE III.
et I'on voit que cos(^h- b^t h- Y4) ne peut jamais s'annuler, ce qui prouve que
Targument doit toujours rester compris entre ± -• Posons
^ = 180"- b,L^ y, - ?, N- = 0,, ^V = ^/»
et les formules precedentes donneront
0) sinC = wi[ 9z si 11 (^3^ 4- y, — ^4^ — y^) -h. . . 4- 0i sin(6,/ -h y, — ^^Z — yi)]»
CO COS? — oj,[n- ^3 cos (^3/ -f-ya — ^i^ — yv) -f-. . .4- 01 cos(^i/ -\-yi— O^t — y^)].
On n'a pas ecrit les deux termes multiplies par 0 parce qu'ils sont negli-
geables. On en tire avee une precision suffisante
w 1= w, [ r -h ^3 cos ( ^3 ^ + ys — ^4 ^ — y* ) -J- • • ] •
Avec les valeurs numeriques (Solillart, deuxieme Partie, p. 169)
log 0,=: 4,42687; log9j=:4,45i43,i; log^i ~4,i6o63;, ; w, = 3"4'7%
il vient
f i8o«— r\,^ O^l-h yv — •29%9sin(^, l-hyi—b^l — yj
— 58",3sin(^,/-4-yj— ^4^ — V*) -H 55% i sin(^3/ + y,— ^4^ — yv),
(39) {
CO =z w,-— i",6cos(^i^ -h yi — b^t — y4)
— 3", I cos(^,^ + yi — ^4^ — yv) H- 3'',ocos(6,^-hy, — 64^ — yj.
Ges formules montrent que le noeud de Tequateur de Jupiter sur le plan fixe
est anime d'un mouvement uniforme de precession, dansle sens retrograde, de
2,'\S'j3 par an (la quantite dont croit Tare b^t en une annee julienne); il y a
en outre trois termes pour exprimer la nutation ; les periodes de ces termes
sont respectivement d'environ 3o ans, i4o ans et 52o ans. L'inclinaison de
I'equateur n'a pas de terme seculaire, et les trois termes qui expriment la nu-
tation sont faibles.
Galculons maintenant la position de Tequateur de Jupiter par rapport a Tor-
bite actuelle de cette planete. Soient cu' et ^' les quantites analogues a cu et ^.
En faisant
'o' sinij;' ~ (p'), — (si' cos^J^' ^ {({'),
on aura
d'oii
( a>'sind»'z=: a)sind> — A^,
(40) Y '
( — fW cos 'Y =: — &) COS']; — B /.
THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 6 1
U est facile d'eii lirer a>' et ^\ en faisant
il vienty en effet,
II en resulte
a)C0s4' ^4* "^ si II 4* Aw = — A/,
w si n 'Iff A^ — cos 'j* Aw = — B ^,
0) Aij^=i— ^(Acos^l^ + B sin^)*
A'i>=:— /(A sin^* — B cos^];).
(40 .
( w' = wi H- ^(— A sin^o -H B cos^J^o) -+■ nutation.
Nous avons mis, dans les petits termes en /, au lieu de 4^, la valeur
']f^ = — i34®45' qui repond a i85o,o. Avec les valeurs
A = — o^ 09557 , B -- - o% 1 2949,
on trouve, en une annee,
Acos^o -hB sind^o „ ..
0)
B cos^o — A sin^o = ■+■ o",o233,
- ^^ = 4- 'A 873,
d'oii
4' == 180°— y4 — o*, 100^ -h nutation,
&>'=: 0)1 -h o'',o'233^H- nutation.
Le coelficient de ^ qui etait positif dans 4, est negatif dans ^\ Done le nosud
de Tequateur de Jupiter sur I'orbite actuelle de la planete est anime d'un mou-
vement direct tres faible, il est vrai. Laplace avait trouve un mouvement retro-
grade tres petit aussi. G*est M. Souillart qui a donne le sens direct; il a montre
que la conclusion de Laplace etait fondee sur une valeur de b^ legerement in-
correcte.
