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TRAITS X MECANIQUE CELESTE F. TISSERAND, iOFKSSBIiin A LA VACDLTi DBS SC DIBBCTBDR VB l'o B8BK VAT OIR TOME IV. THS0RIC8 DES SATELLITES DE JUPITER ET DE SATDRNE. FERTORBATIOHS DES PETITES PLAHETES. PARIS, GADTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIUEURS-UBRAIRES DD BUREAD DES LO>GITlIDES, DE L'£COLE P O L T TEC B K 1 Q D E, Quai des Grands-Augustins, 55. 1896 PREFACE. Ce Volume termine le Trait^ auquel j'ai consacre dix ann^es de tra- vail. 11 se compose de trois parties principales : La th^orie des mouvements des satellites de Jupiter et de Saturne ; Le calcul des perturbations des cometes, et T^tude de la figure de ces astres ^tranges ; Enfin, Tensemble des travaux de Mecanique celeste suscit^s par la d^couverte des petites planetes. La th^orie des satellites de Jupiter a pris, entre les mains de Laplace, une perfection qui n'a pas ^t^ surpass^e. Toutefois, les calculs n'avaient pas ^t^ pouss^s assez loin pour donner aux Tables toute la precision compatible avec les observations. M. Souillart a eu le m^rite d'yap- porter les complements n^cessaires. Mais, si la Mecanique celeste pr^sentait toute Tampleur voulue pour la theorie des satellites de Jupiter, il n'en ^tait pas de meme pour les satellites de Saturne, par la raison qu'a T^poque de Laplace on n'avait presque pas d'observations. Le plus faible des satellites, et le dernier d^couvert, Hyperion, a pr^sent^ une difficult^ singuliere dont M. New- comb a rendu compte par la theorie, en decouvrant une libration ana- logue a celles des satellites de Jupiter. Des librations semblables existent VI PREFACE. pour d'autres satellites : c'est la un champ de travaux int^ressants et nouveaux. Nous savons peu de chose sur les perturbations des satellites des autres planetes; cependant, une anomalie constat^e dans le mouve- ment du satellite de Neptune a recu, il y a quelques ann^es, une expli- cation plausible, que nous avons reproduite. Laplace avait consacr^ un Chapitre au calcul des perturbations des cometes quand elles approchent tres pres des planetes. Nous avons donne une certaine extension a sa th^orie ; mais les additions portent surtout sur la figure des cometes : nous avons expos^ les beaux travaux de Roche, Bessel, Schiaparelli, etc. La d^couverte des petites planetes a donn^ une vive impulsion a la theorie gen^rale des perturbations; de la sont n^s les travaux remarquables de Cauchy, Hansen, Gylden, etc. ; nous avons fait une place d'honneur a la m^thode de Cauchy, invent^e en quelques se- maines par Tillustre geometre, pour verifier de longs calculs de Le Verrier. Nous avons juge utile d'exposer aussi une methode ^l^gante de Jacobi, pour la determination de la grande in^galit^ de Jupiter et de Saturne. n etait impossible de r^diger un Traite aussi etendu sans parler des belles recherches de M. Poincar^ sur le probleme des trois corps. Nous leur avons consacre un Chapitre. Dans un dernier Chapitre, nous avons fait connaitre les r^sultats de la grande enquete faite par Le Verrier, continu^e par M. Newcomb, pour confronter la loi de Newton avec T ensemble des observations des planetes : tout marche avec un accord admirable, sauf une ou deux petites difficult^s dont nos successeurs triompheront sans doute. On pent juger, par cet aper^u sommaire, de T^tendue des progres de la Science depuis Laplace, et de Tutilit^ qu'il y avait a les exposer dans un Ouvrage special. PREFACE. VII Qu'il nous soitpermis, en terminant, de presenter tons nos remer- ciments a M. O. Callandreau et a M. R. Radau, qui ont bien voulu nous preter encore le concours de leurs conseils; il nous a 4^16 tres pr^cieux. Je remplis enfin un devoir agr^able en remerciant MM. Gauthier- Villars des soins minutieux qu'ils n'ont cess^ d'apporter dans Timpres- sion de cet Ouvrage qui leur fera lionneur. F. TiSSERAND. Paris, Janvier 1896. TABLE DES MATIERES DU TOME IV. Preface V CHAPITRE 1. Th6orie des satellites de Jupiter i Equations diff6rentielles du mouvement des satellites 3 Developpement des fonctions perturbatrices 5 CHAPITRE n. Calcul de la variation i4 In6galit6s ^ courtes p6riodes i5 In^galit6s s6culaires des excentricit6s et des p6rijove8 i8 Grandes in6galit6s des longitudes moyennes a3 De la libratioD. — Th6oremes de Laplace 25 Calcul de r6quation annuelle et de I'^vection 29 Complements de M. Souillart 35 CHAPITRE HI. In^galit^s s^culaires des nceuds et des inclinaisons 43 Integration des Equations dififerentielles 47 Determination des constantes arbitraires 53 Position de requateur de Jupiter 59 CHAPITRE IV. In^galites periodiques des latitudes 63 Equations seculaires des longitudes 67 CHAPITRE V. Des eclipses des satellites 70 Figure de Tombre de Jupiter 71 Determination de Tensemble des constantes arbitraires 76 Historique relatif k la theorie des satellites de Jupiter 82 CHAPITRE VI. Theorie des satellites de Saturne 85 Equations differentielles du mouvement des satellites 87 T. - IV. b X TABLE DES MATI^RES. Pages. D6veloppemont des fonctions perturbatricos 89 Perturbations s6culaires do Japet 91 Discussion des observations de Japet 98 Determination de la masse de Titan 100 CHAPITRE Vn. Perturbations d'Hyp^rion io4 Travaux de M. Newcomb 106 Determination du mouvomont d*Hyp6rion par Ics quadratures no Autre solution 1 1 3 M6thode de M. Hill 117 M6moire de M. 0. Stone 119 Determination, par les observations, de la libration d' Hyperion I'ri CHAPITRE VHI. Perturbations des satellites int6rieurs do Saturne iiS Le syst^me Mimas-Tethys 1 9.9 Le syst^mo Encclado-Dion6 1 38 Theor6mes de M. H. Struve 1 39 CHAPITRE IX. Du satellite de Neptune 141 Des satellites de Mars 148 Des satellites d'Uranus 1 49 CHAPITRE X. Formules d'interpolation 1 5 1 Interpolation des fonctions p6riodiques d'uno variable 1 57 Interpolation des fonctions p6riodiques do deux variables 166 CHAPITRE XI. Formules de quadrature 171 Calcul num6rique des perturbations par la m6thode des quadratures 1 89 CHAPITRE XII. Des perturbations des com^tes lorsqu'clles s'approchont beaucoup des plan^tes 198 Critorium d6duit do rint6gralo do Jacobi io3 Cometes p^riodiques du groupo do Jupiter 5to5 Capture des cometes p6riodiques 206 CHAPITRE XUI. Influence d'un milieu resistant sur les mouvements des plan^tos et des com6tes 217 CHAPITRE XIV. Figure de latmosphfero du Soleil et des plan^tes ^33 Discussion des surfaces de niveau 234 Rdsum^ do Thypoth^so cosmogonique do Laplace 239 TABLE DES MATlfeRES. XI CHAPITRE XV. Pages. Figure des comfetes. — Recherches do Roche . a45 Discussion des surfaces de niveau ferm^es 248 Discussion de la surface libre 262 CHAPITRE XVI. Recherches de Schiaparelli sur la figure des com6tes 258 Recherches de Bcssel 261 Recherches de MM. Charlier et L. Picart 269 CHAPITRE XVH. Methode de Cauchy pour le calcul des in6galit6s k longues p^riodes 278 CHAPITRE XVni. * Sur une methode de Jacobi pour le calcul de la grande in6galit6 do Jupiter et de Saturne 3oi CHAPITRE XIX. D6vcloppement de M. Newcomb pour la fonction perturbatrice 3i3 CHAPITRE XX. M^lhode de Hansen pour les perturbations des petites plan^tes 323 Principe de la methode 328 Transformation des formules 335 CHAPITRE XXI. Suite de la methode de Hansen. — D6veloppement de la fonction perturbatrice 340 CHAPITRE XXU. Fin de la mdthode de Hansen. — Integration 358 Cas d*exception des formules 364 Tableau d*ensemble des formules 37 1 Determination des constantes arbitraires 372 CHAPITRE XXni. Methode de M. Gyld^n pour les perturbations des petites plan6te$ 376 Formation des 6quations diff6rentielles 877 D^veloppement de la fonction perturbatrice 38i Temps r6duit 387 CHAPITRE XXIV. Suite de la m6thode de M. Gyld6n. — Partie 616mentaire du rayon vecteur 395 Calcul des termes k courtes p6riodes du rayon vecteur 4o3 Analyse d'un M6moire de M. Brende! 407 CHAPITRE XXV. Recherches sur les cas de commensurabilit6 tr^s approch^e enlre les moyens mouvements des petites plan^tes et celui de Jupiter. — Cas de la libralion. — Examen des deux lacunes prin- cipales du groupo des petites planeles 417 Xn TABLE DES MAT1^.RES. CHAPfTRE XXVI. Sur la forme g6n6rale des d6veIoppements dos coordonn6es dans le problcme des Irois corps. . . 44^ CHAPITRE XXVll. Indication des travaux de M. Poincar6 sur lo probl6me des trois corps 4^3 Solutions p6riodiquos 465 Exposants caract6risllques 4^7 Solutions as^mptotiquos 4^8 Divergence des series 4<>9 Invariants int^graux 172 Quelques developpcments sur les solutions p^riodiques 481 CHAPITRE XXVIII. Propagation do Tattraclion. — Id^os do Laplace 494 Loi 61ectrodynamiquo de Weber, suppos6e applicable aux mouvemenls des plan6tes 499 Loi de Riemann 5o4 Loi de Glausius 509 CHAPITRE XXIX. Confrontation do la loi de Newton avec les observations. — Le Verrier ct Newcomb 5i2 Th6orie de la Torre 5i4 Th6orie de Mercure 5i6 Ilypotheso des plan^tes intra-mercurielles 52 1 Thdories de Jupiter et de Saturne 53o Travaux de M. Newcomb 532 Errata du Tome II 543 Errata du Tome IH 544 Errata du Tome IV 548 FIN DE LA TABLE DES MATIKRES DU TOME IV. TRAITfi DE MECANIQUE CELESTE. TOME IV. CHAPITRE I. THfiORIE DES SATELLITES DE JUPITER. - l&QUATIONS DIFF^RENTIELLES ET FONCTIONS PERTURBATRICES. i. Considerations g6n6rales. — Jupiter possede cinq satellites. Les quatre premiers, visibles avec la plus faible lunette, ont ete decouverts par Galilee les 7 et 8 Janvier 1610. M. Barnard, de robservaloire Lick, a trouve le cinquieme, le 9 septembre 1892; il n'y a guere que trois instruments de tres grande puis- sance avec lesquels on ait pu jusqu'ici suivre son mouvement. Au point de vue de la Mecanique celeste, il y a lieu de le mettre a part; sa masse est trop faible pour qu'il exerce une influence sensible sur les quatre anciens qui, de leur cote, ne le troubleront pas sensiblement parce qu'il en est eloigne, et tres voisin de la planete, dont Tattraction sera absolument preponderante. Le cin- quieme satellite pourra cependant eprouver quelques derangements au sujet des- quels nous renvoyons le lecteur a deux Notes des Comptes rendus (t. CXVII, p. io24,etCXIX,p. 5). On pent doncconsiderera part les quatre gros satellites; la determination de leurs mouvements constitue Tun des plus beaux problemes de la Mecanique celeste. Le mouvement de chacun d'eux est incessamment devie de Tellipse invariable de Kepler : i^ Par la force perturbatrice du Soleil, dont Taltraction n'est pas la meme que sur la planete; T. - IV. I 2 CHAPITRE 1. 1^ Par le renflement equatorial de la planete, qui fait que son attraction ne se compose pas seulement du terme en -^) 3** Par les attractions des trois autres satellites. Avant d'aborder la theorie, il est bon de donner quelques indications gene- rales sur les mouvements des satellites. lis se meuvent a peu pres dans le plan de Tequateur de Jupiter. Les excentricites sont insensibles pour les satellites I et II (les plus voisins de la planete), de o,ooi et de 0,007 pour 111 et IV. Les moyens mouvements diurnes sideraux ont pour valeurs n = 2o3®,488 955 28, /i' = 101% 874 72896, 11'= 500,81760833, n"^ 2i«,57i07i 83. On en conelut n — 2 n' z= o", 789 607 36, n' — 2n" = o*», 789 507 3o. On voit done que le moyen mouvement du premier satellite est a fort .peu pres le double de celui du second, lequel est de meme sensiblement le double de celui du troisieme. Mais ce qui frappe le plus, c'est Tegalite presque absolue des differences n — 2/1' et n' — 2/1", de sorte que la relation n — 3/i' -I- 2/i' 1= o est vcrifiee presque rigoureusement. Ce sont ces relations de commensurabilite qui font tout Tinteret et toute la difficulte du probleme; bien que les masses des satellites soient trcs faibles vis-a-vis de celle de Jupiter, les perturbations sont neanmoins considerables. Voici les rapports des masses a celle de Jupiter : ni =:r 0,000 017 ; m' = 0,000 028 ; m" = 0,000 088 ; ni" = 0,000 042. Les coefficients des plus grandes inegalites periodiques des longitudes jovi- ccntriques des satellites atteignent cependant 26', 62', 8' et 5o'. Voici enfin les distances moyennes des satellites a la planete, exprimees en rayons de son equateur : 5,93; 9»44; 10,06; 26,49- Le quatrieme satellite a une theorie a part, analogue a celle de la Lune, pre- sentant en miniature toutes les inegalites de notre satellite; les trois premiers forment un groupe dans lequel ils sont etroitement unis par les relations de commensurabilite approchee. Ces satellites presentent aux observateurs les phenomenes les plus varies. A THEORIE DES SATELLITES HE JUPITER. chacune de leurs revolutions, les trois premiers s'eclipsenten disparaissant dans le cone d'ombre de Jupiter, ou bien ils sont caches par le disque meme de la planete. D'autres fois, ils passent sur ce disque qui peut aussi etre traverse par leurs ombres. C'est Tobservation de ces eclipses qui a conduit Roemer a la pre- miere determination de la vitesse de la lumiere; c'est elle encore qui a permis aux geographes de faire les premieres mesures un peu exactes des longitudes terrestres, et, en particulier, de poser sous Louis XIV les bases de' la premiere Carte officielle de la France. On comprend done Tinteret qui s'attache a une theorie precise des satellites de Jupiter. Nous allons exposer la theorie en prenant pour base la methode de la varia- tion des constantes arbitraires, comme Ta fait M. Sonilhrt (Memoirs of the Royal Astronomical Society, t. XLV), enlui apportant quelques modifications. Au fond, cette methode estadoptee par Laplace, a partir du troisieme ChapitreduTomelV de la Mecanique celeste; nous croyons preferable de Temployer des le debut. 2. liquations diff6rentielles des mouvements des satellites. — Soient m, x,y, z,r= \/x^ -^7^-Hs^ m\ x\ y\ z\ r\ m\ x'\ y\ z\ r\ rn^Xyy^^yr^ les masses et les coordonnees rectangulaires des quatre satellites et du Soleil; ces coordonnees sont rapportees a des axes rectangulaires qui se coupent au centre de gravite de Jupiter, le plan des xy etant celui de Torbite de Jupiter a une epoque donnee, i85o,o par exemple. Designons, en outre, par /Wo la masse de Jupiter, et par/ la constante de Tattraction universelle. Les equations diffe- rentielles du mouvement du premier satellite seront / d}x -, ^ X dR (-) rfZ? -^/('"» -*-'"> H="-jp' ouR represente la fonction perturbatrice ; elle est la somme de plusieursautres, ^o.u ^0,2* ^0,3 correspondent aux satellites II, III et IV; ^ au Soleil, et^, a 4 CHAP!TRE 1. I'aplatissement de Jupiter. On a, comme on sait, Lv/(^,-^)'+(7,-j)' + (::,-5)« r\ J c'ft, =/nio5 -3(0— sin*fi^j. L'expression de At resulte de la formule (43) (t. II, p. 210); elle suppose que la planete est de revolution ; b est le rayon equatorial, d la declinaison du satel- lite au-dessus de Tequateur de Jupiter, et J la constante J == X X,, 2 X designant Taplatissement de la surface de la planete, et x^ le rapport de la force centrifuge a Tattraction pour un point de Tequateur. Nous prendrons desormais b pour unite de longueur. La fonction des forces correspondant a Tattraction complete de Jupiter sera r Si Ton neglige la fonction perturbatrice R, les equations (i) deviennent celles du mouvement elliptique. Vu la petitesse des excentricites, on pent prendre ' /• - = I — e cos ( / — Gj ), a (2) ^ ^' = /+ 2esin(/— Gj), - — - cost' -I- - quantite petite qui, meme pour le quatrieme satellite, comme pour la Lune, ne depasse pas ^. Le meme calcul que nous avons fait a plusieurs reprises dans le Tome III nous donnera avec une precision suffisante (5, «=/„,£;[5(.-±/*-=.y_i]. On peut remplacery>w, par n]a% en designant par /i, et a, le moyen mouve- ment et le demi grand axe de Torbite de Jupiter. On developpe Si suivant les puissances de e et e, , de 9 et de 9^ . Nous designerons par ^,, cp^, xs^ et 0, I'excentricite, Tinclinaison, les longi- tudes du perihelie etdu noeud de Torbite de Jupiter autour du Soleil; il vient finalement Slz=z ,ija« i -H - (e*4-ej) 4^- 7 cos(2/— 2/1) — -ecos(/ — w) 3 3 -^ J Ci COS(/, — GJ,) 4- J e cos (3/1 ~ 3/-hGT) (6) — je C0S(2/, — /— 2Gy) -h -^ e*C0S(2/, — 2CJ) r 3 3 3 H-/iJa« — g (?*-+- 9t)-+- 7 ??iCOs(^— 0,)4-g 9* COS (2/,— 2 5) 3 3 1 -r g 9? C0S(2/, — 20,) - 7 991 C0S(2/, — 0 _ 0,) . La premiere partie de cette expression provient de la formuIe(i5) (t. Ill, p. 189); nous n'avons garde, d'ailleurs, que les termes qui sont appelesa jouer un role dans la question actuelle. La seconde partie s'obtient en negligeant les 6 CHAPITRE I. excenlricites dans la formule (5), el tenant compte des inclinaisons par les expressions (3)dea:, y, z et les expressions analogues de j:?!, y, et5,,cequi donne (t. I, p. 3i5) .^-•^AJ^r^L-t^_-J ^cos(/-/,)~ ' (P«sin(/~0)sin(/,-9) 9? sin (/—(?,) sin (/, — Oi) -h cpot sin(/— 0)sin(/, — 9i); on elevant au carre, portant dans c*fi, et conservant les termes de la forme voulue, on trouve bien la seconde ligne de Texpression (6). Passons maintenant au developpement de c'R.,. L'orbile du satellite et Tequa- teur de Jupiter font des angles petits avec le plan fixe des xy. On en conclut que Ton pent prendre s designant la latitude du satellite au-dessus du plan fixe, et ^^ celle du point dc Tequateur ayant la meme longitude que le satellite, relativement au meme plan fixe. Or on a, en negligeant Texcentricite, s =: 9sin(/— 0), Si = wsin[/— (i8o«— 4^)] — — ci)sin(/-H4'), en designant par i8o**— ^j; et co la longitude du noeud ascendant de Tequateur de Jupiter sur le plan fixe, et son inclinaison sur ce plan. II vient done d =: cp sin(/— (/) 4- w sin(/-t- ^), on a d'ailleurs ^^.--^-•^[?sin(/-0)4-a3sin(/^^)P; r II - —I— ecos(l~w)-\- - e^ c' cos(2/ — 20), a 2 2 d'ou J o — =:\-h 3eCOS{l — TJ3) H e^-h- e'C0S(2/— 2CJ), /•» et il en resulte, en remplagant/zwo par Az^a', / r Q 1 Ai = Jn* -r 4- ^cos(/— gt) -^ - e*-+- - e*cos(2/— 2cj) cp' w* I I ^ 2 2 2 2 (7) ( H- - Cp'C0S(2/— 26) -h- Ci)*C0S(2/-h 2^) — 9WC0S(i}^ -4 6) -h9&)C0S(2/— 0-4-4') • II reste enfin a passer au developpement de .^o,!- Les formules (37) et (4i) du Tome I, p. 309 et 3 10, donnent, en changeant THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 7 X et CO en / et ts, ce qui peut se faire a cause de la petitesse des inclinaisons mu- tuelles des orbites des satellites, -^ eRo.t = - A» 4- - y A(0 cos(«T - ^7) - -^ cos(/'~ /) - - y (2/A(^>4-A'/0«cos[/T-(i-i)/-Gj] H 7^ ecos(/' — cj) Ti e cos(2/— V —m) 2 a" ^ ' 1 a' (8) - ^ Ti'BCJ 4- ' (A',«'4- A',") _i(4A") + A',")ecos(2/'-/-BT)4- ^(^3A<')4-A'," — |^)e'cos(a/'-/-oj') + 7(23A<») + 7A<,*' + A',»')e'cos(4/'— a/-2nj) 4 -h - (A(«) - Ai^' - Ai»0 ^^' cos(Gj - Gj') — - (21 A(') 4- 7A\') + k^i'^)ee' cos(4/' — 2/ — cj- gj') -H7(i9A<»>4-7A^i»^4-A;»0«'*COS(4/'— 2/— 2GJ') 4- - YJ«B<»> C0S(4/'- 2/— 2t'). Dans Ics signes y, i doit prendre toutes les valeurs entieres positives et ne- gatives, excepte zero. Toutefois, dans le second ^ , i ne doit pas recevoir la valeur -h 2, car le terme correspondant a ete ecrit plus loin explicitement, en raison du role important qu'il est appele a jouer. Dans les termes du second ordre, relativement a e, e' et y), nous n'avons conserve que les termes seculaires en e^, e'^,ee'cos(Gy — cj'), y)*, et les termes en [\l' — 2/, qui donneront nais- sance a des inegalites a longues periodes, en raison de la petitesse de la quan- tite t\n' — 2/iiz: 2(2/1' — n), Les deux dernieres formules (4) du Tome I, p. 293, donnent ifi sinr' = 9 sin 0 — 9' sin0', ancosr' — 9cosd — cp'cos0'; on en tire aisement 4n* = cp'4- 9'*— 24- 7a^ h -a* —T-r- )e*cos(4r— 2/— 2cj) 4 \ ^ da 2 da* ) ^ ' ( 21 A^'J-f- 7«-^ ^- -q* > , jee'cos(4^ — 2/— rs — m') + ^(^i9A(«)4-7a-^^-f.-a«-^-je'«cos(4/'-a/-2Cj') - gB(»[cp*-f- cp'*— 299' cos(0 - 0')] 4-|B^»)[cp=COS(4/'-2/-20) -i-9'*cos(4/'-2/ — 2 0') — 2(p9'cos(4/'— 2/— 0 — ©')]. m' Nous remplaceronsyJw' par n^a^ — , et nous ecrirons simplement m' au lieu mo 1 m de — II y a lieu d'introduire quelques notations pour simplifier; posons a' *• -^ 4 'i (10) '^ (o,i)= im'/iaB^'^ [0,1] — 7//i'AiaB^*\ 4 4 I jo,il z= y m' naB (3) On remarquera que* ces quantites (o), [oj, ... sont du degre zero relative- ment aux longueurs a, a\ et du degre i reiativemcnt aux moyens mouvements. Le sens des notations (0,2), (o,3), [0,2], [o,3] resulte clairement des for- niules (10). TIIEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 9 Si main tenant on reunit les expressions (6), (7) et (9) des fonctions pertur- batrices, on trouvera, en groupant convenablement les termes, que la fonction perturbatrice totale, pour le premier satellite, est egale a (II) R = Ro-^ Ri-h.-f-Re; Ro — m'n-a^ | i ^ A^'^ cosC//'- il) — -^^ cos(/'- /) (12) H 7-ecos(/ --57) 77 e COS (2/— I' — in) x a* 2 a'* 3 "^ T«I«'[cos(2/— 2/,)4-ecos(2/i — 3/-I-GJ) —3e cos (2/1 — / — cj)] [I / ^A(*^\ / Qs i ^»" .7''«*{(o)^-[o]-i-(o,i)-h(o,2)-+-(o,3)le* (i3) / 2 » ( — /2a'{[o,i]ee'cos(cj — cj') 4- [o,2]ee''cos(nj — gj') + [o,3]ec"'cos(nT — w*')}; (i4) R, = -/m'j[o] (ef — 9f ) — (o)ci)*H- 2[o]ei cos(/, — gj, ) -h 5[o]e2 cos(2/, _2nj)j; <^A^*> f d*A<*A 22A<*^4-7«-. • — g- , J g^cos(4/^— 2/-— 2ro) R^= jni'n-a^ ' — 2 ( 21 A<*)4-'7a —^ h -a- ^ J 6Vcos(4/ — 2/— ct — ro ) f i9A<«)-f-7a-j^ .H_ai__\e'2cos(4/'-2/~2ro^); ) j R5 =^ - ^ /««* j(o) -4- [o] -h (0,1) 4- (0,2) 4- (o,3)JQ* ^'^^ ' -H /*a'[(o,i )cpcp' cos(0— &') -t- (0,2)9/ cos(6 — ^'') -f- (0,3)99'" cos(^ — O")] — /ia'(o)9&)Cos(9 -^4^) "^ «a*[o]99, cos (6 — 6',); Rg— iwa«}o,ij[9*cos(4/'~2/— 2^) — 299'cos(4/'— 2/— (? — ^')] (16) ^ -f- -/m*[o] [9' cos (2/, — 2 0) — 2991 cos (2/, — 0 — ^i)] -/^a*(o) [9*C0S(2/— 2 0) -h 2 9Ci)C0S(2/— 0-1- 4')]« II faut entendre que Texpression de Ro doit elre etcndue aux combinaisons du premier satellite avee le deuxieme et le troisieme; il y a done deux parties ayant T. - IV. ' ^ 2 » )} )) I O CHAPITRE pour coefficients m^n^a} el m'^/i'a', qui n'ont pas ete ecrites. La fonclion Ro donnera les inegalites a courtes periodcs des rayons vecteurs et des longitudes, et une inegalite solaire {la va- riation)*^ Ri )> les inegalites a longues periodes ; R, » les complements apportes par M. Souillart aux inega- lites precedentes; » R2 )) les inegalites seculaires des excentriciles et des peri- jo ves; R^ » les inegalites seculaires des nocudset des inclinaisons; Rj » I'acceleration seculaire et deux inegalites solaires im- portantes {l* equation annuelle et Vevection); Re )) les inegalites periodiques des latitudes. 1. II faut montrer maintenant comment on passera de la fonction perturba- Irice R du premier satellite a celles, R', R" et R'" des trois autres. On aura a in- troduire les quantites (0» (2), (3); [i], [2], [3]; (1,0), (1,2), (i,3); [j,o], [1,2], [i,3]; ji,oj, ..., qui sont suftisamment definies par les formules (10). On volt immediatement que Ton aura les relations Les expressions de R^, R,, R5 et R^ seront ctendues immediatement a R^, . . ., „ f • • • f rXn , • • • • Mais il nous faut enlrer dans quelques details au sujet de R, et de R4 qui donnent les inegalites a longues periodes. En se rapportant aux formules (37) a (4i) du Tome I, p. 809 et 3io, on verra que R', se compose de deux parties : La premiere provenant du satellite I, et contenant 2/'— /; La seconde provenant du satellite III, et contenant 2/" — /'. On trouvera sans peine R; = mn'^a'^ \- ^ Uk^^) H- a ^^\ e cos(2/'— / - m) nt'n'^a'* \— i /^4A'<«'+ a' ^^) e' 008(2/"— /'— ro') TIIEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. > > R", =/n' «'"«'»[- V4A'(»)+a'^^'')e'cos(2r-/'-nj') Les fonctions A'^'^ et A'^^^ sont definies par {'equation -4-«o (i8) ' = - y A"" cosCjV'— i7'). ' \/a'*-ha'*-2a'a'cos(l'—l') « -^ Cela fait, nous poserons da a* drt (»9) \ F'z=4a'A'^*)-f-rt'*^^, r/^^-Sa^A'^^^-a'a"^-- da a^ da' On en tire aisement \ da a'* J a' aa'^ a' /i* a a' - a' (3A'<«> -h a'^ - i^ ) =. ^^G'-^ ^"^ , ,f r^ -,G'h- * ,, "^ ^ = ~ G'; / + «'-^) =^F. Nous avons pu, dans ces termes relativement peu importants, supposer n == 2/i', /i'= 2/i". II viendra ainsi [ R,= - -^ni'^'' «* [f ^ cos(2/' — /-cj) +^Ge' cos(2r-/~cj')l, (20) \ R; ==:- ^ /n'/i'*a''« rGVcos(2/''- /'-- id'') -h ~F'e' cos(2Z''— r- Gj' )1, Si Ton pose pour un moment a a' , a' a^ »2 CHAPITRE I. les formules (19) donneront {voir t. I, p. 288), ^6<*J I db^^^ Or on a a'» a'« /rn"* CO qui se reduit sensiblement a i, a cause des relations approchees /r := - , n =z 2/1 . 2 a difiere done peu de a', et, par suite, les differences F' — F et G' — G sont tres petites, de sorte que Ton pourra prendre souvent (21) * F=:F, G'=G. Passons maintenantaux fonctions R^, R'^ et R\. Nous ferons -m',,(22«A(*)-^7a« -j^-f--«' 'da-j^^^'- 2 \ ' Ja 2 c^a* / -mn' { 2ia'A^3^ 4- lo'a —z h - a' a- — t— r- I = ^1.0; 2 \ ^ da 2 ocr J ' (22) (23) da' 2 \ ^ ' da' 2 (?a" / ^ 2 \ ' (^a' a / ^ cos(2/— 2/1), a L2/i(/i — /ij) :\n{6n — 2/ii) L\n(n — 2/1,) J ^ r 3/1* Q/i* 3/1 J Q/i! 1 . , f f V 5*^= i ■ — Q, ' ,. 75 r H r^—^ -N sin(2/— 2/,). L 2/l(/i— /!,) 8(/l — /Ji)* 2/1(3/1 — 2/1,) 2/l(/l — 2/li)J On pent developper les coefticients suivant les puissances de la quantite — > qui est egale a -j-r- p^ur le satellite I et a -^ pour le satellite IV. On trouve ainsi, en ne conservant que les tcrmes en f -- j 2 (3) — — 1 C0S(2/— 2/1), di'=:i-h - — ^ Sin (2/— 2/1). a /I* 8/1* C'est rinegalite qui, dans la tbeorie de la Lune, a re^u le nom de variation, et les coefficients de cos(2/— 2/,) et de sin(2/— 2/,) sont les parties princi- pales des coefficients correspondants de la tbeorie de la Lune. 6. InSgalit^s k courtes pSriodes. — Gonsiderons maintenant le reste de Texpression de Ro [formule (12) du Cbapilre I Ronz/n'/i^a'ji^A^^JcosCi/'-//)- i^^ OMO cos[iV'- (1 - i)/- cj] (4) { 7^C0S(/'— /) H vieCOS(/'— GJ) ;^eC0S(2/— /'— TS)l \ a * 2 a'* 2 a'* ^ ^) -h /i*aM -; 7 nva^ ecos(/— gj), \a= 2 /I* 2 c/« / "^ ^' 1 6 CHAPITRE 11. oil nous avons pose, pour abreger, (5) 'Dl.>('*)trz2/\(')4-r^-^— • da Nous avons mis en evidence le terme I I dX^^^ m' n^ a^ V\>^^^ e co^i I — xn) - . m' n^a^ — r — ecos(/— gj), (le facon que /" = o soil excepte des deux signes V. En operant comme prece- demment, prcnant les seuls termes periodiques ct dirigeant le calcul de faQon a negliger I'excentncite e dans le resultal final, on trouve S =-- ^"'"'^ [2'A(') sin(//'- //) - i^sin(r- /)]. '/ifl^r^/A^') sin (//'-//)-^ sin (/'-/)], ^^_ ,n na l^^a -^^ cos (f/' — f /)--,, cos (/'—/) ; pour former -y * qui donne ^> on n'a pas fait varier a dans le coefficient n}a^ de la formulc (4), car ce coefficient a etc mis a la place de///io; on a ensuite (t. I, p. 171), 4- /M -4 fn'a^ — , — cos /, \a* 2/1* 2 da / ~^ni'na ["^ ^2'''^^'' sin[//' - (^ - i)/] - [ ^,- sin/'- [ ^, sin(2/- /')] /.I n\ I , .^A^« \ . , da dl a* 2 /i * 2 da On en conclut, par des quadratures facilcs, L -^ i{ri — n ) da ' n — n a'* ^ ' y TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 1 7 = ni'\--y[— p. —a\Si>(f)sin[il'-{i-^i)l] H ; -7^ sin/' ; -7-. sin(2/— /') 2 n' a'^ 2 2n — n' a'* ' /J n\ I , ,dA<«)\ . , 8X: = m' j - - y -r-^ % - - --aiJl,(') cosfiV' - (« — i)/] I 2 .^d m' — (1 — \)n ^ ^ 3 « a' „ I n «' , , ,,v 4- - —7 -ttCOS/' 7 -rr cos(2/ — V) 2 n' a'* 2 2n — n' a^ ^ -+- -: \ nv a^ — T — cos/. \a* 2/1* 2 c/a / En portant ensuite dans les formules (2) et rcmettant pour iii>^'^ sa valeur ( j), on trouve, sans trop de peine, - - "»' S 1 [-— ^ -T- - - -1 « A") (6) — -; ^ a* '^— cos ( W — il) m' — {i — i)n da ) ^ 2 m , a' / 2/1 3/1 I n \ . ., .. — '^ -Til 7 -' f 7 )C0S(/'— /) a'*\/i— /i' 2 n' 2 2n-'rv ) ^ 2n} a' 2 {/a -^irf( Lm' — (t — i)/i 2i\n — ir ) J (0 / X ] r '^ I /I 1 ,<>A<'u . , ... ... (7) < -^ -w — r^ ^ ^- 7 M* "Ti — sin(i/' — «/) — /n'-yr 3— , H T -h3 ; \ -\ — A sin(/'— /). a'* L f^ 2n — n! \n — n' J n — n'\ ^ La paptie constante de ^r^ dans la formule (6), appelle une reflexion. La partie non periodique de R est, d'apres les formules (6), (7) et (9) du n*^3, R- ln\d'-\- \in}-^- fm'K^^^; on en conclut, pour le terme constant de ^» dt dt" 2 dR _ na da ~ /I a* c/a en faisant • a-. 2 J n] , ,dA^<» -,- ^ — /n'a»-. — • a* /I* da T. - IV. 1 8 CHAPITRE II. On aura Or, ce que donne Tobservation, c'est Si de la valeur n^ ainsi trouvee on conclut une valeur approchee de a, a©, par la formule ce ne sera pas la vraie valeur; on aurait du prendre 11 en resulte ^=^o(5)'=^^( i4-|a la partie constante de r sera done, en ayant egard a la formule (6), on aura done tinalement On pent supprimer les indices o et dire que, a etant deduit des observations, les perturbations produisent dans le rayon vecteur une partie constante * \3rt* b//* 6 da J II faudra ajouter deux tcrmes en m" et m"\ pour tenir compte des actions des satellites III et IV. Remarque, — Les calculs que nous venons de faire pour obtenir les formules (G) et (7) sont identiques a ceux du Chapitre XXII du Tome I, et nous aurions pu abreger un pen en nous reportant a ce Chapitre. Dans les formules (6) et (7), il faut ajouter des termes en m" et m"' pour avoir egard aux attractions des deux dcrnicrs satellites; enftn, par de simples changements de lettres, on deduira de ces formules les expressions de 8/, lv\ y\ y\ Sr" et y". 7. Influence des fonctions R| et Ra* — Si Ton porte dans les equations THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 19 dirterentielles , de (J(R,-hR,) , dm d(Ri-f-Rt) dt drs dt ae les expressions (i3) et (20) donnees dans le Chapitre precedent pour R, et Rj, on trouve ( de dt 5? = - [o, i]e' sin (m - xs') - [o, i]e" sinCw — m") - [o, Z]e' sin(cj - m*') H- - /w'/iFsin(2/' — l — xs)y 2 (9) ^^ == [(o) -+- [o] H- (o, i) -h (o, a) -h (o, 3)]e — [o, i]e' cos(cj — cj') — [o, 2]e'cos(m — cj") — [o, 3]e*' cos(m — cj'') /n'/iFcos(2/' — / — cj). II convient de poser (10) (m oj =(o)4-[o]4-(o, l)-h(0, 2)-+-(0, 3), J [lL]=(l)-f-[l]-+-(l,0)-4-(l,2)-4-(l,3), et, comme on Fa deja fait, (ArresincT, A'— e'sincj', h" 1= e" sinrs'^ , h'^ =z e'^ sinm' ^ ( A:z=ecoscj, A'= ^'cosm', k" =i e" costs" ^ k' =z e' cosw'" . (") On Irouve aisement que les equations (9), et les equations analogues pour les autres satellites deviennent (A) I dt dk dt dh' dt dk[ j dt dji^ dt dk^ dt dh' o[ Ar-f-[o,i]^'4- [o, 2]r-f- o ' A-[o, i]A'-[o,2]A''- I 1 A'-+-[i,o]A'-f-[i,2]A-^ h'-^[l,0]h-[i,2]h"- - [jH r 4- [2, o]k-^[2,i]k'-^ 4- ryn A''- [2, o]/i — [2, i] h' - dt dk^ dt ~ (_3 A^'-h [3, o] A- -h [3, i] ^ -h r3n h'— [3, o] h - [3, i] A' - o, 31Ar*' = ni'nF cosu, ■" 2 o, 3]/i'^ = -*--m'«F sinw, ■^ 2 i,3]A:'^=: mn'Gcosu m" n' ¥' cos u' , 2 2 i,31A^ir:+i/n/i'G sin«/-him''/i'F'sinw', -•2 2 2, 31 A:*' = m' n' G' cos w', ■" 2 2,3]/i'^ = -+--m'/i'G'sinM', ■" 2 3, 2] A:" = o, 3, 2]A'' = o, 20 CHAPITRE II. en faisant (12) u=:2i'~-i, u'=2r--r. On a ensuite • d^p dt^ 3 (^R, d^p' dt* ~ 3 (JR; . . . , et ces equations deviennent d'p di^ (B) :- - m' n* \ F {k sinu — h cos u ) -\ — -, G ( Ar' sin w — h' cos w ) , d^pf r a' 1 —jjr = — 3 mn'^ G{k' sinw - h' cosm ) n F(A^ sinw — h cosm ) 4-^m''/i'«rP(^'sinw'-//cos«/')4- ^ C'C^^sinw'- A'cosm') 1 > I ^^=-3m'/i''»rG'(/t''sinw' -/i^cosw')-^ ~F(A:' sinw'- A'cosw') 1 . Nous allons intcgrer les equations (A), en faisant d'abord abstraction des perturbations de u et w', en admettant done que Ton ait I u — iin' — n)l -\- It' — t, u' — {in"— n')t-h 2e"— e', (»3) \ du , du' I —z=zin'~~n^ '~~r- ---- 2 n" — n\ •A MM dt 8. Integration des Equations (A). — C'est un ensemble de huit equa- tions lineaires du premier ordre, a coefficients constants, et avec seconds membres. Nous integrerons d'abord les equations sans seconds membres. '^ -[irjA- -+-[o,i]A'' + [o,2]A'-t-[o,3]X''^o, (.V) )Tt ^13* -[o,.]/,'-[o,2]A'-[o,3]/«' = o, ~-l- ni]/r-[3,0]A -[3,l]/.'-[3,2]/t'rrro, dt L<'s integrities gcnorales de ces equations sont faciics a obtenir, d'apres ce THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 21 que Ton a dit au Chapitre XXVI du Tome I sur les equations analogues relatives aux inegalites seculaires des planetes. Elles scront de la forme M s\n{gt M cos(^^ M' sin(^^ (3) M, sin(^i^ M, cos(^i^ M; sin(^i^ (3i) P.) Ml sin (^, ^ H- pj) -h M, sin (^3^ -+- (3j), Mj cos(^,^ -i- |3,) -+- Ms cos(^3 1 -t- Pa), A-'^ = M'' cos ( ^^ -t- (3 ) 4- M'; cos (^1 ^ -+- (3i ) ^'^ on S^a ®^ S's sont les racines, toujours reelles, de Tequation du quatrieme degre (i5) ^ — o [i.o] [2,0] [3,o] [o.i] [2,1] [3,1] [0,2] S •2 [3,2] [0,3] [',3] [2,3] ff-\ 3 ^o. Les rapports des quantites M, M', M", M" a Tune d'elles, M par exemple, sont determines par Ics equations (16) ( ff [i.o] M [2,0] M [3,0] M [0,1] M'+ [0,2] M"+ [0,3] M' (^'-TlDW-h [1,2] M'-+- [1,3] M' [2,1] M' 4- (g- - [Vj ) M" + [2,3] M' [3,1] M'+ [3,2] M'-h{ff-~Jj)M' = 0, — o, = 0, nr o. m; m; Les rapports jjji.gi,.,jjj-' m; m; 9 seront determines par des M, Ms M3 equations analogues que Ton deduit de (16) en metlant aux lettres ^, M, ... les indices 1, 2 et 3; il y aura huit constantes arbitraires, savoir fl, p,, Pa, p,, M, M,, M2 etMj. II reste maintenant a trouver une solution particuliere des equa- tions (A); on la cherchera sous la forme A =z B sin a 4- B, sin u'y h' = B' sin u 4- B', sin «/', h" =: B*' sin u 4- B'i sin w', X: = B cos a 4- B, cos u\ k' = B' cos u 4- B', cos u\ k" =z B'' cos u 4- B'J cos u'; en substituant dans les equations (A), egalant dans les deux membres les coef- ficients de sin a, cosw, sinu' ct cosw', apres avoir tenu compte des valours (i3) 22 CHAPITRE I!. ^^ dt ^^ ^® "57' ^" trouvera (17) (18) n — 2/i'4- nn)B -[o,i]B'-[o,2]B''=: -m'/iF, /I — n n — in"-\- r^)Bi )b; n' — 2/14- I [i,o]B [3,0]B [o,i]b; [i,o]B, [i,2lB'= - m/i'G, a [2,I]B' [0,2 ]b; [i,2]b; o; =zO, I - m'^/i'F', 2 n' - 2/i"-f- piT] ) B; - [2,0] Bt - [ 2, i]B; m i/n'/i^G'. Le calcul montre que les quanlites [0,1 j, [0,2], . . ., qui contiennent toutes en facteur la masse d'un satellite, sont petites par rapport aux quanlites n — in' -\- (~"o~] , ..., n' — in"-\- o | , ..., et Ton a ces solutions tres approchees 1 m' nF B n — 2 n' H- B' = mn'G o n — 2 /i' 4- ,_ i[ ni^n'F' I b;^ 1 /n'/i''G 2 ^/_2n''-4- [JJ B'' = o, B, — o. On pourra, du reste, si Ton veut, obtenir tres facilement les petites correc- tions de B, B', ... en remontant aux equations (17) ct (f8). On aura done ainsi Tintegrale particulii3re cherchee, ct en Tajoutant a Tinte- grale generale (i4)> on obtiendra, pour les integrales des equations (A) : - smw 4-Msm(^^ -1- p) -h. . ., n — 2n' 4- |__o_ 2 m' nF h' — - - n— 2/i' 4- r~^ mn'G ^ cosM 4-Mcos(^^ 4- (3) 4-. . ., J n — 2/1 4- I m"n'F' -— sinu 4 1 I ^ /i' — 2 /i'' 4- i s.ina'4-M' sin(^/4- (3) (C) M' = - — ^ /i — 2 /i' 4- ' t I \ mn'G I m"n'F' , .-, / . . qn 7-_^^cosa4- cos u' 4- M cos jgt-hp) 2 /l'— 2/i''4- [ I J /*':=.-- //I'/i'^G ^ /l'— 2 /l'^ 4- 2 - sinM'4-M'' sin(^^ 4- (3) r==- - m'n"G' ^ /l'— 2/l''4- - cos m'4- M" cos (^^ 4- (3 ) 4- ... , J A'*— M*' sin(^^-4-(3)4-..., 1 A:^=rM'"cos(^r4-|3)4...... THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 3 En portant ces expressions dans les formules(2), on aura les inegalites cor- respondantes des rayons vecteurs et des longitudes, savoir, (19) or a m' nF 2 n — 2/i' -h cos(2/^— 2/) — Mcos(/ — ^^ — |3)— ... , o SV := — -- sin(2/'— 2/) -f-2Msin(/ — ^^ — P) n — 2/1 -h o Sr J a' 1 2 mn'G dv' n — in' -^ I 1 I m/i'G n — in' -\- cos(/'— 0 cos(2r— 2/') — M'cos(/' — ^^ — (3) — sin(r-/) "^^ ^'^^z,^^ %\i\{2l" - ii) -^ iW sm{l' - gt - ^) n'~ in" -\- I I I a' m'nTi ^ n'— in"-\- iv' =- m'/i"G n'— 2/1*'-+- |_2_J cos( r— /') - M" cos(r — ^^ - (3) — . . . , sin( /"- /') 4- 2M'' sin (r - ^/ - (3) 4- . . . , dr' ! a'' = - M^cos(r~^^ — (3)-..., 5i^ r= 2]Vr sin(r — ^^ — [3)4-.... Les termes qui conliennent en factenr Tune des quantites F, G, F', G' sont les inegalites a longues periodes, qui ont des valeurs considerables, a cause de la petitesse des diviseurs n-- iri -f- o ♦ • • • 9. Grandes inSgalitSs des longitudes moyennes. - Nous allons porter les expressions (C) de A, ^, . . . dans les formules (B); nous trouverons d'abord A* sinw — ^ cosw = Msin(2/'— I — gt — ^) —, , ,^ k' sin tt — k' cos « = — - m"n'Y 2 „/ n'— in"-\- ri~] I t, . , r, I ' mn'G k' sinM — h' cosa'r=:4 ^- ^ n — in' -h I T "] sin(//'— //) -hM'sin(2/' — / — ^/-- (3) 4-..., sin(w'- w)4-M'sin(2r— /' — ^^ — (3)4-..., Ar'^sin//'— A''cos/i'=M"sin(2/"— /'— y-^ — (3). TA**'^^ r. ^.» f •:*»* ^1 - - T r • - - . -J -jji . . — — jrr — i. P'lr-in f — I - ] -'•r T/FT Af i.^r .iH — I — I - 2/1 — ) F'G^iiK «' — tft. ^r ^^ -n t- - - ^r — ^- ] — i./f t — r 'r MQ « — I . £a iif ••mstufniit rtn? e?r jmnierr!? )arties ie •*?$ ^xpretjsions el integrant - • t^M -401 il' — / — ^^ — 3.— ... 1, -...], -^-^'t-3.^...]. Hii.> i r-'^«> >*^t 1^ .•>a>;«ie«>*r. iair:?- ^es 'Equations = joi. Jes termes qui, tout .».r \5.«u u ^mrtf ill 3i*'»auU ie ieu\ ino^i^es^ ]«meQt un role important; dans r^ .rr*ut*s lui •.uHft*»iiu'*u ^ii» i - i • rious preu«in)ns n — 2n' = n — in" i;*it> o> 4i*:>^'«t^ ,H t i't . t ~ -! t ians les ooetKcients. Nous Irouverons fV' I t M'r« ./' ■^ « ■ « /W /W ._ . a ' u* >.4 .* . F G sin r • t a ' > I I n I i 1 - FG THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 2D 10. De la libration. ThSor^mes de Laplace. — On lire aisemcnt des equa- tions (22) On trouve par le calcul numerique, F'>o, G o; en posant (.3) s-k(^'+«5;i' + ^5^'). 6 sera reel ; il viendra -— - = 6-si»^. On en deduit, en designant par C une constante arbitraire, (24) dt-- '^^ on est ainsi eonduit a une integrate clliptique. Dans la discussion, il y a deux cas a considerer : I** C > 26^; & varie toujours dans le nieme sens, passe par les valeurs ± 7:, ^S '* 9 ■ • • • 2" — 2 6^<^ C < 26=^; on peut faire Cr=2 6*C0S^', dt^ ' ''^ V/26* \/cosS'— cos^ & oscille entre les limites Sr' et 27: — &'; on ne pent jamais avoir 2r = o, ^ = 27:, . . . ; la valeur moyenne do ^ est tt. Le premier cas doit etre exclu ; soil en eflet C = 26- -1- t*, on aurait, pour le temps T que mettrait Tangle & pour croitre de t: a 3 -> rp r d^ /* d.v 26* 4- 26* cos.r T<-— ^ < ' 2^/7*4-26* 2V^26** avec la valeur numerique connue de 6', on trouve T < 4oi jours. Or, les observations ont montre que Ton. a, a fort pen pres, ^ — /_ 3/' 4.2/"^ 180" T. - IV. \ 26 CHAPITRE II. et que les variations de &, si elles sont sensibles, sont tres restreintes; & ne peut done pas augmenter de 90** en 401 jours. Le second cas est ainsi le seul possible, et & oscille autour de 180*^, sa valeur moyenne; on aura (i5) /- 3/'-h2r=i8oo-h&' = (« — 3/i'+2/i'')^ + e — Sfi'-hafi"; Sr' etant periodique, ou du nioins toujoups compris entre deux limites que les observations montrent devoir etre extremement petites, on doit avoir (26) n — 3n' -h 2n''=: Of et cette equation est rigoureuse si Ton emploie pour n, n' et ri' les valeurs con- slantes des moyens mouvements; avec les moyens mouvements osculateurs, il v aurait une oscillation autour de zero. L*equation (25) donne ensuite Les equations (26) et (27) exprimentdeux beaux theoremes auxquels le nom de Laplace doit rester attache, car c'est lui qui les a demontres le premier. En faisant & = 7r — a: dans 1 equation (24) et remarquant que x est tres petit, d'apres les observations, on peut ecrire dx dx dt-- \/C 4-26* cos^ /C 4- 20* — 6 -a:* In \ ou j:'=:Dsin(6^-hE), en faisant ^-\/^W et designant par E une constante arbitraire. On aura ensuite (28) 2r — / — 3/'-+-2r=i8o«— l)sin(6^-+-E), en se bornant a considerer dans & Tinegalite qui provient des termes du second ordre par rapport aux masses. La periode -g- de cette inegalite est de 2270 jours, soit un peu plus de six ans. Revenons maintenant aux equations (22), qui sembleraient devoir donner des inegalites tres considerables, si elles renfermaient reellement le diviseur {n — 3^1' -h 2/1'')^. Mais la relation (^28) donne, D etant tres petit, sin2r = Dsin(fi^-+-E) TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 27 il en resulte dH m'm"^ . ,^, p^ dH' ^--^-«^»sin(6^ + E), ■^-.•.. / ^, ni'ni" KD . ,^ ^^ dl= ~^- -^sin(6^-f-E), (29) ^ d/'^--4- -^7^ -g,-sin(6/4-E), KD Laplace designe sous le nom de lihiation I'inegalite-g^sin(S^H-E), qui se repartit ainsi entre les longitudes des trois premiers satellites, suivant un rap- port dependant a la fois de leurs masses et de leurs distances moyennes a Jupi- ter. Cette inegalite est tres probablement insensible, car toutes les recherches de Delambre, pour la mettre en evidence d'apres les observations, ont ete infruc- tueuses. Le$ trois premiers satellites ne pewent jamais 6lre eclipses a la fois. En effet, la relation (30) /— 3/' 4-2/"==: 1800 s'applique aussi aux longitudes moyennes synodiques L = / - /„ L'= /'- /„ L"= r~ /„ car /, disparait de cette relation. On a done L-3L'4-2L''i=i8o°. Or, dans les eclipses simultanees des satellites I et II, on a L = i8o^ L' = i8o°, d'ou L''=27oo; dans les eclipses simultanees de I et III, on a L = i8o% L''==i8o°, d'ou L'r=:i2o«; enfin, dans les eclipses simultanees de II et III, on a L'i=i8o% L''=ri8oS d'ou L = 36o% de sorte que le premier satellite, au lieu d'etre eclipse, pent produire sur Jupi- ter une eclipse de Soleil. 26 CIIAPITnE II. et que ies variations de 3r, si elles sont sensibles, sent tres restreintes peut done pas augmenter de 90" en 401 jours. Le second cas est ainsi I possible, et & oscille autour de 180**, sa valeur moyenne; on aura (a5) /-3/'-h2r=zi8o«4-&' = (/i-3/i'+2/i")/ + £ — Se'-hae"; £r' etant periodique, ou du moins toujours compris entre deux limites < observations montrent devoir etre extremement petites, on doit avoir ( 26 ) /I — 3 /i' 4- 2 /i" — o, et celte equation est rigoureuse si Ton emploie pour n, n et n" Ies vaieu stantes des moyens mouvements; avee Ies moyens niouvenients osculat v aurait une oscillation autour de zero. Inequation (25) donne ensuite ( >,;) £ — 36' -f- 26"— i8o". Les equations (26) et (27) exprimentdeux beaux theoremesauxqueis de Laplace doit rester attache, car c'est lui qui les a demontres le premi En faisant & = i: — a; dans Tequation (24) et remarquant que x i petit, d'apres les observations, on peut ccrire , dx dx dt— —^. V'C -+- 26* COScT y/"C -+- 20* — c-x* d'oii ^ = Dsin(6/-+-E), en faisant D=^ 26"' et designant par E une constante arbitraire. On aura ensuite (28) 2r — /— 3/'-h2/''=i8o«— l)sin(6^-t-E), en se bornant a considerer dans & Tinegalite qui provient des termes di ordre par rapport aux masses. La periode -g- de cette inegalite est de 22 soit un peu plus de six ans. Revenons maintenant aux equations (2^), qui sembleraient devoir do inegalitcs tres considerables, si elles renfermaient reellement le tji — 3w' h 2^")^ Mais la relation (^28) donnc, D etant ties petit, sin37==J>sin(S^ -hE) 28 CIIAPITRE II. 1 1 . Reduction des in6galit6s p6riodiques des trois premiers satellites. — Les relations (26) et (3o) permettent de simplifier les expressions (19) des inegalites provenant de R, et Rj. On en tire, en effet, a)) /? — in' — n' — 2/?■^ 2r_2/'=:l8oo+r-/, ' ar a I - in 2 n n — '2 n' -f- I o I Fcos(2/'-2/). n m' n — 2 n H- o Fsin(2/'-2/) = (l)sin(2/— 2/'); i (,nG — ni'T) '— ^ n — 2 /i' -h -cos(/'— /), ] &v' — -~{m{^-m"^')- n' n — 2 n' H- sin(/'-/)=i-(II)sin(/-/'); or" a dv" I n It I - ni ^ n — 2n' -\ 2 G'cos(r-/'), n — ._ ,„' n — in' -\- 2 G'sin(r— /') = -- (III) sin(/'-r). Considerons les expressions preeedentes de S^s ^v' et S^" dans le cas des eclipses; nous pouvons rapporter les longitudes a un axe anime d'un mouve- ment dc rotation uniforme, car son mouvement disparaitra dans les differences / — /' et/' — l". Choisissons pour cet axe le rayon vecteur mene dc Jupiter au Soleil, en faisant abstraction de Texcentricite de la planete. Soient v, v' etv" les inoyens niouvcments synodiques des trois premiers satellites; nous aurons 5r — _ (l)sin(2v^ — 2v'^ 4- 25 — 2£'), 3(>'-- - (Il)sin(v^ — v'/-hc — £'), ^('"-^ - (III) sill (V'/ - Vt-\- £'-£"). Concevons que t et e' soient nuls, ce qui revient a admettre que les deux pre- miers satellites aient ete en conjonction a Torigine du temps; en ayant egard a la relation (27), on aura et les formules preeedentes deviendront 6v = 6^'^ (1) sin(c«)/ -I- v^), (Il)sin(a)/-h v'0» (ni)sin(oj/ -f- v'i — Qo**) TllEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 29 Or, dans les eclipses des satellites, v/, Vt et v"/ 4- 90"^ sont des multiples de la circonference; on a done alors St'nr (I) sin CO ^, or' =: — (11) sinw^ 01'*'=: (III) sin gj/. Done, dans les eclipses, Ivy S/ et Iv" dependent du meme argument w/, et la periode commune T de ces eclipses est 27: T ~ — — 7 ~437i,659. Ces resultats sont conformes aux observations qui avaient fait reconnaitre les inegalites precedentes avant qu'elles aient ete indiquees par la theorie. Les inegalites (D) ont pour valeurs numeriques dv 4- 25',9sin(2/- -2/'), 3('' — 61,5 sin (/ — n, 31'" 3,8sin(/' -I'). Si Ton reflechit a la petitesse des masses des satellites, on voit que, pour ob- tenir des inegalites aussi importantes, il faut des conditions de commensurabi- lite aussi remarquables que celles que presente le systeme de Jupiter. 12. Calcul de rSquation annuelle et de rSvection. — Ces inegalites rcpon- dent aux deux dernieres parties de Texpression (i ^1) de R3. Prenons d'abord ia formule Rj~ - n\a^ei cos(/i — ct,); 4 (it 2 dR na d(i deduite des formules (4) du Chapitre I, nous donnera d*ou, en integrant, (3i) di cU Zn\ Oi' li 3/i e, C0S(/, — GJj), r=z ^ ej sin(/, - GJ, ). // Cette inegalite, qui est Tanalogue de I'equation annuelle dans la theorie do la Lune, est sensible, parce que le petit diviscur n a agrandi le coefficient et aussi parce que Texcentricite e, de Torbitc de Jupiter est notable. Prenons, en second lieu, Ra^: -^ /iJa'e*cos(2/, -- ivs). o 3o CHAPITRE II. Les formiiles (4) du Chapitre I donnent de (it dm 7u -7 !-esin (2/1 — 2ct), 4 '* i-ecosia/, — 2ct), 4 n d'ou dh dt _ i5 /ij 10 /^ -r= ^ecos(2/i — Gj)r= -; -(/:cos2/i H- /isin 2/1). at (\ n i\ n dk^ dt i:} n 10 n -r = 7 ' e ^in (2 L — w) = 7 *^(A:sin 2/, — A cos 2/,). dt f\ n V I / ^ n ^ 11 convient de tenir compte des parties principales de R, et de R2, et, dans ce but, de remplacer A et k par leurs expressions (i4) et d'integrer en introdui- sant les termes importants — | o |A: et -f- j o [A des deux premieres des equations (A). On trouvera ainsi les equations difiFerentielles dh dt dk dt — o o ID ft k = -7 ^Mcos(2/i — ^^ — j3) -H. . ., ,5 fi'i h=: ^ — Msin(2/i-- fi-^ — S) — . . .. II y a trois autres termes analogues, dans lesquels les lettres M, ^ et p re^oi- vent les indices i, 2 et 3. En cherchant une solution particuliere de ces equa- tions sous la forme h = k sm {2 li — gt — j3), k=: Xcos(2li — gt — (3), on trouve immediatement 4 n M 2/^, — 1' — o apres quoi les formules (2) de la page 4 donnent (32) dr 1 5 n\ a -* /i(2/ii g i5 n\ 0 ) dv — '^ n{2n^ — g — 0 ) Mcos(2/i— / — ^/ — (3) — . . ., Msin(2/i— / — ^^ — j3) Ces inegalites repondent a Tevection dans la theorie de la Lune; mais il y en a quatre au lieu d'une seule. La valeur (82) de S^ est beaucoup moins forte que la valeur (3i), parce que M est beaucoup plus petit que e,. THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 3 1 13. Reaction do la libration sur les in6galit6s k longues p6riodes. — Les relations qui lient les moyens mouvements et les longitudes moyennes des trois premiers satellites resultent uniquement des attractions mutuelles de ces astres; il importe done de s'assurer que les actions etrangeres ne viendront pas en troubler Texactitude. Considerons en efiFet une inegalite a longue periode qui affecte les longitudes moyennes et qui soit due a une cause quelconque, comme les deplacements seculaires de Torbite etde Tequateur de Jupiter, ou la resistance d*un milieu tres rare. Soient >sin(i7 ■+- o), X' sin ( 1^4- o), "k" sin(«7 4-o), les termes qui en resultent directement dans les longitudes moyennes; la valeur correspondante de^sera — i'^'k s\n (ii -h o), de sorte que, au lieu des equa- tions (22), nous devrons prendre les suivantes ■— — r- Ksin^ — *-A sin( it -ho), (33) /^z::; — 3 — ^ K sin3 — *'X' sin(i7 -h o), mm' On en tire ^~ 2 — jfY Ksin^ — i*X''sin(i^-4- o). J = 6* sin& - r-il — n'-h 21') sin(i7 4- o); di soit pose, comme plus haut, il viendra, en confondanl sino; avec x, ^ -+- 6* J7 = £*(X - 3X'-h 2X'') sin (i7 4- o); L'integraie generate est (34) J7=:Dsin(6^4-E)-h |j-^(X - 3X'4- 2X'') sin(i/ -i- o). En portant celte valeur de x dans les equations (33) oil Ton fera sinS =^x, et inte{2;rant deux fois, on aura les expressions suivantes, qui devront etre ajou- tees aux expressions (19) : , , A ^ m'm' X-3X'-4-2X"\ . ,. °' "^V ~a^ ?^^^^ jsiii(£/ + o), /o-v )^„ A, 3m''m^ X— 3X'-i- 2X"\ . ,. (3d) / 0,1 =[\' -T^K ^^--g^ jsm(£^-ho), . ,„ [. 2mm' X — 3X'4-2X"\ ... 6, 1 = (7'-^- —^ K jj^—^^ j sin(£^ -+- o). 32 CUAPITRE II. La formule (34) donne d'ailleurs /* I — b Le facteur .^_g^ se reduit a zero si Ton peut negliger P a cote de 6*; done, par le fait des attractions mutuelles des trois premiers satellites, les inegalites a longues periodes de leurs longitudes moyennes se coordonnent de fagon a satisfaire aiissi a l* equation (3o) et cela avec une exactitude d'autant plus grande que la periode est plus longue. II faul que la periode -- de Tinegalite sin(f/ -f- o) soit no- tablement plus grande que-g-S laquelle est voisine de six ans, comme nous Tavons dit plus haut. L'equation annuelle est a peine dans cette condition, puisqu'elle a pour pe- riode une annee de Jupiter, soit pres de douze annees solaires. Nous avons trouve dans ce cas, d'apres la formule (3i), On a done 0/ = e, sin (/. — GJ. ). n 3/1, « 3 /J, ^„ 3/1, '• fi ft de sorte que les formules (35) donnent X_3X'4-2X'' = -3(?,/i,('' - ^ -f- -^V * *\/i n' n" J I 3 2 a,/ =:— 3/i,«, \ ^ -h ^^^-^ K^^^ — /^ ^ /sin(/, — CT,), \n a' /tj — o* / 1 m' ni" ,, /i n' n" I 3 2 ^ // Q I ' 3/^"//? /I n' ^" t • f t \ t^a ^ -^n,e,\- - —r^-Y.—^^—^^ / sin(/, - gt,). I 3 2 > ,„ 5 II 2 mm' a n' w' i . / , v 0,/ = — 3/?,e, \ TT. -+- — ns^ K — -J ^^ — /sin(/, -CT,), en supposant/i = 2n'= /^n"; ces formules se simplifient ct deviennent , , 3/1, / m'm" 3K \ . ,, /5CN ) » /' "^"i / 3m'w 3K \ . ,, . (36) o./=-^e.^.-^^^-^p-g;jsm(/.-n,.), 3 ill ( f^^f^^' 3 K \ . , , H ^1 ' -^ IFF —5 ^ sin(/, — CJ,). THtORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 33 Dans les autres cas, lorsque P est beaucoup plus petit que 6*, on pent appli- quer les formules (35), en y remplagant i^ — 6^ par — 6^; il est inutile de re- crire les formules. 14. Complements des Equations (A). — Dans les seconds membres de ces equations, nous attribuerons aux arguments u et u' les accroissements iu=:2 dp' — 5p, 8u' =: 1 dp" — Sp', Sp, Bp' et Bp" etant determines par les equations (21) de fagon a tenir compte des grandes inegalites des longitudes moyennes. Nous trouverons aisement, en remplagant u' par u -+- 180^, dans les seconds membres, P)-..., -h ^m' (¥'\L' -^ ^G'M'\]sin{u -- gt --- ^) ^P'^-^"^C.---"LJ(^^M^^^^'^^M-)sin(.-^.- P)-... (37) du = du' = ^ oil Ton a fait — - — -. -T— sm(a — ^^ — P) +..., (fin' ^ n — gy V o r/ — ; — sm( u — gt — ^)-\-.,., (2/1 — n — gy o rt 3m*/i'*F-f \ ^im'n}^k-mn!^G, (38) Ub =z G = oHo — -f- Z^„m''n'^{^'; a a' 3 — mn'*F, a ift>'=:-h 3mAi'*G -h ^ (m"n'^-^[^^m'n''^\ F', e' = -h ^^H^-'ir'-'"'*)^'- II faudra ensuite remplacer sinw, cosw, sina' et cosa' respectivement par sinw 4- cos«5«, sin a — cos w 3m', cos a — sinKJM, — cos u -h sin u Su' . T. — IV. 34 CHAPITRE II. Les produits tels que cosuSu contiennent Texpression cos M sin (m -- gt — ^) = sin(^^-4- (3) 4- -sin (aw — ^^ — P). Nous conserverons ks termes en gt-\- p; nous trouverons finalement que les equations (A) deviennent clh dt o I = -rm'nY 4 * " > parce qu'elles nous con- duiraient au meme resultat, celui que nous allons pbtenir. Pour integrer les equations (A'), nous faisons comme precedemment k = yicos{gt + ^), k' =W cos {gt + P), En substituant et egalant, dans les deux membres de chaque equation, les coefficients de cos(^/ + ^), nous trouverons les equations (39) («-m-^)M' {ff-ULl ) M' ([o. «] ([2, o] [3,0] - ^) M' A,., M M M ([3, «] [3."] - -'A M' [o,3]M"' = o, [i,3]M-=o, [2,3]M^ [3, aJM" :=0, = 0, THifeORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 35 oil nous avons fait, pour abreger, 4Ao,o = m'nYv\>, 4Ao,i — m'/iF A 4Ao,i — m'nVe, 4A,,o = {fnGX -4- m''¥'X')n', 4A,,i = (7nGiil> ■+- m"¥'\^o')n\ 4A,,,=:(mGa -{-m"F'Z')n'. L'equation en ^ que Ton deduirait des equations (39), par i'elimination de M, M', M" et M*", serait d'un degre eleve; on la resoudra par des approximations successives qui seront faciles parce que les quantites complementaires A/j contiennent deux masses dans chacune de leurs parties, et parce que ^diilere sensiblement de 2/1' — /i, de sorte que le diviseur x^ n'est pas trop petit. 15. ComplSments de M. Souillart. — M. Souillart a apporte aux formules donnees par Laplace, pour representer les longitudes des satellites, des comple- ments notables portant principalement sur les grandes inegalites en 2/'— 2/, / — /et /"— f; ces corrections sont — 91", -f- 186" et — 36" pour les trois pre- miers satellites, en laissant de cote d'autres corrections moins importantes; on voit done qu'elles sont tres sensibles et qu'il est indispensable d'y avoir egard. Sans reprendre tons les calculs, necessairement longs et delicats, de M. Souillart, je me propose d'en exposer les principaux resultats par une methode qui me parait assez simple, et qui apportera un controle utile dans une question impor- tante. Disons d'abord que M. Souillart a considere les termes des fonctions perturba trices qui dependent des arguments 4/' — 2/ — 2CT, 4^' — 2/ — w— cj', 4^' — 2/ — 2Xn'f que Laplace avait laisses de cote. Nous avons donne a la page i3 les expressions des fonctions perturbatrices R4, R'^, R^ qui contiennent les arguments precedents. Nous en deduisons immediatement, parTapplication des formules (4) du Cha- pitre precedent, de J- =: — a© i^ sin(4/'— 2/— 2Ttj) -h 60 ,e' sin(4^'— 2/ — CT — cj' ) , at ' d'oii /Irt ^ = a^^iecosi^l'— 2/ — Gj) — b^^^e' cos{^r — 2/ — ni' ), dk -J- =— ao.t^ sin(4^' — 2/ — cj) -h 60,1^' sin(4/'— 2/— cj'), 36 CHAPITRE TI. on bicn, en remplagant l\t — 2/ par aw, dk — = ao^i(/icos2i/ —A: sin 2 1/) — 60,, (A' cos aw — A:' sin 21/). r\ ' ^ ^ ' J . J ^^' dk' dh" ^ dk' j On introduira, de meme, dans -^> -^> -^ et -^ des termes en cos sin e''""'(4r— 2/'_Gy^); COS on pourra remplacer 4'" — 2/', ou 2w' par 2,(11 + 180®) = 2m. On trouvera ainsi que les equations (A) de la page 19 doivent etre rempUcees par les suivantes : dh de Zn- rZ] A- + [o, i]A''-4-[o,2]^''-f-[o,3]A' (a) -m'/iFcos« 4-ao,i(^cos2tt 4- ^ sin2«) — 60.1 (A:' cos 2 « -»- A' sin 2 1/), dk^ dt o^ A — [o, i]/i'-[o,2]^''-[o,3]A' - m'n¥ sinw -h ao,t(Acos2a — ksln^u) — 6o,i(/i'cos2« — A:' sin 2 21), dh' dt - nn A:^+[i,o]A-4-[i,2]A-^+[i,3]A^ =z /i'(mG — mT')cosM 4- (ai,o-H aj,,) (A:'cos2« -h A'sin2«) — fti,o(^cos2w -h^sin2i/) — 6,,2(A:''cos2M -h A" sin2K), dk' dt V _ rn /i'-[i.o]A-[!,2]A''-[i,3]A' = -h -/i'(/nG •— mT') sina-f- (a,,o-h aj,,) (A' cos 2 « — k %\x\iu) dt — bi^Q(hc6s2ii — A:sin2w) — bx^^{h'' cos2u — A:'' sin 21/), _ pr"|^^4-[2,o]A:4-[2, i]A^+[2,3]r zi: -m'/i"G'cosi/ -h aj,,(A:''cos2w 4- A' sin 2 w) — 6,,i(A:'cos2k -h A' sin 21/), T]//-[2.0]/l-[2, l]A'-[2,3]/i^ - m'n"G' sin 1/ -h a, . ( /i'' cos lu^k" sin 2 // ) — 6,.i ( A' cos 2£^ — k' sin 2 «), 2 1 dh" dt dk" dt - n~l^"^4-[3,o]A:4-[3, i]A^-h[3,2]^"zi:o, [T] A''- [3, o]A - [3, i]A'~ [3, 2]A''= o, TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 3'J Voyons maintenant ce qu'ii faut ajouter aux equations donnant ^-f) — Nous trouverons sans peine n ao.i^'si sin(4^'— ^^-— 2ct) — 260.1^6' sin (4/'— 2/ — cr— gt') (*) m m ' \fa' 1 -^a,,oe'*sin(4/' — 2/ — 2w' I, i\Ja J (4o) dF ' ■^ Cela pose, nous allons chercher une solution particuliere des equations (a), sous la forme h =B, sinw, k =::B, cosw, h' z= B', sin w. A:' == B', cosm, A''=iB;sintt, riirBJcosi/, Gette forme est possible parce que Ton aura k cos 2u-h h sin 2u=z B| cos w, h C0S2 u — k sin 2 a — — Bj sin i/, desorte qu'en substituant les expressions (40) dans les equations (a), on aura, dans tons les termes de chacune d'elles, sin^ ou cos££ en facteur. On trouvera, en egalant a zero ces coefficients de sin a et de cosu, et tenant compte de la valeur 2/1' — n de -^y (^n - 2/1' -h [VJ 4- ao,i)Bs- ([0,1] 4- «^o.i) B', - [0,2] BJ = i m'nF, (^ — a,i'4.|_j_j4-a,^^4-a,,,)B; — ([i,o]4-6,,o)B, (40 (« - 2/1'-+- [T] + a,.,)B; -[a,o]B,- ([2,1] + 6,,,)B; =- - m'/t'G'. Les valeurs de Bj, B^ et B^ differeront peu des suivantes B.= ^ m'/iF 0 a 0.1 (4a) b; = ^ /I — 2/l'-+- I /i'(mG— m'T') 2 b;=-. — — — _ , ^ /I — 2/i'-+- ^ -ha 1.1 38 CHAPITRE II. Ics petites corrections a apporter aux valeurs (42) de Bj, B^ et B, se deduiront aisement des formules (4i) par la methode des approximations successives. Arrivons maintenant au calcul du complement de p d'apres Tequation (6). Nous avons, d'apres cc qui precede, hz=e sinwrrB, sin(2/'— /) 4-M sin(^/ 4- (3) -i-MiSin(^t^-i- Pi) -h. . . , k :=ze C0SW=:B, C0S(2/' — /) 4- M cos(^/ 4- (3)4-. . . , /i'=e'sinro'=B; sin(2/'— /) 4-M'sin(^^ 4- P) 4-. . ., A'=:e'C0SGj'=:B'j C0S(2/'— /) 4- M' C0S(^^ 4- P) 4- On en deduit sans peine, en negligeant les carres et les produits des quantites M, M,, .. . M', .. ., e sin(2/'— / — w) =M sin(2/'— / — ^^ — P) 4-. . ., e'sin(2/'— / — ro')=:]Vrsin(2/'— / — ^^ — P)4-..., e'sin(4/'— 2/ — 2Gj) = 2B,Msin(2/' — l — g^ — P) 4-. . ., ee'sin(4/'— 2/— CT — cT') = (B,]Vr4-B;M)sin(2/'— / — .5^^ — P)4-..., e'»sin(4/'-2/— 2Gj') =2B;]Vrsin(2/'-/ — ^^ — P).. ., et, en substituant dans Tequation (6), il viendra ^ =. . .- 6/1 Lo., B,M - 6o.,(B,M'+ B;M) d'oii + ^^lv/^a,^B;M'lsin(2/'~/-^^-P)-...; i\la J m (43) Ap== , — ~- — r^ Lo,iB,m-Ao.i(b,m'+b;m) ^ (2/1 — n — ^') I ".»v » X / m m -^' «,,oB;M' 1 sin(2/'- l-^gt^^) -.... Les termes non ecrits se rapportent aux racines g^, g.^, g^, autres que g. On trouvera de meme Ap' et Ap"; mais nous n'insislerons pas sur ce point qui ne presente plus de difficulte. M. Souillart, a qui j'avais communique la solution precedente, m*a fait observer que la meme methode permeltrait de tenir compte des termes des fonctions perturbatrices qui ont pour arguments 6/' — 3/ — 3cT, ..., er— 3/' — 3ct', .... On trouve, en effet, que, pour avoir egard a ces nouveaux termes, il faut com- TUEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. pleter les equations (a) comme il suit, dh dt 39 olA +[o,i]A:'+[o,a]r = — [3ii:(A*— /i*)— 2^(AA'— A/j') + ff(A'*— A'*)]cos3m — [e^Ckh — 2^{kh'-^hk') -h 2ff)t'^'] sin3 w, dt k'-^[i,o]k-^[i,2]k' l^C'k'h'^ 2^'{k'h"-\- h'k') -i- ag'r A*'] sin3« ms/a dt ^ I [J(A:*— A«) — ag(AA' — M') + 35(A'«— A'«)]cos3« my a' -h[a.fA^-2g(AA'+M')-h65A'A']sln3i/|, A:''H-[a,o]A:-h[a,i]A:' = — ^^^^^^{ [^'(A'«-/i'*) — ag'(it'A'— A'^'') + 35'(A'«-A'«]cos3« s/a: M L/^tr [a^'A'A' — 2g'(yt'A'^-h^'yt')+65'A'A'']sin3«|; les quantites c, ^, ... sont des fonctions des masses et des grands axes, que nous n'ecrivons pas pour abreger. En cherchant la solution particuliere des equations (a) completees ainsi, sous la forme (4o), on trouve que les quantites B^, B!, et B^ seront determinees par les equations suivantes o -^ -(^n - 2/i'4- [V] + ao,i)B, - ([0,1] 4- 6o,t)B; - [0,2] b; -(3CBj-2^B,B; + gB;«), -m'/iF 2 = ( n — 2 /i' -f- «i,o H- «i.t )B; - ([1,0] + ^,o)B, - ([1,2] + 6,.,)B; + - Ai'(m^F- mG) 4- \Ja ^^ (^Bj - agB,B; + 3,^b;«) + 36'b;* - 2^''b;b; + g'B;«, m' v« o = (/I — a/i'4- I 2 ] 4- a,,,)B; — [2,0] B, — ([2,1] 4- 6,,i) B; -m'/i'^G' 2 -^^ (j'B',«- »g'B;B; + 35'B;'). Resolvant la premiere de ces equations par rapport a B^, la seconde par rap- 4o CHAPITRE II. port a B!^, la troisieme par rapport kB^, et posant S.= r m'/iF n — in! -\- o «o,i s;=-r n'im'F'—mG) ^ n — 2 /i' -h «i,o-t-«i.s s;=-r m'/i'G 2 Al — 2 /l' 4- I 3 I -4- a S.l puis reduisant en nombres, M. Souillart a trouve (44) B,= Blzi:6', + (45) 8,4.(2,26784)6; (2,46623) B J 6; 4- (2, 06801 )B, - (2,44o32)B| (46) b; = 6; 4- (5,98857) B, (2,295o3)B'/ (4,7885o)B; (2,93619)6, b; (;,57998)b; (;, 90247 )b,b; (T,25ii5)b;b; (3,92484)b; (2,76429)6; b; (2',8o228)b;», (r,077i4)B;« (7, 1 1 835) BV, (2,62898)6;*. On a d'ailleurs 6, := (3,59620), 6; zrz - (3,95926), e; = (4,79357). Les equations (44)» (4^) et (46) se pretent parfaitement aux approximations successives. Si, dans leurs seconds membres, on fait 6, = 6„ 6;=z6;, 6; =6;, on trouve ces nouvelles valeurs B, = (3,57750), 6; ^- (3,95592), 6; =: (4/73674). En substituant ces dernieres valeurs, on obtient B, = (3,57862), b; =- (3,95682), 6; = (4,73872), d'oii resultent les inegalites suivantes dans les longitudes des trois premiers satellites, i563'sin(2/-2/'), - 3735" sin (/- /'), 226''sin(r- /') TIIF'ORIE DES satellites DE JUPITER. 4^ M. Souillart avait trouve d'abord par sa theorie complete, en considerant les termes auxquels nous avons eu egard autrement, les coefficients ,56r^ —3787% 226%- Taccord est done tres satisfaisant; les nombres de Laplace, pour les memes coef- ficients, etaient 1 634", -386o% 262"; ces valeurs de Laplace supposaient ^' n — 2 /i' -+- [ o I ^ w — 2 /i' 4- I ! I ^ n — 2/1' -\- I 9. I Les termes consideres par M. Souillart ajoutent de legers complements aux equations (89); mais nous ne pouvons pas insister sur ce point. En terminant, nous ferons une remarque sur le calcul des inegalites perio- diques, tel que nous I'avons presente an commencement de cc Chapitre. Consi- derons, pour fixer les idees, la portion suivante de la fonction Rq, 3 a^ Rfl zz: ~ m' N' —fz ecos(/' — Gj); "2 «* on en tire r/cT 3 , a' , ,, , tf -7- —4- - m'n -7zCOS(r — gt). eft 2 a^ Si nous voulons en deduire Se et eScar, il convient d'avoir egard a la variation de GT, comme on Ta fait pour la methode de Poisson dans le cas de la Lune. Or, d'apres la formule (9) de la page 19, la partie principale de --7- est egale o_j ; il viendra done ^ 3 , a* cos(/' — Gj) oe =z - m' n —72 ^ ~ ■>■ «" n'- ' o 5. 3 , rt' sin ( /' — GT ) e OTtT == - /W' /I -7T ^--— --— - • a'^ ./ n' — \ 0 On en deduit //-x jn.— ^ ^^^ " sine jit.— ^ ^/» ^ ^^^^ tandis que nous avions trouve (p. 17), (jo) on =. — m n —75 — 7— > oA z= — m n —: T. - IV. H . a^ cnsil' 2 a* n' 2 a'^ n' 6 /|2 CIIAPITRE 11. — TIIKOUIR DES SATEMJTES I>E JUPITER. Ces deux systemes de formules sont en desaccord. Auquel doit-on donner la preference? C'est au groupe (4?); en effet, nous avons trouve les formules (48) en partant des equations dk 3 , a* ,, dk dt 9. a'- ' dt 3 , a- ,, m n -jz cos/'; a or, il sera plus exact de tenir compte du terme seculaire le plus important en prenant dk _ dt dk di'^ o a' () /,-= - ni' n —rr cos/', 3 a' // = m' n —7- sin/'. 9. a'^ Ces deux equations sont verifiees identiquement par les expressions (4?); ainsi, les deux procedes s'accordent maintenant. Nous avons omis la correction precedente dans les inegalites a courtes periodes parce qu'elle serait tres faible; on pourra du reste en tenir compte facilement si on le juge a propos. CIIAPITRE III. — TIJEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 43 CHAPITRE III. TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. - INfiGALITtS SECULAIRES DES NCEUDS ET DES INCLINAISONS. 16. Formation des Equations diffdrentielles. — Nous partons de ['expres- sion (i5) du Chapitre I, pour la fonction perturbatrice R5. Lcs equations ^ dt dO ^ dt d<^ donnentsans peine (*) , ^ =:(o,i)9'sin((? — ^')4-(o,3)9''sin(0 — ^*)-h(o,3)9«'sin(0— 6'') (1) {clt -h [o]9, sin(0-- 0,) — (o)a)Sin(0 4-^), ] ^^F—-'' ^ |9-Kq>O?'cos(^-0i)4-(o>2)9"cos(0-^) -4- (0,3)9'' cos(0 — 0*') -h [o]cp, cos(0— 0,) — (o)w COS(0 -hl]^). On aurait des formules analogues en ^» •••) -r-i — II nous reste a calculer la position de Tequateur de Jupiter a une epoque quel- (*) La formule (2) montre que la moyenne de -j- est ($gale a — | o | ; d'apr^s la formule (9) du Chapitre II, la valeur moyenne de --,- est 6gale ^ -f- 1 o | , do sorle quo cos deux quantit6s sont ^gales et de signes contraires, co qui est un r^sultat interessant. Jo profite do Toccasion pour r^parer on oubli commis dans mon Tome III, h la page 147* Pr6occup6 do retrouver les inegalit6s p^riodiquos caus6es par Taplatissement de la Terre dans le mouvement de la Luno, j'ai omis de parlor des in^ga- lit^ s6culaires correspondantes de xa ot de 0. Elles ont 6t6 romarqu6es pour la premiero fois par Han- sen, qui les a calcul^es. M. G. Hill a confirmd ses r^sultals et trouv6 -4- 6*, 8201 et — 6*, 4 128 pour les mouvements annuels du p^rig^e et du noeud. 44 CIJAPITRE III. conque, en tenant conipte de Tattraction du Soleil et de celles des satellites. Les formules (i) (t. II, p. 427) nous donnent, en n'ayant egard qu'aux terraes seculaires. (3) dl fCsinci) d^ dt iCsino) ()&) ou / et C designent la vitesse angulaire de rotation de Jupiter et son moment d'inertie polaire. Ces formules, etablies pour la Terre troublee par la Lune, sup- posent que la longitude du noeud descendant de Tequateur est egale a — 'I* c'est bien ce que nous avons admis pour Jupiter (p. 6). D'autre part, les for- mules (i) (t. II, p. 4o5), donnent, en designant par A et B les deux aulres mo- ments d'inertie principaux, et par:; la distance du satellite au plan de Tequateur, U = -7/m(2C-A-B) J[, d'oii, eu remplagant/par /i^rt% et- (p. 6) par 5 — 5t=:9sin(/— ^) -4- ci)sin(/-i-ij>), et ne conservant que les termes independants de /, 3 (4) U=-- g (2C — A — B)m/i»[cp«-ha)*4-2) -t-. . .], w ^ =3 ^—^ [/i}&) -|-/ij, ^ = 9i cos 01 ; et nous trouverons sans peine les equations dp Tt §7 +[Z]7-(o,i)7'-(o,2)7^-(o,3)7--(o)7«^=-h[o]^, dq It ^ _[V]/» + (O, !)/>'+ (0,2)/,"+ (0,3 )/,'+(0)7'^=-[0]«', (9) dt + QIlv'-(>,o)7-(i,2)y"-(i,3)7"-(i)/>''' = + [i]?. - CjI1/''+ (•'0)/> + (i,a)/>''+ (i,3)/>»+ (i)/>'^=- [i]a\ rfyo dt '^-(0)q-(l)q'-(2)q'-Q)q-'H-Or= + Q% dq IV ^/ ® /> H- ©/>'+ ® />'-+-©/>'- 0/>''= - 0 «» Les quantites ® et ^qui fixent la position de I'orbite de Jupiter par rapport au plan fixe, a Tepoque /, sont des fonctions du temps qui restent tres petites pendant plusieurs siecles, et dont nous donnerous les expressions plus loin. 46 CHAPITRE III. Nous allons integrer d'abord les equations (9) en faisant abstraction des seconds membres; nous aurons alors un systeme de dix equations lineaires simultanees, a coefficients constants. Leurs integrates generates seront de ta forme (10) / p — N sin(6/-l-y)4-Ni sin(^,/ -hyi) -i- . . .H-N^ sin(^^^-hy*)» p' =N' sin(6/-hy) 4-Nj sin(6i/4-yi) 4-.. . .4-N^ siii(^4/4-y4), ^IV._J^.. ' sin(6^ -h y) 4- N7 sin(6i/ 4- yi) 4- . . .H-N';sin(64/-i-yO; q — N cos(^/-hy) -hNi cos(^i^4-yi) 4-. . .-I-N4 €05(64/ -hyO, q' =N' cos(6/-hy)-hNi cos(6i/4-yi)4-. . . .-t-N^cosC^^^-hyOj \ 7'^ = N'^ cos(6^-hy)4-N7cos(^i/-hy,)4-. . . .4-N5;'cos(64/-hy4) oil les N, Y et 6 sont des constantes. En ecrivant que ces expressions verifient les equations (9) privees de leurs seconds membres, et egalant a zero les termes d'argument bt + y, on trouve les relations (") (6 + [^)N4-(o,i)N'-i-(o,a)N''-*-(o,3)N'+(o)N''' = o, (i,o)N-(6-t-[T3))N'+(i,2)N'H-(i,3)N'-t-(i)N'' = o, » 0 N 4- © N' + © N'+ © N'- (6 -h O) N"' = o; si Ton elimine entre ces cinq equations homogenes les cinq quantites N, N', N', N* et N", on obtient I'equation (12) (*+ « ) (0.1) (0,2) (0,3) (0) (1,0) -{b+-r\) (1,2) (1,3) (0 (2,0) (2,1) -(6-H 2 ) (2,3) (2) (3,o) (3,1) (3,2) -(6+^-) (3) © ® © © -(*+©) = 0, qui est du cinquieme degre, et qui a pour racines b, &,, b.^, b^ et b^. Les rap- ports m (.3) N — (7. W N L'lV N m (J IV seront determines par quatre des equations (ii) qui seront des equations du THEOniE DES SATELLITES DE JUPITER. 47 premier degre relativement aux inconnues a', . .., c'^. On aura de meme ( - (^ + [Z] )Ni 4- (o,i)n; + (o,2)n; -t- (o,3)n: -t- (o)n- = o, (III) ' ( (o)N,+©N;-h©N;-f-®N7-(^H-0)N7=-«. ce qui determinera les rapports N' N'' N'" N'^ til -' ill -" ill -w ill -IT . on arrivera ainsi jusqu'au calcul de N' N" N'" N"'' ili ' il* _w tl^ '" ili -„ IV Finalement, il restera les dix constantes arbitraires («4) N, N„ N„ N3, N4; y, y„ y„ ya, y^. Les equations (lo) donneront done bien les integrales generates cherchees. On demontrera, comme on I'a fait pour les inegalites seculaires des planetes (t. I, p. 4i 0> m^^ Tequation (12) a ses racines reelles et inegales. 18. Integration des Equations (9) avec leurs seconds membres. — Nous ferons, pour plus de symetrie, La premiere chose a faire est de connaitre les expressions de 9 el de ^en fonction du temps. Nous choisirons pour plan fixe le plan de Torbite de Jupiter a Tepoquezero. La theorie des inegalites seculaires des planetes donne, relati- Yemeni a Tecliptique de i85o, les valours de $ et de ^, que nous designerons pour plus de clarte par ^^ et ^^, sous la forme tf/ r^ V S sin {st 4- $), '^f ~- 2 ^ cos(.?^ 4- $), ou les signes V comprennent autant de termes qu'il y a de planetes, soit huit; les S et g sont des constantes, et Ton sail que les valeurs des s sont Ires petites. Relativement a I'ecliptique de 18.10, la position de Torbite de Jupiter a Tepoque 48 CHAPITRE III. zero sera determinee par les formules la position de Torbite de Jupiter a I'epoque t, rapporfee a la position qu'elle occupe a Tepoque zero, sera determinee par les formules approchees (t. I, p. 345), On aura done I ^rz: VS[C0S(.9/ -h$) —cos?]. Les formules (i5) et (16) determinent P, P, . . ., Q, Q', . . . en fonction de /. Nous conserverons les expressions analytiques (10) pour exprimer les inte- grates generales des equations (9) avec seconds membres, mais en y regardant comme variables les dix constantes arbitraires (i4)- La nouvelle expression de -J- sera egale a Tancienne, augmentee de It -\- 1/1 4- Mj -H Mj -h f/^, en posant, d'une maniere generale, r/N/ dy- Mais Tancienne expression de ^> ajoutee a I ^> I q — (0,1)7' — . • . - (o)7'^ donnait et donnera encore un resultat nul identiquement. II viendra done U -h W, -H Ut -\- W3 -h W; = P. La troisieme des equations (9) donnera de meme, en ayant egard aux rela- tions (iv3), ff'w 4- 0"', f/, -h . . . H- fT\ U^ rr^ P'. On aura, d'autre part, des resultats analogues, relatifs aux quantites q, en faisant (18) cv = ^'cos(^»,^-+-y,)-N,~^'sin(^/4-y,), THEORIE DES SATELLITES DE JLPITER. 49 de sorte que I'on obticndra cet ensemble d'equations : ('9) ^'u ti -h ill 0-, Mj-hO-, «, «4 4- W3 -h 1/4 = P ; 0*8 "3 -h (J^ Mi — P ; i' -H «'i -H Vt 4- Ta -h ('4 = Q, T^' -+- 7, r, -H 0-'^' Tj 4- 0-3 ^3 4- 0-'^ ('4 = Q', Pour resoudre ces equations, il est necessairc d'etablir quelques relations preliminaires. 19. Formules preliminaires. — Posons pour plus de clarte m , m' (20) C= 1 c'=: -p- /7i n ■■y c =z —z — ; > c'«'=z m m m „w C'^ = z — ;x, /iiC n a /I'rt' 3(2C — A — B) et nous trouvons aisement les relations suivantes, en nous reportant aux for- mules (2) et (10) du Chapitre I*% et (6) du Chapitre actuel, (21) I (o,i)c=:(i,o)c'; (0,2 )c — (2,0)0"; \ (i,2)c'^(2,i)c'; • • • (o)c = (o)c'\- En admettaat pour les constantcs ^^ — -, et i les valeurs de Laplace, on peut calculer les constantes c, c', c", c" et - - N'^N.) H- 0(N'NV - N'^N', ) ©(N'N7- N'^N;) + ©(N'N-- n'^n;). En multipliant ces cinq equations, respectivcment par r, c\ c\ c , (^"^ ajou T. - IV, 7 5o CHAPITRE III. tant, et tenant comptc des relations (21), on trouve que les seconds membres donnent une somme identiquement nulle et il vient On peut supprimer le facteur b — b^ different de zero, et I'on obtient I'une des relations contenues dans le type general cNrN, H- c'N;n;-h c'^N^NJ-h c-'N'X-h c»^N';N»; = o, oil les indices r et ^ peuvent recevoir les valeurs o, i, 2, 3, 4 sous la condition r^s. En divisant par N^Nj, et introduisant les quantites (Ty\ il vient (22) c 4- c'^',(7, H- c^ff^;-}- c^'^d; -h &^^';(t'! = o. La resolution des equations (19) est maintenant facile : en les multipliant par des facteurs convenables, et tenant compte de la relation generale (22), il vient (23) ^ «i=/iP+/iP'^/;i''-^-yTi'"-t-/rF\ ri=/iQ-h/iQ'-f-/;o''-H/rQ^-H/7Q^ 9 oil Ton a pose c .. C'(j' . .. c"v" (24) < . C ^ C'(j\ . ^ C'd" /«-cH-c'(7V4-c''(7;'-hc^<77*H-c»^a7*' •^>-" c*-^*' •^-" c*^*' > » » > •••• On a maintenant, d'apres les formules (17) et(i8), dSi sinv/ , . , -J — '— =2 Ui cos bit — ('/ sin bi t, at (Us i cosy i . . ^ . ^ :.— -— = ^1 sin 6// 4- i i cos bity at de sorte que Ton tirera des equations (23), ^^^l^^ - (/P -H/'P' -H/'P" -^rV" -^fV) cosbt THtORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 5 1 ^^^^y ~ (/P -h /'?'-+-/"?" 4- /'"P'^-H/^F^) sin ^^ ^^^1^^= (/^P4./^p/^...+/jvp.V)cos^/ En remplaQant P, P', ..., Q» •. par leurs valeurs(i5) et (i6),/,/', ... par leurs expressions (24)» on trouve d^smy _ ,)^ 2S[cos(5/4-s-^0 -cos($-^0]. (25) / "^^^^^^^--^DSEsinU^ + g-^O -sin(s-^0], ^^^l^p^= ^i2S[cos(5^ 4-5-^0 -cos(s-^0]» oil Ton a pose ^^ "~ C -h C'(7'*4- C"(7''^4- C"'a''*+ C'^'ff'^* (2^) .j . _ [o]c4-[I]c'(7',4-...4-0c'^(J7 C4-c'ff',*4-...-f-c•'^■(T';* 20. Resolution des Equations (19). — On pent efTectuer immediatement les integrations dans les formules (25), et il vient, pour les variations SNsiny, . . . de Nsiny, ..., y%j • ^ v^e fsin (5/4- 5— ^>0 . sin($ — ^>/)1 {^7) dN cosy =y^^S [S^±J^^ + cosi,^^_bt)j On aura ensuite, d'apres les formules (lo), dp =1 sin btSNcosy -^ cos^/iNsiny -h sin^i/5N,cosyi4- . . ., d^=:cos6/3Ncosy — sin6/5Nsiny ■+■ cos^t^dNiCOsyi— . . ., 52 CHAPITUF Til. et il en resiilte > V^ o / '^^' -^^1 ^^^'5 '^'3 '^^n \ . / '^ .^id \.V— A» 5 — O, .V — ^j S — O3 S — b^J ir^ ^ /cr'.U, (j;,-)!^, (j;^!;,, ^3 -^^s . <^4«>^Ae;nr. Les 8y, Sy', . .. s'obtiennent en changeant les sinus en cosinus. Les expres- sions precedentes peuvent se simplifier un peu; on doit avoir vis I/O I 5/G« j //j ft^ ' (29) '1 (j^z ov^or^, ^ 0-; .)^, ^ 0-; '>b, o-; '^^ _. _ h A, /^j />3 Aj ' En effet, dans les expressions (28), lestermes en sin<; et cosg constituent une solution des equations (1) dans lesquelles les seconds membres sont reduits a — [oJ^Scosg, H- [classing, — [O^Scosg, -+-['] 2 S sing, Or, cette solution se trouve immediatement sous la forme p— —^S sing — //r=r// = . . ., car, en suhstituant dans les equations (9), il vient [ol-h(o)-f-(o,i)H-(o,ci) 4- (o,3)— I o I I^Scosg^io, [i] + (r)H-(i,o)H-(i,2)-h(i,3)- [V] j^Scosc^o, Or, ces conditions sont verifiees d'apres les formules (10) du Chapitre II. En comparant la solution precedente, qui doit etre unique, a la partie constante de la solution (28), on obtient les relations (29). II est facile dVxprimer maintenant les latitudes A, X', X", X** des satellites THKORIR DES SATELLTTRS DE JLIMTEU. 5*i au-dessus du plan fixe. On a, en negligeant I'excentricite et les perturbations de la longitude, X = sin 9 sin (/ — 0) = 7 sin/ — /> cos/. II en resulte, avec les expressions precedentes de/? et de y, ■ • \' ♦ ' Soient A, A', A", A*' les latitudes des satellites, rapportees a I'orbite de Ju- piter pour Tepoque /. On aura A — Xrn^cos/— ^sin/= 2 S sin (/—$) — 2 S sin (/ — .?/ — $). A =2n sin(/ -bt-y) + ^s(^^-h...-hj^^ -i)sin(/ -st-g), (3i) { \ » / A'= 2N'si"(''- />' - y) + 2 * (y—b ■+■••■+ .7?ry^ ~ ') sin(/'-«f- s). 21. Determination des constantes arbitraires. — Soient ?o> ?o> ?o» 9o» Wo. %. O'o. 01 9;, ^0 les valeurs des inclinaisons et des longitudes des noeuds a Tepoque o, rappor- tees a la position correspondante de I'orbite de Jupiter; Pof Po^ • • • » Po t ^09 ^Q9 • • • > ^0 les valeurs que Ton en deduit par les formules (8). Les expressions generales de p, q, , , ., />*^ et y'^ s'obtiennent en faisant les sommes des expressions (10) 54 CHAPITUE 111. et (28). Faisons-y / = o et N siny = Xy Ni sinyi = x i> • • • ♦ Ncosy = r, X = />o 4- X'=/>'oH- . . .4- X^ ^4 — 5 Njcosy, \ sins, j sing. =ri X b- .V Y-7.: + 2s ^■=«-2Kr^ ')t>4 b^ — .9 64 — .V ') -HI cosg, ') -HI cosg, et nous trouverons les equations (32) X -\- ;ri -f- . . . -h 0:4 1= X, y -^ Ji + • • • + V4 = Y, c' a: 4- c'l a?! H- . . . -H c'^ 0^4 = X', ff'j -H ff'i Vt -4- . . . -+- 0-4 JK4 = Y', • ' > (7'\r -+- a'/Xj -h . . . 4- ffj' j:4 = X'% ff'^j -h <77/, -h . . . -h ay yv = Y'\ Ces equations sont de la meme forme que les equations (iq). et se resoudront de meme. On aura done .r=N siny = /X 4-/'X'h-. . .-h/" X-% .r, = Nt siny, =/i X -h/; X'4- . . . 4-/r X-, y — N cosy -/Y-h/'Y'+., . • +/" Y", /, N.cosy. /.Y+/;Y'+. . . -i-/',' Y", 22. Remarques relatives 2t Tordre de petitesse de divers coefficients. — II convient de donner une indication sur le calcul numerique des racines 6, 64, — 64. On voit a priori que I'influence du deplacement de I'equateur de Jupiter sur les deplacemcnts des orbites des satellites est faible, de sorte qu'au lieu de I'equation (12), qui est du cinquieme degre, on pent considerer cette equation du quatrieme degre : — (^-hQT]), (0,1), (o',2), (0,3) (3,o), (3,1), (3,2), -(^-+-[X]) = 0. TU£0R1£ DES SATELLITES DE JUPITER. 55 L'inspectioD des valeurs nuraeriques des quantites | i \ et {i,j) montre que les premieres sont beaucoup plus grandes que les secondes, de sorte que, dans un premier calcul d'approximation, ['equation precedente se reduitsensi- blement k (^ + [:Z])(^-^QD)(^-+-L^)(^-+-[X]) = o. On a done ces valeurs approchees La suite du calcul montre que Tapproximation est deja au moins de -^ pour les trois premieres racines et de ^ pour la quatrieme. En partant de la, par des tatonnements successifs, on trouve aisement des valeurs precises des cinq ra- cines et des vingt quantites af. Voici les valeurs obtenues par M. Souillart pour les racines : 6 = — O**, l4l 0919, 6,:-= — O**, 007 02 1 549, 6, = — o%o33 01 19, ^j =r — o°,ooi 900 689, 64 = — o**, 000 002 1 85. Ces valeurs sont exprimees en degres sexagesimaux et rapportees au jour so- laire moyen pris comme unite de temps. Voici, d'autre part, les valeurs de S,5 et q empruntees a Stockwell; I'unite de temps est la meme que pour les 6; les coefQcients S sont exprimes en secondes sexagesimales, et nous donnons leurs logarithmes : Indices. logS. 5. C* 0 0,715 3i/< — 0,000 oo3 898 21. 6.27 1 * • • . • • 0,29806 — 0,000 oo5oi3 i82.4o.58 2 T,7i4 lo/i — 0,000018228 292.49.53 3 2,171 76W — 0,000014000 251.45. 9 4a • * • 8,75756 0 106.14.18 5 2,89889 — 0,000000 5o3 20.3l.25 6...... 2,258 61 — 0,000002218 i33.56.li 7 3,ii3 8o — 0,000019 724 806.19.21 On observera que le coefficient S4, le plus grand de tous, disparait des expres- sions (16) de 9 et de ^, parce qu'il repond a la racine nulle s^. Je me contenterai de donner la valeur numeriquc de A, a laquelle parvient M. Souillart, en me bornant aux dixifemes de seconde d'arc, A nt aux dixifemes de seconde d'arc, 5',5 sin(/— ^>^ — y) -+- 33',o sin(/— ^j / — yj -h 3',9 sin(/— 6, ^ — y,) — I ', 4 sin ( / — 6, ^ — y,) -+- 3o8% 3 sin ( / — 6^ / — y^ ) -\- I i'',8sin(/ — 5/ — q) — 3'',5sin(/ — 5j^ — €1) -+- 74'>osiii(/ — 55 1-^ q^) — i2i59',2sin(/ — 56 t — qti) — i46i'',4sin(/ — 5, ^ — <;^). 56 CHAPITRE III. Le coefficient enorme de ravant-derniere inegalite vient de ce que le diviseur ^6 — *4» qui figure dans les formules (3i), est tres petit. On a, en efl'et, 5g — l)^=z — o*, ooo ooo o33. Les calculs precedents, depuis le n^ 17, sont empruntes, sauf des differences insignifiantes dans la forme, a un Memoire de M. Souillart {Bulletin astrono- mique, t. XI, p. i45). 23. Transformation des formules. — La periode du terme en Bin cot (^6 ^ H- «6 — />4 0» qui figure dans les expressions (25) et (27) de dNj^ ^i^y^ et SN^ s\ny^, est d'en- viron 3o millions d'annees. On ne pent avoir la pretention d'etendre la theorie des satellites de Jupiter a des epoques aussi eloignees. Les formules trigonome- triques qui donnent, dans $ et ^, les inegaiites seculaires du noeud et de Tin- clinaison de Torbite de Jupiter, ccsseraient d'etre exactes au point de vue nu- merique parce que les racines s^ dependent des masses des planetes qui ne sont pas encore connues avec assezde precision; et aussi au point de vue analytique, parce que, dans ces conditions, il faudrait tenir compte des carres des masses des planetes. II faut se borner aux besoins de la pratique, pendant trois ou quatre sifecles parexemple, et tenir compte du deplacementdeTorbitede Jupiter en ajoutant aux quantites/i^'^ et y^'^ des corrections de la forme ay 4- «! / -h ^j /* -h . . . : on pourra, en toute securite, laisser de cote les termes en /*. On aurait plus vite fait de determiner directement les 8/?^'^ et 8q^'^ sous la forme indiquee; mais je prefere me servir des calculs de M. Souillart, comme je Tai fait deja {Bulletin astronomique, t. XI, p. 159). Je pars des expressions (25), fi^^siny^ lie l- - y^^ 2s[cos(.5^-i-5 — b^t) — cos(^ — ^4/)]. Je developpe le second membre suivant les puissances de ^ en negligeant t^\ il vient ^iV4siny4 ^r * V c de meme ^- — f- — — %4 ^ > §5 COS€. Or, si Ton developpe les expressions (16) suivant les puissances de /, on THf.ORIE DES SATELLITES I>E JUPITER. .) trouve (33 II vient ainsi j A = Vs.vcos^, R =r — Vs.^sin^. D'oii dt // 0 >\ cosyv ^= '^^n ^ ''• Or, on a* en prenant encore le jour pour unite de temps, A = ' , / > B = ^^^ ^1^, X. = 0^,000 0012 = — ^t, sensiblement, 303, ao 360,2,-) oil ii faut encore multiplier X4 par sin i®. En faisant / = 365 210, ce qui cor- respond ^ dix sifecles, on trouve seulement Wi sinyv — — o^.c). Nous pouvons done supposer (34) iNvSiny. == o, oN^cosy. -o. Les expressions (25) donnent ensuite, en developpant suivant les puissances de St et conservant bt sous les signes sinus et cosinus, parce quo A, 6,, b^ et A., sont beaucoup plus grands que les Si^ J^'"^ = — 3r,< 2 S.? sin($ - />0 — o;:,/( \\ c(^%bl h- a sin />/), d*oii, en integrant sans ajouter de constante, 3N siny = ~ [ B/sin/;/ — Alcosbf f iNcos 3f(y / A /sin 6/ — B/cos/>/ Asin6/-h B cos bl B sin^/ — A cos^/ ) ) On en tire deux des equations suivantes, celles qui repondent a ('= o. SSt 8\n(bit -t- yi) = (35) Of bl aN, cos(6,< + y,) = - 1^ A - ^' B< I > (1 = 0, I, 2, 3). T. - IV. 58 CHAPITRE III. On a, dii reste, d'apres les formules (34)» (36) o\> sin(/>>4/ -hyi) — o, oNvros(6v^ + y^) = o. On aura ensuite, en ayant egard aux relations (lo), (37) :;)Li /. -2 \si"(^^-^-A)4-B2 5-' -A^Hf 0 4 0 s Xl 0 s X/ g =^ N,cos(M4-y,)~A2 ^ -"^^H^ 0 4 0 3 0 S <7/ oXG/ ; p' =2< N, sin(6,7 + y,) + B^ ^' - A^^ ^ ,/v^2'.X,sin(M + y,) + B2^'-A^i;^'' 0 4 0 3 (7'/ aKi), 0 3 (7i^X/ ./■v=2'^i.vN,cos(/,,..+y,)-A2 ^-' -B^2 ^' Or, avec les valeurs donnees par M. Souillart pour Sf^^ x,, Xa, X,, X4 (Bui- letin astronomique, t. XI, p. i53), ct de a^f (deuxieme Partie, p. i58),on trouve 2 .^ ^)^/ -;— =: — 0,0000 I , 3 X o 9/ 9 V 17 1 y^l u f>. 3 2 U 3 2 f'i 0 s V a'l' yZi = — 0,00^)19, rr — 0,026 1 5, /'. 2d ~Tf~ " 10,3, 0 S (T I Jy^i 2dnjr 62,6, fj'ji^/ — o,i3o6i, 2 -'ji^' ----h 443,1, 0 3 <7l^X| — 4- o,oood3, 2^ "%T~ ~ ~ ' '' • Ob, Les valeurs de ^ sont calculees avec Tannee pour unite de temps; on doit done prendre maintenant A = — o'^ogSSy; B=—o", 12949, et il en resulte THEOKIE DKS SATELLITES DE JUPITER. que, dans ies formules (37), les termes complementaires ont pour valeurs dp' =- i%3; oY=-+- i%o, dp' =— 8%i — o",oo2^; dq' — -h 6",o — o%oo3/, dp'' = — :)y\^ — o\oi3l; dg"' — -\- .\2\ f^ _ o%oi7/. ^^9 dp'''=-^o%2; Oq iv._ -0%1?. On voit que les termes en t sont negligeabies pour les trois premiers satel- lites et pour Tequateur; ils sont sensibles, bien que faibles, pour le quatrieme satellite. Enfin, les parties eonstantes sont appreciables pour le troisieme et le quatrieme; il y aurait lieu d'en tenircompte dans la determination des eon- stantes N/ ety^ en modifiantlegerement les valeurs de pi, pi, q\, q\. C'est acela que se borne TeflTet direct du deplacement de Torbite de Jupiter. On aura ensuite X—{q-\- dq) sin/ — (/? -h 3/>) cos/, A — X — a'cos/ — ^sin/=Z(Acos/— Bsiii/), d'oii A =y]N sin(/ — ^^ — y) -h ^(o", 129 sin/ — 0^,096 cos/), 0 k A' =2^' ^'"('' — bi — y)-h t{o\ 129 sin/'— o%o96 cos/') (38) 1 0 V -h i",osiii/' -+- I '',3 cos/', A' =2N"siii(/" -bt- y) 4- t{o\}'26 sill/"- o", 094 cos/") 0 G'',osiii/''-h8%i cos/\ A^=2m sin(/''— l^i-y) -^ ^K, 1 12 sill/"— o%o83 cos/^) -h 42% 4 sin /'^ 4- 57% 4 cos t", 24. Position de TSquateur de Jupiter. — On a, par les formules (10), />'^= &> sin^'^NV' s\n(b^t -+-71) -f- Nj sinib^l -f-ya) H. . .-f-N*^ siii(6^-hy), <7*^=:: — wcos^ = \«J cos(O.J-hy^) -hN';'cos(/>3/4- ys) 4-. . . hN*^r()s(///4-y). L'inspection des valeurs numeriques des coefficients N', , . . ., N*"" montre que le premier, N'/ est au moins mille fois plus grand que la somme des valeurs absolues de tons les aulres. On en deduit que b^t -+- y, est la partie moyenne de 180'*— '\ff car on a ci) sin(^ -H /'v^ -Hy^) = >'; ^iniOat-hyi — b^i — y^) -+-... 4-N*^sin(/^/4- y- b^t — y^l), — -o)Cos(^J^-h b^t-^y^) — N'; -hN'; cosC/'a^-hya- b^L —y^) -\- . , , -h Vcos(/;^-hy — /'i^— yi), 6o CliAPlTKE III. et I'on voit que cos(^h- b^t h- Y4) ne peut jamais s'annuler, ce qui prouve que Targument doit toujours rester compris entre ± -• Posons ^ = 180"- b,L^ y, - ?, N- = 0,, ^V = ^/» et les formules precedentes donneront 0) sinC = wi[ 9z si 11 (^3^ 4- y, — ^4^ — y^) -h. . . 4- 0i sin(6,/ -h y, — ^^Z — yi)]» CO COS? — oj,[n- ^3 cos (^3/ -f-ya — ^i^ — yv) -f-. . .4- 01 cos(^i/ -\-yi— O^t — y^)]. On n'a pas ecrit les deux termes multiplies par 0 parce qu'ils sont negli- geables. On en tire avee une precision suffisante w 1= w, [ r -h ^3 cos ( ^3 ^ + ys — ^4 ^ — y* ) -J- • • ] • Avec les valeurs numeriques (Solillart, deuxieme Partie, p. 169) log 0,=: 4,42687; log9j=:4,45i43,i; log^i ~4,i6o63;, ; w, = 3"4'7% il vient f i8o«— r\,^ O^l-h yv — •29%9sin(^, l-hyi—b^l — yj — 58",3sin(^,/-4-yj— ^4^ — V*) -H 55% i sin(^3/ + y,— ^4^ — yv), (39) { CO =z w,-— i",6cos(^i^ -h yi — b^t — y4) — 3", I cos(^,^ + yi — ^4^ — yv) H- 3'',ocos(6,^-hy, — 64^ — yj. Ges formules montrent que le noeud de Tequateur de Jupiter sur le plan fixe est anime d'un mouvement uniforme de precession, dansle sens retrograde, de 2,'\S'j3 par an (la quantite dont croit Tare b^t en une annee julienne); il y a en outre trois termes pour exprimer la nutation ; les periodes de ces termes sont respectivement d'environ 3o ans, i4o ans et 52o ans. L'inclinaison de I'equateur n'a pas de terme seculaire, et les trois termes qui expriment la nu- tation sont faibles. Galculons maintenant la position de Tequateur de Jupiter par rapport a Tor- bite actuelle de cette planete. Soient cu' et ^' les quantites analogues a cu et ^. En faisant 'o' sinij;' ~ (p'), — (si' cos^J^' ^ {({'), on aura d'oii ( a>'sind»'z=: a)sind> — A^, (40) Y ' ( — fW cos 'Y =: — &) COS']; — B /. THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 6 1 U est facile d'eii lirer a>' et ^\ en faisant il vienty en effet, II en resulte a)C0s4' ^4* "^ si II 4* Aw = — A/, w si n 'Iff A^ — cos 'j* Aw = — B ^, 0) Aij^=i— ^(Acos^l^ + B sin^)* A'i>=:— /(A sin^* — B cos^];). (40 . ( w' = wi H- ^(— A sin^o -H B cos^J^o) -+■ nutation. Nous avons mis, dans les petits termes en /, au lieu de 4^, la valeur ']f^ = — i34®45' qui repond a i85o,o. Avec les valeurs A = — o^ 09557 , B -- - o% 1 2949, on trouve, en une annee, Acos^o -hB sind^o „ .. 0) B cos^o — A sin^o = ■+■ o",o233, - ^^ = 4- 'A 873, d'oii 4' == 180°— y4 — o*, 100^ -h nutation, &>'=: 0)1 -h o'',o'233^H- nutation. Le coelficient de ^ qui etait positif dans 4, est negatif dans ^\ Done le nosud de Tequateur de Jupiter sur I'orbite actuelle de la planete est anime d'un mou- vement direct tres faible, il est vrai. Laplace avait trouve un mouvement retro- grade tres petit aussi. G*est M. Souillart qui a donne le sens direct; il a montre que la conclusion de Laplace etait fondee sur une valeur de b^ legerement in- correcte. Les valeurs numeriques des expressions (38) sont, d'apres M. Souillart, en negligeant les petites corrections introduites en dernier lieu, A =4%8sin(/— ^^ — y)-h33%osin(/— 6i^ — y,)4-3%9sin(/— ^,^ — y,) — 1%4(/— 6,^— )/3)-hlIo37^5sin(/— 64^ — y*), A' = i689',o sin(/' — 6,^ — yj ) -h io2%3 sin(/'— b^t-: y,) -h I5^7 sin(r— b^l — y,) -4- 1 0980*', 4 si n(/'-- b^l — yi). 62 CHAPITRE in. — THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. . -H i0749%7 sin(r — b,t — yj, 4-9595%4sin(r— 64^ — 74). Remarque. — Les derniers termes de ces formules sont de beaucoup les plus importants; considerons les seuls pour un moment, et remarquons que nous pouvons, d'apres Texpression (4i) de '^^ remplacer 64/ -h y* P^'* 180**— ^J/'; observons encore que o)' = 3*^4' 7"»3 differe peu des coefficients des termes con- sideres, dans A, A", . . ., et nous aurons A; = -fjLVsin(r^-^0, A;:=-/jL«'co'sin(r^-^'), en designant par [jl, ^\ ^" et ix'^ des facteurs peu differents de i. On en conclut sin ', desorte que les plans fixes font avec Tequateur de Jupiter les angles 9^'^ — w' : 10''; i'7''; 4'38%- 24' 12''. CHAPITRE IV. — THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 63 CHAPITRE IV. THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. - IN^GALITfiS PfiRIODIQUES DES LATITUDES. - EQUATIONS SfiCULAIRES DES LONGITUDES. 25. In6galit6s p6riodiques des latitudes. — Nous prenons comme point de depart la formule (i6) du Chapitre I, en utilisant d'abord la premiere ligne. Les equations ( I ) no, o -y- = -7- , no} o -7- zn -^ nous donneront ^^ =- jo,i|[9sin(4/'-2/-20)-9'sin(4/'-2/-0-0')], ce qui pent s'ecrire ( ^? =-jo,i}[((pcos6-9'cos0')sin(4/'-2/-0) — ((psin&-9'sin0')cos(4/'-2/— 0)], f