Les valeurs numeriques des expressions (38) sont, d'apres M. Souillart, en
negligeant les petites corrections introduites en dernier lieu,
A =4%8sin(/— ^^ — y)-h33%osin(/— 6i^ — y,)4-3%9sin(/— ^,^ — y,)
— 1%4(/— 6,^— )/3)-hlIo37^5sin(/— 64^ — y*),
A' = i689',o sin(/' — 6,^ — yj ) -h io2%3 sin(/'— b^t-: y,) -h I5^7 sin(r— b^l — y,)
-4- 1 0980*', 4 si n(/'-- b^l — yi).
62 CHAPITRE in. — THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. .
-H i0749%7 sin(r — b,t — yj,
4-9595%4sin(r— 64^ — 74).
Remarque. — Les derniers termes de ces formules sont de beaucoup les plus
importants; considerons les seuls pour un moment, et remarquons que nous
pouvons, d'apres Texpression (4i) de '^^ remplacer 64/ -h y* P^'* 180**— ^J/';
observons encore que o)' = 3*^4' 7"»3 differe peu des coefficients des termes con-
sideres, dans A, A", . . ., et nous aurons
A; = -fjLVsin(r^-^0, A;:=-/jL«'co'sin(r^-^'),
en designant par [jl, ^\ ^" et ix'^ des facteurs peu differents de i. On en conclut
sin sans toucher a 9';
done les qualre racines de Tequation ^(x') = o pourront etre represen-
tees par
1 «-.w— : ..«..,/— r I ^..w— :
(i4) aT>>/^, -^E^V-t, b'ExV^, r-,ExV-«;
XT/ a I)'
b' et x^' sont reels, b' > o ; on pent prendre b'<; a'< 1 .
II y a une relation simple entre 9' et y'. En effet, le produit des racines (i4)
doit etre egal a i, d'apres la forme (12) de la fonction $; on en conclut
V 6tant entier. On pent prendre v = o, ce qui donne /.' = — 9'» et les racines (i4)
deviennent
a'E^'v^, ^E?'>/-», b'E-?V-i, ^F-?'*^;
a' b'
si Ton avait v = i, il en resulterait
•f
ce qui est impossible, le second membre etant toujours negatif.
En ecrivant que, d'apres I'expression (12) de
log
Lune
8%io
I
I
I
I
" crD /~
D
r'
Tanomalio
cos(2'L — iV)
(irbi)V'-(/rFi)V'
C08(2V'— /i')
cosO
R. = 3 ^--i:! . . .
4
o", 026
apres 1750
- 3r et -T-i',6
— 9/ et — o',8
-3' et -t-3',4
ligno a supprimor
Usez .
li''
et £
I -+- V
u^'^
ot S
r«
rt*
()»To
dg^
Y
V —
— log
Terre
8',o
I
I
I
I
r
D
Tanomalie vraie
cos(/L'— iL')
(/r^i)V'-(£:-^i)V':;:2//
C08(2V''— 2/p';
2 I
sinO
m' 4
o'',0O26
apres i85o
— 29' et -+-r,6
-1' et — o%8
— 3' et -h3',4
Les fautes ci-dossus nous ont 6t6 signal<^es principalement par M. L. de Ball, et quelques autres par
M. G. Levcau ot M. E. Brown.
548
ERRATA.
TOME IV.
Pagea. LIgnes.
5 6 on romonlant
io 3 CQ remonlant
25 5 en remontant
45
17
45
i8
4o3
2
Au lien de :
•ill — / — ITS
I
2 /2 6*
Lisfz :
2 /i — / — CT
7. v/2 6*
PIN DE L'ERRATA DE9 TOMBS II, III ET IT.
21^93 Paris. — Imprimcric GAUTIIIER-V[LL.\RS ET FILS, quai des Grands-Augusttns, 55.
^-