'cos6')cos(4/'— 2/— ^) H- (9 sin0 — / H- 7) -h /x'r./ sinij>', o'cos^' — V N'ros( />/ H- 7) — jU'ro'cOS'}', etles equations (2) deviendront do HI H- (fji - /ji')r./ sin(4/' - '^/ — 9 -4- ^J^')l , II faudrait encore substituer pour 0 sa valeur en fonction de /; mais il nous suffira de remarquer sur la formule (2) du Chapitre precedent que — | 0 | est le terme le plus important de la partie constante de ^> de sorte que, pour le but actuel, nous prendrons 9 =: const. — I 0 I ^ -+-... . Nous pourrons done integrer les expressions precedentes de ^ et de — » et, en supposant ^' constant, il viendra «? = ! 0,1 I f- y ^ ^' . cos{il'-2l--e-bl-y) ^i^-^'^"'' cos(4/'-2/-^ + +')l. 2/1 — 4"' — I ^ ■'] 0)39 = |o, I I F-y ^^ — — sin(4/'-2/ — il—B—bt — y) + ''-^ — ^^^ — sin(4/'-2/-9-f-^}/')|. a« — 4"' — I o ' TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 65 On aura, pour les inegalites correspondantes dc la latitude X, 5> = sin(/— 0)39 — cos(/— 0)9 30, — ^l^U — y) I 3Xz=io,ij fy !^? — sin(4/'-3/ (3) 2n — ^n' — '-^ — sin(4/'-3/-+-4^')l -[^ J Considerons maintenant laseconde ligne de I'expression dc Rq; en operant comma preeedeminent, nous trouverons -^ =— [o] [(9COS0 — 9i COS0, ) sin ( 2 /, — 0) — (9 sin 0— 9, sin0,)cos(2/| — 0)], 9-1- 1= -4- [o] [(9COS0 — 9i cos 01 ) cos (2/, — 0) -h (9 sin0 — 9, sin0,) sin (2/1 — 0)]. -^ =— [o] [9COS0 sin(2/, — 0) — 9sin0cos(2/i — 0) — 91 sin(2/, — 0 — 0i)], 9-T- ^ [o] [9 cos 0 cos (2/1— 0) -h 9 sin 0 sin (2/, — 0) — 9, cos(2/, — 0 — 0,)]. On pent laisser de cote le terme en 9^, parce que ^, est tres petit; on trouve ^ =~ [o] r^N sin(2/, -0-bt- y)- fzco' sin(2/, _ 0 + ^j^') I , ?^ " [o] r2Ncos(2/, - 0-6^-7) -p^'cos(2/,-0-h ij.')l, o30 (4) ^j y^ i;u»i ^■2/11 — b -h- 0 fJLCi)' o]r2— 2/1, 2/«i4- 0 N sini — 6-h 0 fJLOj' 2/*, -+- 1 0 ol fV '^2/^l 91 IJ \ b-^ 0 1 [*.(*)' 2/li4- 0 C0S(2/, — 0H-^') , ''] sin(2/, -0-t-iJ.') , ■'] 3Xz=-[o] y — — — sin(2/, -/-^^-y) sin (2/, — 2/I1 4- I o I T. - IV. /,-/-^^')l. 9 66 CIIAPITRE IV. Dans les eclipses (lu i" satellite, on a /i — : / -f- l8o", 2li— I— f, et, par suite, les inegalites (f\) dependent des niemes arguments que les termes des formiiles (38) du Chapitre III. Considerons enfin les termes de la troisieme ligne de Texpression de Rfl. En procedant comme plus haul, et faisant usage des formules 9 s\nO — G) sin^~ 51 ^ sin(Z>/ H-y) — (' — H^)w' sin^'', 9Cos(?-h o)cos^= V Ncos(6/ -+-y) -h (i — [x) oi' cos^' , on obtient 3Xz=~ (o)ry ^^ s\n(l—bt-y)-\ ?— -^— a)'sin(/H-vp')l On pourrait reduire cette formula ii (5) 3Xz=-(o)2^,sin(/-ft^-y), mais ces termes sont tres petits, et on pent les laisser de cote. Nous donnerons enfin, sans les demontrer, les formules analogues aux prece- dentes pour le 2* et le 3* satellite (Souillart, premiere Partie, p. i4o) : dX'=: if,ol fy ^^^:=^-^!!^ _sin(3/'~2/-^^^-y) ^ ' sm(3/' — 2/-+- (0) 2w — 4''' — LJ J-')! — Sl'—bt—y) (:) -+-l<-2|fy- — ^^^^ — ^'^^^^ sin(4r— 3/' (F'-f^')^'_ sin (4 r- 3/'+ 4,')] a«'_4„'- [_i , J ok" ■ lu.iifV- '^-IlZ sm(Zr-2l-bt — y) [-^ •'//'-. i/r--/>- nr~i .n'-W-UD J THl^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 67 26. Equations sSculaires des longitudes. — L'une des formulcs (A) (t. I, p. 169) nous donne, en negligeant c' et 9^ devant e et 9, ^ ' dt na da ina^ de ina} d^ Nousalions appliqucr cette formule a la portion de la fonction R3 (ro/rp. 9) dont nous n'avons pas encore tenu compte, R3 = i ,^««[o](e; - 90 ^ \ n\a\e\ - 9J); nous trouverons dt 2 n ^ ^ ^^^ Or, les elements et et 91 de I'orbite de Jupiter sont soumis a des inegalites seculaires provenant de Taction des planetes. On a (9) ^1=1^2-1-^3^ 91 — 9,4-93/; il en resulte d'oii ^ = - - ^ [^t - ?5 H- 2(^,^3 - 9,9,)/], 3 n^ Le terme t't^ donne naissance a une acceleration seculaire du nioyen mouve- ment. On a Cj^i^ 0,048289; 6*3 1= 0,000001 3o5, et il vient, en ne tenant compte que de e,^ e.^ dans e', et considcrant le f\^ satel- lite, £'/*=z— O", 00004 /% oil / estexprime en annees juliennes; le terme I't'^ est ainsi insensible pendant tres longtemps pour le 4* satellite, et aybmon pour les autres; la partie dee'qui contient 92 et 9, est encore plus petite. II n'est pas inutile de rappeler que c'est en travaillant a la iheorie des satellites de Jupiter que Laplace a trouve le terme e'/^ qu'il a transporte a la theorie de la Lunc oil il se trouve prendre une valeur importante. II y a lieu d'examiner maintenant Ics inegalites periodiques les plus impor- tantes de I'element e. Dans la formule (8), il faudrait rcmplacer R par R^, puis par R5; mais R^ et -^ contiendraient les carres et les produits des quantites M, 68 CHAPITRE IV. M,, ..., M',, ... qui sont tres petites. Nous nous bornerons a prendre R = R5, mais sous la forme primitive, resultant des formules (6), (7) et (9) du Cha- pitre I : ' R5 = - g/w'B(»)[9'H-9'>~299'cos(0— 0')] 3 (10) { — g n\a^ [9«+9*-299,cos(0-5,)] J/^* [9*-ha)* -h 29W cos(4' -f- ^ )]. La formule (8) donnera, en reservant pour plus loin le terme — ^ ^' — = - m'na^ -^ [9*4- 9'«— 299' cos( 9 — 0')] 3 w* (11) { -|._ _-L [cp«^9j -299,cos(0-0,)] — 3J -5 [9*4- 0)* -h 29a) cos (+-!-(? )]. On a maintcnant (p»_|-(p'2— 2 99'COS(0— ()')=:(/?—/>')* 4- (7— y')-, /? -/>'= 2 (^' ~ ^') ^'"(^' "^ "/) -^ (f^ - /)'^>' sin^', 7 — 7'= V (N — N0cos(6/-h7) — (/JL — |jl')w'cos^J^'. La somme des carres de ces expressions est negligeable a cause des petits facteurs N — N' et (jl — a'. On a ensuite 9'-h w'-+- 29wcos('«J^ -+- 6) = (/> -~^")«-4- (<7 — ^'»)% /> — //' = 2^ sin(6^ -f- y) — (i — fjL)a)'sint]^', q — 7*' = V N cos(Z^/ -H y) 4- (i — fJi)w'cos^|^'; la somme des carres de ces expressions est negligeable a cause des petits fac- teurs N et I — (JL. Enfin, dans la formule (n), on pent negliger la tres petite quantite 9^, et il reste 9«— /^'-h^/'izr V Nsin(6/ 4-y) 4- pij'sin^' 4- y] ^^'cos(Z^/ -h y) — fxw'cos^'' > ce qui pcut elre reduit a 9* = — a/zco' V Ncos(^/ 4- y 4-^')' ■ TUEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 69 Si i'on rfemplace- — par2[o], les termesdeja consideresdans laformuIe(i i) se reduisent, dans le calcul approche que nous nous bornons a faire, a (12) ^]=-4[o]jxco'2Ncos(6^^-y^-+'). II nous reste a tenir compte de inequation dt 9 {^Rg dt 2/ia* ^9 qui peut s*ecrire dt I n dO \ ( dp dq\ en ayant egard aux formules Or, on a de I dK . . . dt na^cp ^9 ^ /? =z Vn sin(^^4-y) -+- /jtw' sintj^', -^ — — V 6Nsiii(^^ -H 7) — /Jtco'^^ sin^L', 7= V Ncos(6^ -1-7) — fJLw'cos^l^', ~- — V ^Ncos(6/ -+-y) — iJ.(»)'b^cos^'; il en resulte« en prenant le terme le plus important, (i3) p^^^L pV 2 ^N cos(^/ H- 7 4- d^'). En faisant la sommc des expressions (12) et (i3), il vient de dt = — 4[o]fxco' V N cos( ^^ -hy -\-^') pjj' V bN cos{bt -+- y 4- ^'), N . (,4) as =::,-4[o]p^'2^sin(^/^-+-7-+-+')-^/^w'2 Nsin(^^H-y4-+'); le premier terme de cette formule est de bcaucoup le plus important. Je renvoie aux deux Memoires de M. Souillart pour le calcul detaille d'un nombre assez grand de termespetits et cepcndant scnsiblcs, qui provicnnent de de la consideration attentive de Texpression complete de ^> et nolaniment des termes en e et e' negliges d'abord. 70 CHAPITRE V. CHAPITRE V. THfiORlE DES SATELLITES DE JUPITEK. — DES ECLIPSES DES SATELLITES. DETERMINATION DES CONSTANTES. 27. Considerations prSliminaires. — Lcs mesurcs micrometriques permet- tent d'obtenir les elements des orbites des satellites des planetes, mais avec uiie precision assez faible, a cause du raccourci sous lequel nous apparaissent les angles ayant Icurs sommets au centre de la planete. Dans le cas de Jupi- ter (*) on peut arrivera une precision plus grande par Tobservation des eclipses des satellites. Jupiter projette derriere lui, relalivement au Soleil, une ombre dans laquelle les satellites se plongent pres de leurs conjonctions. Les incli- naisons des orbites des trois premiers satellites sur I'orbite de Jupiter et leurs distances a la planete sont telles que ces corps s'eclipsent a chaque revolution, mais le quatrieme cesse souvent de s'eclipser. C'est Tobservation des eclipses qui a revele les inegalites les plus importantes des mouvements des satellites. Cependant ces phcnomenes presentent des causes d'erreur assez genantes. D'abord, un satellite, avant d'entrer dans Tombre pure, penetre dans la penombre, et son eclat s'affaiblit graduellement, de sorte que, si la lunette de Tobservateur est de force mediocre, quand elle cessera de montrer le satellite, ce corps ne sera pas encore sur la surface de Tombre; il en sera moins eloigne si Tinstrument est plus puissant. La surface de I'ombre pure peut etre remplacee par une surface fictivc; Timmersion du satellite dans cette surface et son emersion seront pour nous le commence- ment et la fin de son eclipse. Cette ombre Active n'est pas la meme pour tons les satellites. Elle depend de (1) On a observ6 quolqucfois des eclipses des satelliles do Saturno, nolamment de Titan; ces ph6- nonn^nes sont rarcs ^ cause de la grande iucliuaison des orbites sur le plan de Torbite de la planete. Les astronomes de robservatoire Lick, en Galifornie, ont observ6, avec leur pulssante lunette, des eclipses des satellites de Mars. THfeORIE DES SATELLITES I)E JUPITER. 'J I leur distance apparente au disque de Jupiter, dont Teclat affaiblit leur lumiere (cette cause agit meme pour un seul satellite, le premier, par exemple; quand on le voit disparaitre a une assez grande distance du disque, on penetre bien plus avant dans la penombre que quand la disparition se fait tout pres du disque); clle depend encore de I'aptitude plus ou moins grande de leurs sur- faces a reflechir la lumiere, etc. L'elevation de Jupiter au-dessus de Thorizon, la purete de Tatmosphere terrestre, la force des instruments dont se sert Tob- servateur, influent pareillement sur la duree des eclipses. Ces causes d'erreur agissent davantage sur le troisieme et le quatrieme satellite; heureusement, on peut observer assez frequemment Timmersion et Temersion de ces deux satel- lites, ce qui donne I'instant de la conjonction d'une maniere assez precise et presque independante des causes d'erreur dont nous venons de parler. L*observation des disparitions serait bien plus precise si Ton faisait, avec un photometre, plusieurs mesures de Teclat du satellite a partir du moment oil il est entre dans la penombre, de fagon a en conclure, par un calcul d'interpola- tion, le moment ou cet eclat s'annule, ou mieux le moment oil cet eclat est re- duit k une fraction donnee, a la moitie, comme le propose M. Cornu. On demontre facilement (voir la These de doctorat de M. Obrecht, Annates de rob- servatoire de Paris, t. XVIII) que si Ton represente I'eclat parTordonneey d'une courbe dont Tabscisse x est le temps, le demi-eclat correspond a un point d'in- flexion do la courbe, de sorte que la variation de I'eclat en un temps donne est alors la plus grande possible. En outre, le satellite est tres peu distant du cdne circonscrit a Jupiter et avant son sommet au centre du Soleil, de sorte que le calcul du phenomene sera assez simple. Quoi qu'il en soit, les mesures micrometriques conserveront encore de I'in- teret : d'abord elles sont necessaires pour la determination de la masse de Jupi- ter a Taide des mouvements de ses satellites; ensuite elles seraient tres utiles dans le cas du quatrieme satellite, pour supplecr aux eclipses, trop peu nom- breuses. Nous allons nous occuper de la figure de I'ombre de Jupiter. 28. Figure de Tombre de Jupiter. — Chasles a demontre (Apergu histo- rique, p. 249) que la developpable circonscrite a deux ellipsoides, c'est-a-dire I'enveloppe des plans tangents communs aux deux ellipsoides, est une surface du buitieme degre. Ce sera le cas de la surface de I'ombre de Jupiter, car nous pourrons admettre que la surface de Jupiter est celle d'un ellipsoide de revolu- tion; nous pourrons meme supposer le Soleil spherique. Nous allons simplifier la determination de cette surface, en suivant d'abord la these de M. de Saint- Germain (These d' Astronomie : Sur la duree des eclipses des satellites de Jupiter; 1862). Nous supposerons le centre du Soleil situe dans le plan de I'equateur de la planete, et nous pourrons admettre que les courbes de contact de la develop- 72 CHAPITRE V. pable avec Jupiter et avec le Soleil sont les sections de ces deux corps par des plans menes par le centre S du Soleil et le centre J de Jupiter, perpendiculai- rement a la droite SJ. En effet, si Ton negligeait I'aplatissement de Jupiter, la surface de Tombre serait un cone de revolution touchant les deux astres suivant des cercles situes dans des plans paralleles. Les distances respectives de ces plans aux centres du Soleil et de Jupiter ont pour expressions R et b , oil R, b et r, designent les rayons du Soleil, de Jupiter, et la distance SJ. Or, on a R I 6 I . — = » i7 = — envu'on. /'i 1 1 20 u 10 Les distances dont il s'agit sont done petites; la modification qui en resul- tera pour la section de I'ombre par un plan perpendiculaire a SJ, mene par une position determinee d'un satellite, sera tres faible, et il en sera encore ainsi en ayant egard a Taplatissement de Jupiter. Au surplus, nous renverrons a la These de M. de Saint-Germain pour une demonstration rigoureuse et detaillee. Cela pose, prenons Taxe de revolution de Jupiter pour axe des 5, la droite SJ prolongee pour axe des x, les equations de nos deux courbes de contact seront La surface de I'ombre sera cngendree par une droite D rencontrant les deux directrices precedentes, en deux points A et A' oil les tangentes soient paral- leles, car ces tangentes seront les intersections de deux plans paralleles par un troisieme contenant la droite D. Soient .r = o, j=6sinw, 5 = ccos« les coordonnees du point A, j7 !=-—/•,, jnrRsinM', -c = Rcos«' ccUes du point A'. Pour le parallelisme des tangentes, on devra avoir la condition (1) tang«'= -langM. « Les equations de la droite D seront X y — b'^mu z — ccosa ^ ' r, " ^ sinw — R sinw' ccos« — R cosm'' etTequalion de la surface de I'ombre resulteraitdereliminationdea et a'entre les equations (i) et (2). M. de Saint-Germain a effectue cettc elimination qui THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 73 conduit eneSet, meme apres la simplification operee, a une equation du hui- tieme degre en a?, y et z. Mais ce qu'il nous importe surtout de connaitre, c'est I'equation de la section de la surface de Tombre par le plan a? = r, mene perpendiculairement a SJ par Tune des positions du satellite dans I'interieur du cone d'ombre; nous admet- tons qu*a Tinterieur du cone d'ombre toutes les positions du satellite se trou- vent sensiblement dans le plan ^ = r. Les equations (2) donneront r = 6 ( I T sin M H r( sm u — sm w'), 5 =:C I I COSM H /(COSM — COSW ). Or Tequation (i) donne, d'apres un developpement connu, , c — b . \ ( c — h U =: U -\ r sin 2M -h , . . , 1 sin 4 ''-+-•• • On posera t / X c — b I c -i- b 2 Onvoit que Ton pourra negligcrlestermesen sinw — sinw'etencosi/ — - cosi/', parce qu'ils contiendront le petit facteur-- II nous restera done simplement if '' H /• \ . y = £> I I H -. Sin « = a sm M, •^ \ r, b rj / r R /• \ a Z:=C ( \-\ cos U —- 7 cos U. \ /'i c rJ i-i-x' D'ou Ton tire, pour equation de la section de Tombre, (4) a'-y«=:^>(I-^x')^ Cetle section est done une ellipse, ayant pour dcmi grand axe a et pour apla- tissemenl x'. Si Ton pose (5) — =/— — environ, R 10 on aura (6) «^,(,^I_»-^); a b , 7 = I ' + I 4- X I -H X /• I -H x\ T. - IV. 10 74 on en tire aisement (7) CHAPITRE V. I H I — r I — r,l Cette valeur de x' differe tres pen de x car, meme pour le quatrieme satel- lite, on a /• R I r = 26b=:26'kR, —^ 1=26— =: r7i' 29. Calcul de la dur6e d'une Eclipse. — Soient :;o '^ hauteur du satellite au- dessus de Torbitc do Jupilcr au moment de sa conjonction, r sa distance au centre de Jupiter et (^1 Tangle decrit par le satellite sur Torbitc de la planete, depuis le moment de la conjonction et en vertu de son mouvement synodique. Prenons ensuite pour axe des x le prolongement du rayon vecteur SJ, au moment Fig. I. de la conjonction. Le mouvement du satellite, en projection sur le plan des ^ry, se fera sur la droite AB parallele a Jj; on aura JM=:JMo=:JA — /, AJBi^r,, AJMo — ^o, BJM = 5, AB =zy =z 3B sinvi^z^r- — 5'sinr,, x; — z^, et Tequation (4) donnera d'oii, en negligeant s^sin^t',, (8) /•* sin'^ii= 5t-— r*5'(i -h x') '\t Mais on a aussi =-''"^(^).*''"^--' dso . 5 ~ 5o 4- ->— sm ^t -h . . . TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 'J 5 En portant dans la formule (8), il vient r'sin'i'i = a'— r'(i 4-x')' f 5* -4- 250-T7 sinr, j , d'oii, en resolvant cette equation du second degre en sint^i et negligeant le carre de s, (9) . sini;,==-(i+x')'5o^±y^[?+(i+x')5oJ[j;--(i-4-)c')5oJ. On aura ainsi, en prenant le signe 4-, Tare ^, decrit par le satellite en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu'a Temersion; en prenant le signe — , la valeur de sin(^« donncra, au signe pres, Tangle decrit de- puis la conjonction jusqu'a Timmersion. Soit t le temps que met le satellite a decrire Tangle ^|. Posons I dvi ^=i-hX; n — n, dt X sera egal a — ^ — i, en negligeant la petite quantite —-On pourra ecrire ap- proximativement {n — ^i) t n — n 1 Soit T la moyenne des temps que le satellite cmploie a parcourir Tangle (.0) (3 = ^ en appliquant la formule precedente, et remplaQant /, v^ et X respectivement par T, p et zero, on aura (II) T=— ^, ^:^^(,_X). Les formules (9), (10) et (i i) donneront ensuite f — T(i-X) -(i + x ^■)-t^,*v/[^*<-''>FlL?-<-«''?Ji On a vu (Chapitre I) qu'en ayant egard aux inegalites les plus importantes, on a 76 CHAPITRE V. I'expression de / deviendra ainsi (12) ^ = T(i-X) -(i-hx ')'-^"S^v/h^^"^'"''')J^]h^^-('-^''')S! Soil I' la duree enliere de Teclipse; on aura d'oii Ton conclura _(3v/4T»(i-X)-/-> ('^^ ^^^ 2T(i-+-x')(i-X) ' Cette equation servira a determiner les constantes arbitraires que renferme Tcxpression de s^, en choisissant les observations de ces eclipses dans lesquelles ces constantes ont le plus d'influence. Nous mentionnerons ici, parmi les Iravaux relatifs a la figure do Tombre de Jupiter, celui de M. Asaph Hall {Astr. Nachr., n® 2156), et celui de M. Souillart {Astr. Nachr., n^ 2169). Ce dernier Memoire se rapporte au cas d'une planete dont I'orbite fait un angle notable avec le plan de I'equateur; TefTet de cette inclinaison, a peu pres nul pour Jupiter, serait tres sensible dans le cas de Saturne. 30. Indications sur le calcul numSrique des constantes. — Ces constantes sont nombreuses dans la theorie des satellites de Jupiter; il y en a trente et une, savoir : six elements ellipliques et la masse de chaque satellite; I'aplatissement de Jupiter, ou plutot la quantite x x,, et les deux constantes qui fixent, a un moment donne, la position de son equateur. Mais il convientde separer la determination des masses /w, m\ m'\ m"' et de x x,. Nous allons chercher a eclairer un peu ce probleme assez complexe. La premiere chose a faire est le calcul des moyens mouvements /i, n\ /^", n*^. Poury arriver, on determine d*abord les moyens mouvements synodiques/2 — /i^, Fl—n^; on y parvicnt en considerant deux conjonctions trbs eloignees d'un satellite, observecs aux epoques / et /'; on a, en designant par k le nombre total des conjonctions, (i5) (n — ni)(t'—t)=:2kv:, d'oii n — n,. On n'obscrve pas Tinstant meme de chaque conjonction; mais on peul Tobtenir pour les deux derniers satellites, et quelquefois pour Ic second, en prenant la moyennc des instants d'une immersion et de Temersion suivante. TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 77 Pourle premier, on peut tenircompte de ladenii-duree de reclipsedeterminee par unc immersion ct une emersion observees dans le voisinage de Topposition, done a peu de distance. Les inegalitcs du satellite sont negligees dans la formule (i5), ou bien on en tient un compte approximatif, ou Ton s'arrange de maniere qu'elles soient presque les memes. On aura done ainsi, avec une grande exactitude, n — /i,, d'oii /I. 11 faut ensuite determiners, «', a" Qia'\ en prenant pour unite le rayon equa- torial de Jupiter. On determine a*" exprime en secondes d'arc, d'apres Velonga- iion du quatrieme satellite, et le demi-diametre apparent de Jupiter a la mcme cpoque, exprime de la memc fagon; le quotient de ces deux nombres donne ce que nous appelons a". On se sert de la troisieme loi de Kepler pour avoir a, a'et a''. Mais il faut remarquer que la relation n^a^ = n"'^a"^ doit etre rem- placee par Sa et Sa" designant les parties constantes des demi grands axes, produites par les perturbations. On a, a fort peu pres (Chap. II, p. i8), I I X Xi X Xi et il en resulte aisement «=«'(ir)'['-*-K''~^')(i~^0]' on emploiera une expression, meme assez grossierement approchee de x x,, ct Ton obtiendra ainsi a, a' et a\ II scmble qu'il conviendrait de retrancher de /i,/i', . .. les coefficients de / dans les longitudes moycnncsde I'epoque £,£',,.; mais la correction qui en resullerait scrait bien faible. Avec les rapports—? — > ••• on calcule les transccndantes 6^' et leurs deri- vees, premiere et seconde. On est a meme de calculer les quantites F, G, F', G', ... et les coefficients de m\ m!\ . . . dans (o, i), (o, 2), .... La formule (10) duChapitrell donnerales| | avec des valeurs provisoires de/w', /w", m'", et qui seront bien suffisantes pour ce but. On peut done regarder Po~] , | i | , [" 2 ) et I 3 I comme connus, sauf peut-elre la correction a apporter ax x,. Laplace calcule ensuite les perturbations indcpendantes des excentricites (Chapitre II); il y figure /w, m\ ni' et rn" comma indeterminees. Pour eviter des nombres trop grands, il represente parm 10 000 fois le rapport de la masse 78 CriAPITRE V, du premier satellite a la masse de Jupiter, et de meme pour les autres, de sorte que, d'apres les resultals d'une theorie provisoire, /w, /w', m" et nf sont des fractions comprises entre o, i eto,9ou 1,0. Des fautes de calcul assez nom- breuses ont ete commises par Laplace dans cette partie; elles ont ete corrigees par Bowditch, Airy et Bessel (t^oir les pages 499-501 du Tome IV des OEw;res completes de Laplace, et le Tome 11 des Astronomische Untersuchungen de Bessel, Bestimmung der Masse des Japiters). Laplace pose ensuite X— ix, = 0,0217 794 fx, oil (x designe une indeterminee voisine de i, et il se propose de determiner d'abord les cinq inconnues m, m\ m!\ ni" et [x. 31. Voici les cinq donnees numeriques qu*il emprunte a la discussion faite par Delambre de plusieurs milliers d'eclipses des satellites : (I) hv — C sin(2/' —2/)-+-..., (II) 3('' = - C sin(2r- 2/') 4-. . ., I 5i^'z= + C'sin(r-^,^-?3)-i-..., I 'm; + x''m;4-<.i.'^M3 -o, XiMa-f- = O, (I>) { X^Mz -4- =: O, XjMa -4- =^0, ou les coefficients xf sont des fonctions connues de g^, m, m\ m'\ m"' et (x. L'elimination de M,, ...tM* entre les equations (C) et (D) donnera deux equations entre les cinq inconnues w, m\ m'\ m"' et [x. Le terme IV est le plus considerable de X', apres celui qui se rapporte au plan fixe de Laplace, et il est facile de voir que 6, est le moyen mouvement an- nuel du noeiid de I'orbite du second satellite. Delambre a trouve 6, = 1 33 870^ = 43 374" = 1 2<» 2' 54^ Si Ton elimine N|, N',, ..., N7 entre les equations (11) du Chapitre III, on trouvera la dernieredes relations cherchees. Cette relation se reduit approxima- tivement a (,6) -6^=rn=^(i)-4-[i]4-(i,o) + (i,2)+(i,3). II convient d'observer queC" est petit et doit etre assez mal connu; C" repond a 1 1 7* en temps, soit un peu moins de 2™; les eclipses du second satellite s'ob- servent moins bien que celles du premier; des erreurs de 10' ou meme de 20* sur une immersion ou une emersion peuvent etre commises assez facilement; c'est la certainement une cause d'incertitude dans la determination des masses des satellites. Donnons quelques indications numeriques sur le calcul de ces masses. Les rapports^, ^^ W' sontpetits; dans une premiere approximation, les equa- tions (D) pourront etre reduites a .1,^ -4- X" ^, " X" -4- 0,08165780)1,'' hi: O. M3 C'est ainsi que Laplace a trouve les equations suivantes : (17) 6735 — 2947 fx — 363 m — 4 1 9^ ni" —. o, (18) 1 834 m" + 791 m"" — 2ogo mm" -{- 1829 m''* = o, (19) 277 — i736fx — 267m — I24m''-h35i4m*' r=o. Je laisse de cote Tune des equations (D), dans laquelle les lermes obtenus, apres avoir fait M, = M^ = o, sont positifs, d'ailleurs trfes petits. Enfin, Tequa- TH^ORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 8 1 tion (i6) donne (20) i33663 — 109008 fx — 3 1 574 /w — 19567 m'' — 1804^*^ = 0. L'equation (B) combinee avec trois des equations precedentes, par exemple (17), (19) et (20), donnera les inconnues. On trouve ainsi m ■=: 0,178, m''=: 0,882, p zn I , 0088, m''=z o,465. Onse servira de ces valeurs approchees pour determiner^, et ^ par deux 3 8 des equations (D), et Ton portera les valeurs ainsi trouvees dans les deux autres; on completera de meme Tequation (i6)en tenant compte de N^, N',, ..., N7, et Ton continuera jusqu'a ce que deux calculs consecutifs donnent le meme resultat. Damoiseau a determine une nouvelle valeur du coefficient C dans la longi- tude du troisieme satellite. La valeur ci-dessus, 245", i4» adoptee par Laplace, repondait k 1 16%73 en temps. Damoiseau Ta remplacee par 65%o73, qui n'en est guere que la moitie. D'apres son Manuscrit, conserve a la bibliotheque du Bureau des Longitudes, cette correction, ainsi que toutes celles qu'il a appor- tees au troisieme satellite, proviendrait d'un calcul particulier dans lequel on aurait tenu compte de quatre-vingt-treize eclipses completes de ce satellite, observees en tre 1740 et 1824. En introduisant le nouveau coefficient, 65% 073, on modifie tres sensiblement les masses, ainsi que M. Souillart Ta montre et que cela resulte du Tableau suivant : Laplace. M. Souillart. m 0,178281 0,377267 m', 0,282355 o,2453o5 m" 0,884972 0,821795 rn" 0,426591 o,23i233 On voit que le principal changement consiste en ce que la masse du quatrieme satellite est presque reduite a moitie, tandis que celle du premier est plus que doublee. 32. On a maintenant tout ce qu*il faut pour calculer les racines^, g^, g.^ et g^ (deja obtenue), ainsi que les rapports M' w M' M, m; M™. M' M' M' m;' m;' M'.' M. m; m;. M, m; m; K' m;' m;' m;' Mf M^ T. — IV. 1 1 82 CHAPITRE V. On trouve que ces rapports sorit inferieurs a i, et souvent meme assezpctits On aura done e sinw =M s e' sincj' =:Mj s e' sinw'^^MJs n(^i^ -f- Pi) 4-. . ., e' cosGj' ==Mi cos(^i^H- (3,) -h. . . , n(oi^ + P2) -H. . ., e" costs" = Mj cos(^s^ -h Pi) 4-. . . , n{git 4- Pa) 4-. . ., e^cosro'^^iMj cos(^3^4- Ps) 4- Laplaee appelleMl'ea?ce/2/r/a/e /^ro/?re du premier satellite, et g^/4- [3 la /on^i- tude de son perijove propre, de meme M', et 5^, / -h pi pour le deuxieme, etc. Les formules $v =:2M sin(/ — ^^ — P)-4-2M, sin(/ — ^i^ — Pt) 5r'r= 2M' sin(/' — ^^ — P) -H 2M; sm(/'- g^t — pj) montrent que chaque satellite possede quatre equations du centre, dont Tune se rapporte au perijove propre de ce satellite, et les trois autres aux perijoves propres des trois autres satellites. II reste a determiner par les observations les huit constantes M, M;, M;, M'J; p, p„ p, et p,. Delambre n'a pas trouve, dans les observations, de traces appreciables de Texistence de M et M',, de sorte que Ton pent supposer M = O, M 1 nr O. Ainsi, on pent admettre que les excentricites propres des deux premiers sa- tellites sont nulles, et les expressions precedentes de ts^, tv\ . . . se reduisent, chez Damoiseau, a dv =r2MjSin(/ — ^,^ — p,) -h 2M8 sin(/ —^3^ — Pa), 3/z=2M;sin(/' — ^,^ — (3,)-f-2M;sin(/' — ^,^ — P,), 5v''r=2M;sin(r-i',/-P,)4-2M;sin(r-^,^-.p3), 6i>'^=2M';sin(r-^,^-pO-+-2M;sin(r-^3^-p«). Nous n*entrerons pas dans plus de details sur ce sujet, non plus que sur la determination des constantes qui figurent dans les expressions des noeuds et des inclinaisons; nous nous bornerons a dire que les inclinaisons sont donnees par les plus petites durces des eclipses, et les noeuds par les plus longues. 33. Historique relatif k la thSorie des satellites de Jupiter. — Le pre- mier essai de theorie est du a Newton (Principes, Livre III, Proposition XXIII), TOEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 83 qui avait evalue approximativement la variation et les moyens niouvements du perijove du quatrieme satellite, en tenant compte seulement de la force pertur- batrice du Soleil, et transportant a ce cas les resultats qu'il avait obtenus pour la Lune. Lagrange {OEuvre.s completes, t. VI) a donne, en 1766, les equations differen- tielles du mouvement des satellites, en ayant egard a leur action mutuellc, a rattraction du Soleil et a Taplatissement de Jupiter. II les integre d'abord en negligeant les excentricites et les inclinaisons des orbites, et il parvient aux inegalites dependantesdes longitudes moyennes [formules (D) du Chapitre II], etd'ou resultent, dans le retour des eclipses des trois premiers satellites, les inegalites dont la periode est de 427 jours, et que Bradley et Wargentin avaient decouvertes par Tobservation. Lagrange considere ensuite les inegalites dependantes des excentricites et des perijoves. II forme les equations differentielles lineaires (A') du Chapitre II, et les integre comme nous I'avons explique a cet endroit. II trouve pour chaque satellite les quatre equations du centre dont nous avons parte. En appliquant la meme analyse aux noeuds et aux inclinaisons, il obtient pour cbaque satellite quatre inegalites principales de la latitude. Mais il avait suppose que Tequateur et le plan de I'orbite de Jupiter coincident, et cette sup- position avait fait disparaitre des termes importants. En meme temps que Lagrange s'occupait de ces recherches, Bailly (Essai sur la theorie des satellites de Jupiter, 1766) appliquait au mouvement des satel- lites de Jupiter les formules que Clairaut avait donnces dans sa theorie de la Lune. II reconnut les inegalites dont la periode est de 437 jours; mais cette theorie ne pouvait pas lui donner les quatre equations du centre obtenues par Lagrange. Laplace a beaucoup ajoute a Tadmirable travail de Lagrange. II a donne d'abord la demonstration des deux beaux theoremes exprimes par les relations et montre que ces relations, constatees par les observations pour un certain intervalle de temps, doivent toujours subsister; il a etabli ensuite les formules de la libration, et determine I'influence de cette libration sur les inegalites a longues periodes. C'est a lui que Ton doit les inegalites (21) du Chapitre II, provenant de la reaction mutuelle des inegalites seculaires ct de celles dont la periode est de 437 jours. II a donne les expressions exactes des inegalites des latitudes et celles du mouvement de Tequatcurde Jupiter, et montre enfinque les formules de Lagrange, pour les inegalites seculaires des noeuds et des perijoves, doivent etre completees par des termes du second ordre qui sont loin d'etre negli- geables. 84 CHAPITRE V. THEORIE DES SATELLITES DE JUPITER. Nous avons indique, chemin faisant, les perfectionnements de la theorie dus a M. Souillart; nous renverrons le lecteur a ses deux Memoires deja cites, et a une Note des Astron. Nachr., n*" 2214. Arrive au terme d'une exposition deja longue, et que nous n'avons pas la pre- tention de croire complete, nous pensons cependant avoir reussi a rendre plus accessible une des plus belles theories de la Mecanique celeste, qui est au fond assez simple et ne parait compliquee que par les notations multiples impos- sibles a eviter. Nous nous trouverons amplement recompense d'un travail assez long si les lecteurs du sujet deviennent plus nombreux et s'y interessent davan- tage. II est bien a desirer qu*une discussion complete des observations soit faite a nouveau, ainsi que la determination de toutes les constantes, y compris la vitesse de la lumiero. Le travail dans lequel Delambre avait discute plus de 6000 observations, et dont Laplace parle a diverses reprises, a malheureuse- ment ete perdu. L'introduction aux Tables des satellites de Jupiter, de Damoi- seau, presente des obscurites au sujet de la provenance des nombres fondamen- taux qui ont servi a les construire; quelques-unes ont pu etre dissipees par M. Souillart a Taide d'un Memoire, reste en manuscrit, de Damoiseau, et que possede le Bureau des Longitudes, THtoRIE DES SATELLITES DE SATURNE. 85 CHAPITRE VI. TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. - PERTURBATIONS DE JAPET. 34. Des satellites de Satume. — « La theorie des satellites de Saturne est ires imparfaite, parce que nous manquons d'observations suffisantcs pour en determiner les elements. L'impossibilite oil Ton a ete jusqu'ici d'observer leurs eclipses, et la difficulte de mesurer leurs elongations a Saturne, n'ont permis de connaitre encore avec quelque precision que les durees de leurs revolutions et leurs distances moyennes Ignorant done rellipticite des orbites de tous ces corps, il est impossible dc donner la theorie des pertur- bations qu'ils eprouvent; mais la position constante de ces orbites dans leplan de I'anneau, a Texception de la derniere qui s'en ecarte sensiblement, est un phenomfene digne de Tattention des geometres et des astronomes Nous aliens ici developper la raison pour laquelle Torbite du dernier satellite s'ecarte de ce plan d'une quantite tres sensible (*). » Les observations que reclamait Laplace ont etc faites dans ces dernieres annees, grace surtout aux puissants instruments de Washington, Poulkovo, Toulouse, etc.; elles n'embrassent encore qu'un intervalle de temps assez restreint; cependant elles ont deja permis a la Mecanique celeste de faire des progres impossibles a Tepoque de Laplace. Nous nous proposons d'cxposer assez completement Tetat actuel dc la Science sur ce sujet important. 11 convient d'abord de donner quelques indications generalcs sur les satel- lites et leurs mouvements. On connait huit satellites qui sont, par ordre de distance croissante a Saturne, MimaSf Encelade, Telhys, Dione, Rhea, Titan, Hyperion et Japet. Le plus gros. Titan, pent etre apergu avec la lunette la plus faible; aussi a-t-il ete docouvert par Huygens en i655. Son diamelre apparent parait inferieur a i", de sorte que son diametre reel serait un peu inferieur a celui de Mars. Une lunette de 4 ^^ (») L\ PLAGE, Mecanique celeste, t. IV. 86 CIIAPITRE VI. 5 pouces d'ouverture permet de voir Japet, Rhea, Dione et Tethys que D. Cas- sini a decouverts a I'Observatoire de Paris, de 167 1 a 168/4, avec les objectifs a tres long foyer de Campani. Encelade et Mimas, les satellites les plus voisins de la planete et qui ont ete decouverts par W. Herschel, en 1789, exigent deja, pour etre aperQus, des lunettes de 12 pouces. Le plus faible de tous, Hyperion, decouvert simultanement par Bond et Lassell, en 1848, nepeut etre vu qu'avec les lunettes les plus puissantes; son eclat nc depasse pas celui d'une etoile de quatorzieme grandeur. Voici quelques-uns des Elements des orbites : e m I. a T 0 a. T Mimas. Encoladc. Tdthys. Diond. lOJ. 0 167.56 166*. 7' 167.40 27.36 28. 7 28.40 27.59 3. 10 3.98 4.93 6.3i 0^22*' 37'° 5' i^ 8»'53'" 7« I^2I»'l8"26« 2h7»»4i"' 9' Rh^a. Titan. Hypdrion. Japet. i67'.45' 1 67". 48' 168.10 1 42'. 40 28.22 27.28 27. 5 18. 3i 8.83 20.45 25.07 59.58 4^2" 25" 1 2' 15^22'* 4 J "22' 21^6" 39" 27' 79^ 7** 54" 17' Enfin, on a pour les anneaux 6t=z 167055', f = 28«io', 0, 1, a et T designent respectivement : la longitude du noeud ascendant, Tincli- naison, le demi grand axe exprime en fonction du rayon equatorial de Saturne, et la duree de la revolution. On voit que les orbites font des angles petits avec le plan de Tanneau, sauf dans le cas de Japet. OnaperQoit, en outre, des rapports de commensurabiliteassezapproches entre les moyens mouvements, - pour Tethys et Mimas d'une part, Dione et Encelade 3 d'autre part; 7 pour Hyperion et Titan. Laplace s'est borne a examiner les perturbations du plan do I'orbite de Japet. M. Newcomb a ecrit un beau Chapitre de la Mecanique celeste sur les derange- ments causes par Titan dans le mouvementd'Hyperion, ctM. H. Struvea trouve deux theoremcs remarquables concernant les perturbations de Tethys et de Mimas, puis de Dione et Encelade. Nous allons exposer successivement ces divers travaux, ainsi que les additions qui leur ont ete apportees par d'autres astronomes. THE0R1E DES SATELLITES DE SATURNE. 87 35 . likiuations diffirentielles du mouvement de Tun quelconque des satel- lites. — Dans le mouvement du satellite M, dont les coordonnees x,y, z sont rapportees a trois axes de directions invariables passant par le centre de Sa- turne, nous devons avoir egard aux perturbations provenant : De Taplatissement de Saturne; De Taction de Tanneau; De Taction du Soleil, Et des attractions des autres satellites. Designons par m^, m,, M© et /w^-'^ les masses de Saturne, de Tanneau, du Soleil et d'un satellite quelconque My; soient /• r les potentiels de Saturne et de son anneau; nous aurons ces equations difTe- rentielles 0) lrf^+/ 7^ ^ = 5y' w a=w+w,=/™.(^-^-)*2/'»'"(s;-^)' Aj =z /•• 4- r^ — 2 rt'jSjy Sj =: cos (rrj), D'apres la formule (6') de la page 32o(t. IT), on a, pour V et V,, ces develop- pements en series I 35 5 I Y, znsin'i — o' ^4= — sin*d sin*d -4- 7> . . ., 6 12 2 4 Y;=: sin*3i- L Y',= — sin*d,~ - sm'dy-h 7, 3 * 12 2 4 oil B et S| designent les declinaisons du satellite au-dessus de Tequateur de Saturne et au-dessus du plan de Tanneau; A:, /,..., ^,, /,, ... sont des constantes 88 CHAPITRE VI. dependant de ia distribution de la matiere dans le corps de Saturne et dans Tanneau. Enfin, les developpements supposent que cetle distribution est syme- trique par rapport a I'axe de rotation et a Tequateur de Saturne, de meme rela- tivement a I'axe et au plan de Tanneau. Cherchons a nous faire une idee de la grandeur des constantes ^, /, k^, /,, en supposant Saturne et I'anneau homogenes. La formule (c) de la page 32i (t. II) donne, endesignantparaet b le rayon polaire et le rayon equatorial de Saturne, on en conclut aisement 10 S). '-^"'h^' 1 _ — ,— I'aplatissement de Saturne = o,io; si Ton suppose que rdesigne le rayon vecteur de Dione, on a {voir plus haul) t = 6,3 1. On en conclut aisement --=:0,00l5, — r := O , ooo oo3 ; la serie converge assez rapidement pour que Ton puisse negliger /. Pour ce qui concerne Tanneau, la formule (B) de la page 262 (t. II) donne Y. V. = 2,-4fT' Y;=/P,,'«rf/n', ou Ton a P„=:X„X'„, pour j:=:sindi; X,— - sm»3, — -> ^*= g- sm*3,— -^sm*di-4- g; pour tons les points de Tanneau suppose plan, on a 8', = o; done done on a ensuite Y' i. Y' _i_ _. A, — — ^, A^— -hg, TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 89 Si Ton suppose que les rayons limites de Tanneau soient R' et R", on aura dm' iTzr' dr' m, TT K"^ 7rR'«' 3 fr'^dr' ' 2 R"* R'«' 9 fr'^dr' ' ~ 8 W^ R* 3 R"* R'* *""8 R'*— R'»' 9 R"« R'« ' 43 R'* R'« R' — 1,56^ R'^— 2,3o6. Or, on a Si Ton fait ie calcul pour Dione, comme precedemment, on trouve ^* = 0,0709, -p^ = o,oo53. La serie qui donne V, converge done moins rapidement que celle qui se rap- porte a Y ; neanmoins, si Ton a egard a la petitesse de la masse de Tanneau, on pourra red u ire V, a Supposons maintenant que Ie plan de Tanneau coincide avec le plan de Te- quateur, et nous aurons (3) TUT \\r ^moX:4- A:, /w, /i . ,^\ ^ V ^ • • *\ La constante k s'obtient en ecrivant que I'equilibre a lieu a la surface de la planete; on trouve ainsi, comme on I'a vu (p. 4)» (4) A:.= ^>^x-ix,), oil X et X| designent respectivement Taplatissement de Saturne et le rapport de la force centrifuge a la pesanteur, pour I'equateur. L'expression (3) pourrait etre en defaut si S et S, differaient sensiblement i'un de I'autre ; or, on n'a jusqu'ici aucun indice de la non-coincidence des plans de Tanneau et de Tequateur; il pourrait encore en etre de meme si Tetude des mouvements des satellites les plus voisins de la planete decelait Texistence du terme en -^ dans V< ; c'est une question qui n'est peut-etre pas encore videe completement. 36. Diveloppement des fonctions perturbatrices. — Nous ne considere- T. - IV. 12 go CHAPITRE VI. rons que les parties seculaires, c*est-a-dire celles qui sont independantes des longitudes moyennes des satellites et dc cclle de Saturne. Nous pourrons menie faire abstraction de ^y, car les excentricites des satellites sont tres petites. Les termes ainsi negliges donnent lieu a quelques faibles inegalites auxquelles il faut avoir egard dans une theorie complete, mais que nous laissons volontairement de cote. En posant la fonction perturbatrice provenant dc Taplatissement et de Tanneau est S2=,^(l-sin'o); soient Y'Tinclinaison de Torbite du satellite sur Tcquateurde Saturne, r/ la dis- tance angulairedu satellite au noeud ascendant relatif a I'equateur; un triangle rectangle facile a apercevoir donne la relation •_ ?* smo =: sin// siny , d'oii 12== -^ f ^ — - sin'y'n- - sin*y'cos2// J. La portion en —^j— est essentiellement periodique; le terme seculaire de -^ est ••w J*. >^iit * j^in oil i^ et (V designent les anomalies moyenne ct vraie. On aura done simple- ment (5) £2 = ^(l-isin'/). La fonction perturbatrice provenant du Soleil est, d'apres la formule (2), 0 — /• ^0 /• 2r I s 0 0 L \ ' « /•»\""* /• 1 r En la developpantsuivant les puissances de la quantite tres petite — > on pent se borner a Zs\ — \ r« On pent meme supprimer le terme/ -7^ qui ne contient pas les elements du THEORIE DES SATELLITES 1)E SATURNE. 9 1 satellite, et prendre ^0=/ Moa* 3sl — I nla^ 3,95 — i (l-ej)* Soient Y Tinclinaison de Torbite du satellite sur Torbite de Saturne, Uo et U les distances angulaires du Soleil et du satellite au noeud ascendant du premier de ces plans par rapport au second. On a 5o = cos(r/'o) = cosUcosUo-t- sinU sin U© cosy. La partie non periodique de si est I I 7 H- 7 cos*y. 4 4 On aura done (6) i2o=|-^^cos«y. Considerons enfin la fonction perturbatrice Qj provenant de Taction d'un sa- tellite quelconque My. D'apres la formule (37) de la page 809 (t. I), on aura, en negligeant e et ej, Oil Y] designe le sinus de la demi-inclinaison des orbites de M et de My. Si cette derniere orbite coincide a peu pres avec le plan de Tanneau, on pourra prendre Yj* = sin' ^ = 7 sin*v' -4--^ sin*y'H- 2 4 'o ' Le terme en sin^y' pent etre neglige, meme dans le cas de Japet, pour lequel Y = i3**,7; du moins, -gsin^y' n'est que la soixante-dixieme partie de jsin^y'. Nous pouvons done prendre (7) aj=/m(J) (^ A^oJ- g B(» sin'/V A^®^ et B^*^ sont des fonctions bomogenes et de degre — i de a et aj, dont les expressions ont ete donnees dans le Tome I, p. 298. 37. Perturbations siculaires de Japet. — Les lettres non accentuees se rapporteront a ce satellite. La fonction perturbatrice £1 sera la somme des ex- pressions (5), (6) et (7); elle dependra de y et de y' qui introduiront les ele- 92 CHAPITRE VI. ments i et 6, et aussi de a qui sera constant, puisque £2 ne contient pas la Ion gitude moyenne /. On trouvera ainsi (8) 12 nz K cos»y -h K' cos'/, en faisant (9) K..-^-^i^, B^*) est defini par Tequation 3 I aay(a'-h at J — aoay cos^p) ' = -Bcosv|; + B^*^ C0S2vJ^ En faisant a OL sera toujours < i, et Ton aura d'oii le signe ^ s'etend a tons ies satellites interieurs. On aura ensuite, .en appliquant aux equations (i) la methods de la variation des constantes arbitraires et negligeante?^, (II) dQ f dil di I dii •. —Try dt na^sxwi Oi dt /la'sint dO Cest de ces equations que Ton conclura Ies inegalites seculaires de i et de 6, apres avoir remplace H par son expression (8), et y et y' par leurs valeurs en fonction de i et de 0. J'ai montre {Annales de V Observatoire de Toulouse, t. I) que Ton pent trouver aisement I'equation de la courbe decritesur la sphere celeste parle pole de Tor- bite, sans effectuer I'integration complete des equations (ii). On en tire, en effet, dQ, dQ de dQ di dt '" de dl ' di dt ~ °' TH^OKIE DES SATELLITES DE SATURNE. gS ce qui donne Fintegrale (12) a = K cos'y H- K' cos*/ = C, laquelle exprime une relation simple entre les angles y et Y que fait le plan de Torbite du satellite avec Torbite de Saturne et le plan de I'anneau. Je vais deduire immediatement de cette relation que le pole de Torbite decrit une ellipse spherique. Soient en effet D {/ig. 2) le pole boreal de I'orbite de Saturne, D' celui de Tanneau, M celui de I'orbite de Japet, on a MD:=:y, MD'=/, DD' = A, A representant Tangle du plan de Tanneau avec I'orbite de Saturne. Soient Xo, Yo, Z^; X'^, Y'^, Z'^; X, Y, Z les coordonnees des points D, D' et M par rapport a trois axes rectangulaires se coupant au centre de la sphere. On aura cosy - xXo H- YYo + zZo, cosy' =^ xx; + yy; 4- zz;, et I'equation (12) deviendra K(XXo -f- YYo -H ZZo)« 4- K'(XX; 4- YY; + ZZ; )« = C; c'est I'equation d'un cylindre elliptique qui, par son intersection avec la sphere, donnera la courbe cherchee qui se trouvebien etre ainsi une ellipse spherique. Mais je ne garderai pas les coordonnees rectangulaires pour etudier cette courbe. Je vais chercher directement son centre C, qui est evidemment sur Tare DD'. Soient CD = / , CD' := /', CM =z p, D' CM = 9, on aura cosy = cosfcosp — sin^ sinpcos9, cosy' = cose'cosp-t- sine' sinpcosf, K(cosf cosp — sin* sinp cos 9)' + K'(cosi'cosp 4- sint'sinpcos9)* = C. Disposons de i et de i' de faQon a annuler dans cette equation le coefficient 94 CHAPITRE VI. de cos7 sinA = sinA sin2a, IL K. 4- A. l'equation (i5) donnera « •» . • » • • 5D C Kcos*yo4-K'cos«yi ^^ cos'p cos'B 4- sin*p cos* QSin'B = ^ ^^r, = it itt ^ = cos' N, en designant par yo-et y'o '^s valeurs initiales de y et y'> et par N un nouvel angle auxiliaire. Nous aurons ainsi cet ensemble de formules, K' tang* a zz: 1^ J sin 2 B = sin A sin 2 a, ^ * cos*N=:cos'yoCOs'a4- cos'yo sin*a, sin'N = sin'yo cos*a 4- sin^y^ sin'a, (17) cos*B cos'p 4- sin*B sin*p cos*9=: cos*N, dont la derniere est l'equation de la courbe; les relations (16) font connaitre THtoRIE DES SATELLITES DE SATURNE. q5 lesquantites auxiliaires N, B, a en fonction des constantes K, K', A, yo et y'o- Cherchons lesaxes 2p'et 2^" de notre ellipse spherique, 2p etant dirige sui- vant Tare DD'. Nous aurons a faire, dans Tequation (17), (p = o et (p = 9o*'; nous trouverons aisement , ox n COSN , COS2N (18) COSp^^i ^^ C0S2p':zz ; ^ cosB ^ C0S2H on pent constater sans peine Finegalite p' > f. Laplace a considere un plan fixe, precisement celui qui a pour pole le centre C de notre ellipse spherique; il dit que I'orbite du satellite se meut en gardant sur ce plan fixe une inclinaison a peu pres constante. C'est dire que I'ellipse ne differe pas beaucoup d'un petit cercle de la sphere. Nous aliens donner la raison de ce fait. L'angle B n*est pas tres grand; il est au plus egal a i3**ou i4**; s'il etait nul, les formules (18) donneraient Dans tons les cas, cosB et C0S2B ne different pas beaucoup de i, et la diffe- rence p' — p" sera assez petite; on a tang — tang — = tang' -> tang(N — p') tang(N4- p') rz:iang*B, Ja Ja JL d'oii Ton tire ces valeurs approchees, N — p' ^"^ 2 lanff'B lang — = ^-, lang(N — p') = ^ -. • ^ 2 tangN ^ ^ lang2N Nous verrons plus loin que la difference p' — p" est d'environ i4'» quantite petite, mais non negligeable. Soit AA' le grand axe de Tellipse; on voit que la valeur de y = MD sera tou- jours comprise entre DA et DA', et la valeur de y' = MD' entre D'A' et D'A. Nous voyons done que jamais I'orbite deJapet ne pourra coi'ncider, ni avec le plan de Tanneau, ni avec i'orbite de Saturne. 38. Loi du mouvement du pdle sur son ellipse. — Si Ton prend pour plan des xy le plan fixe de Laplace, I'origine des longitudes etant fixee a I'in- tersection de ce plan fixe avec le plan de Tanneau, on aura 96 CHAPITRE VI. et la seconde des equations (11) donnera d? ^ da dt /la'sinp ^9 Or, 12 = Kcos-Y-^- K'cos^Y' ^ pour expression, en fonclion de p et de 9, la moitie du premier membre de I'equation (i5), ou encore (K -4-K') (cos*pcos*B -4- sin*psin'Bcos*9). On trouvera done na «^=- 2K dt sin p cos' a y— sin'p sin*B sin9 COS9. Nous allons eliminer(p a I'aide de Tequation de Tellipse que Ton pent ecrire, en introduisant p' et p", COS'p cos' p" — cos' p' . , - , - d'oii (•9) sin'p' sin'p cos'9 zn cos'p" ; »«" J^^cJr.*.' C0S-p"-C0S-p sin'pcos'9 = sin'p ite." it e.1 cos'p — COS'p l«' . , . , . , ,, cos*p — cos*p sin'p sin'9 =1 sin'p'' .1 r^^ ir,l COS*p' — COS*p '''' dt 2K . ,^ sinp'sinp" /- ^-z T-^. 5-7- -r- sin'B — ^ ^—r—. sjico^^p"— cos'p)(cos'p — cos*p'). sinpcos'a cos'p"— cos'p' ^ ^ ^ ^ ^ Si Ton pose, en designant par [x une nouvelle variable. I* r% nf\c% r\^ nt\c^ ir.' cint cos'p = cos'p' cos'fjL -+■ cos'p sin'fji, do on trouve que la valeur precedente de -tt donne dt (20) oil Ton a fait (21) dix \/i — /«* sin'fjL Ar.f ---ndt, 'i^' H = ,^ COS'p' — COS'p' cos'p 2K sin'B sinp' sinp" cosp' /la'cos'a cos'p" — cos'p' En remplaQant p' et p" par leurs valeurs(i8), I'expression de H se simplifie et devient (22) H=:2K cosNv/cos2B na* cos* a TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 97 On voit que Ton est ramene a des integrales ellipliques, et les formules (19) et (20) donneront, en designant par ^o une constante arbitraire, 1^ = am (H/o — H^), sinp C0S9 = sinp' sin/ji, , sinp sin(p = sinp'^cosfjL. Le module h est voisin de zero ; il convient de proceder a des developpements en series, en negligeant A\ On trouve successivement fl^fjif i-h - /i*sin*|jLj = d\k\i-\-jh^ — J A*cos2|jLj = — Hfl?^ |jL=:H'(/o — 0-^ g-sm2H'(^o — 0» H 7^' lango — -r-~ cola = -r-S cotH'(/o — 0> "^^ sinp' ^ sinp' I ,, ,„,. ^. 4 lang9 = (i — 2/) cotH'(^o — ^)» . sinp' — sinp*' h^ ^ 2 sinp' 8 ' /est une petite quantite de Tordre de A^. En posant

qui proviennent de Taction du Soleil, /» et &o designant respectivement la lon- gitude du Soleil et celle du noeud de I'ecliptique sur I'orbite de Saturne. M. H. Struve applique les formules (i i) qui deviennent, en remplacant K par sa valeur (9), sini -7- =— 7 5? sinycosy ^ H- it- smy' cosy' -fr )> 3 nl / . dy K' . , , dy'\ 4 Tf r "y "^^y de -^ K ''"y "^^y 09 ) nil — elr ^ ^ TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 99 Solent (Jig* 3) xk recliptique, AC i'orbite de Saturne, BC Torbite de Japet, Fig. 3. Le triangle ABC donne cosy =. cos* cos 1*1 -t-sin/sini, cos(0 — ^j), d'oii i'on tire siny -r^ nzsinicosi'i — cos/sini, cos(0 — 0i) = siny cos^p, siny ^ = sin£sinii sin(6— 9i) = sine siny sin^'. Les expressions precedentes de 57 ^t de ^ deviendront done, si Ton utilise ies relations analogues pour -^ ^t ^» I sin/ -J- =— ^ 2 — -j-( smycosy cos4^ -f- w siny' cosy' cos 4^' 1, I ^ ,1(1— ejyi \ / 3 w' / K' \ , ="t" 7 ^^ — 3" (siny cosy sin^-h -^ siny' cosy' sin^p' j. t^'est Tare intercepte sur Torbite du satellite, entre recliptique et le plan de Tanneau. M. Struve a calcule par les formules precedentes les variations annuelles AO et Ai, pour 1785,0 et i885,o, en remplaQant dans chaque easy* Y* 4'» ^' ^^ 'P^'* les valours correspondantes; ce double calcul a pour but d'eviter la considera- tion des termes du second ordre. II a trouve ainsi Pour 1785. Pour i885. A0= — a',647-4- i',446 Y' AO =-2',632-f-i',533 ^\ Ai =-f-o',o83— o',7r5^', A/ =-f-o',o73 — o' 816 ~ • (28) ' di I02 CHAPITRE VI. ^ ne pourra pas esperer obtenir m^^ avec quatre chiffres significatifs. Quoi qu'il en soit, enportant ces valeurs dans les equations (29) et (3o), elles deviennent i83,4 = (3,2i43)X-t- (5,8372)/nxi, 1800 =:(4,84o4)X-4-(6,o8o8)mTi, d'oii X =0,02227, mxi iz: 4678 J'avais obtenu autrefois (Annates de l' observatoire de Toulouse^ t. I), par la discussion d'une observation faite par Cassini II en i7i4» I I 1000 ce qui conduirait pour la masse de Titan a une valcur trois fois plus faible, au moins, que celle a laquelle arrive M. H. Struve. Mais I'observation dont il s'agit consiste en une simple estime, ou plutot, dans Textrapolation de resultats esti- mes. Le dessin de Cassini presente d'ailleurs des particularites difficiles a com- prendre. II n'y a evidemment pas de parallele a etablir entre les consequences que Ton en pent deduire et celles qui sont fondees sur des series nombreuses de Bernard, Herschel, Jacob, Hall et Struve; de sorte que la valeur nouvelle I 4700 presente toutes les garanties. Nous verrons d'ailleurs, dans le Chapitre suivant, qu'elle est confirmee par la theorie des perturbations d'Hyperion. 41. Masse de Tanneau. — On a les formules /Wo \ 2 /' d'oii . I w, A, 3 A = X x, -I t; ^= 0,0224. 2 mo 0^ Or, on a mesure Taplatissement de Saturne x, et Ton pent calculer aise- mentx,. M. H. Struve adopte X — X, = 0,0194, 2 et il en resulte mi A'l — Ti =0,0029. m© o^ TIIEORIE DES SATELLITES DE SATLRNE. Io3 On a, d'ailleurs, en supposant I'anneau homogene {voir la page 89), cela conduirait a kt 3 R' 6' 8 -t-R" 6. =.9; m^ I Wo lOOO Mais il ne faut pas se dissimuler que cette determination est presque illusoire, d'abord k cause de Tinfluence des masses imparfaitement connues sur la valeur de la constante X, ensuite et surtout parce qu'il suffirait de legeres modifica- tions de X et de 6 pour la changer beaucoup, et il suffit d'un coup d'oeil jete sur les determinations de x et de 6, obtenues par des observateurs tres habiles, pour reconnaitre la possibilite de telles modifications. Remarque. — Si, dans la formule (29), on neglige e^ et ce qui depend de Tat- traction des satellites, il vient K 3M„ a 5 K de sorte que, quand on considere des satellites plus voisins de la planete, ^ decroit rapidement, comme a^ On a done, au lieu de Tequation (12), K'cos*y'=: const. Ainsi, rinclinaison de Torbitc d'un satellite sur Fanneau demeure constante et toujours tres petite si elle Ta ete seulement a un moment donne. Io4 CHAPITRE VII. CHAPITRE VII. THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. - PERTURBATIONS D'HYPfiRION. 42. Recherches sur le mouvement d'Hyp6rion (Memoire de M. New- comb intitule : On the Motion of Hyperion , a new Case in Celestial Mechanics^ Astronomical Papers ^ t. III). — Hyperion, nous I'avons dit deja, estle plusfaible de tous les satellites de Saturne. II a ete observe, pendant quelque temps, par Bond en 1848, etpar Lassell en 1848, i85o, i852, i853, i860 et 1864. Ces ob- servations, dont la precision laissait peut-etre un peu a desirer, n'ont ete employees qu'a une premiere determination de Torbite, qui ne parut rien presenter d'extraordinaire, sinon que Texcentricite etait beaucoup plus forte que pour les autres satellites; elle etait d'environ -• Ce n'estqu'en 1875 que nous trouvons de nouvelles observations d'Hyperion. La grande lunette de 26 pouces, de Washington, nous a revele des particularites bien imprevues. Les observations de M. A. Hall, faites en 1875, ont donne pour la longitude du perisaturne d'Hyperion 174*". H resulte des observations de Lassell qu'en 1 852 la meme longitude etait de 240®. Les deux directions du grand axe de Tor- bite font done entre elles un angle de 66®; et cette rotation des apsides est bien certaine, malgre la difficulte des mesures, car I'excentricite de Torbite est tres prononcee. Quelle pouvait etre la cause de cette perturbation considerable? II fallait evi- demment la chercher dans Taction des autres satellites et, en particulier, dans celle de Titan. D'abord, il est evidemment le plus gros de tous; ensuite, sa distance moyenne a Saturne (2o",5) differe peu de celle d'Hyperion (25'',i). La plus petite distance d'Hyperion a Saturne etant de 22^,6, la distance des deux satel- lites peut s'abaisser a 2",i et devenir ainsi 12 fois plus petite que la distance d'Hyperion a Saturne. En attribuant a Titan une masse egale seulement a — ^ — > son action sur Hy- ^ 1 1000 "^ THlfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. Io5 p^rion pourra atteindre —^ = ^de Taction de la planete (avec la masse de Titan 7-i— donnee dans le Chapitre precedent, on trouve ^ au lieu de -^V C'est une force perturbatrice considerable, dont reffet se trouve encore augmentepar cette circonstance que les moyens mouvements des deux satellites sont a tres peu pres commensurables. II resulte, en effet, du Tableau de la page 86, que Ton a, en designant par T et T' les durees de revolution de Titan et d'Hype- rion, T' /I 4 II en resultera done une inegalite a longue periode, dependant de Targument 4/' — 3/, inegalite qui sera d'autant plus sensible que, relativement aux excen- tricites, elle sera de Tordre 4 — 3 = i ; elle contiendra done un facteur e ou e'; or e" est assez grand. J*avais appele Tattention des astronomes sur ces particularites (Observatory, t. Ill, p. 235). Pour aller plus loin, il fallait de nouvelles donnees de I'obser- vation. Voici celles qui ont ete fournies par M. A. Hall (Monthly Notices, mai 1884) : Date. a'. i852,9 2i7',o5 1875,7 216, 25 1876,7 216,52 1879,8 211,17 1880,9 212,41 1881,9 2i3,o5 1882,9 2i5,46 i883,9 212,90 M. Hall en conclut que la valeur de ci' est representee a fort peu pres par la formule Gj' = 1 74°, 24 — 20°, 344 ^ — o<», 1 o3 1^, oii/designe le nombre d'annees compte a partir de 1875,7. Ainsi, le perisa- turne d'Hyperion fait une revolution dans le sens retrograde en dix-huit ans, et, de i852 a 1876, son mouvement a ete, non de GG*", mais de 66** + 36o° = 4^6''. C'est la une decouverte qui fait honneur a M. Hall, et qui a demande une longue suite d'observations difficiles, en meme temps qu'une discussion bien conduite. 43. C'est ici qu'intervient la theorie avec M. Newcomb; les inegalites secu- laires de cj' seront donnees par la formule suivante, qui resulte de formules T. — IV. i4 e'. ct'. a — a' 0,1201 240,18 28* 0,1026 '7iM 94 0,1290 1 56,92 If I 0,0780 93,17 175 0,0823 60,01 208 0,0898 36,91 23 1 0,0884 20,04 248 0,0982 353,27 275 » lo6 CHAPITRE VII connues (t. I, p. 169 et4o5), chs' dt = i ma' /i'JA^,«^-f-Ai»'+[Ai,*^--AV^-Ai«»]icos(iij'-iij) dR On a remplace ^i — e'^ par i, et neglige le terrae en -^.; d'ailleurs, dans tout ce qui suit» nous ferons abstraction de Tinclinaison mutuelle, tr^s petite du reste, des orbites de Titan et d'Hyperion. Voici les donnees numeriques d'oii part M. Newcomb : Titan. Hyperion. 0 o Moyen mouvement 8id6ral diurne... /i = 22,57700 //= r6, 91988 P6ri8aturne (1880,0) m = a68,6 ro'= 88,0 Mouvement annuel --- = -4- o,5o -r- = — ^o,3 dt ^ dt ^ Excentricit6 e = 0,0287 ^' = o, 100 Rapport des moyennes distances — -7 =: a = 0,825 En supposant m = > la formule prec6dente donne un mouvement direct *^^ 1 0000 * de 3® par an, tandis que le mouvement observe est retrograde et de 20® environ. M. Newcomb remarque ensuite que Ton a 4/1^^=67% 6795, 3/1 =167% 7810, ^n' — 3/1 = — o*>,o5i5; en un an 4/i' — 3/i = — i8«,8. Or, le mouvement annuel de ©' est de — 20**, quantite trfes voisine de -i8S8. II y a done lieu de penser que, si Ton considfere Targument sa partie proportionnelle au temps sera nulle, et que V sera constant, ou bien oscillera autour d'une valeur moyenne constante C. On en conclut, dans cette hypothese, 3(/'~/)4-/'-zij' = C; de sorte que, si Ton cherche les conjonctions des deux satellites, on aura Or, pour que les inegalites seculaires aient un sens pratique, il faut que, dans le cours du temps, les inegalites periodiques se detruisent; k une longitude THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. I07 moyenne donnee de Tune des planetes doivent correspondre successivement toutes les longitudes moyennes de I'autre, et, en particulier, les conjonctions doivent se produire en tons les points de chaque orbite. Or, d'apres la for- mula (i)» les conjonctions auraient toujours lieu dans le voisinage d*une meme anomalie moyenne d'Hyperion. II est done impossible que les termes en cosi(''— o')sedetrui8ent,etle mouvementprogressifduperisaturneseraproduit, non pas seulement par les termes seculaires, mais par les termes periodiques. M. Newcomb considere, aprfes ce preambule, les termes principaux de la fonction perturbatrice R. Nous allons reproduire son exposition, en supposant toutefois nuUe la petite excentricite de Torbite de Titan et faisant II calcule les U^ et leurs derivees premieres et secondes, et trouve I, *(•■). 0 2,61 1 — o,a5 2 0,79 3 o,56 -* 0,41 2,39 5,84 2,82 2,61 2,36 I* — ; — i3,33 4,48 14, 1 14,8 l5,2 d*ou il deduit Co=: -7 « C, = ^ 6t») -h - a —J— da' %^ da} ---^2'27, = -h 3 , 26, a' — — 21,1; les valeurs dei^*^ et de ses derivees ont regu les corrections respectives — a-', H-2a-', —6oi.-^y pour avoir egard a la seconde partie de la fonction perturbatrice — m xx' -h yy' -h zz ^^1 r' 44. liquations pour la variation des 616ments. — Ces equations sont fournies par les formules (A) (t. I, p. 169), en conservant seulement les termes I08 CHAPITRE VU. principaux; on trouve dn' _ ^ „ dja'W) de' _ mn' d{a'V^) — _^6mn —jjj—^ ~di-'^~^ ~d^^' dxs' mn' d{a'\\) dt' , ,, c^R dt e' de' dt da' II vient cnsuite, en ayant egard aux donnees numeriques du numero prece- dent, de' -J- =:— 3,26m/i' sin(4/' — 3/ — gj'), at (2) dxs' — r— =z mn dt '["4,53+^^005(4/'- 3/- GJ')1, Si Ton pose -:j- := -h 39 , 1 mn'^ e' sin ( 4 /' — 3 / — cj' ), di' -J- =4- 42,2m/i'e'cos(4/'— 3/ — cj'). V' = 4/'— 3/-GJ', et que Ton remplace e et e' par leurs valeurs numeriques, il vient dn' -J- =-i-3,9i/n/i'*sinV', dt' (3) { -j- =:-i-4,22m/i'cosV', ^ = m/i'(4,53 + 32,6 cos V). La derniere de ces equations montre que, si Tangle V conserve une valeur constante, le terme -h 82, 6 cos V pent etre beaucoup plus grand que Tensemble des deux termes seculaires de — ; mais, pour que -^ soit negative, il faut que cos V soit negatif. 45. iSquation diffdrentielle pour la libration de Y\ — En considerant le mouvement de Titan comme elliptique, on a dV' . , ^ .de' dxs' _^4^'«3,. + 4^--^. d^\' _. dn^ / ^ _ f^' dt^ '"^ dt '^^ dt* dt* TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 109 Or on trouve, en partant de (3), '' dt - i5,64ff»n'*sinV', .d'e' *dl^ dV' i6,9 /n/i'*sinV' -r-r , " n' dt iTTT = 02,6 m/i'*sinV' — p-r-. at^ n at En substituant ces expressions dans celle de -^tt' ^^ faisant t'=n't, il vient d^y d\' --77-- = i5,6msinV'-i-i5,7msinV' —r-r • dt^ dt II est remarquable que les coefficients i5,6 et i5, 7 sont a fort pen pres egaux entre eux. On pent ecrire d^y - A - • v// ^v'\ Cette equation admet Tintegrale premiere dW' , r d\ dt J — log ( I -f- -rp- ] -H i5,6m cos V = const., comme on s'en assure aisemcnt. Supposons qu'a un moment donne on ait dt' dV T = V'o et --Tjr = o; la constante se determine immediatement, et il vient dW / dV \ (4) -377 — logf n--^j = i5,6m(cosV;— cosV). dt' dW La fonction de-^> qui constitue Ic premier membre de cette equation, est dV positive quand -^ varie de •— i a -h 00. II doit done en etre de meme du second. Done V doit rester compris entre V'^, et 211 — V'^. Les observations montrant que V varie tres pen, il doit en itre de mfme des limites prdcedentes ; done V'^, est voisin de ir. Nous admettrons qu'il est egal air. Alors, on aurait constamment ce qui exprime un beau theoreme. no CHAPITRE VII. II est vraisemblable que ^ est toujours tres petit, V variant tres lentement et tres peu. Si, dans Tequation (4)» on neglige -^ > il vient dV'* ■-rjf^ =3i,2m(cosV'^ — cosV), d'ou, en faisant d}W' -^P^= i5,6msinV', v'-i8o«+n, -TTTj- =— i5,6m smH. En integrant, et designant par a et p deux constantes arbitraires, il vient (5) H = «cos/x^'4- (3sin/x^', /jL=:\/i5,6m. Telle serait Texpression de la libration. Nous la supposerons nuUe dans una premiere approximation et nous prendrons simplement V'r=i8o°. La derniere des equations (3) donne, quand on y fait V'= i8o®, -T- = — 20,1 m/i'. at En egalant cette valeur a celle, — 20^, 3, deduite des observations par M. Hall, il viendrait 20 , 3 20 , 3 I m = 28,1/1' 28,1x6180 85oo Tel serait done le rapport de la masse de Titan a celle de Saturne. Si Ton se reporte a la formule (i), et que Ton y fasse C = 180®, on en conclut que, lors des conjonctions d'Hyperion et de Titan, le premier est toujours dans le voisi- nage de son aposaturne. 46. Resolution du probl^me par les quadratures. — Dans la discussion precedente, on a considere seulement les termes principaux pour chaque argu- ment, pensant que cela sufKirait pour donncr le caractere general du pheno- mene, et conduire a une approximation numerique satisfaisante. Mais un exa- men attentif a montre a M. Newcomb que les termes en 2V', 3V% .. • peuvent avoir une influence plus grande que ceux en Y\ II a trouve en efiet, par un calcul th£orie des satellites DE SATURNE. I I I sommaire, a'R = ...-+■ i5e'» cosa V'-f- gSe'* cos3 V + . . . , d'oii — , > , =. . .H-SocosaV'-f- 285e'cos3V'-H. . . = . . . + SocosaV'-i- 28,5cos3V'-f-. . .. e ae* Ces termes auront une repercussion considerable sur le mouvement du peri- saturne, et I'on voit en meme temps que la convergence est trop lente pour que Ton puisse essayer de les calculer avec precision. Dans ces conditions, M. New- comb a pense, avec raison, que le mieux a faire etait d'avoir recours aux qua- dratures mecaniques. Consid^rons dans a'R Tensemble des termes a'R = Ato^-^iCOsV'-i- A, cosaV'-f-. . .. Comme on oblige encore I'excentricite de Titan, les coefficients ij seront des fonctions des deux arguments En faisant V = i8o^, il vient ^'=1800— 3L, oil les coefficients i'j sontdes fonctions periodiques de L. II en sera de meme de ,dR , , flte' m/i' ,dR dm* Pour avoir le terme constant de -^> il faut obtenir le terme non periodique de «' 3-/> ce qui se fera en donnant a L un certain nombre de valours nume- riques, 72 par exemple, distantes de 5^, calculant les valours numeriques de a'^> faisant la somme, et divisant cette somme par 72. II nous faut done dire comment on procedera au calcul des valours dea'^- On a I r'cosV, R ^^ ^= 1 > \/r'* H- a* — 2 ar' cos Vj ^ Vi = t''— /, i''= longit. vraie d'Hyp^rion. Soit pos6 r' a a ^ a' 112 CHAPITRE VII. On trouvera sans peine a'R=: - — i — ^, A* = p'* -4- a»~ 2 ap' cos V„ de'~- dp' de' "^ dVj de' ' a'^=«p's.nV. (-.-^.j On aura ensuite, en designant par/' ct w' les anomalies vraie et excentrique, f /i -h e' u' u'—e'sinu'=g\ p'—i — e' cosm', tang — = i / , tang — , e' = 0,100; d'ou dp' ,, df i + e' cos/' . ., Si Ton considere les valeurs Lo, Lo -f-i 20°, Lo 4- 240° de L, les valeurs de ^ , et, par suite, celles de ^ et de ^ seront les memes. On pourra done donner a ^ les valeurs 0°, i5o, 3o% ..., 180°. Les quantites qui interviennent sont d'ailleurs les memes quand g^ change de signe; il est done inutile de faire depasser 180® a g\ dans les calculs pr6pa- ratoires. M. Newcomb a obtenu ainsi, par des calculs faciles, les valeurs num^- riques suivantes : § .dK ■ * ,fJR g' «D?- g- «c^'- 0" -+- 1,8 i5 -h 1,6 34 S** -h 1,6 3o -+- 1 ,9. 33o -+- 1 ,2 45 -4- 0,4 3i5 -H 0,4 60 — 0,7 3oo - 0,7 75 - 1,8 285 - 1,8 90 — 3,0 270 — 3,0 io5 - 4,4 255 -4,4 \io 5,9 a4o 5,9 i35 — 7,7 225 — 7,7 i5o 9,7 210 — 9,7 i65 — 12,7 195 -12,7 180 — 13,8 THtoRIE DES SATELLITES DE SATURNE. I l3 On en tire 2,dR . «^— -97,4. En divisant par 72, on trouve — i,35; on a done, pour le moyen mouvement du perisaturne, dt ' e' En Tegalant a la valeur observee 19°, 3, il vient 19,3 I m — ^ — i3,5 X 6180 4320 M. Newcomb avait trouve m = —^ — > parce que, par inadvertance, il avail employe le diviseur 24 au lieu de 72. C'est M. Hill qui a signaie cette meprise {Astron. Journal, n® 176). II convient de remarquer que ce n'est que plus tard que M. H. Struve a donne a tres peu pres la meme valeur, comme on I'a vu dans le Ghapitre precedent. M. Newcomb cherche ensuite a avoir egard a la libration de V; il trouve qu'en posant n = GT — ©'„ = 1 85*^,0 -f- 19^,5 (^ — 1880,0), on a ces inegalites il'=: — 2*>,osinn, dGT'= -f- io<» sinll, 5e' = 4-0,0170081!; mais, pour cette derniere partie, nous renvoyons le lecteur au Memoire ori- ginal. 47. Autre solution. — J'ai donne, apres M. Newcomb {Bulletin astronom., t. Ill, p. 4^5), une solution qui me parait encore presenter aujourd'hui quelque interet; je vais la rappeler brievement. Soient P et P' deux corps, planetes ou satellites, circulant dans un meme plan autour d'un corps central. Si nous nous reportons au Ghapitre XXII (t. I), nous verrons que les inega- lites independantes des excentricites sont donnees par les formules (6) /• =a i-t-m'^ E;C0se(/-/') , v = I — m'^ C/si!u(/- /'), cos i{l-l') , v'=l'^m^C\s\ni{l-^l'); 13 Il4 CHAPITRE VII. retr, (^ et ^', / et /', m et m! designent respectivement les rayons vecteurs, les longitudes vraies, les longitudes moyennes et les rapports des masses a la masse du corps central. Soient encore n et n' les moyens mouvements; les coefficients E^. et C) ont les expressions suivantes (t. I, p. 365 et 366) /I- — i'{n — /* )* \ da n — n' J n' n — n' I \ da n — n' J On aurait des expressions toutes semblables pour E, et C/. Les quantites B^'^ sont definies par Tequation (ai-^ a'^—'iaa' cosX)"^ = I B(o)4- ^ B^i) cos A. En faisant (x=z — f a<,a\ a' 1 on peut ecrire E; = - -r,-^!^ rr. (bf + ^i±^; ^(0 ) . (8) { V y \ ci = - 2 ^Lzi::^ ie;4- -^ i (^^/^+ ^^^^ n' n — n' I \ ^ n — n' J pour I = I, on doit remplacer W^ et b^^^ par 6^*^ j et ^V ^""1* Enfin,ilyalieu de remarquer que les formules (6) et (7) ne donnent qu*une premifere approxi- mation, car on a tenu compte seulement des premieres puissances de m et m'. Supposons actuellement que les moyens mouvements n et n' offrent un rap- port de commensurabilite tres approchee, represente par une fraction de la forme '^—^^j etant un entier positif. On aura done, en designant par a un 1/ J nombre tres petit, On voit que le denominateur n'^ — i^{n — n'y^ qui figure dans les for- mules (8), sera tres petit pour i=j\ et qu'il ne le sera que pour cette valeur del. Lavaleur de Ey sera done beaucoup plus grand e que celles de Ey^^,E}^j, ..., THlfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. Il5 et il en sera de meme de Cy. On pourra reduire sensibleinent les formules (7) a ^'^^ I (^'=:/'+mC}siny(/-/'); mais il faut bien remarquer que cette reduction n'a reellement de sens que si 0- est une fraction trfes petite. II y a plus; le petit denominateur, qui rend Cj sen- sible, ne figure que dans la premiere partie de Texpression (8) de C-. On pent done se borner a cequi donne, en vertu de la seconde des relations (9), c; = -2(i + <7)e;, ou, a fort pen pres, \aj — "~~ 2 Kjj • Si done on pose les formules (10) pourront s'ecrire (II) r'= a'[i -+- e\ cosj{l - /')]» <''= /'— 2e, s\nj{l—l'). On a n -ns-)- n n d'oii, en rempla<;ant — par i h r— et conservant seulement la partie prin- cipale, (12) e\=^^W^^('2j^i)bU)]. Gela etant, posons (i3) ©',:=. i8o«^(/-M)/'-y7, et les formules (i i) donneront (i4) r'=za'[i — e\cos(l'—m\)], v'z=zl'-^2e' sin(/'— cr',). Or ces deux equations representent, aux petits termes pres en e"^, e'\ . . ., un mouvement elliptique keplerien, dans lequel I'excentricite seraite' et la longi- Il6 CHAPITRE VII. tude du perihelie ts\. Les equations (9) et (i3) montrent que le p6rihelie est anime d'un mouvement uniforme tres lent, dont la vitesse est egale a ce mouvement est retrograde si a est positif. De la cette consequence : alors meme que Texcentricite propre e^(laquelle est une constante absolue) serait nuUe, il y aura une excentricite e\ produite par les perturbations, et dont la valeur fournie par Tequation (12) pourra etre tres sensible. Les conditions precedentes sont realisees pour Titan et HyperioUc On a 3/1 — 4^*'== o°,o5i5 =ii8**,8 en un an, y^ii3, o-=i: -h o,oo3o43. Done, dans une premiere approximation, le mouvement d'Hyperion pourra etre considere comme un mouvement elliptique, le grand axe tournant unifor- mement dans le sens retrograde de 18°, 8 en un an. Si Ton suppose e'^ = o,i, comme on a, pour y = 3, la formule (12) donnerait I m = — 10700' c'est une valeur trop faible, tenant sans doute aux termes d'ordre superieur qui ont ete negliges. Les considerations suivantes serviront a eclairer la solution qui vient d'etre donnee. M. Hill, dans un Memoire que nous allons analyser dans un moment, fait remarquer que la theorie de la Lune de Delaunay permet de suggerer la forme du developpcment final de r' et ^', quand on a cffectue toute la serie des approximations : (i5) r' = /' + 2 J^ sin (iL ^jg ^j'g% oil L = /'— / designe la difference des longitudes moyennes, get ^ les ano- malies moyennes; les quantites L, /', g et g' sont de la forme a -h ^t, oil a et ^ sont deux conslantes absolues. Enfin, les coefficients A et B contiennent en facteur e^^, e^^' y <*„ et e^ etant les excentricites propres des constantes abso- TB^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. II7 lues. On peut concevoir que les conditions initiates aient ete telles que e^ = o, e'^==o; alors, les formules (i5) dcviennent /•' = aM n- 2 AcosiL |, i^'= /'-h y] BsiniL. On a ainsi Tune des solutions periodiques de M. Poincare; les formules (7) reproduisent les premieres approximations pour les coefficients A et B. Remcurque. — L'integrale de Jacobi (t. Ill, p. 259), appliquee a Hyperion, en supposant I'orbite de Titan circulairo, donne I v/rt'(i — e'*) 2 a' ^^ — -= — - -hm --=z=r===^= J cos(i''— /) = const. a^a \yr'^-\-a'^ — 2 ar' cos ( i''— /) ^ J Quand M. Hall faisait de longues series d'observations pour deduire de cha- cune les elements c^ et e\ il est permis de croire que le coefficient de m dans Tequation precedente prenait presque toujours une meme valeur moyenne; done, dans ce cas, on devrait avoir \/a'{i — e'^) , , - — ^^ — ;= — - = const. 2«' a\/a En fait, cette relation est sensiblement verifiee par les valeurs de a' et e" den- udes a la page io5. 48. Solution de M. Hill. — Le Memoire de M. Hill, dont nous avons deja parleplushaut, est insere dans VAstronomicalJoumal, n^ 176. L'auteur suppose que, Texcentricite de Titan etant prise egale a zero, le mouvement d'Hyperion est represente par la solution periodique M. Hill admet les donnees /I =2 2®, 5770090, a =176', 916, n'=: i6**,9i98837, g'= 192'', 582 = a'{i — e')z-Oj^a\ La duree T de la periode synodique est T' — 63i, 6365612, -- = 3iJ,8i828o6. I |8 CHAPITRE VII. Le mouvement de Titan et le moyen mouvement d'Hyperion, dans le teraps T' — ) ont pour valeurs 7i8o,36r6o9=:72o°- i°38'i8%20, 538°,36i6o9 == 36o° -h i78°2i'4i%8o. Partons d'une opposition, a Tepoque zero, Hyperion etant k son perisaturne; T' au bout du temps —> nous aurons une conjonction. On aura alors L =o , et, d'apres Texpression (i6) de /, dt = — a'\^iA siniL = o. Done, Hyperion sera a son aposaturne distant du perisaturne precedent de i78*'2i'4i"»8o; tandis que, si le mouvement avait ete purement elliptique, on aurait eu un deplacement angulaire de i8o°. La difference i°38'i8*'--5898'' donnera done I'effet des perturbations d'Hyperion par Titan sur la position de la ligne des apsides. Or on pent calculer cet effet par les formules de quadra- ture. C'est ce qu'a fait M. Hill, en supposant 7/1 = 0,0001, e=o,i, et calculant les valeurs numeriques de -j- de ^ jour en \ jour, depuis 0^,0 jus- qu'a 32^o. II a trouve ainsi, par interpolation, pour Tintervalle Si^SiSnS, Sgt' = — 2634". Comme ce calcul neglige les puissances de m superieures a la premiere, on en conclut que, pour mettre d'accord les valeurs, observee et cal- culee, de gj', il faut prendre 5898 I ^=.0,0001x^^3^ = ^^. Dans un second calcul, M. Hill tient compte de toutes les puissances de la force perturbatrice. En supposant le rayon vecteur de Topposition, a'(f — e'), bien connu, il cherche a determiner la vitesse angulaire d'Hyperion a Toppo- sition et la masse de Titan, de maniere qu'au bout du temps 3I^ 81828 il y ait opposition, et qu'en meme temps Hyperion soit a son aposaturne. 11 en resulte deux equations de condition pour determiner les deux inconnues, ou plutot les corrections de ces inconnues, lesquelles sont fourniespar deux equa- tions du premier degre. Ce nouveau calcul de quadrature donne m = -. — j- THE0R1E DES SATELLITES DE SATURKE. 1 1 9 Enfin, M. Hill reduit en Table les inegalites de la solution periodique qu'il vient de calculer, en prenant pour argument le temps qui separe Tepoque choisie de I'epoque de Topposition voisine. 49. M6moire de M. O. Stone. — Dans ce Memoire, publie dans les Annals ofMatJiemaiics, t. Ill, n° 6, 1'auteur prend» comme premiere approximation, les expressions suivantes, qui decoulent des formules (6) et (7) de la page ii3, en faisant m ^ o,ooof , -7 = I — 0,0004 cos (/— /') — 0,OOl4cOS2(/ — /') ^'^' 1 -f-o,iooocos3(/— /') -+- 0,0006 cos4(/— i')y i/=:/'H-io'sin(/-/')-^i3'sin2(/— /') — 683'sin3(/— /') — 3'sin4(/-/'), et il se propose d'obtenir avec plus d'approximation la solution periodique dont nous avons parle. II pose (18) r'z=a'(i + <7), ^^n'ii + x), ( (T = ai cos^-+-a, C0S2 6^ -i-. . ., (19) B=l-V. r T = /I, cos 0 -h /It COS 2 0 -h . . . ; a, n\ a<, a^, .. ., /i|, Wj, . . . sont des constantes. M. Ormond Stone emploie en- suite les equations differentielles suivantes (t. I, p. 4G2-463) (20) d^r' ,dv'^ k^ ,, ^ dl^ dt^ r' A* = r'* -h a* — 2 ar' cos {v — v'); kyja'{\ — v) represente une constante d'integration; on aurait v = o si I'orbite etait circulaire. La premiere des equations (20) donne, quand on a egard aux relations (18), / X '•'* d^' • ^ kJi — ^f k^m r^ ,j I no CHAPITRE VII. L'inspection des formules (17) ayant montre que Ton peut considerer : a,, n„ comme de petites quantit^s du premier ordre, a,, at, ^4, /^i, /!„ /14, » du Iroisi^me ordre, ^59 • • • 9 ^89 ^^(9 • - • 9 ^89 » du quatri^me ordre, M. 0. Stone developpe Tequation (21) en negligeant le cinquieme, et la met sous la forme n a^ at ^ * ou A|, .. ., Ag designent des fonctions assez simples des coefficients Ui et /i|. On tire ensuite des equations (20) oil Ton a fait p = R + JL \iksja\i-v) Csr'dt-h k^m ( fsr' dtY^ . On en deduit» en vertu de (18), d*(T k* g H- V __ ^*^ n On tire ensuite des expressions (19) ^"^^-; =v aj(i — 2v) — -^a}(2 — 3v) 4- Bj cosfl H-. . . + Bg cos80, (,H_cr)«— 2 »' ' 8 en designant par B|, B^, ... des fonctions de v, a,, a^y ... faciles a former. On a d'ailleurs II s'agit maintenant d'obtenir les developpements, suivant les sinus et cosinusdes multiples de 0, de P elde fsr'dt= ^^ , f^r'de. TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. £21 M. 0. Stone pose Pa'« = yp,cosi0, ^\ , ,, rSr'e/0=ys,cos/0; -^irf {/I — n')n'a^j ^id il n'introduit pas le terme So qui ne ferait que modifier v dans I'equation (21). On effectuera ces developpements par les quadratures mecanique^, en attri- buant a 6 des valeurs equidistantes entre o® et iSo'^, et calculant les valeurs isolees de P et de S/ avec les valeurs (17) de r' et de v\ adoptees pour la pre- miere approximation. On pent done supposer que les expressions numeriques des quantites P| et S/ sont assez bien connues. Les expressions (20) vont devenir maintenant (2a) i-h - a| -hflj/i, 4- A, COS0-+-. . .-*- AjCOsS© — 5 w^^ S/COs/0 = o, n'a!^ (23) 3 i5 V al(i — 2v) ^aj(2 — 3v) + B| cos 9-+-. . .-I- B, cos 89 — fx(a, cos0-h4«i cosa^-hgasCOsS^-h. . .) — /wV P/ cost0 = o; on a fait, pour abreger, f^ = k' En egalant a zero, dans les equations precedentes, les coefficients de COSOQ, COS©, ..., cos80, I on trouvera un ensemble de dix-huit equations propres a determiner les incon- nues (jL, V, /w, A|, Aj, . . ., B^, Bj, — On en conclura ensuite a<, a-j, .. ., /i,, /ij, .... Deux de ces equations seront k \j \ — V n — n! 3 i5 V — - a5(i — av) — -g- a;(a — 3v)=:mPo. Avec la valeur o,T adoptee pour ^3, on en deduira [xetv quand on aura la valeur de m, qui sera trouvee en egalant a zero les coefficients de cos30 dans Tequation (23). On pourra, apres avoir ainsi obtenu les valeurs des incon- nues, reprendre le calcul numerique des coefficients P, et S,, et proceder a une nouvelle approximation T. - IV. 16 122 CIIAPITRE VII M. 0. Stone trouve finalement — , = I — 0,0012 COS0 — 0,0071 COS20 -f- o, iooocos39 + 0,0025 cos 4 ^4- 0,00 1 7 cos 50 -+- o,ooo3cos60, v' — /'4- 26' sin0 4- 66' sin2 0 — 682' sin 30 — i5'sin40 — 5'sin50— i'sin69. La valeur-5 — a laquelle il arrive pour m est certainement beaucoup trop forte. Mais, dans sa Note de \ Astronomical Journal citee plus haut, M. Hill dit que M, Stone lui a ecrit qu'apres avoir rectifie une faute de calcul il arrivait a peu pres a la meme masse que lui. II y aurait lieu, pensons-nous, de revenir sur certains points de la theorie precedente pour les eclaircir, surtout en ce qui concerne la determination des inconnues. M. 0. Stone a public depuis un Memoire sur le meme sujet, mais purement analytique, et dont les resultats definitifs n'ont pas ete mis en evi- dence. Nous bornerons a ce qui precede ce que nous voulions dire de la theorie des perturbations d'Hyperion. G'est une question qui demande encore des comple- ments; il faudra en particulier arriver a tenir compte d'une fagon satisfaisante de I'excentricite de Titan; mais les resultats deja obtenus sont bien interes- sants. 50. Determination de la libration par les observations. — Depuis le Memoire de M. Newcomb, M. H. Struve a public (^Astr. Nachr., n^ 3060, 1891) un essai sur la determination de la libration de Tangle V en partant des obser- vations. II a trouve, d'apres les valeurs connues de /', /et cj', les nombrescom- pris dans la deuxieme colonne du Tableau ci-dessous : Dates. V (observe). V (calculd). 0 — C. 1887 mars i5,o i77*,3 176,5 -h o',8 1888 mars 21,0 '70,9 166,1 -+-4,8 (^^) < 1889 mars i5,o 201,1 204,9 — 3,8 1890 f6vr. 26,0 146,1 149,3 — 3,2 1891 mars 22,0 "^13,7 2i5,8 — 2,1 II a cherche ensuite a representer ces valeurs observees de V par la formule (25) V'rzrl8o»-hAsili:^(/-^), oil A et /o sont des constantes d'integration, comme dans la formule (5). La THEORIE DES SATELLITES DE SATIRNE. 123 durees de la periode de la libration depend de m et des coefficients de la fonc- tion perturbatrice ; la valeur obtenue plus haul (p. no) 27: T n'sjibfini ^ihfiin a semble sans doute a M. Struve emaner d'une theorie trop incomplete encore pour que Ton puisse Temployer. Aussi a-t-il considere A, G et t^ comme trois constantes a determiner par I'ensemble des valeurs (24) de V. II a ete ainsi conduit a prendre A = 360; ^, = 1887 mars 25; GrrrG^Si; l^^o^^o^. Les valeurs de V calculees par la formule (25) figurent dans la troisieme colonne du Tableau (24), et les valeurs de 0 — C, placees dans la quatrieme colonne, montrent que la representation est satisfaisante. Toutefois, M. H. Struve a juge bon de reprendre les anciennes observations de Lassell et celles de M. Hall. II a adopte -^ = o'',562 au lieu de o°,5G, A et t^ restant les memes. La formule lui a donne et cette formule donne les valeurs suivantes de /' — ol\ ramenees a une meme epoque : /' - ar. Lassell i852 nov. 9-7,0 293.38 A.Hall 1882 janv. 2,0 291.53 9 1884 janv. 26,0 292.49 » 1884 d6c. 4,0 291.43 H. Struvo 1887 mars i5,o 292. 2 » 1888 mars 21,0 294. 2 » 1889 mars i5,o 292.10 J) 1890 fi6vr. 26,0 292.57 » 1891 mars 22,0 293.23 Get accord est satisfaisant. Toutefois une libration de 36** doit etre accompa- gneedetermes secondaires sensibles; enfin il faudrait tenir compte de I'excen- tricite de Titan. 51. Depuis le travail de M. Struve, une discussion tres complete des obser- vations de Washington a ete faite par M. Eichelberger (Astronomical Journal^ t. XI, n**' 259-260, 1892), sous Tinspiration de M. Newcomb. 1^4 CHAPITRE VII. Les observations dont il s'agit s'etendent de 1876 a 1890, et se rapportent a neuf oppositions; dans chaque opposition, il y a une vingtaine d'observations, reparties sur environ deux raois. L'auteur a adopte des elements provisoires empruntes a M. Newcomb; il y a neuf series de ces elements; dans chacune d'elles, les elements sont supposes constants; on a tenu compte seulementdu mouvement uniforme du perisatume, variable d'ailleurs d'une serie a I'autre, d'aprfes la formule P = Po — /x/ -h 5| sin n. On a forme le tableau des differences 0 — C pour les deux coordonnees ssinp et scosp; on a ensuite cherche a faire disparaitre ces differences en formantdes equations de condition entre les corrections des elements, et la resolution de COS equations, par la methode des moindres carres, a donne neuf series de va- leurs des elements. Les neuf valeurs de la longitude du perisaturne sont bien representees par la formule P = 8«,46 — i8<»,442^ -h i4%4o Sinn — 1% 4o sinall -h i%i i sinSII, oil n=:263»,54 -*-I8^942^ i designant un nombre d'annees, a partir de i884>o. On a trouve de meme e=:o,io56 -h 0,0258 cosll -+-0,0008 cos 2 n, et, pour la longitude moyenne de Tepoque E, (35qo \ 48% 07 -h ^3 — ? t j. On remarquera que la libration de E est, a fort peu pres, la meme que celle de H. Struve, pour Tamplitude et la periode. Enfin Tangle V a 6te trouve 6gal k / 36o® \ V = 1800,45 -h 36s 20 sin I 48*»,o7 + ^ — p ^ j — i4s4o sinll -+- i«,4o sin 2!! — i«,i i sin3n. Cette formule represente tres bien les valeurs observees de V. II ne resterait plus qu'a obtenir par un calcul theorique les expressions pre- c^dentes. Nous remarquerons, en terminant, que les residus auxquels arrive M. Eichelberger, tout en etant petits, sont legerement systematiques ; ils tiennent peut-etre a Texistence d'inegalites a courtes periodes qui doivent se rencontrer, notamment dans a et e, comme le montre Tintegrale de Jacobi. TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 125 CHAPITRE VIII. THfiORIE DES SATELLITES DE SATURNE. — PERTURBATIONS DES SATELLITES INT^RIEURS. PERTURBATIONS DE MIMAS ET T^THYS, D*ENCELADE ET DE DIONE. 52. Points de conjonction de deux satellites. — Nous commenQons par des considerations preliminaires empruntees a M. Newcomb {Astronomical Papers, 1. 1, p. 8-10). Soient deux planetes ou deux satellites se mouvant dans le meme plan. Comptons le temps a partir d'une conjonction, et les longitudes a partir de la ligne de conjonction correspondante. Nous aurons les conjonctions ulterieures auront lieu pour q d^signant un entier. Soient t^ et l^ les valeurs correspondantes de / et de /; il viendra tg=: ,y /^zza^TT n — n' " ' n — n' Supposons les moyens mouvements commensurables n i' ., — = -» t el « entiers. On trouvera, en representant par T et T' les durees des revolutions des deux satellites et faisant V — i = v, I I!l6 CUAPITRE VIII. en (lonnant a q les valeurs o, i, 2, . . ., v — i, on obtient v points de conjonction egalement espaces. Si Ton continuait, en prenant y = v, on retomberait sur le premier point de conjonction; le temps correspondant serait i'T ou iV. Si les moyens mouvements ne sont pas commensurables, nous pourrons rap- porter les longitudes a un axe tournant avec la vitesse angulaire k\ les moyens mouvements relatifs seront n — k ein' — k^ ei nous aurons a satisfaire a la con- dition n — k I ,, , , in — in in' — in —7 J- 1= —, a ou KZ= — : — = • n' — k I I — i V Le mouvement relatif des points de conjonction sera nul. Done, en assignant aux y points de conjonction la vitesse constante k^ les conjonctions des deux corps auront toujours lieu en ces ^ points. Theoriquement, les nombres entiersi et i' sont arbitraires; mais, pour retirer de la conception quelques avantages, on doit les prendre de fagon que leur rap- port soit aussi voisin que possible de — > et, ce qu'il y a de mieux a faire, c'est d'adopter les numerateurs et les denominateurs des reduites successives de la fraction continue qui exprime — • Si Ton prenait des reduites d'ordre tres eleve, on aurait Tinconvenient d'avoir un grand nombre de points de conjonction, mais Tavantage que leur vitesse k serait tres petite. 53. Thdor^me concemant les satellites de Satume. — M. Newcomb, dans une Note de V Astronomical Journal^ t. VIII, n® 182, s'est demande si, dans le systeme de Saturne, il existe un autre cas analogue a celui d'Hyperion; les resultats de la theorie de M. Newcomb (Chapitre precedent) peuvent s'6noncer en disant que Taposaturne d'Hyperion est anime d'une libration, de part et d'autre du point moyen de conjonction. Nous allons reproduire ici la substance de la Note de M. Newcomb. Considerons deux satellites MetM', dont les moyens mouvements presentent un rapport de commensurabilite approchee de la forme ^4^; soient R la fonc- tion perturbatrice pour le satellite interieur M, R' celle qui correspond a M'. Nous aurons, en ayant egard a I'aplatissement de la planete centrale et aux termes les plus importants de R et de R', ^-^ e*-+-^'e;ycos[(/-M)/'-i7-GTl, ia a' ' ^ ' -" R'=^^e'*-h^c'y'cos[(/-+-i)/'-£7-Gj'l; P et P' designent des coefficients constants dependant de Taplatissement du THEORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 1 27 corps central dont la masse est jtiq; y et Y sont des fonctions de a et a\ Posons i h =^e sine;, k = e cosgt, (a) } ( h'^^e'sxnis'f k' =z e' costs' : il en resultera R := ^ ( At ^_ ^.t) ^ ^ (^- cosV -+- h Sin V), 2 a a' j^,__ 21^ (/j/i ^_ X:'«) -h ^' (A'cosV 4- A'sin V), 2 a' a' ^ en faisant, pour abreger, /?»^' //lo Nous aurons, d'apres les formules (17) (t. I, p. 171), en remplagant par le facteur / omis dans R et R', dh na OR dk na f^R di mo dk dt mo dh dji^ _ nW dR' ^^_ ^ ^ dt niQ dk' dt mo dh' ce qui devient, en tenant compte des expressions prec^dentes de R et de RS dh a I ^' \T dt ^ m© ' dk o , f^^' • \T -r- zm — p // At a ^^ y sm V, a^ "^ mo ' a (X= — i, on devra prendre m ay -. ^ e = v — ^ — t— , CT = V-+-l80«, /Wo pv — i c'est-a-dire que la direction du grand axe du satellite trouble changera brus- quement de i8o°. Si les constantes c et c', sans etre nulles, sont tres petites, le systeme presen- tera une libration de part et d'autre de Tetat moyen considere ci-dessus. M. Newcomb trouve ensuite que les deux paires de satellites de Saturne, aux- quelles s'applique le mieux la theorie precedente, sont Mimas et Tethys d'une part, mais surtout Encelade et Dione d'autre part; cela resulte de Tinspection TI1E0R1E DES SATELLITES DE SATLRNE. 1 29 des valeurs numeriques de la quantite v — -^^> qui est la plus grande dans ce dernier cas. Pour en faire le calcul, on remplace — par restimation photo- metrique de Pickering, dont on a deja parle (tWrpage loi). On a, dans ce cas, dW /i = a6a°,73i6, 2/1'= aGSSoGgg, «=^i, \t=ziI' — /; _ +o**,3383. En prenant Tannee pour unite de temps, designant par Vo la valeurde V a Tepoque o, et remplagant^ par sa valeur, M. Newcomb trouve, pour Encelade, en partant des formules (&), € sinw =10,024 sill (Vo 4- 1 23", 60 H-c sin(e -+- 160", oO» ecosGj =10,024 cos (Vo-f- 123",6^) + ccos(e -f- i6o",oO> oil t designe un nombre d'annees; la valeur de ^^, deduite des formules prece- dentes, depend de Targument qui effectue une revolution endixans environ; c'est seulement au boutde cette periode d'observations que Ton pourra determiner avec quelque precision les constantes c et e. Nousallons voir comment M. H. Struve a reussi a mettre ce fait en evidence par ses observations; dans le cas de Mimas et Tethys, il a decouvert une libra- tion tres curieuse d'un autre genre; c'est cedont nous allons parler maintenant. 54. Perturbations de Mimas et de TSthys. — Le Memoire de M. H. Struve est insere dans les Astron, Nachr., t. CXXV, n"* 2983. Les observations faites par cet astronome avec la grande lunette de Poulkovo lui ont montre que I'orbite de Mimas fait, avec Tequateur de Saturne, un angle tres appreciable de 1^*26', etque le perisaturne est anime d'un mouvement direct de 371**=!= 10° par an; dans les memes conditions, le noeud est affecte d'un mouvement retrograde de — SGS'^i 5°. On a les donnees suivantes : Mimas « = SSi^.qqi, mouvement annuel du noeud, AO = — 365"; Tdthys n'= 190**, 698, » « A6'= — 72". On en conclut 2n' — nz=L — 0^,595 en un jour, A0 4- A9'— — 437", m — 217° en un an, [\n' —in — M — A0'=i -4- 3o. On voit done que le rapport - de commensurabilitedu rapport — est assez ap- T. - IV. /7 l3o CHAPITRE VIII. proche, et que le coefficient du temps dans Targument 4/'— 2/-0 — 0' est a tres peu pres egal a zero. Considerons la fonction perturbatrice de Mimas, en tant qu'elle provient de i'action de Tethys, et supposons-y nuUes les excentricites. Nous aurons ^ sja^ -+- a'* — 2 {xx' -+- yy' -h zz' ) Soient y et y' les inclinaisons des orbites sur le plan de I'equateur de Saturne ; nous aurons (t. I, p. 3i5), en negligeant y' et y'*, - -rieos/H- iy«sin0sin(/-0), ^' =cos/'-h - y'«cos0'sin(/'— 0'), y — sin/— - y«cos0sin(/ — 0), 4 = sin/'— i /«cose'sin(/'— 0'), z z' -=ysin(/-9), _=y'sin(/'-9'); d'oii ^"^ "^aa'"^^'' ~ cos(/— /') - i y- [cos(/- /') - cos(/ + /'- aO)] _i v'« 7 y" [cos(/ — /') — cos(/-(- /'— 29')] k + iy/[cos(/ — /'— 9 + 9') — cos(/-h/'— 9 — e')]. dm Pour avoir des termes dont I'argument renferme 6 -h 6', il (aut borner Fexpres- sion precedente a son dernier terme. Nous conserveronsen outre les termes qui produisent les mouvements seculaires de 0 et 6'; nous prendrons ainsi ^ v/a*-+- a'»— 2aa'cos(/— /') -t-aa'y/cos(/-h /'— 0— 9') H- ^(y*-+- /') aa' cos (/—/') En developpant suivant les puissances de y et y', negligeant le quatri^me ordre et ne conservant que les termes de la forme voulue, il vient i = — i aa'[a«-f- a'*— 2aa'cos(/ — /')]"' [r/cos(/-+- /'- ^ — 9') -+- - (7*-+- y'*)cos(/ — /')]. Or, on a (t. I, p. 298) «a'[a«4- a'«— 2 aa' cos (/—/')]"* = -^ B^'^ cos(i7— //'), TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. l3l oil I prend toutes les valeurs entieres de — oo a H- oo. On trouvera ainsi On doit donner a i la valeur 3; il viendra done ainsi i =— J B«'Jyy'cos(4/' - 2/ - 0 - 9') — - (y* -h />)B^»). m' Si Ton reunit a la portion -^ de la fonction perturbatrice ce qui depend de rinfluenee de Taplatissement et de celle des anneaux, il viendra fi = - -^ y«- 7ym'B<»)y/cosW, oil Ton a 8= -r -^c'm' -i-d'm" -^,,,, X d^signant la constante de I'aplatissement, et c', c'\ . . . des coefficients nume- riques dependant de a, a\ a" y Q est la fonction perturbatrice du mouvement de Mimas. On aura de meme pour celle du mouvement de Tethys, ia ' 4 55. Les equations bien connues (t. I, p. 169) donneront, en remplagant/(la masse de Saturne est supposee egale a i) par 11^ a^^ -7- =::-h6m'/i'yv' — -. — sinW, at ''4 --- = im' nyy' —j—. — cos W, at ' ' [^aa (I) \ -3- =z^ i^m'anyy' — -. — sm W, ^ at 4 dy , ,aB(') . ... -t z=:-^m'ny' — -. — sinW, at ' 4 -7- =— p/i — m n ^ 7 — cosW. dt ^ y 4 1 32 (JIAFMTRE VI II. On aura, de meme, pour Tethys, dn' B^'^ 1 — T- = — i2/?2«'*yy'a' — T— sinW, ^ at '4 , da' B^'^ (2) ^ -r- =+ S ma' n' yy' a' —j- sinW, — f =4- m/^'y^' — 7- sinW, at 4 \ ~ =-^^n'--mn' \ a' -,- cos W. ^ ^^ ^ y' 4 On a d'ailleurs M. H. Struve adopte les valeurs numeriques suivantes : — - — =0,2072, J — =r 0,4080, 4 4 —y =',617, '- =2,978, y=io,o25i, y' = 0,0190, log/i =5,14^6, log«' = 4»8429 (en degr6s et en ann6es juliennes). 56. Au lieu d'integrer les equations (i) et (2), comme Ta fait M. Newcomb (p. 108), M. Struve considere Texpression W =: 4 (e' -+- Taj' ^A - oYg -h C ndt^-O — B\ d'oii 1 ' et, en ayant e^ard a (i) et (2), (3) — ^;^- -f-^'sinW-f-.9smW -y- =0, TH^ORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 1 33 en posant s = m' n ^ 7 h mn' -^ — -. m' n yy' a^ —^ \-2mn' yy' a * . , • y 4 y 4 "da " da' M. H. Struve a neglige dans s les termes en yy', ce qui est correct, car ces termes sont de Tordre de ceux que Ton a laisses de cote en formant les expressions abregees des fonctions perturbatrices; il a mis i au lieu de (Pt d^9 d}s! d}0' Enfin, pour obtenir la formule (3), on a forme ^> -r^y -^ et -^» en par- tant des equations (i) et (2), et negligeant les termes qui contiendraient sin -,, cfa dy dn W X -77 > -77 ) -77 • cos dt dt dt On a pris, par exemple. dt^ '' [\ da dt mais dt^ ^ dt y 4 dt L'equation (3) ne contient pas t explicitement. On pent done chercher a Tin- tegrer en posant d'oii dt "~ ' dt"" ~ d\\ II vient ainsi d'oii ^XL dSSf'-^ sinW ^W = o, I h} - W z lop:(A*4-5W') = const.H-cosW, s s^ En developpant log n -h ^ ^^Wi ^^^^^^^ '^^ puissances de ^, -^, il vient I ^V h' f s dV^ I s' d\\' 1 5' ^W^\ „, = cosWh- const., 5 ^^ 5* V A* ^^ 2 A* dt^ 3 ^« t//' I 34 CHAPITRE VIII. d'oii — ,-i --,-, Tm —rr -h . . . — COsW-f- const., dW^ / 2 & dW \ y,, W i-X On a, d'apres (4), cette valeur approchee — = 1 2 w y' ; s ' d'oii Or, robservation montre qu'en un an AW n'est que d'un petit nombre de de- gres, 3^, tandis que nAl = 139600; on aurait done a s dW 270 _ I i h} dt 139500 "~ 620' ce qui est assez petit. On peut done se borner k (5) ^ = 2A.(cosW^C), ee qui est Tequation d'un mouvement pendulaire. Le tout est de savoir si ce mouvement est revolutif ou oscillatoire, ce qui ar- rivera selon que Ton aura C«>i ou C*,H': AW>^,A,. Or Avec les valeurs hypothetiques nous trouverons d*ou» en un an. m zz: ) m = 7 J 70000 5ooooo ^ = (3,5885), AW > i4oooo*> X 0,0078, AW>iioo*». 57. Supposons C = — cosw; nous aurons dW 4/ sm* sm* — V 2 2 ^=2hdt; W variera entre — w el -+- w ; en faisant il vient sin — r=i sin — sin9, C'= sm -, ^^ =hdt. v/i — C'«sin«9 9 = am Uf u=: ht^ sinW = 2C'sin ami/ A ami/. On aura ensuite C' ' w^, r^c . . ^9 2C' r^ . . 2C' / sinWa^zz: / — r-sin amwAamw-r — - — = -7- / sin9a9=— ;-(i — coso), J^ J h Aami/ h J^ ^ ^ h ^ ^^' d'ou, en rempla^ant cos(p = cosamA^ par son developpement connu, (7) / sinWc^/ = -T ^\-^ — COS— i^ ht-\ — ; COS ~-> A^-4-. .. I. 1 36 CHAPITRE Vlll. On a encore (8) / dt I sin\Vc?^ = -7-^ — 77 I -^^ — sill — =7 /i/ H- ^ — ^^ — r sin -ij: /i^-h.. . / Les formules (i) et (2) donnent ensuite, en prenant 3/ = f ndl, 61' = r n' dt, et omettant lestermes proportionnels au temps, parce qu'on en tiendra compte en modifiant legerement les moyens mouvements, $1 = ern'ri^yy'-^^ dt I sinWe/^ dl' = — 12 mn'^yy' — j—- I ^^ I sinWc?^ Si done on pose (9) Q = 7T^^'"(-T-V'"3 7:t73^^H~^V^-^ , , ,. 2K 36o° n' I et que Ton rcmarque que, a cause de — = -> la formule (6) devient rr " [\ \ a in' J il viendra (12) (5/==- 7,. »■ « 2 /?i Q 1 m 6f' 1 m' a m a' /n' iH ^ — (l3) d/'=:-h l-h T est la periode de la libration. Supposons que les observations donnent a/nr— llsina^, 3/'=rH-H'sina^ THEORIE DES SATELLITES DE SATUIINE. 187 on en con( [)lura ,r 36oo OL , 2K ft — — a, H=i: 4 7' 1 m a' 1 -hflr' IH ; — ^ m' a m a' m' a i 4- <7 IH 7 — ' 1 /// a' 2 m' a La dernifere formule donnera — ,> et Tune des deux precedentes donnera — — > d'oiiC; — s'en deduit par la theorie des fonctions elliptiques, puis o If /i = — a ; apres quoi la formule (i i ) fera connaitre m'. 58. M. H. Struve a discute Tensemble des observations de Mimas et de Tethys, faites depuis W. Herschel jusqu'a nos jours. Le probleme qui se presente est le suivant : Representer toutes les longitudes observees de Mimas par la formule (i4) /r=:XH-/i^ — Hsina(^— /o)» dans laquelle \ n^ H, a et t^ sont des constantes inconnues. De meme, les longitudes observees de Tethys doivent etre representees par Texpression G'est un probleme assez epineux, et le materiel dont on dispose est a peine suffisant. Donnons quelques indications sur la solution provisoire obtenue par M. H. Struve. II a donne les valeurs isolees de \ calculees par la formule X =1 / — lit, en prenant pour n deux valeurs tres voisines, comprenant sans doute entre elles )a veritable; 11 a calcule de meme les valeurs de X'. Ces valeurs de X et de X' devraient etre constantes si la libration n'existait pas, done si H et H' etaient nuls. Les Tableaux ainsi obtenus montrent que, vers 1 85o, ont lieu un maximum deX = /--n/ et un minimum de X' = /' — /i'/. C'est Tinverse qui a lieu vers i885. L'intervalle est de trente-cinq ans et doit etre a peu pres egal a la demi- periode. M. H. Struve adopte finalement ^0 — 1866,5, T=:68 ans, m I , \ I :r^--> ni =L —- , m =: m' " 1 5 767000 ii5ooooo T. - IV. 18 1 38 CHAPITRE VIII. Finalement, les residus de la formule (12) pour Tepoque moyenne de 1789,8 des observations de W. Herschel, et pour les epoques des observations re- centes, de i85o a 1889, sont inferieurs a !*',8, sauf un qui est de 3°, 8; la plus grande valeur employee pour la libration =h-43°,3 et la plus petite = -43«,8. Pour Tethys, les residus sont inferieurs a 20' (sauf un tres grand, de 2^07', pour les observations de W. Herschel); la plus grande valeur employee pour la libration =-+- 2*^19'; la plus petite = — i°49'- Ces resultats sont deja tres satisfaisants. 59. Le syst^me Encelade-Diond. — L*ensemble des observations d*Ence- lade et de Dione montre que les orbites de ces satellites sont fort peu inclinees sur I'equateur de Saturne. Les observations de M. H. Struve, faites de 1886 a 1889, indiquent que I'excentricite d'Encelade = 0,0047 environ, et que le peri- saturne a un mouvement direct d'environ 120** par an. On a» comme on Ta vu (p. 129), 2/i' — /i = i23**,6 en un an. II en resulte done que, dans Targument le coefficient du temps est tres petit; il y a lieu de chercher si cet argument n'engendre pas une libration. Voici les valeurs de V, fournies par Tobscrva- tion : 1886,2 V=-t- 4*1 1887,2 -+-2,2 1888,2 -+- 2,3 1889,2 -t-i4,7 La formule (37) de la page 309 du Tome I donne, pour Tinverse de la dis- tance des deux satellites, A 4 2 ^ ' On en conclut, pour la fonction perturbatrice du mouvement d*Encelade« 12 z= -t- e' he cos V, 2a a oil Ton a V = 2/'-/-cT, h-a^^ ^^' =0,753, 2 ' XntORIE DES SATELLITES HE SATURNE. iSq la constante ^ depend done de Taplatissement et des inegalites seculaires des autres satellites. On en deduit (t. I, p. 169), dn__3fdil d^ _ j^ Oil ^___/__?^. dt a* dl dt na^e de ^ dt ^ na-e dfs^ et, en remplaQant/par n*a% et £2 par sa valeur ci-dessus, -5- =3/w'/i'Ae sinV, at dis5 ^ , h ^j. --y-=ip/i — m' n - cos V, dt ^ e -i- = m' nh sinV. dt P/i est plus grand que 2/1'— /?, valeur moyenne de -^^ fournie par les observa- tions; done le terme cosV doit etre eonstamment negatif^ et V ne pent pas atteindre les limites ±: 90^; il doit osciller autour de zero. En reraplacant dxs 'di cosV par i, Texpression precedente de -j- donnera 2 IV — /J = p /I — ni n — e Si Ton connaissait ^n, cette equation donneraitm'. Les observations n'ayant pas fait connaitre la valeur de p pour Encelade, M. H. Struve Ta conclue par in- terpolation des valeurs correspondantes pour Mimas et Tetliys, et il a obtenu ainsi 528000 Mais rexcentricite e est encore troppeu connue pour que Tonpuisse regarder cette determination comme satisfaisante. Enfin les donnees actuelles ne per- mettent pas meme d*estimer la grandeur de la periode de la libration. M. H. Struve formule ainsi les conclusions de son travail : I** Les conjonctions de Mimas et de Tethys oscillent toujours autour du point milieu de I'arc d'iquateur de Saturne compris entre les no^uds ascendants des deux orbites. EUes peuvent s' Eloigner de ce milieu d' environ 45° et elles accomplissent kur libration en soixante-huit ans dpeupres. Cela se deduit de la formule W = 4^'--2/— 0 — 9'^=2Sirc sin [sin — sincp ), Ilio CHAPITKE Vlll. — THEOKIE DES SATELLITES DE SATURNE. qui, pour /'= /, donne /— h arcs •1 in I sin — sin^ J; Tare sin reste compris entre db -. 2^ Les conjonctions d'Encelade el de Dionese font toujours aupiriscUurne d'En- celade, ou elles oscillent autour de ce point. Cela se deduit de la formule en y faisani /' = /. Ces resultats reraarquables attestent le talent de M. H. Struve, comme obser- vateur et comme theoricien. LES SATELLITES DE NEPTUNE, DE MARS ET d'uRANUS. i4i CHAPITRE IX. LES SATELLITES DE NEPTUNE, DE MARS ET D'URANUS. 60. Du satellite de Neptune. — M. Marth {Monthly Notices^ t. XLVI) a appele, il y a quelques annees, rattention sur les changements notables survenus dans la position du plan de Torbite du satellite de Neptune depuis sa decouverte; ces changements ont ete confirmes par M. H. Struve, qui a reuni dans une publication recente (il/emoi>v5 de I'Academie des Sciences de Saint-Pe'lersbourg^ t. XLII, n^ 4) toutes les observations, y compris les siennes, obtenues avec la grande lunette de Poulkovo, et a discute I'ensemble. De 1848 a 1892, la longitude du noeud de Torbite du satellite a augmente de 7", tandis que Tinclinaison sur I'equateur terrestre a diminue d'a pen pres autant, II fallait trouver la cause de ces chan- gements; j'ai pense qu'on devait la chercher dans Taction du renflement equa- torial de Neptune; Taplatissement de cette planete n'est pas perceptible dans Fig. 4. 9' les lunettes, a cause de la petitesse du disque, mais il doit exister, et il suffira, comme on le verra plus loin, d'un aplatissement assez modere pour expliquer les perturbations dont il s'agit. M. Newcomb avait eu la meme idee de son cote. Je vais reproduire la substance de deux Notes publiees dans les Comptes rendus de I'Academie des Sciences (t. CVII etCXVIII). Soient {Jig. 4) AC I'orbite du satellite a I'epoquc /; A le noeud ascendant; a?A = 6 sa longitude; 9 I'inclinaison de Torbite; BC la position de Tequateur de Neptune; 6' et 9' la longitude de son noeud et son inclinaison. l42 CUAPITRE IX. On aura (t. I, p. 169), si Ton fait abstraction de Texcentricite, qui est extre- mement petite, et des inegalites periodiques, (I) ^«.sm9^ — -^, „a«sin9^ = ;^. Si Ton neglige les perturbations provenant du Soleil, et que Ton considerc uniquement celles qui sont causees par J'aplatissement de la planete, la fonc- tion perturbatrice R a pour expression (voir la page 4) R =:fmo ^x - i X, j ;3 (5 - sin'^j , oil rrio designe la masse de Neptune, b son rayon equatorial, x son aplatisse- ment, x^ le rapport de la force centrifuge a Tattraction pour un point de Tequa- teur, ^la declinaison MN du satellite au-dessus du plan de Tequateur. On a /mo=: n^a^, sin^rr sinC sin(p — 0 — AC), 2sin'ef z=:sin'C — sin'Ccos2(i'— d — AC); en negligeant les inegalites periodiques, on pent prendre sin*rf= - sin'C, r=zay 2 R = i /i« 6« /^x — i x,^ cos«C. En portant cette expression de R dans les equations (i), elles deviennent do 6' / I \ /^ o, pour 1 13",9< 0' < 293",9. Cela pose, nous allons chercher a resscrrer autant que possible les limites entre lesquelles 0' pent etre compris. On pent toujours supposer cosC>o, ala condition d'echanger au besoin les noeuds de Tequateur, car le sens du mouvement de rotation de la planete LES SATELLITES DE NEPTUNE, DE MARS ET d'uRAXUS. 1^5 n'intervient pas ici; ce qui agit, c'est le menisque equatorial. On voit d'ailleurs que les equations (5) restent les memes si Ton change ^', o. Puisque ^ ^st < o dans Tintervalle des observations, on doit avoir sin(0'— do) > o, siii(6' — &,) > o; d^oii i84",i <&'<36o«,4. Mais on a vu plus haut que cosC est < o, quand 6' depasse 293^,9; il en re- sulte (10) i84",i <0'<293",9. J'ai fait une serie de calculs numeriques, en attribuant a 6' des valeurs equi- distantes, comprises entre les limites (10). On voit par la formule (a') que 9' augmente jusqu'a 137** pour diminuer ensuite, et il est facile de demontrer, a IVide des formules (a) et (6), que, dans le meme intervalle, C croit constam- ment. J'ai determine les valeurs de 9' et de C par les formules (a) et (6), et cellesde " T" ^^ ~ 37' P^^^ '^s epoques /©, t^ et i.^, par les formules (5); (^j et f ^2) representent les moyennes aritlimetiques des trois valeurs de ^ ®t ^v J'ai ainsi obtenu le Tableau suivant : 6' 190,3 195,3 200,3 2o5,3 210,3 2i5,3 220,3 (p' ^26, 7 129,1 i3i,o i3';i,6 i34,o i35,i '35,9 C 7,1 12,1 iG,4 2o,5 24,4 28,2 3i,7 • (-^) Oi'74 0,209 0,342 0,423 o,5oo 0,574 " 0,643 (-^) 0,139 0,225 0,309 0,391 0,470 0,545 0,616 P \ «' / 1 — ~ ( "^ ) 0,108 0,194 0,279 0,362 0,441 o,5i8 0,591 -|-T-) o,o5'5 0,1 32 0,209 0,284 o,356 0,426 o,494 1 / //ft \ -(-T-j 0,121 0,195 0,268 0,339 0,407 0,472 0,534 -(-j-j 0,164 o,236 o,3o6 0,374 0,439 o,5oi 0,559 ~(S)„=(S)«-"- ''^^ •••^' ■'■« '''* '''7 '''7 '''^ (S).=(^), ^'° ''8 ''5 '.5 T. — IV. 19 l46 CHAPITRE IX. D'apres les equations (9), les nombres de ravant-derniere ligne devraient etre egaux a ' 2 = 1,1 5. Mais il y a plus : d'apres lesvaleurs (7), les nombres de la derniere ligne horizontale devraient etre egaux a ^'^ty = o»9» mais, a cause des erreurs des observations, on peut admettre 1,0 ou meme i»i, mais non pas 3«o, ni meme 1,8, i,5, i,3 et meme 1,2. II me semble que Ton peut admettre des lors que Ton a J*ai trouve — (^^ '(^) =i,»(^ et 1,17, pour 9'=z:23o»,3 et 0'=i25o",3, \dt)^' \de)o I ,07 el 1 ,00, » » Nous arrivons done a (11) 22O»<0'<293\ J'ai trouve, en prolongeant le Tableau precedent, que toutes les valeurs de 0' comprises entre les limites (11) representent egalement bien les observations; on a, entre ces limites, ii2®< o'< i37**» de fagon que la valeur de 9' est assez bien determinee; enfin, 32», O'—lZc^o^'X, {?'-:327'\6. LES SATELLITES DE NEPTUNE, DE MARS ET d'uRANUS. 1 47 La troisieme de ces valeurs rentre seule dans les limites (ii)» et la valeur correspondante de x x< = -^ • 6' variant de 220° a 239**, 2, x x, diminue de -y- a -7r-> pour augmenter ensuite jusqu'a ^ pour 0'= 290**. Le petit Tableau suivant donne une idee de la variation : (*/» 6'. I X — - X, 1 I T. C, t • G. 0 2'iO 245 147 73 h 18,7 0 39 0 137 1 1060 25o 242 145 7a 18,6 52 i36 i36o •270 182 109 55 16,2 66 1 32 i56o 275 147 88 44 14,5 72 i3o 1600 280 114 68 34 12,8 76 128 1640 285 76 46 23 10,5 81 126 1660 290 33 20 10 ^,9 86 124 1680 •n« Ayant les valeurs de x x<, il s'agit d'en conclure Taplatisseraent; inais ici intervient la loi inconnue de la variation de densite a Tinterieur de Neptune. Si cette planete etait homogene, on aurait, en faisant x = £0, X - ^ Xj, ^K*'"^""')^ c'est ainsi qu'on a trouve les nombres £0 du Tableau precedent. Dans le cas presque certain de Theterogeneite, le mieux a faire est peut-etre de voir ce qui arrive pour Jupiter et Saturne. Pour ces planetes, le rapport X X, 2 a pour valeurs 0,27 eto,28. En admettant o,3 pour Neptune, on trouve x = £^ = 2£^ ; on a inscrit les valeurs de £< dans le Tableau (d). m Soient T la duree de la rotation de Neptune, D sa densite moyenne, T' et D' les quantites analogues pour la Terre, et x', le nombre analogue a x^. On a, comme on sait. V I) X, ' or. *> 2 — ==o,3oo. X I 1 X X, -=0,800, X,=:i,4x. I 48 CHAPITRE IX II en resulte v/ I20>C C'est avec cette formule que Ton a calcule les valeurs ci-dessus de T. On voit que les petits aplatissements correspondent a des valeurs moderees de C, mais a des durees dc rotation assez grandes. Pour avoir des durees compa- rables a celles de Jupiter et de Saturne, il faudrait des aplatissements du menie ordre, e'est-a-dire forts, et des valeurs de C au moins egales a 80°. II est encore un element interessant a connaitre : c'est la duree e de la revo- lution du pole sur son cercle. D'apres la premiere des formules (6), cette duree a pour expression 36o° 2^ ^ sin©' — /I x X, cosC ' La premiere formule (9) permct de calculer p pour une valeur donnee de 0'; on trouve ainsi les valeurs de 6 contenues dans le Tableau (rf). Remarquons, en terminant, que la theorie precedente pourra peut-etre trou- ver une application a certaines etoiles variables, celles dont on suppose les va- riations causees par des eclipses produites par un satellite obscur. Les inegalites seculaires du plan de Torbite, provenant du renflement equato- rial de Tetoile, auront pour resultat de faire varier les instants des milieux des eclipses, et aussi la duree de ces phenomenes. Mais il y aura lieu, si les deux corps sont asscz voisins, comme c'est le cas pour Algol, de tenir compte aussi de Taction du satellite pour deplacer Tequateur de Tetoile. On est ainsi con- duit a un probleme interessant que le lecteur trouvera dans le Bulletin astrono- mique^ t. XI, p. 337. (Voir aussi Comptes renduSy t. CXX, p. 12 >.) 63. Sur les satellites deMars. — Phobos et Deimos, les deux satellites de Mars, si brillammcnt deeouverts par M. Asaph Hall en 1877, se meuvent a tres peu pres dans lo plan de Tequateur de laplanete; ce dernier est incline de 27® ou 28*'sur le plan de lorbito de Mars. On pent se demander si les plans des deux orbites coincidcront toujours a tres peu pres avec le plan de Tequateur, ou si la coincidence actuelle n'est qu'accidentelle. Cette question a cte examinee par M. Adams {Monthly Notices, t. XL, p. 10), et j'ai prescnte moi-meme a son snjet une Note a TAcademie des Sciences {Comptes rendus, t. LXXXIX, p. 9(ii). Si Ton connaissait raplatissement x de Mars Me rapport x, de la force centri- fuge equatoriale a la posanteur correspondante est connu, yL^~- — j, la ques- tion serait, en eflfet, identique a celle qui a ete traitee dans le Chapitre VI pour Japet, Tun des satellites de Saturne. Soient, en nous reportant a \^fig' 2 de la LKS SATELLITES DF NEPTUNE, DE MARS ET d'uRANUS. 1 49 page 93, et aux developpements voisins, D et D' les poles de rorbite et de Tequateur de Mars, et C un point de Tare DD' determine comme on Ta dit. Les poles des orbites des deux satellites se mouvraient sur deux petits cercles ayant le point C pour pole. Soit p Ic rayon de ce petit cercle pour le prenriier sa- tellite, et CD'=i'; rinclinaison de son orbite sur Tequateur resterait toujours comprise entre db(r~ p) ot z'-h p. II suffirait done de calculer i' et p pour re- pondre a la question. Malheureusement, cesquantites T et p dependent de Taplatissement x qui est inconnu; on sait seulement qu'il est compris entre les limites -^-ety^ (t. II, p. !io5). M. Adams a essaye deux hypotheses : (I) celle de I'homogeneite, qui 5 I donne x= 7^,= — p> et(II) qui suppose que la distribution des densites soit la meme a I'interieur de Mars qu'a Tinterieur de la Terre; cela conduit a la relation X x' T > X, X, en designant par x' et x', les quantites analogues pour la Terre; on en conclut X =r En admettant, d'autre part, pour la position de Tequateur de Mars, les nom- bres de M. Marth {Monthly Notices, t. XXXIX, p. 47'i)» j'ai trouve que Tincli- naison de Deimos sur Tequateur de la planete doit toujours rester comprise entre o®,i et i**,4 dans Thypothese (I), et entre 0*^,2 et 2*^,2 dans I'hypo- these (II); pour Phobos, les limites sont encore plus resserrees. Done, pour les aplatissements — = et -^y et aussi pour les aplatissements intermediaires, les orbites des deux satellites s'ecarteront toujours tres peu de I'equateur de Mars. 64. Des satellites d'Uranus. — D'apres les mesures et les ealculs ) Foir dans les OEuvres de Gauss, I. Ill, le beau M6moire Theoria interpolation is methodo noi^n tractata, et dans le Tome I des Memoires aslronomiques d'Encke le M6moire Ueher Interpolation, dans lequel Encke reproduit des lecons faites par Gauss en 1812. 1 52 CHAPITRE X. d'oii il a tire des consequences importantes. Soient X,,Xa, X3, ..., cequedonne la formule (i), en prenant une, deux, Irois, . . . valeurs de j:; on aura a — o b — a (x -- b) (.r - c) {j: — a)(jc — c) ^{x — a) (x — b) ^'~*^ (a-b){a-c) '^^ (b — a)(b — c) "*" ^ (c — «) (c — 6) ' ___ . {x — b){x — c)(jr — d) (jc — a) (jr — c) (jl- ^ ci) ''~'la — b)(a — c){a—d) '^ '^ (b — a) (b — c){b — d) (x — a){jc — b){jc — d) {Jr — a) jx — b)(x — c) {c — a){C'-b)(c — d) (d — a)(d—b)(d — c)' On en conclut aisement X,^\^=(^'-a)(x-b)\^^^_^^^^_^^-^ ^^_^^^^_^^^ [A B (a — b){a — c)(a — d) (6 — a) (b — c)(b — a) C (c-'a)(C'-b){c — d) (d « 1 -.a){d^b){d—c)\ d'oii, en ajoutant, ( X=::A-f-(a: — a)[a, 6]4-(j: — a)(a: — 6)[a, 6, c] (3) 1 ( -4- (vC — o) (a? — b){x — c)[a, 6, c, t/] -H. . . , oil Ton a pose r Ai ^ ^ ^ a — b b — a r / 1 - A ^ B C (^) { , A _B C I) '^ \c-^a)(c — b){c^d) '^ {d — a) {d — b) (d — c)' FORMULES ET METHODES D INTERPOLATION. i53 Ces quantites [a, i], [a, 6, c], ... restent les memes quand on ecbange entre elles deux des lettres a, 6, c, . . . , et les deux quantites correspondantes dans la serie A, B, C, Les formules (3) conduisent, en outre, sans peine aux rela- tions r ... B-A (4) [«,6,c] = L^iiLLziKl], c — a [or, A;, c,rfj — d — a ' On pourra former le Tableau suivant : a (5) / B D E [a, 6] [6,c] [c,e/] K^] [^,/] [«, 6, c] [^c,rf] [C, fl?, «] [^,^./] On pent prendre les lettres dans un autre ordre, et operer, par exemple, la substitution a h c d e f d c e b f a (: La formule (2) donnera alors D (6) {x — d)[c,d] -^{x {x — d){r — c){x • {x — d){x — c) {x {x — d) {x — c) {x - - d){x — c) [c, d^e^ e)[b,c,d,e^ e){x — b)[b,c,d,e,f] e) (r — b) (x — /) [a, b, c, d, e,/] Si Ton jette les yeux sur le Tableau (5), on voit que les quantites [c,d], [c,rf, ^], [A,c, rf, e], [b, c, d,e, f\, [a, b,c^ d^ ^»/j» • • • y figurent toutes sur deux lignes horizontales, menees, Tune par la lettre D, Tautre a egale distance des lettres C et D. T. — IV. 20 I 54 CHAPITRE X. En operant de meme la substitution ( a b c d e f d e c f h .. la formule (2") donnera \ r- I) 4- (r - d) id, r) -+-(./•- d) (.r — e) [c, d, r] _u (.,. _ ^) (.r _ e) (.r — c) [c, r/, \ fir,) (fir,) — r,)) u) \ / 1 , i CO ou bien /(a4-/^co)=/(a)4-^/^(«+^) (9) i . /i(/? — 0 ,., , . /^(/^ — !)(/* — 2) .,/ 3co^ I- C'est la formule d'interpolation de Newton. 1 56 CHAPITRE X. Appliquons maintenant la formule (6), mais en prenant les lettres placees sur riiorizontale de/(a) et celle menee entre /(a) et/(a — a>); nous Irouve- rons /^6J(/lOl)4-w)(/^o^) — ^) fz ( ^\ 1.2.3.0)' "^V 2/ ou bien I 1.2.0 Y 2y 1. 2.%). 14. ( Ai -h 2 ) ( /I -h \)n(n — i){n — 2 ) 1 .2.3.4*5 p(^a-'S^+.... La formule (7) donne de meme /(« + /I w) =/(a) + -/' [a 4- -j + -'^^ /«(«) (w-+-2)(/i-M)/i(/i — i)C«--^ / _^ a)\ 1 .2.3.i.5 Si i'on prend la moyenne arithmetique des expressions (lo) et (ii)» il vient /( X ,/ X /i -^^ V "^ aj"^-^ V^ 2) rn(/n-i) n(/i — 1)1 /-(a) a-\- noi)=:f{a) H ^^ ^^ ■+- — ^ i h ^ ^ i£_J_f •^ I 2 L I .2 1 .2 J 2 ^ (/|-i-l)/l(/t — I) -^ V 2/ -^ V 2/ 1.2.3 2 r(/i-i-i)/t(/t — i){n—2) (n-h a)(/i-h i)/i(/i — i)"| /*(a) L 1.2.3.4 1.2.3.4 J '^ On est conduit a poser FORMULES ET METHODES d'iNTERPOLATION. jH'J Ces moyennes arithmetiqucs seront inscrites a Tencre rouge ou au crayon dans le Tableau (8), chacune entre les deux nombres d'oii elle provient. On trouvera ainsi (-) ] +^"^'^:t"~'VM«) I , A m D m :\ {n-{-2){n-{-j)n{n-i)(n — 2) ■*" 1.2.3.4.5 -^ («} + .... Si I'on se reporte a la figure schematique (5), on voit que, dans la formule de Newton, on suit le chemin OH, tandis que dans les formules (10), (i 1) et (i!2), on suit respectivement les chemins OBCDE..., OB'CD'E..., OCE... Fig. 5. ^» ^* ^ ^ pk • • • H 67. Interpolation des fonctions p6riodiques. — Gauss s*est propose de trouver une fonction T de la forme T = - a^ -4- a, cos t-\- ol^ cos 2 ^ -h . . . -4- «;» cos n t -h(3i sin^-h (3, sin2^-+-. . .-h (3;j sinn^, connaissant les valours A, B, C, . . ., L, que prend la fonction, quand on donne a f les 2/1 + I valeurs c^ • 9 ^f * * * I I 58 CHAPITRE X. D'apres la formule de Lagrange, on est conduit a poser . t — b . t — c , t— I sin sin • • • sin T= A —. ■■ ^—. . a — b . a — c . a — / sin sin • • • sm 2 2 2 (i4) \ . t — a . t — c . t — l sm sm • • • sin 1^ 2 2 2 . b — a . b- c . b — / sin sm • - • sin 2 2 2 On verifie immediatement que Texpression (i4) prend bien les valeurs A, B, . . . pour / = a, b, . . . ; reste a voir qu'elle est de la forme (i3). Or, le produit , t — b . t — c . t — I sm sm • • • sm 2 2 2 se compose de n groupes de facteurs tels que c if b — c ( b-\- cW . t — b . t — c if b — c / b -{- c sin sin — 2 2 on voit que le produit de n quantites telles que sera bien de la forme voulue. II resterait a former les expressions des coeffi- cients ao, a,, . . ., ^,, .. .; mais nous nous bornerons a les obtenir dans un cas particulier, celui du reste qui se presente dans la pratique. Supposons que les 2/14-1 quantites a, 6, ..., / forment une progression arithmetique de raison 27r 2/1 -h I , 27r 27r , 27r b-=ia -\ > c = a -h 2 > . • . J / = a H- 2 /t in -{-i 2/n-i 2/14-1 Nous commencerons par calculer le produit de 2/14-1 facteurs (.5) „ . t — a , t—b . t-l • sm , 2 2 2 oil nous ferons t — a FORMULES ET MfeTHODES d'iNTERPOLATION. I $9 ce qui donnera Z 3= sin 5 sin I z ) sin I z — 2 — ) • • • sin ( z — 2/1 K \ 2/1-1-1/ \ '2n-i-iJ \ 2/^^-I/ ou bien, en groupant le second facteur et le dernier, le troisieme et Tavant- dernier, etc., Z = ( — i)'*sin-3 ( sin'x; — sin* — ' ) (sin*:; — sin* ^- — ] • • ( sin*^— sin* '- — | \ 2 /J -J- I / \ 2/i-f-lJ \ 2 /i -h 1 / Z ne doitdifferer que par un facteur constant de la fonction sin(2/i -\- i)z qui est aussi un polyn6me du degre 2^4-1 en sins, et s*annule pour les valeurs o, ± > it , ••., ±1 (le -3. 2 /« -f- J 2 /^ -r 1 2 /I -h I D*aiileurs, on sait que le coefficient de sin^"^*-s dans le developpement de sin(2/i -h i)s suivant les puissances de sins est 2^"(— i)"; on aura done „ sin(2/i -1-1)3 /j — 2*'* et il en resulte, d'apres la formule (i5). . l — h . / — / 1 sin(2/i-+-03 sm • • • sin — -77; — -.— 2 2 2*" sin:; Or on a I'ldentite sin(2/i-hi)s , — — . =14-2 cos 2 :; -+- 2 cos 4 -3 h- ... n- 2 ros 9.nz. sxnz On en conclut done . e — b , t — / i-i-2ros(/ — rt)-i-2C0S2(^ — a) H-. . .-h 2 cos/i(^ — a) sm • • sm — — ^^ : — ^^ 2 2 2-'* et, en faisant t = a, a — h . a — / 2 /i -h 1 sm • • sm — — 2 2 2-" En divisant membre a membre les deux dcrnieres equations, il vient . t—b. t—c . /— / sm sm • • • sin .22 2 . a — b . a — c . a — / sm sin sm 2 2 2 I -f- 2 cos(^ — 2 /^ -i- I l6o CHAPITRE Xl d'oii, parraison de symetrie, . t — a . t — c . /--/ sin sin • • • sin B ^ ^ 1- . b— n . b — c , b — I sm sin • • • sin Si 2 2 „ I -h 2 cos U — b) -^ 2 cos 2 ( ^ -- 6) -f- . . . -h 2 COS n{t — b) 2/1-1-1 La formule (i4) pourra ainsi s'ecrire (2/i-+-i)T=:A-4-BH-...-f-LH- ( Acosa-+- Bcos6 -h. . .-hL cos/) 2 cos/ -+-(Asinrt -+-Bsin6 -h. . .-h Lsin/) 2sin/ -+- (Acos2a-f-B cos 2 6 -h. . .-+-Lcos2/) 2 cos 2/ H- (A sin 2 a -+- B sin2 6 4-. . .-^-L sin2/) 2 sin 2/ -+- Les coefficients a,- et p,- de la formule (i3) auront done pour valours 12 «/ = (Acos/a + Bcos/7>4-. . .-+- Lcosc/), 2/1 -h I 2 (3/z= (A sinia h- B sin/6-f-. . .-+- LsiniV); ■^ 2/1 -+- 1 ^ a reste arbitraire, et les quantites b, c, ..., ten resultent comme on I'a dit. Si la fonction donnee T de /, supposee periodique et de periode air, se deve- loppe en une serie illimitee _ I T r= - a^ 4- a, cos / -f- . . . 4- a„ cos nt-{- . . . -H pi sin / 4- . . . 4- (3„ sin /I/ 4- . . . et si la serie converge assez rapidement, on pourra la limiter a ses 2/1 + 1 pre- miers termes; les formuies (iG) donneront des valeurs approchees de ao, *i» • • •» ^#i» Pi» • • •» prt» 68. Los formuies precedentes ne sontguere employees malgre leur simplicite. On prefere partager la circonference en un nombre pair d'arcs egaux, parce qu'alors la reproduction periodique des sinus et cosinus donne lieu a des sim- plifications. Gauss rattache ce cas au precedent; mais il sera plus simple de le traiter directement. Considerons le devoloppemcnt periodique de la fonction T. I = « (17) ^"2 (^^<^osiV 4- 13, siniV). 1=0 FORMULES ET M^THODES d'iNTERPOLATION. i6t Donnons a t les in valeurs o, hj 2h, ..., (2n — i)/i, comprises dans la formuie t =z rh, ou h^ — ; 2/1 les valeurs correspondantes de la fonction T seront representees par To, T,, ..., Tj,j.i, et designees d'une maniere generale par T^.. Soity un nonobre entier positif; la formuie (17) donnera Tcosy7=i - V [^' ^^^li^^' ^^^J^^' r r Ces formules souffrent deux cas d'exception : I® Si / = o, on trouve, en se reportant directement a la formule (17), 2 T,. = 2/i(ao -i- «j/t -+-. . .), r r 2® Si y = n, alorsyM = -irr. La seconde des formules (18) est identique- ment satisfaite, et la premiere donne r II n'est pas etonnant que Ton ne puisse pas determiner ^^^ car il n'y a que FORMULES ET M^THODES d'iNTERPOLATION. 1 63 2/2 donnees, et I'on ne peut determiner que les 2/1 inconnues Ofoj ^11 ^J» •••> ^/t-j> ^fif Pi> Pi» • • • » P«-i» On peut faire diverses combinaisons de nature a simplifier les calculs : ainsi, la premiere des formules (18) peut s'ecrire r = rt — 1 r — tn—i n ay = V Tr cosj'rh -h ^^ Tr cosj'rh, r=0 r=n ou bien, en changeant, dans le second ^> r en /i-f-r, et remarquant que njh = iz/\ /I ay = 2 Tr cosyVA 4- (— i )-' ^ '^'»+'- cos/>A, r=0 r=0 r = 0 Changeons, dans cette formule,/ en n — y, et supposons /ipair (ou la circon- ference divisee en ^n' = in parties egales);/ et n — y seront de meme parite, et nous trouverons r=^n — 1 n«„_y = 2 [Tr -H (- ly T„+r](- i)' cosyVA, r=0 et, par suite, r=n — 1 (22) /i(ay±a„_y)= 2 [Tr-t-(- '* -H 1)-+- (3> '^ -H 3) 4-. . .4- (/* — I, 2/1 — 1). Les deux dernieres de ces formules ont ete conclues des relations (20) et (21). 2® y impair; in divisions, A =r -, ^ (a/ - «„-y) = (;^ jcos jli ^ (^—-^cosSjh + ... + f/^~',j cos (/i - O/A, 'i(|3,-p„_,)=(;^)sin2yA + (;^)sm4yA + ...+ (^^)sin(n-a)y>i. Enfin, rappclons que la fonction periodique limitee que Ton obtient ainsi sera • • • > oc„, Pl> • • • » Pn» Le Verrier a developpe (loc. cit.) les expressions algebriques des inconnues et il a applique ensuite les formules obtenues a la determination de la grande inegalite causee par Jupiter dans le mouvement de Pallas; il a adopte a:=42®i4'. La methode d'interpolation ainsi presentee satisfait a la condition suivante : ayant deja execute les calculs necessaires pour la determination de 2/n- I coefficients, si Ton vient a reconnaitre qu'on doit en conserver 2/w autres, on pent le faire sans avoir, en somme, execute plus de calculs que si Ton avait eu egard, des I'origine du travail, aux 2n -h im -+- i coefficients. Le lecteur pourra consulter aussi sur ce sujet un Memoire de M. Hoiiel, Sur le developpement des fonctions en series periodiques au moyen de V interpolation (Annales de V Obsers^atoire de Paris, t. VIII), et un Memoire d'Encke : Ueber die Entwickelung einer Funktion in eine periodische Reihe nach Herrn Le Verrier* s Vorschlag (t. Ill des Memoires astronomiques d'Encke). 70. DSveloppement d'une fonction pSriodique de deux variables. — Une pareille fonction pourra s'ecrire ao -h aj cos / -h at cos 2 / -H . . . 4- (3j sin ^ -h p, sin 2 ^ 4- . . . ; les coefficients a, et p,- seront eux-memes des fonctions periodiques de /', ( a/ = a^l^ -4- a^l^ cos t' H- a^^l^ cos 2 r' 4- . . . (25) ) * 0 1 t ^ ^ ( -H6^/>sin^'-h6;'>sin2^'-H..., ^i ayant aussi un developpement de meme forme. Supposons que Ton donne a / et t' les seize valeurs TT 27r iStT ""' 8' T' •••' "8"' En prenant d'abord /' = o, et donnant a t ses seize valeurs num^riques, on pourra calculer, par les formules donnees plus haul, les valeurs nume- riques de a©, «!, «!, ...» a?, ofs* Pi> Pi> • • • » P?* On recommencera Tensemble de ces operations pour chaoune des quinze FORMULES ET METHODES d'iNTERPOLATION. 167 autres valeurs de t . Avec les seize valeurs numeriques de a^, par exemple, on pourra conclure, par les memes formules, les seize premiers coefficients de son developpement suivant les sinus et cosinus des multiples de t! . On procedera de meme pour a,, p^, On voit que le nombre des valeurs de la fonction T — 2 qu*il faudra calculer sera ici de i6 = 256. 71. Le Verrier a eu souvent recours a I'interpolation; Tapplication la plus importante qu'il en a faite se rapporte a la theorie de Saturne {Annales de I'Ob- servatoircy t. XI, Addition au Chapitre XXI). Apres avoir developpe tres com- pletement les expressions analytiques des elements elliptiques de Saturne, il remarque que, dans le calcul des inegalites du second ordre par rapport aux masses, « le nombre des petits termes, sensibles jusqu'a o", oi, devient, pour ainsi dire, indefini; et, comme dans certains cas ils s'ajoutent les uns aux autres, loin de sedetruire, on eprouve, apres un pareil travail, bien qu'il ait ete verifie directement a plusieurs reprises et compare terme a terme avec les for- mules analogues de Jupiter, on eprouve le besoin de s'assurer de Texactitude des resultats par une voie differente de la premiere ». Le Verrier se sert des developpements algebriques obtenus comme d'une premiere approximation, deja tres precise, pour passer a des formules oil rien ne puisse etre omis. Soient tty e, /, £, TS le demi-grand axe, Texcentricite, la longitude moyenne, celle de I'epoque, celle du perihelie de I'orbite de Jupiter; les memes lettres accentuees se rap- porteront a Saturne; soit encore p =: I n dty 9'^^ I '*' ^^* Les quantites S/, 8e, eSrs, Sa, fournies par la theorie, sont de la forme Ssin(5/'-2/)-hCcos(5/'- 2/)4- S'sin(io/'— 4/)-+-C'cos(io/'— 40 (26) I -h S, sin/'-hS, sin2/' 4-. . . + Sg sin5/' ( -hCo-f- C, cos/'-h C, COS2/' -h. . .-4- CsC0s5/'; les quantites S, C, S', C sont developpees suivant les puissances du temps (jusqu'a /' inclusivement), mais varient tres lentement. Les quantites C, et S, sont developpees suivant les sinus et cosinus des multiples de J^ = /' — /; les coefBcients de ces sinus ou cosinus sont eux-memes developpes suivant les puissances de /. 1 68 CIIAPITRE X. Le Verrier part des expressions des derivees exprimees au raoyen des coordonnees de Jupiter et de Saturne; ce sont au fond nos equations (A) (t. I, p. 433). II se propose d'obtenir, pour i85o, Ten- semble des perturbations §£', op', e'Zxs' et Se', en reunissant les termes des divers ordres. Pour cela, ii lui faut calculer les seconds membrcs des derivees (27), non plus avec les valeurs elliptiques des elements et des coordonnees elliptiques de Jupiter et de Saturne, mais bien avec ces valeurs augmentees des perturbations (26), deja calculees par la voie analytique. II divise la circonfe- rence en 82 parties egales a 9 = ii®i5', et attribue a la longitude moyenne elliptique de Jupiter les 32 valeurs o, 9, 29, ..., 819, eta la longitude moyenne de Saturne les 16 valeurs o, 29, 49* •••» 309. On considere les 5i2 resultats obtenus par les combinaisons de ces diverses positions des planetes. On donne dans chaque cas les valeurs numeriques de S/, Se, eStar et Sa, deduites des expressions (26), eny supposantt = o, ce qui correspond a i85o; on en conclut Si^ et logr, d'oii le rayon vecteur r et la longitude vraie i^. On calcule de meme les 5i2 valeurs individuelles pourchacune des quantites le calcul exact des perturbations des latitudes n'est pas necessaire ici. A Taide des donnees precedentes, on a pu former les 5i2 valeurs nume- riques de i^ ^' I flf^p ' ide^ I , dw[ n dt n} dt^ n dt n dt et la methode de Tinterpolation a permis d'obtenir, pour ces memes derivees, des developpements periodiques procedant suivant les sinus et cosinus des multiples de ^ et de t. On a integre ensuite par les formules / / 6 ^m(JZ-hfl')dt = -h ^'_^j,^^^,__j^^ cos(ygH-/7^)4-const., qui supposent (£ et @ constants. On a done ainsi les developpements definitifs cherches pour (5£', 6p', de', e'dxs'. FORMULES ET METHODES d'iNTERPOLATION. 1 69 Les coefficients numeriques des divers sinus et cosinus sont censes avoir les valeurs qui conviennent a i85o; quant aux termes en /, t^ et /' qui doivent completer chacun d'eux, Le Verrier les a empruntes a ses recherches theo- riques anterieures. II nous semble que si Ton voulait etre entierement rigoureux, il faudrait determiner les valeurs numeriques des derivees-^> -^7 •••> non seulement pour les 5i2 positions considerees, mais encore pour chacune des cinq epoques i85o, 235o, 285o, 335o, 385o. On auraitainsi les developpements periodiques de -^j -^> • •• avec 5 valeurs differentes pour chaque coefficient d'un sinus et d'un cosinus, ce qui permettrait de developper ce coefficient suivant les puis- sances de /. On aurait ensuite a effectuer les integrations par les formules -h Sin a 4 — 7— ■+- — h . . . I ) I a* a* a® J L a a* cc J Les termes principaux sont — ^^-^— - cos a /, cl - — -^\\\0Ll; Of. OL les termes de correction pourront etre tres sensibles lorsque a sera petit, c'est- a-dire quand il s'agira d'une inegalite a longue periode. Le Verrier a trouve, en general, un accord tres satisfaisant entre les valeurs theoriques des inegalites et celles qu'il en a deduites par Tinterpolation. Cepen- daut, il y a des differences sensibles pour la grande inegalite; en outre, I'inter- polation a donne dans - , ,- un petit terme constant, qui souleve la question de la variation seculaire des moyens mouvenionts, quand on pousse Tapproxima- tion jusqu'aux troisiemes puissances des masses perturbalrices. Le Verrier a generalement adopte, dans la construction des Tables de Saturne, les nombres fournis par Tinterpolation, sauf pour la grande inegalite, dont il a pris les coef- ficients determines par la theorie analytique. II convient d'observor que, dans I'application des developpements (26) au calcnl de §£, op, . . ., os', "f^j^', . . ., on a omis les inegalites periodiques provenant T. - IV. 22 I^O CHAPITRE X. — FORMULES ET MitTHODES d'iNTERPOLATION. d'Uranus et de Neptune. II peut se faire que, la convergence laissant un peu a desirer, les termes oi2n-j* ^2n-j^ • • • dans les formules (i8) ne soient pas entie- rement negligeables. On sait que la theorie de Le Verrier ne represente pas, avec toute I'exactitude possible, les observations de Saturne; il y a dans la longitude des ecarts de 5" a 6" en plus ou en moins. II semble cependant que I'interpolation appliquee a une theorie presque parfaite devrait tout faire marcher; aussi pensons-nous que c'est en revoyant et completant le travail de I'interpolation qu'on arrivera a resoudre la difficulte, et c'est pour cela que nous nous sommes pernais de faire deja quelques remarques. Depuis que ces lignes ont 6t6 6crites, M. Gaillot, qui fut iongtemps le collaborateur d6vou6 de Le Verrier, a publi6 (dans les Comptes rendus de V Academic des Sciences^ t. CXX, p. 26) une Note importante r^sumant ses recherches et ses calculs faits depuis plus de dix ans, en vue d'am^liorer la representation des observations par les Tables. M. Gaillot a d'abord r6p6t6 tous les calculs de Le Verrier pour les 6poques 235o et 2860, ce qui comble le desideratum formula k la page pr6c6dente. II a remarqu6 ensuite que, dans les formules telles que dm' __ n!a'\J\^e'^ d^ 'dt "" ? ^ de'' 11 faut donner k n' sa valeur variable fournie par le calcul analytique; or, c'est ce que n'avait pas fait Le Verrier. D'autres petites fautes ont 6te relev6es dans le detail des d}o' calculs. Le r^sultat final est tr^s satisfaisant; ainsi, la valeur num6rique de —^ est dt^ extr^mement petite, on peut dire nulle. Les coefficients de la grande in^galit^ resolvent des corrections tr^s sensibles; M. Gaillot adopte d6finitivement les valeurs ainsi corri- g6es. Finalemeiit, toutes les observations de Saturne, de 1760 5 1890, sont representees avec une precision satisfaisante, la plus grande erreur ne d^passant pas 3'. M. Gaillot, pour donner plus de port^e k ses conclusions, reprend en ce moment ses calculs d'in- terpolation, en donnant k la longitude moyenne clliptique de Saturne 32 valeurs, au lieu de i6. FORMULES DE QUADRATURE. 171 CHAPITRE XI. FORMULES DE QUADRATURE. - CALCUL NUMERIQUE DES PERTURBATIONS. 72. Des quadratures. — Formule de Cotes. — Soit propose de calculer I'integrale (i) 1= I ydx, oiiy designe une fonctionde x, dont on peut determiner les valeurs nume- riques pour des valeurs donnees de x. On peut ramener les limites de Tinte- grale a etre o et i, en changeant la variable d'integration et posant d'oii (3) ^=0"- On donne a / les /i -i- i valeurs equidistantes 12 n — I n n n auxquelles repondent ces valeurs de x (4) g, ^'-^—JT^' ^-+-^— 77^' •••' ^'- Soient A^, A,, A^, . . ., A;, les valeurs correspondantes de y\ on obtiendra une valeur approchee de I si Ton remplacey par I'expression Y donnee par la 172 CIIAPITRE XI. formulc (I'interpolalion dc Lagrange ., . (fit — i) (nl — 2) (fit — 'i). . .(nt — n) \ = An -+-A, -i-A. (-i).(-90.(-3)...(-/i) nt(nl — '}.) {nt — 3 ) . . . ( /«/ — n) 1 .( — i).( — 2). . .(1 — n) ni(nt — I) (nl — 3). . .(/*/ — n) 2.1. ( — I ) . . . ( 2 — n) nt{nt — ^){fit — o>.). . .{nt — n) z 3. 2.1. ...(3 — //) '\- . nt(nt — I) (nl — 2 ) . . . ( /i/ — n -h 1) * '* n(n — i) (n — 2). . , I On aura ensuite /' (nl — i){nt — 2) (/^^ — 3). . .(/I/ — n) , l^(/i-S) *- 0 (-0(--^0(-3)...(-/0 - I nt(nt — 2) (at — 3) (nt — n) , -f-At / ; r-, ^ : : at I .(— i)( - 2).. .(I — /O On obtient la formule de Cotes en prenant successivement pour n les valeurs I, 2, 3, .... Pour donner une idee des calculs a effectuer, nous allons supposer Ai = 3; nous trouverons Y—- — (3^-0(3/ -2) (3^ -3) -4- — 3^(3/-2)(3^-3)— ^3/(3^ — 0(3^ — 3) o 2 o -4-^3^(3/ — 0(3^-2), Y=^ Ao ..,.,, .0-, . .., .X . 9^1,^,3 K,, . .,X 9A 2 ^ '2 ' -2 en multipliant par rf/, et integrant entre les limites o et i, il vient X'v* = -t(|-^-^V-')-- d'oii 3Aj 3Ai A:^ I=(/-.')(-^ 8 8 8 Dans son beau Mernoirc : Melhodus nova integralium valores per approxima- tioncm iwcniendi (CEuvres, t. Ill), Gauss a donne les expressions fourniespar la FORMULES DE QUADRATURE. Ij3 formule de Cotes pour les valeurs i, 2, . . ., lo de /i; nous nous bornons a re- produire les six premieres : n=i iz /I = 2: /i = 4; 90 ,, _ ^. , _ //, ^x /'9A0 25A, a5A, 25A3 25A4 iqAsN „_fi. |_-/A ^x/^'Ao 9A, 9A, 34A3 9A* 9A, 4lAe\ Les valeurs de x, pour lesquelles 11 faut calculerles valeurs Aot A,, ... dey, sont d'ailleurs fournies par la serie (4)» en y donnant a /lies valeurs 1, 2, 3,.... 73. Si la fonction y etait un polynome entier en a?, et par suite en /, de de- gre n, on aurait j = Y, et la quadrature representerait exaclement la vaieurde Tintegrale 1 jrfir. Si le developpement dey, suivant les puissances de /, ne s'arrete pas au terme en t", la correction e de la quadrature dependra des coeflBcients K^''^*^ K^''^^^ . . ., et sera de la forme Gauss donne, pour /i = i, 2, . .., 10, les valeurs des coefficients numeriques ^fl+o^ ^(/i+2)^ ^ ^ ^ quand il s'agit de la formule de Cotes. II resout ensuite une fort belle question : au lieu de calculerles valeurs numeriques Ao, ..., A^^ de la fonc- tion pour des valeurs equidistantes de x, il suppose qu*on I'ait fait pour des valeurs queiconques a©, a,, ..., a^,. La quadrature et sa correction conserve- ronl la meme forme que ci-dessus. Gauss cherche a determiner a©, .... a„ de maniere a annuler les coefficients 174 CHAPITRE XI. de sorte qu'avec n -+- 1 valeurs particulieres de la fonction la precision soit la meme que si Ton avait employe deux fois plus de valeurs dans la methode de Cotes. II trouve que a^, ...,«;, doivent etre les racines de Tequation que Ton obtient en egalant a zero le polynome X„^., de Legendre. Gauss a donne (loc.cit.) avec i6 decimales les valeurs numeriques des racines des equations X, = o, X2=o, ..., Xo = o, cellesdes coefficients a©, a,, ..., a„, etenfin la valeurdu pre- mier coefficient k^^'^-^^) qui ne s'annule pas. M. Radau [Etude sur les formules d' approximation qui servent a calculer la valeur numenque d'une integrale definie (Journal de Mathematiques^ 3* Ser., t. VI)] a etendu les calculs precedents jus- qu'a Xfl. La methode de Gauss, malgre sa superiorite theorique, n'est pas employee en Astronomic, parce qu'on verifie mieux les calculs lorsque la variable inde- pendante rcQoit des valeurs equidistantes, et aussi parce que ce n'est pas gene- ralement une valeur numerique isolee, mais une serie de valeurs d'une integrale qu'il s'agit de calculer. Les formules tres simples employees par les astronomes fournissent cette serie de valeurs sans demander beaucoup plus de calculs que s'il n'y en avait qu'une. 74. Soit propose de trouver la valeur numerique de I'integrale X = jf(x)dx entre deux limites donnees; nous faisons (5) x-=.a -\- ni»Sy « et nous supposonsque les deux limites de I'integrale rentrent dans I'expression precedente, en y faisant n = o et /i = i. On aura done — ^ / f{a'hn(^)dn; I designe un nombre entier, et Ton pent ecrire (6) — = / /{a-h n(^)dn'^ I 4-...-f- / . Nous allons calculer la premiere de ces integrales. Nous supposerous qu'on a forme le Tableau des valeurs de /(^) pour les valeurs comprises dans Texpres- sion (5), quand on attribue a n les valeurs i , 2, 3. . . ., et aussi le Tableau des differences successives, comme a la page i55 du Chapitre X. Nous remplacerons en outre /(a-h/iw), pour les valeurs de n comprises entre o et i,parcelleque donne Tune des formules d'interpolalion, par exemple la formule (i 1) du Chapitre precedent. II faudra developper les coefficients des differences suivant les puissances de n, et integrer entre les limites o et i. Le FORMULES DE QUADRATURE. 1^5 resultat sera une fonction lineaire et homogene des quantites au lieu desquelles on peut introduire en ayant egard aux relations ^*(''"^?)"'^^ (a-i-r^)-/(a), Si Ton tientcompte aussi de la symetrie du resultat par rapport aux deux limitesoet i, on pourra ecrire, en designant par A©, Ao. ... des coefficients numeriques, (7) i f •^(''"+"''^)'''' = ^<>[/'(^)"^/(^-^^)l"^^*t/*(^)"^/*(^-^^)l Pour determiner les coefficients, on peut choisir une fonction particuliere f{a) = E"*. On trouve aisement, pour les expressions des differences, /•(a-hw) r=E«(E^ — OS /» («4-iw4-a)) = E«-^''^(E«— i)S /»(^a-f-^^=E«(E*'»-i)', /3/'a-i-ia)-h^)=E«-^''"(E"-i)\ On a d'ailleurs /£/ia> /(a -♦- n(s^)dn = E^ h const., G))r//I = E« (t) En substituant dans la formule (7), il vient Ot) = Ao(i-+-E^)-+- A8(E-^-M)(E">— i)«4-A4(E-'"»-hE-'^)(E''>— 1)* + ..., (^) L:Tr7-=A,4-A,(E*-E *;4-a,Ie'-e V-h... 176 CHAPITRE XI. II convient de poser (I) _ti» E* — E » = aM, d'ou 6) fi) CO CO = 2 l0g(£/4- V'l-h M*), et la formule (8) devient 2^1-1-^^* log (^ ;/ -f- v I 4- w V 11 suffit done de deveiopper le premier merabre suivant les puissances de u pour obtenir les coefficients A©, Aa, — Or, on a ^^ ^ ^12 6 2.4 5 2.4.6 7 i/l -h I/' =r I -f- - £/5 — - w* 4- - //« — . . 2 8 10 d'oii // I I , II . 191 « 2 v/i -h w* log ( M 4- v/i 4- w» ) 26 90 1890 On pent done obtenir sur le champ les coefficients Ao> A,, . . . ; on trouve ainsi « (10) <' ^0 ■* + 7777: [/*(«) -t-/'(«H-o>)] +.. .. I44O On aura / , / ,..., en augmentant tousles arguments deo), 2(0, ...; apres quoi, en portant les expressions obtenues dans la formule (G), on trouvera X I I — = -/ (^) H-/ («-l- w) -h. . .-h/ (a-t- «w — w) 4- -/ (a-h iw) FORMULES DE QUADRATURE. I^-^ Cette formule resout le probleme, mais elle peutetresimplifiee; si Ton ajoute en effet toutes les equations qui definissent/^(a),/=^(a -h to), . . .,/-(a -+- ico) au moyen des quantites/*, la plupart de ces dernieres disparaissent, at il reste /*(a) 4-/*(a-4-co) -H. . .-+-/'(«-+-£&) — w) (12) /«(a + ICO) =/> (a -+- .0) + ^) -/i (^« - ^) ; on a d*ailleurs et, en retranchant de la formule (is), on obtient On aura de meme (i4) -/*(«) +/*(« H- co) -f-. . . H-/*(a -4- 10) — w) -h -/*(a H- «w) =/'(« + 'w) —/*(«)• Enfin, on peut ajouter au Tableau des difTerences une colonne a gauche de celie des/, celle des */; on sedonnera arbitrairement ^(a — -)> on calculera les quantites suivantes par les formules » et, si Ton pose, d'une maniere generate, 2 Wv "^ '"' "*" v "^^-^V^ "^ '"^ "" f)\ ^'^^^ "^ ''^)' on trouvera (i5) - f(a) -♦-/(a-l-a))H-. . .-h/'(a-hiw — w) 4- -/(a-i-iw)— V(«-l- '«) — */(a). T. - IV. 23 178 CIIAPITRE XI. Les formules (i i), (i3), (i4) et (i5) donneront ensuite \ ^ = /(^■^'^)-7^/ (^■^'^)■^;:^/^(^"+■'^)""••• Cette formule, qui est independante de la quantite arbitraire */( a — - j> se simplifiera si Ton pose la condition y(«)=7^r(«)-^/'(«)-^...; en ayant egard aux relations ;['/(-f)--/(»-j)]=y<".. il vient, quand on elimine les y(a) et */f a h- - j entre les trois dernieres equa- tions. («) •^ \ 2/ 2-^ ^ ^ I2-' ^ ' 720'' ^ ' 60480*' ^ ' apres quoi la formule (16) donne ,/l4-lW r r I (A) C" On aura done ainsi la valeur de Tintegrale quand les deux limites sont deux termes de la progression arithmetique des arguments. Les quantites P{a-\- /co), /'(a -f- i(i>)y/^(a -h ia>), ... vontgeneralementen decroissant assezrapidement; elles sont d'ailleurs multipliees par des coefficients numeriques de plus en plus petits; les trois premiers termes de la formule (A) suffiront dans les applica- tions a I'Astronomie, etsouvent les deux premiers. On voitcombien est simple, dans la pratique, le calcul de la quadrature ou plutot des quadratures repon- dant aux diverses valeurs entieres et positives de 1. On aura ainsi, avec la plus grande facilite, toutes les valeurs de Tintegrale, qui correspondent aux divers termes de la progression des arguments, pris successivement comme limites superieures de Tintegrale. FORMULES DE QUADRATURE. 1 79 Remarque. — Si Ton pose u = yj— i siiKp, ou bien w = ^ y/— i, la formule(9) donnera, pour le calcul des coefficients Ao, Aa, . ., sin© . • A • • t A • t ■ — =: Ao — 2*AsSin-9 4-2*A4 sin*o — . . . , 290039 ^ ^ ^ : — = Ao — 2« A,^« 4- 2* A,?^ - . . . . 2v/i — ^*arcsin^ 75. II est souvent avantageux de pouvoir calculer les quadratures en prenant pour limites de Tintegrale les moyennes arithmetiques de deux termes conse- cutifs de la progression des arguments. Soit done propose de trouver la valeur nunnerique de Ci> «-f-lCi)-4- =/ f{x)dx. fa* Si Ton decompose Tintegrale, on peut ecrire (18) -=/ /(a-i-n(,i)dn-h I ...4-/ En partantde la formule (12) du Ghapitre precedent, on voit que les inte- grates 1 1 / ndn, I (n -+-i)n(n — i)c^n, ... sont nuUes, comme etant composees d'elements egaux deux a deux et de signes contraires. II reste done une expression de la forme (•9) f /(a + ««)rf«=/(a) + B,/»(a)-t-B4y*(a) -+-... 2 et nous pourrons determiner les coefficients numeriques B^, B4; ..., en choisis- sant la fonction/(a7), et prenant/(a7)= E*^. On aura, dans ce cas, / /(a-H/iw)^/i ~E^ O) __Ci) E'-E "» CO l8o CHAPITRE XT. et si Tonremplace dans requation(i8),/(a),/^(a),y*(a), ... respectivement par il viendra (i) to 1^ E^_=zi-^B,VE* -E"V -+-B4lE*-E V -+-••- CO d'oii, en introduisant la meme quantite u qu'au n^ 74, (20) 7 - =1 -h a*B,//«-+- 2* Bv £/*-+-. . .; log(// -h yi -I- //*) or, on a U I 23 2. 45 2.4.6 7 par suite, = '^6" 36^" ■••- ' n _ »7 BjiriH- -yj B4 — 24 5760 La formule (18) donnera done "~t 3 6 on obtiendra les integrales / , / , ... en augmentant les arguments de o, i 1 20), . . . , et, en ayant egard a la formule (18), il viendra Y - = /(«) -+-/(« -+- /(a) -+-/(a 4- w) -f- . . . -+-/(« 4- I w) = y f a 4- tw "+- 7) — */ (^ — j)' En portant les valeurs de ces trois sommes dans Tequation (21), on obtient Cette formule se simplifie si Ton determine la quantite */(a — - j par la con- dition et devient / a-»-ia>-+--- J t Remarque. — Si Ton pose u = v^— I sin9 = ^v^— I, la formule (20) donne - — i — I — 2* B, sin' 9 4-2*64810*9 — . #. , ? ^^^ r^ I - 2'B,^* 4- 2*B,?* - . . . . arcsin^ 76. II est souvent commode de pouvoir calculer les integrales (O /I t 1 82 CHAPITRE XI. On aura d'abord (I — Y' = Y— r f{x)dx—\ — tsif f{a-\-n(ss)dn. rt (Jr la formule (12) du ChapitreX donne, quand on la developpe suivant les puissances de n, (a) \ d'oii, en multipliant par dn, integrant entre les limites et o, et reduisant (5.4) y/(a-4-/.«)rf« = i/(a)-g/(a)4-p/«(a)+3|^/'(a)-7^/»(«)+.-. X' II en resulte que — se composera de la premiere ligne de la formule (16), la seconde etant remplac^e par Dem^me, Y' secomposera de la premiere ligne de la formule (22), la seconde etant remplacee par C. = -./(«-^i)-l/(«).-|/.(«)-^^/.(«-^)-±/«(«) Or, les formules (17) donnent en vertu de cette relation et des analogues, Texpression de C devient <^=-'/(»-l-)-i/'(-r)-55fe/-("-?)-- l84 CHAPITRE XI. Nous aurons done ici &)=:4°= TT' logCi)=: 2,8439874; il faudra calculer les valours de /( x) =. i/ 1 sin* J7, en donnant a a; les valours o®, 4°, ..., 48°- On formera ainsi le Tableau sui- vant : — 8 - 4 22 -f- 4 -+-20 -f- 8 -h 21 -h 12 -h 22 -I- 16 -t- 20 -h 20 -1-24 -1-24 -f- 20 -t- 28 -h 27 -t- 32 -I- 21 -1-36 -t- 22 -h 40 -+-29 44 48 0,0694743 -h 2539 - 1689 0,0697282 11 — 1700 -h 85o 0,0698132 — o,o34 9066 1 1 - 1689 ^"^ 85o 0,0697282 -H 0,0349066 3i - 1 658 ^^ 2539 0,0694743 -+- 0,104 6348 52 — 1606 ^^^ 4197 0,0690546 -H 0,174 1091 74 — 1 532 ■ * 58o3 0,0684743 -+- 0,243 1637 94 i438 ^^^ 7335 0,0677408 -h o,3ii 638o 118 — 1 320 ^^w 8773 0,066 8635 -+- 0,3793788 1 38 — 1 182 10093 o,o65 8542 -h 0,4462423 1 65 — 1017 1 1275 0,064 7267 -f- 0,5120965 186 — 83i 12292 o,o63 4975 -t- 0,5768232 208 — 623 — ^ i3i23 0,062 1 852 -h o,64o3207 237 - 386 13746 0,0608106 -f- 0,7025059 ^ i4i32 0,0593974 -h 0,763 3i65 Pour savoir comment ce Tableau a ete calcule, il suffit de dire que, pour eviter des multiplications par co, on a determine les valours, non de /(^)» mais de co/( j7 ) = w i / I sin' X, FORMULES DE QUADFLVTURE. 1 85 pour X = — 8*", — 4*^, o*", . . . ; on en deduit, par des soustractions successives, les differences des quatre premiers ordres, en les inscrivant a gauche, ce qui est plus facile pour les calculs ulterieurs. Reste a dire comment on a obtenu la colonne des \f\a a- /o) -h - )• La formule (rz) donne (25) oy (a - ^^) zz: - 1 a,/(a) 4- ^ u.f\a) - J^ rV»(«). • ., on a d'ailleurs, pour a = o*^. (•)/(«) =: -f- 0,069 8 1 32, (MiP{a) = -(-+- 0,000 o85o — 0,000 o85o) =: o, 0)/' ( « ) = - (H- o , 000 00 F I — o , 000 00 1 I ) =: o ; At il en resulte, d'apres la formule (sS), CO \f\a— ^) — — 0,0349066; avec ce nombre, on acheve la colonne des \f\a h- /a> + -)• La formule (A) donne ensuite on calcule les \f(a -+- /w) en faisant la moyenne arithmetique de Y(a-\-i(s)-\ ) et de •/( « 4- /o) — ~ )• On opere de meme pour/*(a -f- iw) et/^(rt -f- iw), et Ton pent former ce nouveau Tableau : a-hibi. (i)/»(a-M*u)). u>/'(a-t-i(o). u>'/(a-M*(i)). w/*(a-h/u)). H /'(a-hiw). E(x). 1 2 T20 0 0 0 0 0 0 0 , 000 000 4 -+• 21 - 1694 4- 697707 4- 141 -4- 0 0,069785 8 -4- 4-2 3368 4- 1393720 -+- 281 4- I 0 , 1 39 4oo 12 -+- 63 — 5ooo 4- 208 6364 4- 4»7 4- 1 0,208678 16 -f- 84 - 6569 -h 2774009 4- 547 4- I 0,277456 10 -r- 106 — 8o54 4- 3455084 -4- 671 4- 2 0,345576 24 -+- 128 - 9433 4- 412 8106 H- 786 4- 2 0,412889 28 4- l5l — 10684 -+- 479 1694 -t- 890 -*- 2 0,479^59 32 -+- 175 — 1 1783 4- 544 4599 4- 982 4- 3 0,544558 36 -+- 197 — 12707 4- 6085721 4- io59 4- 3 0,608678 40 4- 222 13435 4- 671 4i33 -f- 1Z20 4- 3 0,671 526 44 » — 13939 4- 732911a -+- 1162 4- 4 0,733028 T, - IV. 24 1 86 CHAPITRE XI. Les a)/\ co/*, co*/ sont donnes en unites de la septieme deciinale; dansE(a:), on a supprime cette derniere decimale. Les valeurs de E(x) sont identiques a celles obtenues par Legendre dans ses Exercices de Calcul integral, tome III, p. 73-74. II convient d'ajouter que les formules dont Legendre s'est servi pour calculer ses Tables elliptiques sont identiques aux formules (A), (B), (A') et (B'). 78. Calcul des mtSgrales secondes par la mSthode des quadratures. — On a frequemment a calculer des integrales telles que 7.^= I dx j f{x)dx\ nous remplacerons/(^) par sa valeur deduite des formules d'interpolation; nous supposerons f CO ,, . 6) 2 9. ce qui nous donnera i 2 Or, on pent ecrire j J{a-^n(,,)dn=j ^-^j , — J —J 0 tirer / de la formule (A') en y faisant i = o, ei j de la formule (a) integree. II vient ainsi J"y(a4-/ia))e/,i-^y(«)--l/^(a)-f^/3(a)-... d'oii, en multipliant par dn et integrant entre les limites et -f- -> ce qui fait disparaitre les coefficients des puissances impaires de /?, J 1 J^r^ ^ ./ V ^ 1-2'' 720'^ FORMULES DE 0 IAD RAT I' RE. I 87 d'oiXf en reduisant. Si Ton augmcnte les arguments de w, 20), ..., ea>, on trouvera les valeurs des integrates £'£• jiL • « en ajoutant, 11 vient / ^cin I /{a -h n)dfi= i/-(^) 4- ly (a -|- co) -H. . . -h^ (a -+- ^co) (26)/ - ^ [/*(«)-+-/*(«-+-w) -+-... -I- /»(«-+-/&))] + —[/'(«) -^/'(« -t- w) 4-. . .-4- /'(«-+- /co)] 9 Or, on a •^* (^ "^ r) ■*"-^' (^ "^ "t) "^ * • • "^•^' (^ "^ '"" "^ 7) ~-^^'' "^ ^^ "^ ^'^ -/(«)» il en resulte, en ajoutant, (27) 2/*» (fl) -4- 2/^ (a +&))-+-... -l-^^/'(A7-i- ^o))_ 2/^r/H- /o) + 'jj —/(a) — f{a— o)); grace a cette relation ctaux relations analogues pour les */et/^ la formule (26) peut s'ecrire /•rfl -hi to -+- — yV< -t- /I CO 2 2 (28)' ^ 'fid -\r ifs) -i- - ) //('«+ i^^i -h ~ I -i- ^- /- ( « -f- ' 0) -f- — ) — . . . On voit que, pourpouvoir utiliser la formule de reduction (27) dans le cas l88 ClIAPITRE XI. des */, nous avons suppose formee une colonne des -/, en partant d'un nombre arbitraire ^f{ci), et determinant les suivants par les relations 0) 2 y(a + a,) = «/(«)+»/ (a '/(« H- 2«) = y(a + (o) +«/ (a -4- ^) La valeur de */(a — - j resulte de la formule (a'). (29) '/(-i) — i/*(-i)-5^/'('^-r)-- Nous determinerons '^/{a) par la condition que la seconde ligne de Tequa tion (28) disparaisse, ce qui nous donnera P [/(«) +f{ci - 0,)] - ^JZ_ [/.(«) +/«(« ^ CO)] -+- . . . = I ['/(«) -^ y(^ - c))] = y(«) - ^ y(« - ^*) d'oii, en remplaQant */( a — - j par sa valeur (29), •.>\ ^1 f^i ^ y(«) = -^8/'^«--j-+--,>^/'^«--j + ^[/(«)+/(a-co)] -3T4St-^'(«)-^/'(«-")J' et enfin, en mettant, au lieu de/' (a — - j> /'(a)-/«(a-a)), On trouvera,d'une maniere analogue, troisautresformules pour correspondre aux forraules (A), (A') et (B'). FORMULES DE QUADRATURE. 1 89 Voici Tensemble : ( Aj) ( y(a) = - — /(a) + -f-/*(a) - ^-7^/*(a) -H. . .; •^ ^ ^ 11'' ^ ^ 240 "^ ^ ' 60480'' ^ "^ -f- 1920'' \ 2/ iqSoSo*' \ 2/ J '"■' ■/(«-7)=-,v(°-j)-5;i/'(«-:-)-^V("-;)--. '/(«—-) el V(^) sonl les m^mes que clans les formules (B,); Ci> J I92O'' \ 2/ 193536"' \ 2/ '/(a — -j el */(«) sent les m^mes que dans les formules (At). 79. Calcul numSrique des perturbations par la mSthode des quadratures. — Quand il s'agit de determiner les perturbations causees sur une comete par Tune des anciennes planetes, on ne cherche pas a obtenir leurs expressions analytiques, car les series seraient, ou divergentes, ou tres lentement conver- gentes, en raison de la forte excentricite de la comete. On peut neanmoins cal- culer numeriquement ces perturbations avec une grande precision. Ce calcul IC^O CUAPITRE XI. est utile aussi pour les asteroides, car il y en a tres peu pour lesquels les deve- loppements analytiques aient ete effectues. Dans ces calculs numeriques, qui ne sont pas le but principal de cet Ouvrage, on pent suivre plusieurs methodes; nous n'en donnerons qu'une, celle de la variation des constantes arbitraires. Nous partirons des formules (A) (t. I, p. 433), qui expriment les derivees des elements elliptiques au moyen des composantes de la force perturbatrice, rapportees au prolongement du rayon vecteur, a la perpendiculaire au rayon vecteurdans le plan de Torbite et a la normale au plan de Torbite. Nous modifierons un peu les formules (A), en designant par M Tanomalie moyenne, par ^ Tangle dont le sinus = e, et par 09, SO, . .., oM les perturba- tions des elements; au lieu de -1— > nous donnerons -3--: enfin, pour former -^> nous retrancherons -^— de la derivee de la perturbation de la longitude moyenne. Les composantes de la force perturbatrice seront representees simplement par S, T et W. Nous trouverons ainsi ddd rsinj W de sin9 na*\/i — e« ddo W -r-L = /COSJ — — at (3o) /la* y/i — e* ddxs 9 W = rsurj lang- dt ^2 na^\/i —e' H 7== [—p^^osw-h (p -h r)Tsin«^], — r^ = — rS sinn^-+-T(cos£/ 4- cost*')], de na ddn 3 /c • , rr P\ — y- z= ( Sesm«'-i-T - > dl rty/i — ^A 'V de na t J na-e^'^ ' J de Soit w la raison dela progression arithmetique que nous adopterons pour les arguments /, en employant la methode des quadratures. Si nous remarquons que la masse d'une comete ou d'un asteroide doit elre consideree comme nulle devant celle du Soleil, nous aurons /i* a' =: A'*, na- \j \ — e^ ■=• k \] p^ FORMULES DE QUADRATURE. el les formules (3o) pourront s'ecrire avec plusde concision *9i I Ci) 0) 0) dde ddo ddrs = (9, W)W„ = (?,W)W„ ' =:(GJ,S)S, 4-(GT, T)T,-4-(gT,W)W„ (30 dt 0) ^J^ z=(+, S)S,4-('|, T)T„ 0) CO d on dt doM dl r=(n, S)S, + (/^, T)T„ = (M,S)S,--(M, T)T, 4-0) r ~^^^/, oil Ton a pose, pour abreger. (^,W) = r sm-j sill 9 (cp, W) r= r cos-j, i^—^ . , > (gj,T)=^^^^ — r-^i 1 (gj, W)=:/- sin u tang ", siiiy (32) (CJ, S) (v[», S) = acosv];sin^»', (4^,T) = acos^(cos//-+- costv^/; 6) a)W = =T„ = W„ Le calcul des quantites r, (v et w se fera par les formules connues I k" a^ = — > n \o^k" ^=1 3,550007; ^//_ sin? Jo© rr:rrr. ~5,3i4425, sill 1 ^ sin I M — e''sinw=:M, /? m a cos' 4^, /•sini^f'=:a cosvj; sin^/, rcostvz^ a(cos« — sin^), u = <• 4- cr — 0. Nous supposerons que Ton connaisse les elements elliptiques osculateurs pour Tepoque zero, 0^, 9o» ^o« ^o» ^o» J^o- L'intervallc a> est pris generalement egal a l\o jours ; on a alors lop:3A-r.) z= 0,3 14763. 192 CHAPITRE XI. Dans certains cas, on pent elre conduit a donner a w une valeur plus petite. Ainsi, dans le calcul des perturbations de la comele d'Encke par Mercure, V. Asten a employe parfois des intervalles de 2^5, et meme de i^25. 80. Calcul de S, T et W. — Soient w! le rapport de la masse de Tune des pla- netes perturbatrices a la masse du Soleil, p sa distance a la planete troublee, il suffit de se rappeler les expressions k^m ^ - ^ des composantes de la force perturbatrice, et de remarquer que, relativement aux axes auxquels se rapportent S, T et W (rayon vecteur, etc.), on a et il en resulte d'oii l — r, Y) = o, C = o. km! (33) ^v,=y^^;^'rK, Le signe V se rapporte aux diverses planetes perturbatrices. Dans ces for- mules, k doit etre exprime en secondes d'arc, afin que les perturbations des elements soient elles-memes en secondes. La Table ci-dessous, empruntee a rOuvrage d'Oppolzer (^Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeteriy t. II), donne dans Thypothese de a> = 4o^ les valeurs de log(ci>X:/w') pour les diverses planetes : Mercure 2,2692 Venus 1,5480 La Terrc T,6oi2 Mars 2,7239 Jupiter 2,131755 Salurne i ,607 80 Uranus o , 809 6 Neptune 0,8576 FORMULES DE QUADRATURE. 1 98 Reste a calculer ^', yj' et C. Soient X' et P' la longitude et la latitude helio- centriques de la planete perturbatrice, rapportees a Tequinoxe raoyen x de Tepoque adoptee, et k Tecliptique xy de cette meme epoque. Soient s le pole boreal de I'ecliptique, Q celui de Torbite de la planete troublee, P' la position de la planete perturbatrice, M' sa projection sur la sphere. On aura Posons ^N = 9, jNA = . 0^- Le triangle spherique QsM' dans lequel on connait deux cotes Q.s = cp, sM'= 90®— P', et Tangle compris QsM' = 90** 4- X' — 0, donnera, en lui appli- quant le groupe dcs formules de Gauss, (34) sinB' = sin(3' coscp — cos(3' sincp sin(X' — 0), cosB'cosL' = cos;3'cos(X' — 6), cosB' sinL' = sin(3' sincp -h cos(3'coscp sin(X' — 0), et ces relations donnent L' et B'. Soient maintenant P la position de la planete troublee, M sa projection sur la sphere celeste, on aura MB = 1/ — u, (35) ^' = r'cosB'cos(L'— w), y)'=/'cosB'sin(L' — u), C'=:/'sinB'. Les ephemerides donnent/^, X' et P'; les formules (34) serviront a calculer L' et B', apres quoi on tirera $', yj' et ^' des formules (35). T. - IV. 2D 194 CHAPITRE XI. 81. Indications sur le calcul des quadratures. — Supposons que, dans les seconds membres des equations (3i), on remplace les elements osculateurs G, -r-> dt ^ ^ dt dt S n^ ' dt ^ dt d'oii, en rempla?ant ^ ^t^ par leurs valeurs (3o), et reunissant les termes en S et en T, da (i — e)*sin(Vc \ — e V'xp , ., vim 37 = 1==^ S -H . -f - (I -H ^) (cos w -h COSiv) T. RemplaQons cos w-\- e cosu par » I -4- e costv et transformons ; il viendra ■jT = -T 7'snnr H — I -f ecos'— » ^^ AV/> k)/p i-^e \ 1) d'oii, en mettant -^«u lieu de-~et introduisantS, et T,, par les formules (32), (4o) CO -^ = — ^'S,sinf^4- —Tc ' sm«-( i-hecos'-j; c'est la formule cherchee. En second lieu, il convient d'introduire le temps t du passage au perihelie. On a, pour la longitude moyenne, d'oii dt^^Tt ^^^ l^^^s valeurs (A) (t. I, p. 433), on trouve ai- sement dr ia 3a{t—z)/^ , ^ p\ ap -r. = -r-.-Sr ^ — — — - SesintvH- T - -h ^ dl ksjp Se sin tv h- T ^ W |^ T— S cosiv 4- T /^iH- ^-\ sinul , ou encore, en introduisant S, et T^ et remplagant -^ par -^> dh-: o\Jp\ pQ,o^%v 3X-(^_t) . 1 Gk) —7— = -^- 2 /• — ^^ — e sin IV S, (4.) < ''^ ^- L - v//> J e'est la formule demandee. Lorsque Tinclinaison est tres faible, pour eviter le petit denominateur sincp, .1 ,. I , '1' . sinmsin^ . sinocos^ i. , . 1 a 11 Y a lieu de prendre pour elements — ? — ^— et — ?-— „— au lieu de o et de 6. ^ ^ * sinr sinr' * De meme, dans le cas d'une excentricite tres petite, on evitera le diviseur e en in- troduisant — ; — ^ et ~ — -if au lieu de e et tar. Nous avons deja parle de ces com- sinK sin i' ^ ^ binaisons d'elements (t. I, p. 170), et nous ne developperons pas les calculs. Remarque. — Pour bien faire comprendre I'esprit de la methode des quadra- tures, il convient d'observer que Ton ne pent pas passer d'une epoque k une autre sans avoir a tenircompte de toutes les epoques intermediaires. Supposons par exemple que Ton veuille savoir quelle etait la distance perihelie de la comete d'Encke le i**^ Janvier 1601. On sera oblige de calculer en meme temps la valeur de q pour toutes les epoques intermediaires, de quarante en quarante jours par exemple, ce qui representerait une masse formidable de calculs. Tandis que, si Ton avait le developpement analytique des perturbations de y, il suffirait de remplacer t par sa valeur, le calcul etant aussi rapide pour une epoque tres eloi- gnee que pour une epoque tres voisine. Outre les Ouvrages deja mentionnes sur Tinterpolation et les quadratures, le lecleur pourra consulter : Enckf, plusieurs Memoires, dans les trois Volumes des Astronomische Ahhandlungen, Lagrange, (XluvreSy t. Ill : Sur une nouvelle espece de calcul relatif a la differentia- lion et a U integration des quantites variables, Grley, These sur le calcul numerique des perturbations des petites plandtes au moyen des quadratures {Annales de VEcole Normale, 1868). Bah^laud, Sur le calcul numerique des integrales definies {Annales de rObsen^atoire de Toulouse, t. II). F. TissERAND, Sur un point du calcul des differences {Comptes rendus, 28 mars 1870). R. Radau, Etudes sur les for mules d* interpolation (Bulletin astronomique, I. Vlli). Watson, Theoretical Astronomy, Oppolzer, Bahnbestimmung , 1 98 CHAPITRE XII. CHAPITRE XII. DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COMfiTES LORSQU'ELLES APPROCHENT TR£S PRfeS DES PLANfiTES, 83. Les formules du Chapitre precedent permettent de calculer numerique- ment les perturbations des elements elliptiques ou paraboliques d'une comete par les planetes. Ce calcul presenterait de grandes difficultes si la comete venait a passer tres pres de Tune des planetes; on pent lieureusement suivre, dans ce cas, un procede tres expeditif qui a ete indique par d'Alembert dans ses Opus- cules mathdmatiques (t. I, p. 3o5), et developpe par Laplace dans ses recherches sur la comete de Lexell, et plus tard enfin par Le Verrier. Nous allons exposer ce procede. Soient a?, J, z les coordonnees rectangulaires heliocentriques de la comete; x\y^ z' les coordonnees de la planetc, que nous supposerons etre Jupiter; ^, y], ^ les coordonnees jovicentriques de la comete, rapportees a des axes paral- leles aux axes fixes. Soient encore /Wo la masse du Soleil; m' celle de Jupiter; p la distance de la comete a la pla- nete; r ct r' les distances au Soleil. On aura les equations I d}x ^ X ^ , f x' — X x' \ Tt^ +/"'• 7i ==>' { --7- - r^ j t Les equations (i) conviennent au mouvement heliocentrique de la comete; soientR la force provenant de Tattraction du Soleil; F la force perturbatrice ; on aura Les equations (3) conviennent au mouvement jovicentrique produit par Tat- traction R' de Jupiter, et la force perturbatrice emanant du Soleil; on aura Si nous ecrivons la condition F F' (4) K = W' nous aurons Tequation d'une surface pour tons les points de laquelle il y aura un egal avantage a considerer le mouvement heliocentrique trouble par Tattrac- tion de Jupiter, ou le mouvement jovicentrique trouble par Tattractiondu Soleil. Si Ton designe simplement par m' le rapport — > on trouve que la condition (4) m m devient (5) ^^'^V^v-^^i-^^- pV-3 ^pyr*-^?*"" rV» ^ ' Soit pose — 2 iL— ^=:COS0, ^ = U; p r r u sera une fraction petite, car c'est evidemment pres de Jupiter seulement qu'il :200 CHAPITRE XII. peut y avoir avantage a faire la transformation indiquee. On aura ensuile En faisant ces substitutions dans Tequation (5), on trouve m'^=: U^ ^ V l4-(l-|-2WCOS(? + M*)*--2(l4-WCOS0)(l-h2MCOS04- "*)*, ou bien, en developpant suivant les puissances de u, m'^^z //*(i — 4 w cos 9 -h. . .)v^'^'(i -h3cos*0) + 4 «^'cos9-f-. . ., ni d'oii "t ^ / 5 rhf ^ I -h 6 cos* 9 \ ^ \ i-h3cos'0 J > 2 * 2 ^/ m'* \'jh-6cos*^ 3 cos* 9 w — ( — - nr I -h p cos 0 ( - — =- I - \\/n-3cos*9/ '^ Vv^'-^3cos«0/ ' • • • • En remplagant m' par — j- dans le cas de Jupiter, on a, dans tous les cas, 04 7 \v/i-4-3cos*^/ 1 < m'^nz 0,062, et Ton peut se borner a ^ ' \v^i-h3cos*0/ ' c'est I'equation approchee de la surface cherchee, en coordonnees polaires p et 0, Taxe polaire etant le prolongement de la droite SP qui joint le Soleil a la pla- nete, et Torigine au centre de la planete. Cette surface est de revolution autour de la droite SP, et ne diflere pas beaucoup d'une sphere, puisque p varie entre les deux limites m'^r et — r^» 2» dont le rapport = i , 1 5 ; on peut done admettre que la surface definie par la condi- tion (4) est sensiblement une sphere de rayon =m'V, ce que Laplace (*) nomme la sphere d'activite de la planete; a Texterieur de cette sphere, on a j.- < ^; il y a avantage a partir du mouvement heliocentrique de la comete, et a determiner 5/i ( *) Laplace prend r' i / - m'* pour lo rayon de la sphere d'activit^. PERTURBATIONS DU MOIVEMENT DES COM^TES. 20 1 les perturbations caiisees par la planete. A Tinterieur de la sphere, on a ^ < ^; il est plus avantageux de considerer le mouvement jovicentrique et de calculer ensuite les perturbations provenant du Soleil. La sphere separe, en quelque sorte, le domaine de la planete de celui du Soleil; sur sa surface meme, on a, dans une evaluation approchee, R p* V r * r'* p* m i4-3cos'9 m It ) Dans le cas de Jupiter, on trouve que le rapport |t varie sur la surface de la sphere, entre les limites v^/w'=o,25 et vi6/w' = o,43. Voici le Tableau des rayons des spheres d'activite pour les diverses planetes, exprimes en prenant pour unite la distance de la Terre au Soleil : Mercuro 0,001 V6nus 0,004 La Terre 0,006 Mars 0,004 Jupiter 0,3:22 Salurne o,363 Uranus o,339 Neptune o , 576 84. Cela pose, considerons une comete qui s'approche beaucoup de Jupiter; tantque sa distance est supericure a ^ environ, nous pouvons calculer lesvaleurs numeriques des perturbations des elements heliocentriques par les formules du Chapitre precedent. Puis on determinera les coordonnees heliocentriques or, J, z et leurs derivees -'^y ^> -^> a Tinstant oil la distance p devient egale a peu pres au tiers de la distance de la Terre au Soleil. On en conclura les valours numeriques de A/^X _ fix dx' (^^\ ^^* ^- Xdijo" It dl' \dl Jo" ^ "^ ~ci dt c^\ _ dz dz' Til )q~ dt dt ' Avec ces valours des coordonnees jovicentriques et de leurs derivees, on calcu- lera (*) les elements de la section conique que la comete decrit dans son mou- vement relatif, a Tinterieur de la sphere d'activite. Cette section conique pourra etre une ellipse ou une parabole et memo, le plus souvent, une hyperbole. Si Ton neglige les perturbations de ce mouvement a Tinterieur de la sphere, on calculera les valours de ^» ^' ^» "^' ^ ct ^h ^ 1^ sortie de la sphere d'activite. Soient ^,, • ••(^) 1^^ valenrs obtenues, x\, ••••(-Tr) lesvaleurs corres- (^) roir notro Tome 1, Chap. VI. T. - IV. 26 202 CHAPITRE Xll. pondantes des coordonnees de Jupiter et de leurs derivees; on aura dz {dz'\ fdK\ Avec ces valeurs des coordonnees heliocentriques et de leurs derivees, on pourra calculer les elements de I'orbite heliocentrique, qui permettront de suivre la comete en tenant compte, au besoin, des perturbations provenant du Solcil. La premiere comete de 1770 a presente des difficultes aux astronomes, qui ne pouvaient pas arriver a representer son mouvement par une parabole, jusqu'a ce que Lexell eut reconnu qu'elle decrit une ellipse en cinq ans et demi environ ; cette orbite satisfait a toutes les observations. Une difficulte subsistait hean- moins : une comete de revolution aussi courte devait revenir souvent; or, on ne I'avait pas observee avant 1770, et on ne Pa plus revue depuis. Lexell a donne une explication : il a remarque qu'en 17G7 et 1779, la comete avait du passer tres pres de Jupiter, et que Tattraction de cette planete avait pu diminuer une premiere fois la distance perihelie de la comete, et la rendre visible en 1770, d'invisible qu'elle etait auparavant; en 1779 la meme attraction avait pu faire reprendre a la comete sa distance perihelie d'autrefois et la rendre de nouveau invisible. Mais cette induction demandait a etre verifiee par le calcul. C'est ce qu'a fait Burkhardt, a la demande de Laplace; ses calculs ont montre (*) qu'avant 1770 la comete decrivait une ellipse de demi grand axe 5,o6 et de distance perihelie 2,96; en 1779, Tattraction puissante de Jupiter a de nouveau transforme Torbite, lui donnant un demi grand axe =6,37 et une distance perihelie = 3,33. On comprend ainsi que la comete n'ait ete visible, ni avant 1770, ni apres 1779. Le Verrier a repris Tetude de ces perturbations dans son beau Memoire Sur la theorie de la comete periodique de 1770 (Annales de VObservatoire de Paris ^ t. III). La discussion complete des observations lui a montre que les observations de 1770 ne determinaient pas entierement les elements, mais qu'on pouvait les exprimer tons en fonction d'une indeterminee susceptible de varier entre des limiles encore assez etendues; il a fait un Tableau des systemes d'elements que la comete a pu prendre posterieurement a i77<>, de sorte que, si Ton trouve dans I'avenir une comete dont les elements coincident avec ceux d'un des sys- temes precedents, on pourra voir de suite si c'est la comete de Lexell qui nous serait enfin revenue. II faut dire toutefois qu'en donnant a Tindeterminee cer- taines valeurs, on trouve que la comete a du se mouvoir ulterieurement dans une parabole, ou meme dans une hyperbole, auquel cas il n'y aurait plus d'espoir de la relrouver jamais. ( *) En rcclifiant uno faute de signe reconnuo par d'Arrest; voir le n* 1087 des Astron, Nac/tr. PERTURBATIONS DU MOUVExMENT DES COMETES. 2o3 85. IntSgrale de Jacobi. — II resulte de ce qui precede que, sous Tin- fluence des perturbations d'une grosse planete telle que Jupiter, les elements elliptiques d'une comete peuvent eprouver des variations considerables. Suppo- sons que Ton ait les elements de deux cometes que Ton suppose identiques, mais qui aient ete troublees par Jupiter, Pour decider la question de Tidentite, il faudra se livrer a des calculs numeriques tres longs et souvent inutiles. 11 serait precieux d'avoir un criterium, permettant de decider a priori si les deux systemes d'eleraents peuvent ou ne peuvent pas correspondre a une memc comete. J'ai pense que Vintegrale de Jacobi serait en etat de repondre a cc but. Rappelons d'abord dans quelle circonstance cette integrale existe. Considerons une planete P' decrivant un cercle autour du Soleil, et un astre P, de masse evanouissante, trouble par P'. Prenons le plan de Torbite de P' pour plan desa?)^; soienta' le rayon du cercle, /' la longitude, m' la masse; a7,y, z les coordonnees de P, p la distance PP'. Les equations differentielles du mouvement de P seront (Px k^x ,. , /a' cost' — X cos/'\ _ H. _ = A:«m' (. p, -^y d^y ^k^y /■«„//«' sin /'—,v sin/'\ ^+7r=^-'» (^ -. ^j' CI JS n JZ t * I ^ -T-z -\ T- = — k^ni' — , at' r^ p* I p»= {x — a'cosl'y -^iy — a' sin /')*-+- -S (6) „ , dl' \ at On en deduit .' dx d}x dy d}y dz d}z k'^ dr \ Tt IF '^ 'di diF '^ It Ifi} ^ T^Tt (8) I (,, .fa' cos/' — X dx rt'sin/' — y dy z dz i /dx „ dy . „\1 = *''»'[ p ^+ ^r— ^-p-;5r-^U^««^'-+5?^'"0J* Or, on tire des formules (6) d / 1 X cos I'-hy sin /'\ ^\p '^^ ) = -^ [(a' cos/'- x) ("^ 4- n'a' sin A 4- (a' sin /' - y) ("^ - n'a' cos /') - ^ ^1 2o4 CHAPITRE XII. et, grace a cetle relation, nous pouvons ecrire Tequation (8) comme il suit (9) { /I i\ H- /i*m'/i'a'(j7sin/' — y cos/') ( — 73 V En combinant les formulas (7) et (9), on trouve I d fd.r''^dy'^-^dz' k^\ ,(d'y ,.^'''\-i,,„yU' ^cosr-hJsin/^Y on en deduit immediatement Tintegrale de Jacobi (*) , , I ^.r*-h^r*-H^-' ^' // dy d^\ #, / /' a:cos/'4- vsin/'\ (10) =4 n { X -y- — y -J- — A-'m' jf = L. ^ ^ 2 c/^- /• \ dt -^ dt J \p a'^ / Appliquons cette integrate a une comete troublee par Jupiter; il faudra done negliger i'excentricite de cette planete. On aura, en designant par a, p et i le demi grand axe, le parametre de Torbite de la comete, et son inclinaison sur le plan de Torbite de Jupiter, dx^-Jrdy^-\- dz^ 2X* A* dy dx ' , r- . , k dl^ r a dt " dt ^^ a'l^ 2 il viendra, en comparant les valeurs a©, /?o» h ct a^, p^, t'l, qui correspondent a deux epoques t^ et z^, \_ _^ 2 v//?o cos 4 I ^rfi' ( ^ >roCOs/;-f-joSin/; _ I _^ n:^^^icos/ , / 1 j:, cos/; -h J, sill/; ^1 /7/4//i' 2//1 , / J jTicos/; +ji sill/; \ Prenons pour t^ et /, les epoques d'entree dans la sphere d'activile et de sortie, nousaurons p^ = ?©; en outre, les differences a;, —Xq,}\ — Jo. 'i — /^sont petites, parce que. la comete ne reste pas longtemps a Tinterieur de la sphere. Nous aurons done siniplement , , I , 2v/^cos/o ' 2v/acosi, (11) - -^ — ^"— — ~ = — ' — — = «• «o a'\/a' «i a'v/a' Tel est le criterium cherche; nous Tavons fait connaitre dans le Bulletin astronomique (t. VI, p. 289), et il a ete depuis employe souvent avec avantage, notamment par M. Schulhof. On pent en etendre un peu la portee, en remarquant que Ton n'a pas besoin (1) Voir les Comptes rendus de V Academic dcs Sciences, t. UI, p. 6i. PERTORBATIONS DU MOUVEMENT DES COM^TES. 2o5 de supposer Torbite de Jupiter exactement circulaire; il suffira qu'elle diflere peu d'un cercle dans le voisinage de la region oil s'operent ies grandes pertur- bations de la comete; cela sera plus exact dans le voisinage du perihelie ou de Taphelie de Jupiter. Mais alors on devra remplacer n' par (it k s/p' k sja' .'2 r'2 (sensiblemcnt); on aura done a tres peu pres, avant et apr^s Ies grandes perturbations, (12) 17? a -/2 ~" 2 \[a' \Jp\ cosi'i a 1 /' oii/^designe le rayon moyen de Torbite de Jupiter, pendant la dureedes grandes perturbations. M. Callandreau, dans son Memoire Surla theorie des cometes periodiques (Annates de I'Observatoire, t. XX), a montre comment on pouvait tenir compte de la pre- miere puissance de Texcentricite de Torbite de Jupiter. 86. Considerations gSnSrales sur Ies com&tes periodiques du groupe de Jupiter. —Nous reproduisons dans un Tableau Ies elements d'un certain nombre de cometes periodiques : Encke 1795 Blanpain* (»)... . 1819 Helfenzrieder*. . . 1766 Tempel 1873 Barnard* 1884 DeVico 1844 Tempel-Swifl . . . 1869 Brorsen 1846 Winnecke 1858 Lexell* 1770 Tempel 1867 Pigotr 1783 Barnard* 1892 Brooks* 1886 Spitaler* 1890 D' Arrest 1851 Tuttle* 1858 Finlay 1886 Wolf 1884 Bi^la 1772 Holmes* 1892 Brooks* 1889 Faye 1843 n. 2,21 2,85 2,93 3,oo 3,o8 3,io 3,11 3,i4 3,i4 3,i6 3,19 3,26 3,41 3,41 3,44 3,44 3,52 3,54 3,58 3,58 3,62 3,67 3,81 /. ^ — Q' '. a{i-j-e). rt(i — -57 = /iV cos /'-+--— > dt dt dt dt , dx^ dy^ -,, ,- „ , , /- sin/' . a^* a^' \ dt dt ) Si Ton designe par l\ et/^ les valeurs de /' qui correspondent aux positions Mo et M, de la comete, et si Ton remarque que VJ = VJ, on trouvera <■" "5 -'! =^ [(§)/»'■• -(S),-"'' -(§)/'"'■• -(§)/'"'•■]■ On a, d'ailleurs, ,« = ,.(!_ J.V ,} = ;t. (1. _ i. Y d'ou -i- ~ - 4- C^ (^- - -^W ^^' - ^? 1? et, en ayant egard a la formule (18), PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COMfeTES. 211 Si Ton remplace(-^] , ... par leurs valeurs (17), on trouvera .Ev/f:s,„(^-n)s,„5^.J(i.-;l) d'oii, en remplaQant 0, par sa valeur (i6), (>9) (?a-i)=v/=^;::(^'-")-(«--^) -^Ei/-fr- Sin I -5 ^ — n sin -^ h ) l\ — /^, mouvement de Jupiter durant le passage de la comete dans la sphere d'activite, est une petite quantite dont on ne pourra tenir compte qu'apres unc premiere approximation. On est ainsi conduit a prendre comme base des cal- culs» dans cette premiere approximation, les formules suivantes, dans lesquelles nous avons suppose en outre a^ = oo, c'est-a-dire Torbite initiate parabolique, (20) /4-=S' 4a, (ai) S = i/^8in(/;-n)sin(eo-n). II sera facile de tenir compte ulterieurement des termes qui viennent d'^etre negliges. 89. Posons (22) X^Xo^/r', (24) 90=:/; -00. On voit que (po est Tangle forme par le prolongement du rayon SJ avec JM^. En vertu des relations precedentes, les formules (i5) deviendront (25) m' r' (3*X*sin«Uo -=j3X»sin*Ho, ^^^^ ^ Esin(eo-n)z=:(3X«sinHoCosHo, E 008(00 — n) =: (3X» sin'Ho — i. 212 CHAPITRE XII. Apres quoi les formules (21), (24) et (26) donneront successivement S = l/-p- sin(9o + ©0 - n) sin(eo - H), S = — =q— ^ [E cos (00 — 11) sincpo-H E sin(0o*-— H) cos9o]» /o„x c__ -i^^eu (^ — pX*sin*HJ sinyo— (3X' sinHpCOsHo cos 90 ^2y^ 3 — — ACOSxxo ~ r • Si nous representons par 90** -4- a' Tangle que fait la vitesse absolue en Mo avee le prolongement de SJ, nous aurons i VoCosHo=— i'oSin(9o-+-<7')-+- *^'sin(po, ( Vo sinHo = 4- i'oCos(9o-H(T') — ^''coscpo; d'oii, en faisant et ayant egard aux valeurs de i^o ^t ^ donnees plus haut, I XcosHo= sin 9o— ^sin ( (3l) X«=il-h/*— 2/C0S(7'. Dans notre premiere approximation, nous pourrons supposer ro = r' dans la formule (29), ce qui nous donnera (32) / = V^. L'expression (27) de S dependra done seulement de deux quantites variables suivant les circonstances de la rencontre de la comete avec la surface de la sphere d'activite, par exemple de 90 ^^ ^'qui determinent la position du point de rencontre et la direction de la vitesse initiale absolue. 90. Simplification de S. — II est possible de remplacer Texpression (27) par une autre beaucoup plus simple. Je remarque d'abord que, d'apres la for- mule (20), si Ton veut obtenir pour a< le demi grand axe de Tune quelconque des cometes periodiques en question, quelque chose comme 3 ou 4> il faut que S soitvoisin de o,3 ou deo,4; done pas trop petit. Or, p = 64,9 est assez grand; X* est au moins egal a (/ — i)'= (v/2 — i)«= ^ g environ; PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COMtTES. 2l3 PX^ est done au moins egal a 12. II faut que le denominateur de I'expression (27) de S ne soit pas trop grand; sin^H^ doit doncetre petit. En resolvant les equations (3o) par rapport a sin(po et cos cette derivee s'annulc pour et le maximum maximorum est ./*=|-i = i. I S.= -; il repond done a a = i et cr' = 45*^. II en resulterait f/ 4a, «•= — = 2,6. 2 Comme le rayon vecteur du point M, differe peu de r\ on voit que Texcentri- cite de I'ellipse doit etre presque egale a i. Ce cas, qui ne s'est pas presente jusqu'ici, serait done celui d'une comete ayant une distance perihelie extreme- ment petite, en meme temps qu'un grand axe fini, et mSme peu considerable. Fig. 8. Quoi qu'il en soil, on voit que la fonction S pent arriver a avoir des valeurs un peu superieures a v^2 — i, entre o,4i4 et o,5; il en resulterait done des va- leurs de a, notablement <3,i4. Dans le Tableau de la page 2o5, la comete d'Encke est la seule qui resterait en dehors. Cherchons maintenant la valeur de e,. La formule (ii) donne ici "" ■+" 7 — -— "T- a, r'Jri a r's/7' r's/? Or, sur la parabole initiale, on a, par une propriete bien connue, on pent ecrire r — P^ — Po °"" 2sin*SMoC "" 2CosHff'-i-eo)' /?o:zi:2r'cOS'(7', PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COBlfeTES. 31 5 et il vient d'oii (87) sji—e\ =i2v/S(v/2C0S(7'— aS). On pourra trouver ainsi e, ; il faudra toutefois que la valeur de coscr' tiree de Tequation precedente, ou bien de si i — e\ zni/— ( v/acoso"' | soil inferieure a j . Cela donne une limite inferieure de e^. On trouve ainsi pour //, = 3,0 c, > 0,69 » ai = 3,2 ^i3>o,64 » ai=3,4 c, >o,6o » rt|=3,6 Cj>o,56 » ^1 = 3,8 ei>o,52 91 . Nous renvoyons au Memoire deja cite de M. Callandreau pour Texamen de plusieurs questions interessantes, et aussi a un travail important de M. A. New- ton, on the Capture of Comets by Planets^ especially their capture by Jupiter (Me- moirs of the National Academy of Sciences, Washington, L VI). Nous nous bornerons a deduire de ce qui precede la formule qui sert de base aux re- cherches de M. Newton. Les equations (20) et (21), combinees avec la premiere des formules (i5), donnent /QQx ^— v^ psmUo ^ ^ «i-^o ^ 4m'sin(/;-n)sin(0o-n) Posons Ik v' =!-—:'> psinHo=A, 9o» + /; - n = <);, eo-n = w„ la formule (38) deviendra (40) «l = — -, rT—- — vTt T' 4^"*' sin Wo COS 4' X Vo et ^' designent la vitesse relative initiate et la vitesse de Jupiter; d'aprfes les relations (Sg), 'j' est Tangle que fait Taxe transverse de Thyperbole avec la di- rection de la vitesse de Jupiter; A est la distance du point J a la vitesse relative Vo, et enfin W^ est Tangle du rayon JMq avec Taxe transverse. Comme le point Mo 2l6 CHAPITRE XII. — PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES COMfeTES. est assez eloigne de J, la tangente a Thyperbole en ce point pent etre confondue avec I'asymptote. On pent done dire que W^, et A designent Tangle de I'axe trans- verse avee Tune des asymptotes, et la perpendiculaire abaissee de la planete sur Tasymptote. Sous cette forme, la formule (4o) est identique a celle qui fait la base du Menjioire de M. Newton. Ce Memoire contient beaucoup de resultats curieux, entre autres le suivant, que nous nous bornerons a mentionner : « Si, dans un certain intervalle de temps, un milliard de cometes arrivent, sur des orbites paraboliques, a etre plus rapprochees du Soleil que Jupiter, 126 d'entre elles seront transformees en des ellipses pour lesquelles la duree T de revolution sera moindre que-T', la demi-duree de revolution de Jupiter; 3 pour 889, on aura T est tantot positif et tantot negatif. 93. Nous faisons main tenant Thypothese que les fonctions F(V) et '|(r) sont proportionnelles a des puissances de V et de r, (4) F(V) = V^ +(r) = -^,, R = A^- II vient alors I da 2/i , , ^ \p-'^ --77 = 1 (i-he*-h2ecoswP') —-- > a at 1 — e^ ^ r'l , de \P-^ (5) ^ ^ =—2/*(cos«'4-e) -y^, d^ , . V''-* e — rr r= — 2/iSin«' • dt r'l II y a lieu de remplacer r et V par leurs valeurs (3), et de prendre w pour variable independante, en rcmplagant dt par dt^-r-:^' On trouve ainsi I da 2^' , ,^-^ , ^ , - -J— = (i -h e--h 2f?cosiv) ' (i -hecostv)'/-% a div I — c^ ' (6) de ^^ ^ =— 2A'(C0S«^-h e)(H- e'4- 2eC0Si"M I — ecos^ , — ecosa - I — e cos « , a^=: aw, 210 CIIAPITRE XIII. on trouvcrait aisement I (7) I da a du de du dts du ih" I — e' (i -+- ecostt) p-\-\ =1 — 3 h" COS U (i — ecosM) (1-+-CC0SW) p- p-\ (l — eCOSM) 2h" . (i -t- ecosu) sinw ^ y/i — e« (i — ecosw) +// p-i -+-7 — 1 P-1 ■+-7 h'' = h{i — e^) /cP-i ♦ 7 — 2 a Mais ces formulcs (7) sont moins avantageuses que les precedentes. On voit que Texpression (6) de ^^ prend des valeurs egales et de signes contraires quand w se change en 211 — tit' ; done, au bout d'une revolution, xs re- prend sa valeur primitive. Ainsi, la longitude du perihelie n'a pas d'inegalite seculaire, mais seulement des inegalites periodiques. On a, maintenant, ce developpement toujours convergent £-1 (8) (i-h e^-\-2ecosiv) * (i -+- ecos^v)^-* =r Aq-I- Aj cosw'-h Ajcosaw 4- . . . , oil les coefficients A© et A, peuvent etre representes par les expressions (9) Ao=- / (i -t-e*-+-2ecosw) * (i -h ecost»')^'"'e/iv, A,=i- 1 (i-t-e'-h2ecos(\p') * (i 4- ecost^')^~*cos^»'c/»v Les formules (6) donnent ensuite -T- = 3-^ i Ao(i -+-. Ao e -+- A 1 ) w^ , ^ COS9 1/ » d'oii /I cos 9 '^•^ en faisant __ Ao(i-h g') -4- Ajg _ Ao(i — g) — A| 2Aog-hAi A1-+-2A06' J'ai calcule les valeurs de H^,^ pour diverses valeurs entieres et positives dep et de y — 2. Lorsque p est impair, les expressions (9) de Aq et A| sont des fonctions entieres de e, que Ton calcule sans peine. Lorsque/? est pair, A^,et A, s'expriment a I'aide des integrales elliptiques completes de premiere et de seconde espece, relatives au module e. Je vais donner quelques indications sur le calcul, lorsque /? = 2 et y = 2. On a alors ce qui est Thypothese d'Encke. On trouve, en introduisant d'abord Tanomalie vraie, puis I'anomalie excentrique, Ao(i4-g')-f-Aig=: - / (i-+-e*-+-2gcosiv)*e/MP'= ^^ '- I -^ S.^"> Ai4-2Aoe=— / (i -t- g'-h 2ecosw)'(cosw-+-g)fl?)jr __ji._2/>(2-e«)jr ^-^(2p-i)j donne 0 :=0 0 •^o 1C TC TC r* du 2 2 — e^ r\ ^ I r I 1^=3(73^./ ^''"-JiTT^)! du "A Si Ton represente par F< et E< les integrales completes de premiere et de seconde espece, n TC on trouve sans peine „ _ j^ 8(i4-e^)Et— (i — e')(5-^3e«)F, "«»*- 2 ^ (, 4. 7 gi) E, - (I - e*) ( I -h 3e«) Fi ' J'ai suppose e = o,85, ce qui est voisin de Texcentricite de la comete d'Encke, et en entrant dans les Tables de Legendre avec I'argument 0 = arcsino,85, j'ai trouve Fi=z 2,10995, £,= 1,22810, H,.,=io,97. Cela pose, voici les valeurs que j'ai obtenues : Hi, j= 1,01, ll,,2=o,97, Hs,,= o,95, H*,, = o,94, Hs,,= o,94, ^1,3=0,96, H,,3=o,96, 113,3 = 0,94, H^.8 = o,94, H8,3=o,93. Hi,* = 0,94, H,,4 = o,94, H3,4 = o,93, 224 CHAPITUE XIII. On voit que ces valeurs sont assez pcu differentos les unes des autres. II est facile d'indiquer la raison de ce fait. On a, en effet, d'apres les formules (9) et (i H- e' -haecosir) * (i -|- e cos C = — — > H- e' 4- 2 e I -h e et il vient ^n.a^=^ PyR ^1C p — 1 I 0 kS ^7t /»-»-l 0 ('4 Hp.^^^^ — ; 1 ^i^ — ' ^ '^'^ I 4- e — (i — e) ff f Yl ' c»-' 0 On pent calculer par quadratures les deux integrales qui figurent dans Tex- pression de a. Soient TQo* "i^lJ • • • > TQv-H S0> Sl> • • • > Sv— I les valeurs numeriques de y] et de C qui correspondent aiix vale urs o, -> ..., (y — i) — (lew; V V INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. 225 on aura, pour valeur approchee de la premiere integrale et une expression analogue pour la seconde integrale. II en resulteracette valeur approchee (»^) ^= pTi ^ Voici les donnees numeriques qui correspondent au cas de v = 9, u ^0=0, 7jo= 1,0000, 5o=IjOOOO, M'i = 20, T)i = o,97oi, Ci = o,972 3, (V2=4o. 7jj = o,883 8, 51=0,892 5, iV5=6o, r^3 = o,75i6, ^3 = 0,770 3, 6^<^3, i, car les elements de Tintegrale placee en denominateur sont inferieurs a ceux de Tintegrale qui figure au numerateur de o*. D'ailleurs, dans la formule (i4), ^ est multiplie par i — e = o,i5, quantie relativement petite. Pour de T. - IV. 29 a26 CHAPITRE Xlll. grandes valeurs de p et de q, on aurait tres sensiblement a = i , et, en vertu de la formule (i4)» „ I -+-e 1 ,85 ^ Hp.7= —^ = -^ —0,925. En remarquant que, approximativement, y] = J^ = cos^--» M. Radau trouve Texpression tres approchee „ 1 4- e I — e I ^ 0,081 I -4- e /? -H 27 — /i ^ p'^iq — l\ On voit done que, au point de vue de la representation des observations, on ne gagnera rien a augmenter les valeurs Aep et de q. 96. Yoyons maintenant ce que les observations de la comete d'£ncke nous ont appris au sujet du milieu resistant. Les calculs de Y. Asten sur les appari- tions de la comete entre les annees 1819 et i865 ont montre qu^en une revolu- tion le moyen mouvement diurne et Tangle ^ dont le sinus = e eprouvent les variations suivantes (*) : 3/1 = 4- o\ I oVi, a

) D r^sulte de Id, au bout du temps /, / 6tant exprim6 en jours, Tin^galit^ -<- -o'. io»4 X 1200 X ( ) =-h69/,4( I , 2 \iaoo/ \i20o/ dans la longitude de la comete. INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. 227 II y a done eu la un changement dont la cause est restee inexpliquee. De 1871 a 1881, M. Backlund a trouve une certaine valeur de Sn, et de iSSi a 1891, une valeur plus petite de — environ. La resistance a-t-elle diminue reellement? M. Backlund trouve une autre explication possible dans I'influence des grandes perturbations de la comete sur la resistance elle-meme; mais alors il arrive a cette conclusion que I'exposant q serait negatif, de sorte que, toutes choses egales d'ailleurs, la resistance augmenterait avec la distance au Soleil. Mais cela est bien improbable, car alors d'autres cometes periodiques auraient du accuser ['existence du milieu resistant. M. Backlund pense que le moyen d'echapper a cette contradiction consiste a supposer le milieu resistant discon- tinu; la resistance serait alors variable avec les points de rencontre de la comete avec ce milieu, et son expression ne pourrait pas etre developpee en serie sui- vant les puissances de -- S'il etait possible d'observer la comete tout le long de son orbite, on arriverait a reconnaitre les points ou se produisent les maxima ou les minima de resistance. Un apergu des dernieres recherches de M. Backlund a ete public dans le Bulletin astronomiquey Tome XI, page 473; Tensemble paraitra prochainement. Nous devons dire que Tauteur a ete amene a conserver dans Texpression de Tano- malie moyenne un petit terme periodique, provenant de la resistance, et dont le coefficient est d'environ 5". On nous permettra d'indiquer un point qu'il y aurait peut-etre lieu d'exa- miner. On a remarque que le noyau des cometes periodiques diminue dans le voisinage du perihelie (voir une Note de Valz, Comptes rendus, i. VII); la surface de la comete diminuant, il doit en etre de meme de la resistance. II pourrait done en resulter un facteur r^ avec y'>o, ce qui ramenerait a Tune des conclu- sions de M. Backlund. Enfin, le diametre de la comete d'£ncke n'est pas le meme dans toutes les apparitions; la loi de ces changements est inconnue; il doit en resulter des variations plus ou moins regulieres dans Tintensite de la resistance; il y aurait peut-etre lieu d'avoir egard a la diminution de la masse de la comete, a la suite des emissions de matiere. C'est Encke le premier qui a reconnu la diminution progressive de la duree de la revolution de la comete, et a conclu a Texistence du milieu resistant, dont il supposait Taction de la forme -t^-- Sescalculs ontete poursuivis parV. Asten, mais surtout par M. Backlund, qui a merite la reconnaissance des astronomes par son immense labeur. Oppolzer avait cru remarquer une acceleration seculaire du mouvement de la comete de Winnecke, mais les recherches du baron de Haerdtl ont montre qu'il n'en etait rien. 97. On pourrait supposer un milieu resistant, r^pandu dans tout I'espace, tel que Tether, dans lequel se deplacerait le Soleil, entrainant avec lui les planfetes 23o CHAPITRE XIII. Les formules (i8), (19) et (20) donnent ensuite, apres reduction. da _ %h F(V) dt~ nsjx^e^ V"~" asintr — p(costr-h e) — wa VI- ^« J (21) \ — =-^ \^\-r^ _3,^^^ COSci'H-6') j at na \ I v i e- I . r, i-hecoS(r\l cosw I a sintr — 3 rosir — nn :::== — ) • 99. Supposons d'abord la resistance proportionnelle a la vitesse, de sorte que nous pouvons prendre F(yj^^ Nous trouvons, en negligeant les inegalites periodiques, pour ne conserver que les termes seculaires, I sm^K'dt =zo, I cos ^vdi T=, — et. et la premiere des formules (21) donnera — = — 2/1/, — —-\-6nl; a n d*oii une acceleration seculaire du moyen mouvement, independante du mou- vement de translation du Soleil; — serait le meme, a une epoque donnee, pour WW toutes les planetes ou cometes. Passons au calcul de Be; nous trouverons sans peine, dans les memes condi- tions que precedemment, / cos// s\ni%' dt TTzo, / cos // dlzzz t, J 2 /cos// COSH'<:/^= - t, 2 et la s^conde des formules (21) donnera 3 s/l'-' 2 na INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. 23 1 € n'aurait done d'inegalite seculaire que si Ton a egard au mouvement de trans- lation du Soleil, et eette inegalite ne dependrait que de la composante p. 100. Je suppose en second lieu la resistance proportionnelle au cube de la vitesse (les calculs sont plus faciles que dans le cas du carre). On aura done FiV) ^. (dx \« fdv ^y on a d'ailleurs (22) V*z=za«4-(3*+yS et, en ayant egard aux relations (20), on trouve sans peine F(V) ,-, , , I H- e*^- 2e cos«' S(cos«r-+- e) — asini*' — V- = VJ 4- n^a' -, ^ina^ — == La premiere des formules (21) donne ensuite I ih V ^ i-\-e^ . /' inae \ \ = — , I — pe — na ■ + asinw — f 3 4- , ) cos^v [^T* • • I -+- ^* 2/iafe3 ina ina /^ nae \ 1 VJ -+■ n^a} j-h — -^ , asin(i'-h , ( p H- —z:r-7zz^ ] coswl Si Ton a egard aux relations etablies precedemment et a la suivante, r ^ 3^*— 3H-2(I — eM* 1 cos 2 u' at —. / , e"- on trouve, apres un calcul assez long. ou bien ^ L ayi — e^ \ + yJi — e^ V'^^ i + ^i — e*J En remettant pour VJ sa valeur (22), on pent ecrire (23) — = — 2AM «« V -h y* H ;: ( ^ 4- 3 -7= — =- | _ _ 1^' _ 1 232 CHAPITRE XIU. INFLUENCE d'uN MILIEU RESISTANT. cette quantite est toujours negative; il y aurait done toujours une acceleration seculaire du moyen mouvement. Le calcul de Se est encore plus long. J'ai trouve (24) I ,.=_„[.—■( \ a --h3a - ^* V/' I — — i V!\ Si Ton suppose Texcentricite petite, et qu^on la neglige dans le second membre, il vient ^''=-^"P;|(7-^^«il)' de sorte que, pour une orbite convenablement placee, on pourrait avoir %e posi- tif ou negatif, suivant le signe de ^ qui est la composante de la vitesse du Soleil dans la direction du petit axe de I'orbite elliptique initiale. FIGURE DES ATMOSPH^.RES DU SOLEIL ET DES PLANI^TES. 233 CHAPITRE XIV. DE LA FIGURE DES ATMOSPHfiRES DU SOLEIL ET DES PLAN^TES. THEORIE COSMOGONIQUE DE LAPLACE. tOi. Soit 0 (^fig. 9) le centre de gravite du Soleil ou de la planete que Ton considere; ce corps, de masse M, est anime d'un mouvement de rotation uni- forme autour de Os, de vitesse co. L'atmosphere AB est supposee tourner avec la meme vitesse autour de Os. Chacun de ses points est soumis a I'attraction du corps central et a Tattraction de Tatmosphere; il faut yjoindre la force centrifuge quand on etudie Tequi- libre relatif. On neglige I'attraction de Tatmosphere, qui doit etre tres faible. Dans Tetat d'equilibre, la forme d'une surface de niveau BD doit etre telle qu'en chaque point la resultante des forces qui sollicitent une molecule soit normale a la surface, ou bien que le potentiel soit constant. Prenons deux axes rectangulaires, Oa? et Oj, dans le plan de I'equateur; soient a;, j, z les coor- donnees d'un point quelconque N de la surface de niveau consideree. On devra avoir 'L\ H- - Gj*(a?' -^-J'*) = const. Sjx' Cette equation suppose que Ton neglige Taplatissement du corps central, de T. — IV. 3o 234 CHAPITRE XIV. facon que son attraction sur le point N soil la meme que si toute la masse etail concentree en 0. Soient 0N = /\ 5ON — 0; on aura .r» -h y* — / ' sin' 5, z- — r* cos' 9, et Tequation generate des surfaces de niveau de Tatmosphere deviendra 1- - r,)^r- sin- 9 — const. ou bien en designant par k une constante positive, et faisant (a) ^•=4'- 102. Discussion de T^quation des surfaces de niveau. — Toutes ces surfaces sont de revolution autour de Os; il suffit d'etudier la section meri- dienne, dont on a Tequation (1) en coordonnees polaires. On a les formules s (3) On doit done avoir en faisant . - , /3 Ar — 2 /> cosy=i = / ,.:i /• > /\, et U > o. (4) • \:^r^-^bnr-^'xb\ /•o=^||- Ainsi, la surface de niveau est tout entiere exterieure a la sphere r= r„. Soit yj Tangle que fait la tangente en N avec le prolongement du rayon vec- teur r. On a,'d'apres les formules (3), dO Sb(b^kr) dr >^/('6kr — 9.b){r^—'6b'kr~\-^b^) L'equation U = o a toujours une racine negative, et n'en a qu'une, d'apres le theoreme de Descartes. La condition de realite donne FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET DES PLAN^TES. 235 Ceci nous amene a distinguer deux cas : T*" X' > I . L'equation U = o aura deux racines positives; soit r' la plus petite. Le rayon vecteur r devra etre compris entre r^ el r'; /•„ < /• niais, pour cette valeur, on a h^ b U r^-Tj (I — ^*'), U rdO langrj = -^ - - — -7— • v/(3/-- 2b){r-^7, b ) « '• On remarquera que Texpression de tangy) a perdu, au numerateur et au de- nominateur, le facteur b — r\ r croissant de OD = /'o = -^ a OB = fc, 0 croit de o a 90^, ee qui nous donne Tare DB {fig- 10). Au point B, on a r continuant a croitre, 0 croit, depassant 90**; pour r = ^^ on a sin^i=o, cos0=i— I, 0 = 180". La courbe a une branche infinie BH qui a une asymptote parallele a 0^, car on a rs\n0z=zbi/3 ;-, Iim/sin0 = ^v^S. 236 IIHAI'ITBF. XIV. 11 faut prendre les parties symetriques, et Ton a pour la courbe meridiennc I'ensembierepresente dans la_/fg-. lo. La surface a unc nappe fermee, et deux nappes infinies. II y a, tout le long de I'equateur, une arete saillante qui sert de jonction entre la partic fermee et les nappes infinJes. La surface de niveau qui reponda ^= i est ce que Ton ^ppeWe la surface iibre de I' atmosphere . Au point B, on a, d'apres (a ), L'attraction est exactement egale etopposee a la force centrifuge; de sorle qu'une particule materielle, placee en B, ne pcse plus vers le point S. 104. Soient W la fonction des forces, R la resultantc de l'attraction centrate et de la force centrifuge, 9 Tangle que fait R avec le prolongement du rayon vecteur r, en allant dans le sens des 0 croissants. On a (C) R COB9 - ' H sintp- rfW j dr \ 1 ()w i On en conclut (7) It cos 7 = Usin?- -/J. rsin'e — /sin 9 cos I /^. Pour que la resultante soit tournee vers I'interieur de la masse fluidc, il faut qu'elle soit dirigec suivant la normale interieure, laquelle fait avec le prolon- gement de r un angle obtus. On doit done avoir FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET I)ES PLANETES. 2^7 D'ailleurs, R est essenliellement positif. Done, d'apres (7), on doit avoir G>-/- sin* 6— ^ < <), ou bien r^ sin^(? — h^ r„, ^^37' ^ V z commence par decroitre, jusqu'a ce que r prenne la valeur 6, apres quoi z croit jusqu*a Tinfini. Nous avons ainsi une courbe telle que FGI. La surface de niveau semble s'etre ouverte en GG,. Pour X:< 77, z croit immediatement et sans cesse; on a une courbe meri- dienne telle que QPQ'. II resulte de ce qui precede que, si le fluide atmospherique qui entoure le Soleil est en exces a un moment donne, c'est-a-dire s'il depasse la surface libre, cette partie excedante doit s'ecpuler par Touverture GG< dans le plan de I'equateur, et alors, la force centrifuge balangant Tattraction, les particules correspondantes de matiere se trouveront libres, ne feront plus corps avec toute. 2'ii} CHAPITftE \lir. la fna?»$^, et sJ *. Si Ton admet que les donnees a et T se rap- portent a la Terre, la formule('8)donne /> = o, i68« m o, i68 X 2i5 rayons solaires, b =z 36 rayons solaires. L'atmosphere solaire ne s'etend done pas a la moitie de la distance de Mer- cure au Soleil, puisque le demi-grand axe de Torbite de Mercure = 83 rayons solaires. Considerons maintenant le cas de la Terre, et designons son rayon par p. Si Ton suppose que a et T se rapportent a la Lune, on aura d'oii T — 27i7»'43'», ^ = 23»»56"4% a T=:6oo; T " 1= 27 nz 3* environ. La formule (8) donnera done Ainsi done, ratinosphere de la Terre pourrait s'etendre jusqu'a une distance egale a plus de six fois le rayon terrestre. Poisson a trouve dans sa Mecanique (t. II, p. Gii, 2* edition) h =: 6,61 p. FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET DES PLAN|!:TFS. ^Sq Mais il faut remarquer qu'on trouve ainsi seulement une limite superieure de la hauteur de I'atmosphere. Poisson pense que, bien avant cette hauteur, I'air est liquefie par le froid. 107. Les rayons vecteurs, maximum et minimum, de la surface libre sont egaux a i et -5- ; I'aplatissement est 5- Ces memes rayons sont r et y-r pour une surface de niveau interieurc a la surface libre. L'aplatissement est lb il est plus petit que ^^ car Tinegalite revient a 2b I 3 kr' ^ 3 et cette derniere inegalite a ete demontree pour le cas de ^^ r. Ainsi, Tatmosphere du Soleil ne s'etend pas a la moitie de la distance de Mercure au Soleil; on sail que la lumiere zodiacale va bien au dela de I'orbite de Venus, et meme au dela de celle de la Terre. D'autre part, la lu- miere zodiacale parait sous la forme d'une lentille fort aplatie et Taplatissement est beaucoup plus grand que «• Pour ces deux raisons, la lumiere zodiacale n'est done point I'atmosphere du Soleil, et puisqu'elle environne cet astre les particules qui la composent doivent circuler autour du Soleil suivant les memes lois que les planetes; « c'est peut-etre, dit Laplace, la cause pour laquelle la lumiere zodiacale n'oppose qu'une resistance insensible aux mouvements des planetes ». 108. R6su2n6 du syst&me cosmogonique de Laplace. — Quoique les ele- ments du mouvement des planetes varient beaucoup de Tune a I'autre, ils ont entre eux des rapports qui peuvent nous eclairer sur leur origine. Ainsi, toutes les planetes se meuvent autour du Soleil dans le sens direct, et presque dans le meme plan. Les satellites se meuvent autour de leurs planetes dans le meme sens, et a peu pres dans le meme plan que les planetes. Enfin, le Soleil, les pla- netes et les satellites dont on a observe les mouvements de rotation tournent sur eux-memes dans le meme sens, et a peu pres dans le plan de leurs mouvements de translation. Un phenomene aussi extraordinaire n'est point Tefiet du hasard. II indique une cause generale qui a determine tons ces mouvements. Laplace evalue la ^^O CHAPITRE XIV. probabilite pour que les quarante-deux mouvements connus de son temps (mouvements de revolution et de rotation du Soleil, des planetes et des satel- lites) soient directs, quand on les rapporte a la position de I'equateur solaire. 11 trouve plus de quatre mille milliards a parier contre un que cette disposition n'est point I'effet du hasard. Cette probabilite est encore augmentec considera- blement aujourd'hui, puisqu'au .lieu de quatre planetes telescopiques entre Mars et Jupiter on en connait plus de 4^^ qui ont toutes des mouvements di- rects, et meme dont les plans font avec le plan de I'ecliptique des angles ne depassant pas le ^ d'un angle droit. Nous devons done etre convaincu qu'une cause primitive a dirige les mouve- ments planetaires. Un autre phenomene egalement remarquable du systeme solaire est le peu d'excentricite des orbites des planetes et des satellites (pour les anciennes pla- netes, les excentricites sont au-dessous de 0,20, etde o,35 dans le cas des nom- breux asteroides). Ainsi, Ton a, pour remonter a la cause des mouvements pri- mitifs du systeme planetaire, les quatre phenomenes suivants : Les mouvements des planetes dans le meme sens, et a peu pres dans un meme plan; Les mouvements des satellites dans le meme sens que ceux des planetes; Les mouvements de rotation de ces differents corps et du Soleil dans le meme sens que leurs mouvements de translation et dans des plans peu differents; Le peu d'excentricite des orbites des planetes et des satellites. 109. Laplace remarque que, quelle que soit la nature de la cause qui a pro- duit ou dirige les mouvements des planetes, il faut qu'elle ait embrasse tons ces corps, et, vu la distance prodigieuse qui les separe, elle ne pent avoir ete qu'un fluide d'une immense etendue. Pour leur avoir donne dans le meme sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait en- vironne cet astre comme une atmosphere. La consideration des mouvements planetaires nous conduit done a penser que Tatmosphere du Soleil s'est etendue primitivement au dela des orbites de toutes les planetes, et qu'elle s'est resser- ree successivement jusqu'a ses limites actuelles. Ici, il convicnt de ciler un passage important de Laplace (Exposition du Sys- teme du Monde, 6® edition, p. 482) : ff Herschel, en observant les nebuleuses au moyen de ses puissants teles- copes, a suivi les progres de leur condensation, non sur une seule, ces progres ne pouvant devenir sensibles pour nous qu'apres des siecles, mais sur leur en- semble, comme on suit dans une vaste foret Taccroissement des arbres sur les individus de divers ages qu'elle renferme. II a d'abord observe la matiere nebu- leuse repandue en amas divers dans les differentes parties du ciel dont elle oc- FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET DES PLANl^TES. 24 i cupe une grande etendue. II a vu dans quelques-uns de ces amas cette matifere faiblement condensee autour d'un ou de plusieurs noyaux peu brillants. Dans d'autres nebuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement a la nebulosite qui les environne. Les atmospheres de chaque noyau venant a se separer par une condensation ulterieure, il en resulte des nebuleuses multiples, formees de noyaux brillants tres voisins et environnes chacun d'une atmosphere ; quelquefois la matiere nebuleuse, en se condensant d'une maniere uniforme, produit les nebuleuses que Ton nomme plandtaires. Enfin, un plus grand degre de conden- sation transforme toutes ces nebuleuses en etoiles. Les nebuleuses, classees d'apres cette vue philosophique, indiquentavec une extreme vraisemblance leur transformation future en etoiles et Tetat anterieur de nebulosite des etoiles existantes. Ainsi Ton descend, par le progres de la condensation de la matiere nebuleuse, a la consideration du Soleil entoure autrefois d'une vaste atmosphere, consideration a laquelle je suis remonte par Texamen des phenomenes du sys- teme solaire Une rencontre aussi remarquable, en suivant des routes oppo- seesi donne a Texistence de cet etat anterieur du Soleil une grande probabilite. » 110. Gonsiderons done une nebuleuse tres etendue, a condensation centrale, animee d'un certain mouvement initial, et soumise a Tattraction mutuelle de ses divers points. Si Ton considere le mouvement relatif de la masse autour de son centre de gravite 0, il y aura un plan du maximum des aires, ou plan du couple resultant, qui sera le plan de Tequateur, et Ton aura, en appelant 0^ la normale a ce plan. Ox et Oy deux axes fixes situes dans le plan de Tequateur, x et y les coordonnees d'un element de masse quelconque m. ^'"(•^S- -j^j = const. = C; X pcosO, y—psind, *> — 57' C (9^ Imp'^ (I) est la Vitesse angulaire de rotation; p designe la distance de la molecule m a Taxe Oz, et I^ny)^ le moment d'inertie de la masse par rapport a Oj; to est con- stant. Dans ces conditions, nous pouvons appliquer la theorie exposee plus haut et relative a Tatmosphere du Soleil. Cette atmosphere ne pent pas s'etendre, dans le plan de Tequateur, k une distance plus grande que la quantite b definie par la relation (10) ^'=*-^- T. - IV. 3i 34^ CHAPITRE XIV. Supposons que, du temps t^ au temps /, le corps se contracte en restant sem- blable a lui-meme, toutes les distances telles que p acquerant le facteur x<^ i ; d'apres (9), 10 aura le facteur -^> et d'apres (10), b le facteur x*. Ainsi (^g. 11) OB'=OBoXx»; mais si le point Bo de la surface est venu en B, on a OB=:OBoXx; done OB'^OBxx'; OB' OB'. On s'explique done ainsi qu'il y ait des zones de vapeurs successivement abandonnees : « Si toutes les molecules d'un anneau de vapeurs continuaient de se condenr ser sans se desunir, elles formeraient a la longue un anneau liquide ou solide. Mais la regularite que cette formation exige dans toutes les parties de I'anneau et dans leur refroidissement a du rendre ce phenomene extremement rare. Aussi le systeme solaire n'en offre-t-il qu'un seul exemple, celui des anneaux de Saturne. Presque toujours chaque anneau de vapeurs a du se rompre en plu- sieurs masses qui, mues avec des vitesses tres peu differentes, ont continue de circuler a la meme distance autour du Soleil. Ces masses ont du prendre une forme spheroidique avec un mouvement de rotation dirige dans le sens de leur revolution, puisque lours molecules intericures avaient moins de vitesse reelle FIGURE DES ATMOSPHlfeRES DIT SOLEIL ET DES PLANfeTES. 243 que les superieures; dies ont done forme autant de planetes a Tetat de vapeurs. Mais si Tune d'elles a ete assez puissante pour reunir successivement, par son attraction, toutes les autres autour de son centre, I'anneau de vapeurs aura ete ainsi transforme en une seule masse spheroidique de vapeurs, circulant autour du Soleil, avec une rotation dirigee dans lesens de sa revolution. Ce dernier cas a ete le plus commun; cependant le systeme solaire nous offre le premier cas dans les petites planetes qui circulent entre Mars et Jupiter » Maintenant, si nous suivons les changements qu'un refroidissement ulte- rieur a du produire dans les planetes en vapeurs dont nous venons de concevoir la formation, nous verrons naitre, au centre de chacune d'elles, un noyau s'ac- croissant sans cesse par la condensation de Tatmosphere qui Tenvironne. Dans cet etat, la planete ressemblait parfaitement au Soleil a Tetat de nebuleuse oii nous venons de le considerer; le refroidissement a done du produire, aux diverses limites de son atmosphere, des phenomenes semblables a ceux que nous avons decrits, c'est-a-dire des anneaux et des satellites circulant autour de son centre, dans le sens de son mouvement de rotation, et tournant dans le meme sens sur eux-memes. La distribution reguliere de la masse des anneaux de Sa- turne, autour de son centre et dans le plan de son equateur, resulte naturelle- ment de cette hypothese, et sans elle devient inexplicable : ces anneaux me paraissent etre des preuves toujours subsislantes de Textension primitive de Tat- mosphere de Saturne et de ses retraites successives. Ainsi les phenomenes sin- guliers du peu d'excentricite des orbes des planetes et des satellites, du pen d'inclinaison de ces orbes a Tequateur solaire, et de Tidentite du sens des mou- vements de rotation et de revolution de tous ces corps avec celui de la rotation du Soleil, decoulent de Thypothese que nous proposons et lui donnent une grande vraisemblance. » Si le systeme solaire s'etait forme avec une parfaite regularite, les orbites des corps qui le composent seraient des cercles dont les plans, ainsi que ceux des divers equateurs etdes anneaux, coincideraient avec le plan de Tequateur solaire. Mais on congoit que les varietes sans nombre qui ont du exister dans la temperature et la densite des diverses parties de ces grandes masses ont produit les excentricites de leurs orbites et les deviations de leurs mouvements par rap- port au plan de cet equateur. » (Laplace, Exposition du Systime da Monde, 6* edi- tion, p. 5o2-5o4.) Remarque. — La formule (lo) donne, en appelant T la duree de rotation de la nebuleuse, au moment de la formation d'un anneau a la distance b du centre du Soleil, comme T est aussi la duree de revolution de la planete qui s'est constituee aux 244 CHAPITRE XIV. — FIGURE DES ATMOSPHERES DU SOLEIL ET DES PLANtXES. depens de Tanneau, on retrouve ainsi la troisieme loi de Kapler (on a neglige Texcentricite qui fait que b pent differer un peu du demi grand axe de Tor- bite). II y a quelques difBcultes quand on veut poursuivre le d^veloppement de la theorie de Laplace jusqu'a Texplication des moindres details. La plus grosse provient du mouvement retrograde du satellite de Neptune, et d'une circon- stance analogue qui se presente pour les satellites d'Uranus (*). Mentionnons encore ce que dit Laplace de Torigine probable de la lumiere zodiacale : « Si, dans les zones abandonnees par Tatmosph^re du Soleil, il s*est trouve des molecules trop volatiles pour s'unir entre elles et aux planfetes, elles doivent, en continuant de circuler autour de cet astre, offrir toutes les apparences de la lumiere zodiacale, sans opposer de resistance sensible aux divers corps du sys- tfeme planetaire, soita cause de leur extreme rarete, soit parce que leur mou- vement est a fort peu pres le meme que celui des planetes qu'elles rencontrent. » (>) Voir les deux Ouvrages suivants : Faye ( H. ), Sur I'origitie du Monde, Theories cosmogoniques des Anciens et des Modernes. Paris, 1884. Wolf (C.)« ^s hypothkses cosmogoniques. Examen des theories scientifiques modernes sur I'origine des Mondes, suivi de la traduction de la Theorie du Ciel de Kant. Paris, 1886. FIGURE DES COMfelES. 245 CHAPITRE XV. FIGURE DES C0M6TES. - RECHERCHES DE ROCHE, 111. Recherches de Roche sur les atmospheres des comMes (Annates de I'Observaioire, t. V). — Roche dit dans Tlntroduction de son Memoire : « II s'agit d'etudier la figure d'une atmosphere qui enveloppe un noyau de comete et qui Taccompagne dans sa marche autour du Soleil. Cette atmosphere est sou- mise a Tattraction du Soleil, a celle de la comete elie-meme, et elle peut avoir un mouvement de rotation. Sous ces diverses influences, il doit arriver que sa forme change d'un moment a I'autre; elle ne presentera pas, en general, une figure permanente. Mais, si Ton admet qu'elle prend a chaque instant la figure avec laquelle elle pourrait etre en equilibre en vertu de ces forces, la succes- sion des formes ainsi calculees representera, au moins approximativement, les variations que Tatmosphere de la comete eprouve reellement. La question, ainsi ramenee k un problfeme de Statique, devient abordable par le catcul. » Soient, a un moment donne, 0 le centre de gravite de la comete; xOy le plan de Torbite qu'elle d^crit autour du Soleil S que nous supposons situe sur Taxe des j, k la distance OS = r' ; [X la masse de la comete ; M celle du Soleil; Fig. 12. .r,y, z les coordonneesd'un point quelconque >! de Talmosphere de la comete; OM = r, MS=:A; 246 CHAPITRE XV. 0) la vitesse angulaire de la rotation de la comete, rotation que nous supposons s'effectuer autour de 0^. Pouretudier la figure d'equilibre relatif par rapport aux axes Oj?, Oy, Oz^ que nous supposons lies a la comete, il faut tenir compte des forces accelera- trices appliquees en M, qui sont : dirig^e suivant MS, dirig^e suivant M0» dirig^e paralldlement k SO, MB = oj* X MQ, dirig^e suivant le prolongement de QM perpendiculaire kOz. Les composantes X, Y, Z de la force acceleratrice totale seront MA = MC- MD- a: . X On a La condition de I'equilibre est, en supposant la compte fluide, X e/j7 -^ Y dy 4- Z fl^5 = o ; en rempla^ant X, Y et Z par leurs valeurs precedentes, et integrant, il vient (2) /M {j - ^•^,) -^ T^ -^ ^ c)M^*-+-7*) = const. La formule (i) donne A* = /•'* H- r* — a r'y , d'oii, en remarquant que ^ et - sont tres petits, \~ r'y ,' ^ r'*) ~ r" ^ r'^ ar" ^"" FIGURE DES COMETES. 247 En substituant dans I'equation (2) il vient /M(^p + \,.n ) -^ V "^ ; a)*(^'-t-7*) = const, ou bien (3) -^ ,,, -^ V^ JM (^ "*"-^^ =" ^• Nous avons represente ~ par m qui designe ainsi la masse de la comete rap- portee a celle du Soleil. Soient w Tanomalie vraie de la comete et p son para- metre ; posons \dt J Nous avons, d'ailleurs, et il en resulte r-^=m-p. 6J* yji 7M~ r'»' en faisant (5) k = Er^ r' L'equation (3) devient ainsi Si la vitesse de rotation de la comete est egale a la vitesse angulaire de son mouvementde translation, on a on remarquera que, d'apres la definition (5) de A, on a o on aura les diverses 2 formes de la surface exterieure de la comete; on voit que cela revient a sup- 248 CHAPITRE XV. poser que la comele decrit une serie d'arcs de cercle ayant pour centre le Soleil, ce qui n'est vrai, meme approximativement, que pres du perihelie ou de Taphe- lie(*). La theorie est certainement tres imparfaite; et encore, il n'en faudra pas appliquer les consequences lorsque la queue de la comete se sera deve- loppee, car cela indique I'existence d'une force repulsive dont nous n'avons pas tenu compte. Quoi qu'il en soit, nous aliens discuter Tequation (6). En donnant a C une serie de valeurs, on obtiendra I'ensemble des surfaces de niveau. On pent remarquer qu'en adoptant 4f P^^^* I'attraction de la comete sur un point de Tune des surfaces de niveau, on suppose implicitement que Ton ne tient compte que de Tattraction du noyau, et meme qu'on suppose ce noyau spherique. 112. Discussion des surfaces de niveau ferm^es. — On voit immedia- tement qu'elles admettent Torigine comme centre. Prenons des coordonnees polaires, en posant J7 = /-sin 6 cos 4*, /i=rsin6sinvj/, ^= rcos9. L'equation (6) deviendra , . , sin*6(yA-i- 3 sin*Jy) — I am (7) ^' jn " -+- — -^ = o. Je suppose, conformement k Tobservation, la nebulosite a peu pres sphe- rique; la derivee du premier membre, changee de signe, est, k un facteur con- stant pres, egale a la composante de la pesanteur suivant le rayon vecteur; done, si la surface de niveau estinterieure a Tatmosphere, on doit avoir '' ^Ti ..1 < O- ,./3 ,. On en conclut que Tequation (8) ,-r- '^ sin*0(y/i-h 3sin*4') — * represente la surface limiie^ au dela de laquelle toute molecule tend a s'eloigner du noyau, et, par consequent, ne sauraitfaire partie de Tatmosphere proprement (») On a dr' , = c 8in dt FIGURE DES COMETES. 249 dite. Le plus petit rayon r, de cette surface repond a vp = 0 = 90**; il est dirige suivant Or, et a pour valeur (9) Les rayons vecteurs des surfaces de niveau interieures a Tatmospherc doivent etre tous plus petits que r^. Discutons maintenant les surfaces de niveau fermees. Soit F le premier membre de Tequation (7), on aura 5 — iT, = -' ... sin9cos0(v/< -h 3sin*d;), Or (JO r * ' ^ ()F Or 6/* . ,fl . , , or (77 / ' ' On en conclut que le plus petit rayon R est dirige suivant I'axe de rota- tion Os, et le plus grand R' suivant O7, done dirige vers le Soleil. SoitR" le rayon dirige suivant 0^. On aura H{2-^yh)\^yj , et, a fortiori, /R'\» (12) m>2^-^j. Si Ton admet que le contour que nous voyons a la nebuleuse est Tune des surfaces de niveau interieures a la surface limite, en designant par R'le plus grand rayon de ce contour, Tinegalite (12) devra etre satisfaite, et il en resul- tera une limite inferieure de la masse de la comete. T. - IV. 32 25o CHAPITRE XV. Posons les equations (10) deviennent (i3) I (i - 7/0 ).^'''-hCR' ('" — 2^=0, ( (2-+-y/0X — CR' 4-2/w— o. En eliminant X et CR', il vient On peut aussi eliminer y/t et R' entre les equations (i3). ce qui donne (i5) 2/?j(i - v")fi -h r"4- v'^— v' i±^'^ =:>r"[3r''»— r'»(i — O]. Lorsque la surface est tres voisine de la sphere, les equations (i4)et(i5) peuvent etre reduites a (16) yhz=^Z I — v" (17) ni{i-v")=\\. Examinons les deux cas limites de yA = o et yA = 2. 1° y/i = o. L'equation (6) devient 2 y' — .r* — -3* 2 w •^ 1 . 08) ^^ :r^ -H . . --: . == c; les surfaces de niveau sont de revolution autour de Ov. Ce cas se decompose en deux autres; d'abord A = o, d'oii 7^ = 00; l'equation (18) se reduit a 2 m \fjc'^-\- 7* 4- Z^ les surfaces de niveau sont des spheres comme cela devait etre. Soit maintenant Y = o, d'oii (0 = o; en faisant v" = v' dans Tequation (i5), il vient 2 m v"^ -4- 2 ( ('9) ,» /. ~" i — v" FIGURE DES COMfeTES. 25 1 Le second membre de cette equation croit conslamment de o a -hoo quand i^" varie de o a i ; done I'equation (19) admet toujours une racine ^" quand y est donne. La formule (12) donne d'ailleurs On trouve aisement i^-^nzcGS, t^'' zzz o , 7 1 i>"z:zo,']6. J' =0,79, in pour m 1 "' » '" 3 )) » in o« yh = 2, d'oii r = — > en supposanty =1. Les formules(i3) donnent alors t''' 4- 1 <-•' 2 m 4 ^" — ^' ffa I — {^' >. I — V It m m / et (^" croissent avec y? comme on s'en assure aisement. Quand y sera donne, ^ on obtiendra done toujours une seuie valeur pour / et pour ^''. On trouve i''=:o,49; i^'' = o,52, pour yiiz2; i^'=:o,78; t^" =10,82, pour y 1= 8. On voit que dans ce cas de yh = 2, les surfaces de niveau ne different pas beaucoup de spheres des que y depasse un peu sa limite 2; le plus petit rayon est egal aux | du plus grand; yA = o donne du reste une conclusion analogue. On comprend ainsi que les nebulosites des cometes paraissent a peu pres sphe- riques. On pourrait chercher a se faire une idee de la masse des cometes en partant de Tinegalite (12). Soit S le diametre apparent de la comete lorsque, sa distance au Soleil etant/, sa distance a la Terre est egale a p. On aura, en supposant la co- mete spherique, sino zz: 2R' et rinegalite (12) deviendra m >• K^O"''"'*- 232 CIIAPITRE XV. 11 arrive assez soiivent (jiio Ton voit Ics comeles sous un angle de i' environ, le rapport 4 etant voisin de t. On aurait, si ces conditions etaient exactement remplies, I . , , I /// > , siir*i'> -, Cela donnerait la masse de la comele superieure a la -^ parlie de la masse de la Terre. Mais on ne peut appliquer cet cssai que quand la comete n'a pas de queue, et encore il ne faut pas attacher trop d'importance au resultat ob- tenu. 113. Discussion de la surface libre* — Nous avons discute precedemment les surfaces de niveau fermees; la plus grande de ces surfaces, celle qui atteint la surface limite, est nommee la surface libre. C'est a elle que se termine Tatmo- sphere, quand elle s*etend aussi loin que possible; mais elle peut se terminer a toute autre surface de niveau interieure. Calculous la valour de C qui repond a la surface libre. Le plus grand rayon R' de cette surface doit etre egal au plus petit rayon r^ de la surface limite. Nous devons done, dans la troisieme des equations (lo), remplacer R' par I'expression (9) de r^^ ce qui nous donnera Cir=: 2m -f- (2 4- y/0 T =3/??, ^ ' ' 2 H- y /t d'oii i ,. 3 //I* 3/ r (.= — -V^2 4-y//; de sorte que la surface libre aura pour equation 1 (20) -^ TT h = -^yh -^ = — —^2-^yh, r ou bien, en coordonnees polaires, 2 , , ,sin*S(v/* 4- 3sin'd^) — I 2m 3m^ a/ r (21) r^- '-^ jT. + — = -77- V/^^^T^, Le sommet situe sur Ic grand axe a pour coordonnees .v—o, y — fi, Z = 0. Ce sommet jouit d'une propriete importante : c'esi un point singulier, par oil Ton peut mener une infinite de plans tangents dont I'enveloppe est un cone du IIF llES COMtTES. ftllel I'nrigine des coordonnees en ce point, en touclier a^ ni a z; I'equalion (20) dev'iendra y*i^ t pilur r' sa valeiip en fonction de r,, lirce de la rela- ^■/A vV+(r + r,)'+i' iluns etudier la surface dans le voisinage de la nouvelle origine; t done petits, et nous aurons, en negligeant les troisi^mes dinten- .!z'. Bpres reduction, I'equation {i-i) dcviendra 3,r'-3(2 + y/07'+(3-h-/A)='=o. Cette equation est celle du lieu des tangentes menees k la surface par le point considere. Ce lieu est un cone reel du second degre; a cause de la symetrie, I'autre exlremite du grand axe jouit de la meme propriete. Au dela de la surface libre, les surfaces de niveau ont des nappes infinies; celles qui sont voisines de la surface libre n'en different sensiblement qu'aux environs du grand axe 011 elles s'ouvrent pour donner passage au lluideen exc^s; lorsque, pour une cause quelconque, le fluide vient ^ depasser la surface libre, la partie en exces se deverse alors entierement dans I'espace par les deux orifices opposes, Quand il s'agit de I'atmosph&re solaire consideree dans leChapilre precedent, e( qui est de revolution, I'ecoulement s'efTcctue, non plus pardeux points seule- ment, mais tout le lung de la ligne equatoriale qui Hmite la nappe fermee. 114. La theorie precedente est>elle d'accord avec I'observation? Quand une comke approche du Soleil, le fluide qui I'entoure ^prouvc une dilatation progressive due k I'augmentation de la chaleur solaire. De plus, les dimensions de la surface libre, qui dependent de la distance/ par la forDiule(9), 254 CHAPITRE XV. diminuent avec elle. Cette surface se contracte done, et tout ee qui se trouve en dehors se deverse vers les extremites du grand axe, et s'ecoule par ces points, comme par deux ouvertures, formant ainsi deux jets opposes suivant le rayon vecteur du Soleil. Ce serait la Torigine de la queue. Apres le passage au peri- helie, la seconde cause de production des queues, la diminution de ^, n'existe plus. L'accumulation de la chaleur solaire, et la dilatation qui en est la suite, reste la seule cause qui entretienne le developpement de la queue. On a bien observe a diverses reprises, notamment Valz pour la comete d'Encke, une contraction du noyau des cometes, quand elles s'approchent du perihelie; toutefois, la theorie precedente assigne a toute comete, non pas une queue unique, mais deux queues partant du noyau, et dirigees Tune vers le Soleil, I'autre du cote oppose. Or, le fait de deux queues diametralement opposees est tout a fait exceptionnel, si meme il a jamais existe. Ce qui existe generalement, c'est une queue opposee au Soleil. Besset, dans ses recherches memorables sur la comete de Halley (^Abhand- lungeuy 1. 1; Conn, des Temps pour i84o), est arrive a la conviction que le Soleil exerce, sur la matiere tenue de la queue, une attraction plus petite que sur le noyau (a egalite de masses, bien entendu),'et meme une repulsion qui peut etre de nature electrique; il considere que Texistence de cette force ne saurait etremise en doute. 115. Dans la seconde Partiede son Memoire, Roche introduit une force emanant du Soleil, agissant sur les particules de la queue, suivant le rayon vecteur, dont rintensite est inversement proportionnelle au carre de la distance ; mais cette in- tensite, au lieu d'etre representee par Texpression ~-> Test par ^ — a«~^ * Si 9 est r, ce n'est plus une attraction, mais une re- pulsion. Dans ces conditions, I'equation (2), qui exprime Tequilibre, doit etre remplacee par /"Md -o) Afv /a I ,, , • ^ — - - ■77^ -^-J -H -«V^*-^7*)^const. Pour simplifier, Roche fait abstraction de la rotation de la comete; il trouve ainsi, pour Tequation generale des surfaces de niveau, en tenant compte de la relation A^ = r'* 4- r^ — ir^y, 1 — 9 y m , — -■ --nL-\ = const., d'oii, en developpant suivant les puissances de -7> comme au n® 111, y r ? — r^ I 4- 4 -^ — — r. — — -=^ H = const., r \ r 2/'* ) r'* /• FIGURE DES COMfeXES. 255 ce qui peut s'ecrire » ' Telle est Tequation generale des surfaces de niveau. On voit que ces surfaces sont de revolution autour de Oyy mais qu'en raison du terme — ^4r> ^^^^s n'ad- mettent plus Torigine pour centre. Avec les coordonnees polaires, cette equation devient . ,. , . ,3sin*0sin'd» — I 2cpr sin0sind» aw ^ (24) (I-?)'' TTs— ZTr ^-+--:r = C- ^'3 fJl f. En raisonnant comme au n® 112, on voit que Ton doit avoir ^ 3sin'0sin*d» — i acpsin^sind' 2m 2(1 - 9)r -„-y '—p-, ^ - -^ i, dans lesquels I'allure generale des resultats precedents est peu mo- difiee. T. — IV. 33 258 CHAPITRE XYI. CHAPITRE XVI. FIGURE DES COMfiTES. - RECHERCHES DE SCHIAPARELLI, BESSEL ET CHARLIER. 116. Recherches de Schiaparelli. — Nous allons presenter une analyse succincte de quelques points du Ghapitre YIII du bel Ouvrage de M. Schiapa- relli Entwurf einer dstronomischen Theorie der Sternschnuppeiiy edition ailemande deBoguslawski. Le savant astronome italien considere une comete avant que sa queue se soit developpee, et il la suppose formee d'un amas spherique homogene de petits corpuscules, sans condensation au centre et sans liaison des corpuscules les uns avec les autres; un certain nombre de cometes paraissent en effet remplir ces conditions; nous n'aurons pas a considerer la force repulsive. Soient(y?^. i4) 0 le centre de gravite de Tamas, A un point de sa surface, S le Soleil, OA = r, OS = r^, AS = A; a:, j, 5 ; x^^y^^ z^ les coordonnees de A et de Sy rapportees a des axes mobiles de directions invariables se coupanten O, M la masse du Soleil. Dans le mouvement relatif de la particule A autour du * point 0, les composantes de la force perturbatrice provenant de Taction du So- leil ont, comme on sait, les expressions suivantes : FIGURE DES COMIXES. 25q La composante S de cette force, dirigee suivant AO, sera \ r r r ) ou bien, en remplacant X| , Y, et Z, par leurs valeurs precedentes, Soit a Tangle AOS, on a et il en resulte XX ^ -\- yyx -h zz^ = rr^ cos a, A' =3 /•* -^ r\ — 1 rr^ cos a, 2=.-^[cosa + (^-cos«)(.-HZ-cos« + ^) 'J; , /• d'oii, en developpant suivant les puissances de la petite quantite — > et negli- geant [j^. Pour a = o, ou a = i8o®, on a et, pour a = go**. rj ri Done la force perturba trice du Soleil tend a augmenter Tattraction centrale exercee par la comete sur le point A (laquelle est dirigee suivant AO), pour les parties de Tamas qui sont en quadrature avec le Soleil; elle tend a la dimi- nuer pour les parties qui sont en conjonction ou en opposition avec le Soleil. La composante £ s'annule pour cosa=:±-— > a = 54®44'> ou ' az=i25**i6'; c'est done assez loin des quadratures que S devientpositif. On voit que la force perturbatrice du Soleil agit de preference sur les particules qui sont dirigees suivant le rayon OS ou suivant son prolongement. Si, pour ces particules, la force £ est superieure a Tattraction centrale de la comete, une dissolution au aGo CHAPITRE XVI. moins partielle poupra se produire. La dissolution aura pu commencer ante- rieurenient; Tauteur a cherche seulement une limite au dela de laquelle cette dissolution se produira neccssairement. Soit m la masse de la conafete, nous trouverons pour la limite chercbee 2/M /• fnt r\ /•, ~ /•' m 2M Si Ton a (2) ;„<2M^^y, la dissolution pourra se produire. On pent donner de Tinegalite (2) une inter- pretation simple, en Tecrivant comme il suit, m 2M 4 ,4 3 Cela veut dire que, pour que la comete reste agglomeree, il faut que sa densite moyenne soit plus grande que le double de ce que deviendrait la densite moyenne du Soleil si toute sa masse etait repartie uniformement dans tout Tinterieur d'une spbere de rayon r<. On remarquera que Tinegalite (2) est celle a laquelle nous a conduit la theorie de Rocbe. On voit que M. Scbiaparelli considbre les differentes particules de la comete s'attirant mutuellement, mais n'ayant pas entre elles la liaison que suppose une masse fluide continue. Supposons que la comete soit comme un nuage forme de gouttelettes sphe- riques separees nettcment les unes des autres, et designons par [x la masse de chacune de ces particules, par i leur nombre et par 2rfleur distance moyenne. Nous pourrons ecrire la seconde de ces relations est en quelque sorte la definition de d. On en conclut et la condition (2) devient d'oii (3) m ,.3 *< 2M V .i d>i\\ I / « FIGURE DES COMfelES. ^Gf Supposons r, egal a la distance de la Terre au Soleil; soient m^ la masse de la Terre, r^ son rayon, A sa densite moyenne et xs la parallaxe du Soleil. On aura /•i = -T;rz:' —-=r 324000, //fo=: 5 7r/JA. Nous prenons pour m^ le poids au lieu de la masse, mais nous faisons de meme pour (x, ce qui ne presentera pas d'inconvenient. L'inegalite (3) deviendra ^^^ ^ sinro V 47rA x 648ooo' Supposons que cette particule ait un poids de i gramme; I'unite de longueur pour ^ sera done le centimetre. Si Ton prend, en outre, A = 5,56, cjrzi8',8i, on trouve que la formule (4) donne 95, 2i"»,9o. De la cette consequence curieuse : si un nuage spherique de corpuscules pesant I gramme cliacun, place a la meme distance du Soleil que la Terre, est constitue de facon que la distance moyenne de deux corpuscules soit egale ou superieure a 1^,90, ce nuage ira en se dissolvant sous I'influence perturbatrice du Soleil. Pour avoir la stabilite, il faut que la distance moyenne :kd soit plus petite que 1^,90. Arrivant a la formation des queues des cometes, M. Schiaparclli, apres avoir rappele dans le meme Cbapitre que Bessel considere Texistence d'une force repulsive comme absolument demontree, dit que, dans son opinion, il doit y avoir dans les cometes une matiere speciale sur laquelle le Soleil exerce une action moindre que sur le reste de la comete, et meme, dans certain cas, une repulsion. Cette matiere n'entre d'ailleurs qu'en proportion minime relative- ment a Tautre, de sorte que sa presence dans le corps de la comete n'empeche pas celui-ci d'obeir aux lois de Kepler. Le developpement de la queue depend exclusivement de la quantite plus ou moins grande de cette nouvelle matiere et de la force avec laquelle le Soleil agit sur eile. Cette matiere se s^pare du reste pour former la queue, et elle pent entrainer avec elle des quantites plus ou moins grandes de la matiere ordinaire. 117. Recherches de Bessel {Abhandlwigeriy 1. 1). — Bessel considere une particule de la queue, au moment ou elle sort de la sphere d'action de la co- mete, dont le rayon est tres petit; elle se meut ensuite en vertu de sa vitesse 262 CHAPITRE XVI. initiate, et d'une force centrale dirigee suivant le rayon vecteur du Soleil, in- versement proportionnelie au carre de la distance, mais dont Tintensite est representee par ^> tandis que Tattraction du Soieil sur le reste de la masse est -j- Si (JL est positif et inferieur a Tunite, la particule est encore attiree par le Soleil, mais avec une force moindre que les elements du noyau; si (xdevient negatif, on aura une repulsion. Bessel cherche a determiner les coordonnees relatives de la particule pendant un temps relativement court. Son orbite rela- tive sera plane et son plan suppose coincidera avec celui de Torbite du noyau. Dans ce dernier plan, on considere deux axes rectangulaires Sx et Sj, se cou- pant au centre S du Soleil. Soient x eiy les coordonnees du centre de gravite de la comete a Tepoque /, X et Y les coordonnees de la particule a I'epoque /, R sa distance au Soleil; Tepoque prise pour origine du temps sera celle oil la particule sort de la sphere d'action du noyau. En designant par un ou deux accents les derivees premieres ou secondes par rapport au temps, on aura les equations (5) o^'^.+.^^ro, y^^^^=o, (6) X^-i-^zzO, Y''-hg=:o. On voit que Roche considerait la particule avant sa sortie de la sphere d'ac- tion, tandis que Bessel prend les choses apres la sortie. Les equations (1) sont celles d'un mouvement elliptique ou parabolique; les equations (2) celles d'un mouvement elliptique, parabolique, ou meme hyperbolique. Soient M la position du centre de gravite du noyau a Tepoque /, et N celle de la particule consideree ; on choisitdeux axes rectangulaires M^ et My] situes dans le plan de TorbitedeM, TaxeM^ coincidant avec le prolongement du rayon vecteur SM, et Taxe My] etant dirige en sens inverse du mouvement de la comete ; on rapporte la particule N a ces deux axes mobiles, et Ton designe ces coor- donnees relatives par I et y). On trouve immediatement les formules En substituant ces expressions dans les equations (6), et tenant compte des relations (5), on trouve FIGURE DES COM&TES. 263 On en deduit On a cnsuite En ayant egard a ces formules, les equations (4) deviennent --^.- On a ensuite ,.3 7y ""7"" F'*^' \7) ~"T"~ 7*"-^ ~ 7^/-^ ";t/- Soit/7 le parametre de Torbite du centre de gravite M du noyau; on a aussi r^r" -\- r =:p } et Ton conclut des relations precedentes X X apres quoi les equations (9) deviennent 264 CHAPITRE XVI. On a enfin d'ou, en negligeant les petites quantites (-) et ^^ j > CO H5 = 7i('-T?)- Bessel suppose que le rayon p de la sphere d'action de la comete soitassez petit pour que I'on puisse negliger p^t^ ct pt^; e'est ce qui fait que nous pouvons negliger ici [^ j et (^ ] • En portant Texpression (ii) dans les equations (lo), elles deviennent (12) { _ ^ ' ^ En diflferentiant encore une fois, remplaQant dans les seconds membres ^^ et yf par leur expression (12), et negligeant cette fois - et ^> il vient 118. Soient lof >lo. 5'o» ^'o» ^o» ^o» K* ^0 ^^s valeurs initiales de 5, y), . . ., rj*'; la serie de Taylor donne (i4) { d'oii, en tirant 5J, yj^* ?« ^^ ^0 ^^^ relations (12) et (i3), FIGURE DES COMfeXES. 265 II convient de faire figurer, dans les coefficients de t^ et de /% ret f au lieu de r^ et /'„. On pourra prendre r\ = r', et r = /'o -H /' /, To = r — /•' ^ I I Dans les termes en 5'J et */)'„ et aussi dans les ternjes en ^^ et r^^, qui contien nent 5o ou yjo en facteur, on peut faire r^ = r. On trouve, d'ailleurs, Les dernieres expressions de I et de »; deviennent l = h + t (i5) (i6) Soient maintenant^, ct g.^ les projections de la vitesse relative initiate sur les axes M^ et Myj. En se reportant aux formules (7), et ren^arquant que les pro- jections de cette meme vitesse sur les axes fixes Sa? et Sy sont on trouve T - y = {r}.ZLn^') .. X (xt -4- .VTOV r /V; — 'T'Tiy d'oii Ton tire sans peine Mais^, et ^^ designent les projections de la vitesse a Tepoque zero; on doit T. - IV. 34 266 CHAPITRE XVI. done mettre les indices zero aux diverses lettres dans le second membra; on pourra y laisser rau lieu de To. On trouve ainsi et, si Ton porte ces expressions dans les formules (i5) et (i6), elles de- viennent (17) { Si Ton pose enfin (£0=— pcosF, Yjo^psinF, ('9) ' ^ . p f /^i = -^cosG, ^,=.^sinG, et que Ton ait egard a la relation esinr Tp /•' = — =- , dans laquelle ^ designe Tanomalie vraie du point M, les formules (17) et (18) deviendront I =:— pCOsF — t (^cosG-h^psinFJ (,9) < ^_/i|^__r_2Y/:^g,j,Q_^_j^_ r jpcosF-+-— ^:^— psinFJ Y) = psinF H- / ( ^sinG — ^ pcosF I On voit que p et g* designent respectivement le rayon de la sphere d'action et FIGURE DES COMfelES. 267 la Vitesse relative initiale; les quantites F et G determinent les directions du rayon mene de M au point oii la particule sort de la sphere d'action, et de la vitesse relative^. Les formules (19) et (20) sont d'accord avec celles de Bessel, quand on y corrige quelques petites fautes de calcul (voir Marcuse, Ueber die physische Beschaffenheit der Cometeriy Berlin, i884)' 119. Determination approchSe de Torbite de la particule. — Bessel reduit les expressions (17) et (18) a leurs parties principales, savoir : (21) ^:^^,/^iZli^/._^2/'i^/», (22) n = g,t^^t^-^s/p •^^'• II s*agit d'eliininer t entre ces deux equations. On tire de la premiere I — IX /•* I — jjL 3 /• d'oii, en negligeant ^, r 1 — JUL yi — fjL 3 \r/ En remplagant dans le second membre - par sa valeur approchee^ 4/ ^^ , il /• I — jjL yi — jjLy 3 yi — /lh r V I - ^ 1 - f 2 , 2| jJL 3 I — jJL En portant cette valeur de t dans Tequation (22), et negligeant des termesde Tordre de g^^ on trouve ,.3, ,=^..(^^_2..^).g,j^3:. En supposant ^2=0 pour la queue, c'est-a-dire, la vitesse relative corres- pondante dirigee suivant le prolongement du rayon vecteur SMq, on a 2(;8 CUAPITHE XVI. Cette equation sert a determiner i — (x par les valeurs observees des coordon- nees 5 et yj de la queue. Mais I'axe de la queue est difficile a fixer. Rape (Asiron. Nachr.y n*"* H72-I174) prefere avoir recours a Tequation (23), d'oii il tire les valeurs des inconnues ^2 ct 1 — a, en combinant les observations relatives a deux points des bords de la queue. M. Radau {Bulletin astronomiquey t. 1, p. 194) a cherche a completer Tequa- tion (23) en supposant nulles les valeurs initiales de 5, y), 5' et rj', ce qui re- vient a supposer I'orbite absolue de la particule N tangente a Torbite du point M. II a calcule, en admettant en outre une parabole pour la derniere or- bite, les expressions de ^ et de yj en tenant compte des termes en t*. II a obtenu ainsi pour I'orbite relative I'equation \ ij rj \f/ hrt J ^Xi b jo \ 8 / 2^; dans laquelle q designc la distance perihelie de la parabole, et £ la quantite ^i\ I. Enfin, M. d'Hepperger i^Astron. Nachr.^ n® 2576) a obtenu une formule qui donne a peu pres les memes resultats que celle de M. Radau ; toutes les deux sont plus precises que celle de Bessel. M. Bredichin a cherche a determiner la figure de la tete de la comete, en se bornantaux formules approchees suivantes, deduites des formules (19) et (20), l= — gt cos G -h -^-^^ i\ 2 /•* rj= gt sin G. On en tire, par Telimination de /, Tequation d'une parabole; mais nous n'in- sistons pas sur ce resultat qui ne donne qu'une approximation assez sommaire. M. Bredichin a calcule la force repulsive 1 — (x pour un grand nombrc de co- metes, et il a pu etablir trois types de queues, pour lesquels cette force est res- pectivement egalc a 11,0, i,4 ct o,3. Certaines cometes ont offert deux de ces types; il y a meme une comete (1882, II) qui les a presentes lous les trois. Les trois types, d'apres M. Bredichin, repondraienta Thydrogene, au carbone et au fer. On trouvera, dans les Annales de r observatoire deMoscou, les nombreux tra- vaux du savant russe sur ce sujet tresinteressant, mais malheureusement assez complexe. 120. Recherches de MM. Charlier et Luc Picart. ~ Nous avons vu (page 260) que M. Schiaparelli a etudic la desagregation des cometes; il en a etabli la possibilite par cette remarque que la composante de la force pertur- batricedu Soleil, suivant le rayon vecteur mene du centre de gravite d'une co- FIGURE DES COM^TES. 269 mete a un point de la surface, peut devenir plus grande que Tattraction de la comete sur le meme point. M. Charlier a repris cette question d'une fagon plus rigoureuse dans un Memoire tres interessant {Bulletin de VAcademie des Sciences de Saint' Pe'lersbourg, t. XXXII, n'* 3); M. Luc Picard {Annates de r observatoire de Bordeaux, t. V) a simplifie I'exposition de M. Charlier et donne a ses conclu- sions une extension importante. Nous allons rendre compte des recherchcs de ces deux astronomes. Nous considerons done un essaim homogene de corpuscules spheriques qui s'attirent mutuellement, et sont tous attires de la meme fagon par leSoleil; c'est dire que nous supposons que la force repulsive n'existe pas. Soient, rela- tivement a trois axes fixes passant par le Soleil, x, j, o les coordonnees du centre de gravite M de I'essaim ; X, Y, Z celles d'une particule N situee a Tinterieur de Tessaim, ou a Text^rieur, dans le voisinage. On a pris, comme on voit, le plan de I'orbite de M pour plan des xy. Soit U Tattraction de I'essaim sur N; cette attraction est dirigee suivant la droite NM, puisque nous supposons I'essaim spherique et homogene. Nous aurons les equations difTerentielles (26) ^'4-A«Jz=o, f^k'L^o, r^=x'-^-y^; (27) Y^+ A-* ^ = - ^-^ U, ?'^l'+ •o»+ C«; 1 It p R' p Nous introduisons, comme au n^ 117, deux axes mobiles : M^ prolongement de SM etMyj perpendiculaire sur M^, dans le sens du mouvementde I'essaim. Nous aurons encore les relations (7), que nous recrirons pour plus de clarte, Nous trouverons (£^£-« ) V ... zl^ = *., (i - ,1,) - ^i^' ^ , 270 CHAPITRE XVI. On en tire On a d'ailleurs ce qui, en negligeant 5*, rf et ^^, se reduit a II en resulte (39) < En operant comme au n^ 117, et tenant compte des relations X X on trouve aisement, en revenant a la notation ordinaire pour les derivees, (3o) \ - cT^o __ 2ksfp d^ __ k^n (p \ iksjp >: ^ . u ^ _ ^ dt^ /•« dt 'T^yr 7"^ T^ - ^^ "^"^p-^- Supposons que Torbite de M soit circulaire, nous aurons dr -*- r—p, di—^* k=znp*, et les equations (3o) deviendront ^S df) .. ,- ,jE d^ri ^ ^ dc, , n'^ P /O \ / " TJ "^ . IT ^ ^t *y IT C FIGURE DES COM^TES. 27 1 121. Gas otL la particule N est int^rieure k Tamas. — On a alors D designant la densite moyenne. Soient m la masse totale de Tamas, po son rayon; les formules m = I TTpJD, /M = n«a» donnent Soil pose les equations (3i) deviendront (33) ; L'equation diflerentielle qui donnc ^ devient d'ailleurs (34) ^ + (F-+-0/^'C = o. On voit done que Ton a, pour determiner ^, y] et ^, trois equations differen- tielles lineaires a coefficients constants et sans seconds membres. Pour integrer les equations (33), on pose 5 = A cos(s:nt-h a), yj =: B sin(5/i^ -^ a), oil A, B, ^ et a designent des constantes qui doivent verifier les relations — A5* 4-265-1- (|ji — 3)A = o, — B.9*-f- 2A.9-1- fxB =0. B On en tire, par Telimination de v> (.,!_- ^)(5«-^ + 3) = 4.?S ou bien (35) 5*— (a|Jt^-I)5«-^-fx(pL--3) = o; 25"= 2fx -H I ± v^i6pL-h I. 272 CHAPITRE XVI. Ces deux valeurs de s^ sont reelles parce que (x est essentiellement positif. D'apres Tequation (35), la somme des valeurs de s^ est positive; leur produit sera positif si Ton a (x >► 3. Done, pour (x >► 3, les deux valeurs de s^ sont posi- tives, et les expressions de ^ et de yj ne contiendront que des sinus et des cosi- nus; si les valeurs de ^ et de yj sont petites a Torigine du temps, elles le reste- ront toujours et la figure de la comete sera stable. Dans le cas de (x< 3, Tune des valeurs de s^ sera positive et Tautre negative; il entreradone, dans Texpres- sion de ^ et y], des sinus et des cosinus, mais en outre des exponentielles. On aura £ =: A cos(sn ^ 4- a) 4- A,E*'' -+- A,E-^'', Y) = B sin (5/1 ^ 4- a) -h B, E*' 4- B,E-*^ en designant par 5^ et — s'^ les deux racines de Tequation (35). On voit done que ces expressions croitront d'une facon tres rapide; le groupement des cor- puscules ne pourra pas subsister. La condition de stabilite, (x>>3, a laquelle nous arrivons ainsi, peut s'ecrire, en ayant egard a la definition de (x. tandis que M. Schiaparelli donne (page 260) m I 0, ^ ••» Soient /i„ la Vitesse angulaire des corpuscules dans leur mouvement de revolution au- tour du centre do gravite de la comete; 1q la duree de revolution; T la duree de revolution du centre de gravite autour du Soleil . Les relations permettront d'ecrire comme il suit Tinegalite (36) T no>n\f^6y To<-i=; V/3 tandis que, d'apres M. Schiaparelli, on devrait avoir T L'equation (34) s'integre avec des sinus et des cosinus, et la stabilite est tou- jours assuree pour t. FIGURE DES COM^TES. 273 Ces resultats ont ete donnes par M. Charlier. M. Picard a considere en outre le cas ou la particule est exterieure a ressaim, et c'est de ce cas que nous aliens maintenant nous occuper. 122. Cas otL la particule N est exterieure k Tessaim. — En se reportant aux equations (3i), on remarquera que Tattraction U est maintenant celle d'une sphere sur un point exterieur; on aura done Ufm n^a^ m Les equations (3 1) deviendront oiim a ete ecrit au lieu de ^y pour abreger. En se bornant aux deux premieres equations, on retrouve le systeme ren- contre par M. Hill dans ses Recherches sur la theorie de la Lune (t. IH, p. 259). Imitant ici ce qu'a fait M. Hill pour la Lune {American Journal of Mathema- tics, t. I), M. Picard multiplie les equations (37) respectivement par 2,d\, 2.dri, idX,\ la combinaison obtenue est integrable, etl'on obtient, endesignant parV la vitesse et par G une constante arbitraire, V" a* n^ p Cest, en somme, Tintegrale de Jacob! ; nous ecrirons (38) S--^'G-7>^^'-^*- La constante b represente le demi grand axe de Torbite que decrirait, a un instant donne, la particule N autour de M, si I'attraction du Soleil sur N venait a etre supprimee. Comme Ta fait M. Hill pour la Lune, M. Picard considere la surfaces que Ton obtient en faisant V^ = o, savoir T. - IV. 35 274 CHAPITRE XVI. Cette surface divise Tespace en deux sortes de regions : pour les unes, Tex- pression precedente de V^ est positive; pour les autres, elle est negative. De telle sorte que la particule N ne pourra se mouvoir que dans les premieres. Nous allons discuter cette surface £. Elle est symetrique par rapport aux axes de coordonnees et coupe I'axe des J^ au point determine par Tequation Cette equation admet une racine positive et une seule, laquelle est o, tandis que V* est cette equation devient (42) 3(£y-^(p-26) = o; le premier membre de cette equation est positif pour p = 26et negatif pour p = 3i, car il est alors egal a — i ^^i a' quantite negative en vertu de Tinegalite (405 done Tequation (42) admet une FIGURE DES COMfeXES. 2^5 racine pa comprise entre 26 et 3b. Knfin, si dans Tequation (Sg) de la surfaces on remplace 5, yj et ^ par |=z:pcos0cos4', TQ =p cos^sinij^, C = psin0, on voit aisement que p est une fonction decroissante de 0 et de 4^ quand 0 et ^ croissent a partir de zero. On en conclut que le rayon p de la surface S' est tou- jourscompris entre po et p^. Si la condition (4i) est satisfaite, on aura, aforiiori, ^3p; a} On retrouve ainsi la condition de stabilite de Roche [formule (i r) de la page 249], pour yA = i . Au surplus, Tequation (6) de Roche (page 247) coincide avec requation(39) du present Chapitre, quand on y fait Si la vitesse de rotation est egale a la vitesse de translation, nous aurons la valeur de A ou -7 est d'ailleurs egale a 1, quand on suppose Torbite du noyau circulaire; dans ce cas, yA = i. On pent se rendre compte de Tidentite des sur- faces de niveau et de la surface S; car en ecrivant Tequation V^ = o, on obtient une des surfaces de niveau. La discussion de la surfaced avail done ete faite deja dans le Chapitre precedent. 123. Du cas oti Torbite du point M n'est pas suppos6e circulaire. — li seraitinteressantde voir ce que deviennent les conclusions de MM. Charlier et Picard quand on suppose que le centre de gravite de Tessaim decrit, non pas un cercle, mais une ellipse ou une parabole, ce qui arrive en realite. Malheu- reusement, les choses se compliquent, surtout quand la particule est exterieure a Tessaim. Supposons-la done interieure, et remontons aux equations (3o). Nous aurons U = fxn-p, A: = /ia*, de sorte que les equations (3o) deviendront, en designant par / Tanomalie moyenne. (43) 276 CHAPITRE XVI. Ces deux equations du second ordre, et sans seconds membres, sont lineaires et a coefficients variables; mais ces coefficients sont des fonctions periodiques de /. On sait qu'on pourra les integrer par des expressions telles que -f-«o (44) { 7" X-C/-+-C0, oil les coefficients c, Ay et By sont des constantes, dependant de rexcentricite e de I'orbite du noyau et de constantes arbitraires; Cq est aussi une constante ar- bitraire. Formonsnos equations, en negligeant e'; nous aurons d'oii p= a{i —e*), r = a li-] ecosl COS2/J; a\/'ao / 5 • I ^-r^ =1 -h 2ecos/-h -e*cos2/, r" 2 s(^»)= 3 H- 5e* 4- ioecos/-H 16 e* cos 2/, a^^ap dr . . 5 r» dl = e sin / -H - e" sin 2 /, -t( - — M =ecos/H — e*-i- -e*C0S2/; r^ \r J 22 les equations (43) deviendront done ' d^t ( 5 \ dri j ^ H-2 f n-2ecos/-H -e*cos2/j — — (3-+- 5e'-+- joecos/n- i6e'cos2/)? — 2 f esin/-+- -e"sin2/jTo -h |jl5 = o; d*r) 'di} — 2(1-+- 2 e cos/ 4- -e*cos2/j^ — ( ^cos/-H -e"-i- -e"cos2/j y) 2 f esin/-+- -e"sin2/J |-i-|jly) =0. En substituant les expressions (44) dans les equations (45), tenant compte de ce que A±| et B±, seront de Tordre de c, k±^ et B^^, de l*ordre de e'; en 6galant a zero les coefficients de ^^^ X, ^*^" (X ifc /), ^'" (X :+: 2/), on trouvera des conditions de deux sortes donnant, apres Telimination de A:t,, A=t2, B±,, B:t2, des relations de la forme ^l> Ao -h i'-> Bo = o, «lo' Ao -+- iH>' Bo = o ; 278 CHAPITHe XVII. CHAPITRE XVII. MfiTHODE DE CAUCHY POUR LE CALGITL DES IN^GALITfeS A LONGUES PgRIODES. 124. Origine de la mSthode de Cauchy. — Le Verrier avait soumii jugement de I'Academie le calcul numerique de la grande inegalUe de Pa qui depend du terme en 18/' — 7/. 0(1 let I' designent les longitudes moyei de Pallas et de Jupiter, et dont la periode est d'environ 800 ans. Cette inegalite est du onzi^me ordre par rapport aux excentricites et inclinaisons ; elle se trouvc neanmoins tres sensible, a cause de la petitessi diviseur 18/1'— 7/1 qui entre au carre dans la perturbation de ta longii moyeone. Le Verrier avait obtenu ( ' ) I'inegalite en question par un double tfeme de quadratures numeriques relatives k / et /', et il avait trouvc que I' galit^ s'eleve dans son maximum k SqS". Cauchy etait le rapporteur de la Commission academique; il elait desii de controler les longs calculs numeriques de Le Verrier, niais ne se souciait trop de reprendre tous ces calculs par le menu. C'est alorsqu'il imagini quelques semaines la methode tres remarquable dont nous aliens trailer dan Chapitre. II I'a developpee dans six Notes, ajoutees a son Rapport sur le Tra de Le Verrier (Comptes rendus, t. XX; 1845); il a pu verifier rapldemer resultat obtenu, de deux manleres et a I'aide de deux methodes differentei a trouve successivement 906", 6 et go6",3 pour le coefficient de I'inegalite, > remarque que la petite diflerence de ces deux valeurs avec le nombre SgS" seulement de Tordre des erreurs que pouvait amener I'usagedes Tables de \\ ritbmes a sept decimales, dont Le Verrier s'etait servi. Les Notes de Cauchy presentaient une concision qui pouvait arreter queic lecteurs; a la demande de Le Verrier, M. V. Puiseux en fit une exposition cl et dctaillee, dans le Tome VII des Annales de I' Observatoire de Parts; il ete en m6me temps les resultats de Cauchy a la seconde partie ^^ "'"•^■^ "*""" d fonction pert urbatr ice. (') Les calculs de Le Verrier oat 6t6reproduiUdaa3 lei. Ides .^/i/ioZeftfe robtentaoire, f.Z^- METHODE DE CAUCHY. 1179 La methode de Cauchy est avantagcuse, surtout quand on considere les ine- galites a longues periodes provenant de termes dans lesquels figurent des mul- tiples eleves des longitudes moyennes. 125. Nous considerons deux planetes P et P', et nous proposons de calculer le terme de la fonction perturbatrice du mouvement de P', qui depend de Targument oil n et n' designent deux nombres entiers. Pour eviter une confusion de lettres, nous representerons les moyens mouvements par (x et (x', les masses des planetes par m et rn! (celle du Soleil etant i), et par a et a' les demi grands axes; nous aurons done On aura ensuite I 8[Ldt est rinegalite de la longitude moyenne que nous nous proposons de calculer. La fonction -r ^^ etant developpee suivant les sinus et cosinus des mul- tiples des anomalies moyennes, ou, ce qui revient au meme, suivant les puis- sances positives et negatives des exponentielles E^^ et E^'^, oil E designe la base des logarithmes neperiens, supposons qu'on y ait trouve le terme de sorte que (3) R=///i' A,.._„E(«'^'-«^)>/^-+- . . ., il viendra ^ =- /m'/i v/^=7 A,._« E'-'C'-«C) ^FT; en substituant dans (2), regardant les elements comme constants, et integrant, on obtient 28o CHAPITRE XVII. Cette inegalite est imaginaire, mais elle deviendra reelle en associant au terme considere le terme conjugue. Soit on aura, en considerant les deux terines ensemble, ou bien A ^. 6//n' /I OIL . , ,y, y, ox OU encore, en remplagant/par - Tdaflr/ = -^^ f -7— r^ V /iaOIl/sin(n'C'— /iC -+- Q). Pour avoir Tinegalite en secondes d'arc, il faut introduire le facteur -, — ^\ si Ton pose 1 = ^. — - ( — r— rJ- I nay sinr \-\- m\rv \i! — n\i.) (4) { on aura dC= Afxc^/ = raiLsin(/i'C'— /iC-+-a). Le plus souvent, le second terme de la fonction perturbatrice, 75- > ne donnera rien de sensible; de sorte que nous pourrons nous eontenter de deve- lopper i. 126. Expression de A^ en fonction des anomalies ezcentriques u et u^ des deux planMes. — Soient t el t' les distances angulaires des perihelies a Tun des points d'intersection des deux orbites, w et w' les anomalies vraies, 1 1'inclinaison mutuelle; on a A*=r"-i- r'*— 2rr'cos(r, r'), cos(r, r')=: cos(w h-t) cos(w'h-t') -h sin(w -t-r) sin(«''-i-T')cosI, d'ou il resulte !A' = r* -H r'* — 2 M r cos w. r' cos w' — 2 N r sin w. r' sin w' — aP.rsintv. r'cosw/— aQrcosw.r'sintv', / M= COST cost' 4- sinT siriT'cosl, ) N= sinT sinT'-HcosTCOST'cosI, ' P=— sinTCOsr-hcosTsmrcosI, Q =: — cosTsinT'-H sin T cost' cosl. MtTHODE DE CAUCHY. 28 I On a d'ailleurs, en designant par e et e' les excenlricites, / /•cosw'rr a(cosw — er), r'cosii^'^ a' (cos;/' — e'), (7) \ r sinw=:r«v/i — ^'sinw, /' sin i^^' = a'\/i — e?'* sin u', \r =a(i — ecosw), r' = a'(i — e'cosw'). En tenant compte des relations (7), I'exppession (5) de A* devient /cos u cos u'-h g sin u sin ;/' 4- A sin 1/ cos u' -h h! cos u sin w' , oil h, c, ..., A' designent les fonctions suivantes des elements elliptiques, qui seront calculees une fois pour toutes : 2 2 (9) / = — 2 M aa! , g-=^ — 2 N aa' y/i — e* y/ 1 — e'*. Si Ton pose, en mettant en evidence ce qui se rapporte a la planete P\ I H = 6 -Hccosw -hc^sin w 4- «cos2£i, (10) • Kcosw = c'4-/cosw -h Asin^/, ( Ksina)=r(^'-i-^sin£i-h A'cosw, (11) a?'= £**'>/=«, on trouvera sans peine que I'expression (8) de A^ devient 2 ^ ^2 (12) /^, ^^(^^) Les quantites H, K et o) sont des fonctions de Tanomalie excentrique de la pla- nete troublee. 127. Probl&me auxiliaire. — On va decomposer en facteurs du premier degre le polynome ^{x'), qui est du quatrieme degre. Soit T. - IV. 36 282 rnAPITRE XMI. Tune des racines, a' ei^' designant des quantiles reelles, et a'>o. En substi- tuant cette expression dans Tequation sans toucher a 9'; done les qualre racines de Tequation ^(x') = o pourront etre represen- tees par 1 «-.w— : ..«..,/— r I ^..w— : (i4) aT>>/^, -^E^V-t, b'ExV^, r-,ExV-«; XT/ a I)' b' et x^' sont reels, b' > o ; on pent prendre b'<; a'< 1 . II y a une relation simple entre 9' et y'. En effet, le produit des racines (i4) doit etre egal a i, d'apres la forme (12) de la fonction $; on en conclut V 6tant entier. On pent prendre v = o, ce qui donne /.' = — 9'» et les racines (i4) deviennent a'E^'v^, ^E?'>/-», b'E-?V-i, ^F-?'*^; a' b' si Ton avait v = i, il en resulterait •f ce qui est impossible, le second membre etant toujours negatif. En ecrivant que, d'apres I'expression (12) de (a?'), la somme des racines, ou les sommes de leurs produits, 2 a 2 ou 3 a 3, sont respectivement egales k on trouve 2II , ... I a' b' f fuf ' an' = 2 cos 2 o 4- a' b' H — rj-/ -H vi H — > a'b' b' a (i5) I — ^E-''>v^^=z('a'4-:|7') E?V^ -4- /'b'-f- j^) E-?V^, METHODE DE CAUCHY. 283 Les deux dernieres de ces relations peuvent etre remplacees par 7 cosaji= ( a'-f- ."7 "+" " ■^" K/j coscp', (i6) { ' \ » / — -TiS\n(^=z(b'-\-^ — a'- ^jsin9'; on en deduit ( ^; cos 2 CO = [(a' -t- ^,) V (b' + ^,)' J cos a 9' + 3 (a' + l) (b' + i) • Si Ton pose (,8) 7.= cosa9'. v.= i(a'b'+^y, y,= i(^^ + ^'), on trouve aisement, en vertu des relations (i5) et (17), H ^i -+-/«-+- yj =-•, > K' H Doncy,, Vj.ja sont les racines, necessairement reelles, de i'equation (-9) ^ i'^-^[ip-')y-^i-^r^ C0S2tJ =0. J, est < 1 , 72 et 73 > 1 ; on a d'ailleurs j^ > J3, car cette inegalite revient a I a' b' a b' b' a' ou a (1 — a'*)(i— b'*)>o, et cette derniere inegalite est verifiee. Done I'equation (19) aura toujours ses trois racines reelles, Tune < i, ce seraji ; les deux autres > i ; la plus grande de ces dernieres sera jj. II est commode de resoudre numeriquement I'equation (19) par la trisection de Tangle. Pour y arriver, nous ferons (20) J=ry^ -h YCOSU, 284 CHAPITRE XVII. Y et U etant deux inconnues dont Tune, Y par exemplc, reste arbitraire. Eo portant dans Tequation (19), et faisant on tpouve Y» COS' U — ^Y cos U — ^ = o. En remplagant cos'U par COS'Ur= 7 cos3U -+- 7 cosU, 4 4 il vient Y»cos3U4- Y(3Y«-4^')cosU-4^ = o, ou bien COSSU =i:COSU, si Ton pose On aura ces trois valeurs de U ,, u J, 21: -hv air — u "-3' ^-— 3~' ^ = — J-- Finalement, les trois racincs ont pour expressions / H M I sP + Vs COS J, U . Af 27r-+-u COS 3/' ' V 3 "^" 3 (22) / H ^ /a' 27r — u H Ae 3?-^V3 OU L'expression (12) de A* donne ensuite i=i/i?n?(i-a'x'E-?V^) '(i-aV- sinaj=: — 71 r» les formules (18) donneront i^^) C0S2(p'_J|, I ,,, 2 a' b' 2 a'b' smaj b' a' sin a, d'oii 1 ,^, 2cosa, a' b' 2C0sa3^ a'b' sin a, * b' a' sin a, ' on en con iclut a'b' -lang ^S ^, -lang \ ou bien (25) a' W (i . i\ b' , /i tang (-arc sin — )> — langl-arcsir Les formules (24) et (25) donnent ^', a' et b'; la solution ne laisse rien a desirer en ce qui concerne a' et b'; mais, pour 9', elle laisse subsister une am- biguite, qu'on leve aisement au moyen des relations (16), car celles-ci donnent sin(p' et cos(p', en grandeur et en signe. Lorsque Texcentricite e' de la planete perturbatrice est une fraction ires petite, on pent avoir immediatement des valeurs approchees de a', b' et ^'. Si Ton supposait en effet e'= o, d'oii i' = o, le premier terme et le dernier disparaitraient dans Texpression (12) de • On a done ces valeurs approchees a' = 9, 9'=ci)-h7r, b' = o, II faut maintenant passer a Tapproximation suivante, en tenant compte de la premiere puissance de i'. On a identiquement de sorte que I'expression (la) pent s'ecrire L'equation A^ = o devient done x' (x' H- 5E<«>>^) = - ^ ' "^ """ ^ H-0j7'E-»v'-i En negligeanti'S on a d'abord x' = o, x'=— (?E»v^, comme nous Tavons trouve. Pour avoir la nouvelle valeur de la solution qui se reduisait d'abord a zero, nous ecrirons x' = — ^ (x^-^0E^s'-')(i-h9x'E-^^') et nous ferons dans le second membre x' = o» ce qui nous donnera a:' = — ^E-^v'^»-b'E-?'v^; METHODE DE CAUCHY. 287 nous aiirons done ce qui donne ainsi une valeur approchee de b'. On auraensuite et, en remplaQant dans le second membre x' par — bVJ^^'\ il vient K I — 9' . d'oii i' a' 008©'=:— QCOSO) -h =7-7 j^rr (COSO.) -h 0* COsSw), K ( I — 0* ) /' a' sin©'—— 0 sinw— =j^; 7^, (sinw-h^* sinSw). K(i — 0*) On en tire aisement, en negligeant /'^, /_ fl / cos2ci)-4- 0*cos4w « -^"' Kti-0«) ' , ., sin 20.) -h 0*sin4o.> 129. D6veloppement de ^ suivant les puissances de x^ = E'*W~. _ On a nous avons donne dans le Chapitre XVII (t. I), Texpression de €„ developpee suivant les puissances positives de a; mais nouspreferons employer la formule (L) (t. I, p. 279), en y supposant ^ = -, ce qui donne c„ = e,„='-^v('"-'>-.gUr,-.i— I ^, (26) { VI « L 1.3 1.3 / a» Y 1 .4 (2/A-h2)(2«-|-4)\I— aV " J* 2 Cette formule, qui suppose a'< -> est d'un emploi tres facile lorsque n est grand, et c'est dans ces conditions que s'etait place Cauchy. 288 CHAPITRE XVII. On aura, en employant la formule (26), , , «, 1.3. ..(2w — I) a'" r I 1 a'* 1 (27) X'n = ,— , I ^, 4-. . . . ^ '' '* 2.4...2/i y/i__a'*L 2 2n-h2 I — a'* J _i _i (i — b'E-?V^^'-0 ' (i - b'E?V-i j:') «::z: 111,; -f- 111,', E?V^ x' -+- \ll>; E»?V=^ j:'* -f- . . . -h 111/, E-?' v^^'-' H- lib; E-'?V^ a:'-« 4-. .. , . ox .w J.3...(2/< — I) b'' r I I b'* 1 ^ ' " 2 . 4 ... 2 n v^i — b'* L 2 2 /« -h 2 I — b'* J On en conclut, par la multiplication de deux series, — CO ( z'^,= i/^^' V^'n'^K E-«'?v-i 4. x;.^,iib; E-<«'-^«)?v-i -+. x;.^,ift,; e-(«'^*>?'/=^ + . . . (3o) ( V * >;._,iii>; E-<»'-«)?v^ 4- ju;._,ii5,; £-(»'-♦)?'/=» 4-. . .]. Les coefficients qui entrent dans cette formule sont des fonctions de /i; la serie convergera rapidemcnt, en general, car oib^ contient le facteur b"* qui est petit le plus souvent ( b' == 'v V, quand n est un peu grand, ift>'„ sera tres petit. 130. Transformation du d6veloppement de ^- — Nous partons du deve- loppement (29) de ^> et nous voulons en conclure le developpement (3i) 1=2^-'^"'*'^'^^- II s'agit, en somme, de passer du developpement d'une fonction suivant les sinus et cosinus des multiples de Tanomalie excentrique au developpement correspondant relatif a Tanomalie moyenne; nous nous sommes occupes de cette question dans le Chapitre XIV (t. I). La formule (a) (I, p. 233) montre que Av est egal au coefficient de x'"' dans le developpement de I'expression ■e¥('->.)[,_1'(.,^.)j M^THODE DE CAUCHY. 289 Or, on a [I, p. 209, formule (3)], ,3,, ■=^<'-^) [.- 1' (-'-p)] -2 (-?)*-"• oil/' doit prendre les valeurs entieres, de — 00 a -hx). Done, A;^' sera le coef- ficient de a?'"' dans le developpenient de En ayant egard a la formule (29), il vient (33) A,.==2(^-,T>)-''-'*^-- I' on a d'ailleurs . (fir if): c-^)' '■ ~~I.2.../'L' I. (/'-H I) "*" I. 2. (/' + !)(/' J jL,,=(-i)'j;.. 2) La transcendante de Bessel, J),, decroil rapidement quand /' est grand, de sorte que {'expression de A„' ne comprendra qu'un nombre assez limits de termes dont il faille tenir compte. Nous avons maintenant a trouver le coefficient de E-"':v'=^ dans A„-. Remarquons qu'en operant comme precedemment, on a (34) ^ =2 ^-'.^-'' =2 A-nE-;/^, (35) A-„=:2('-7,)-^'^-»+" ,=_(IILilI ' 1 .2. . . / L I .(/ 4- 1 , .... .., (?)■ ) i.a(/-f-i)(/-h2) • • I • La premiere expression (34) de ^rdonne (36) f^ =2 ^-n-P-^"-'- P Donnons hx = E^v^"* les k valeurs T. - IV. 3; 290 CHAPITRE XVII. en progression georaetriqiic, ce qui revient a atlribuer a Tanomalie excentrique de la planete troubiee k valeurs en progression arithmetique, ajoutons raembre a mcmbre les k relations qui se deduisent ainsi de I'equa- tion (36); si nous posons d'une maniere generale nous trouverons (3;) s^'^2'^-''-/'^^'"'' or ^xP-^ est nul ou egal a k^ selon que p —I est, ou non, un multiple de k\ nous n'avons done a considerer que les valeurs suivantes de/?, etTequation (87) donne ainsi Si le nombre entier positif A est grand, meme par rapport a n, comme / rcQoit des valeurs peu considerables d'apres ce que Ton a dit plus haut, les indices — n 4- / =t /-, — /I -h / ± 2 /% seront de beaucoup superieurs en valeur absolue a w, et si les quantites J3ly decroissent d'une maniere notable quandy augmente, la parenthese de la for- mule (38) se reduira sensiblement a %-n^i. On est ainsi conduit a poser et il viont I ^ ./-"-' A A En portant dans Tequation (35), on trouve (4o) A_„ = 1 s J 2 (. - ^) j.-'-2^ (. - ,0 •'" METHODE DE CAUCIIY. 29 1 Mais la formule (Sa) donne E-?('-i)[,.-£(..i)]=2:{.-,o^--'^ de sorte que la relation (4o) devient ou bien OU encore, en introduisant ^, (40 A_„::::is^E"^v^=^(,-ecosa) -^'^^'-rJ-^'- Cherchonsa en conclure le coefficient A;,',_;t de E^"'^'"^v^ dans ^; on a A-„ = . . . 4- A„', _„ E^'^V^i H- . . . , d'oii •/ — 7^ en tenant compte de la formule (40> *^ vient — IT -2;(- «-)''^ />-"--'--. ^c. Or, il vient done iinalement (42) A„...-„ = ). SA„E"!:/='(i - ecosw) - ?, 43) p=20-;!)j'^£"*^-"'^''"'''^' 29'-^ CHAPITRE XVII. Si k est assez grand, on pourra supposer p = o, et (44) Av._„:= J.SA;..E"^v/^(I-ecos£/); la valeur de A„' sera d'ailleurs calculee par la formule (33). Reprenons la formule (v3o), et separons les parties reelles des imaginaireSi en posant / F„' = X'n: i<5>'o cos n! 9' -\- X'^-^^ ilVj cos ( /i' -+- 2 ) 9' 4- . . . -h X^_|l)Vj cos(/i'— 2)9'-h. . . , G„'=:c'l«»^''US,'o sinn'9'— ^^-Hi^J/j sin(/i'-h 2)9' — . . . — ^l>rt'_ll)l)', sin(n'— 2) 9' + . . . , (45) 11 viendra ^«=2(- S)-''V^^^'''-''^^^^"-''^- Si Ton pose (46) Vcos^=:(i — ecosw)2(»-- -/) 1/^77- J/' F/i'-/' V sini' — (\ — e cosa)^ (' "" Tp) V "V" •'^'^'»'-''' il viendra A;,' (I — e cos u) = VE*'/-*, apres quoi la formule (44) donnera Or, on a pose au commencement du Ghapitre il vient done ( 0ILcosi2=^ SVcosC^^-h/iC), (47) j ( DIVsinlirzi i SVsin(i'-f-nC). La formule (4) donnera enfin Tinegalite cherchee 8^. 131. Nous aliens presenter le resume des calculs a faire. Les donnees sont les elements elliptiques a, e, (x, a\ e\ fi', les longitudes des noeuds et des perihelies, les inclinaisons; les nombres entiers n et n! que I'on METflODE DE CAUCHY. 29^ deduit de la reduction de — , en fraction continue, en cherchant les reduites J ..f qui conduisent a de petites valeurs de '^ — ^• On calcule Y par la formule (4), t, t' et I par des formules bien connues, en resolvant un triangle spherique. On delermine les constantes c, c\ rf, d\f, gy h, h\ i et i' par les formules (6) et (9). Tons les calculs precedents sont faits une fois pour toutes. On determine ensuite le nombre entier k comme nous le verrons plus loin, et, pour les k valeurs de Uy 271 . , .27: O, -jy ..., {k-l)-j-y on calcule C par la formuJe C = " — e sini/, H, K et Gj par les formules (10); *el ^ » (21); yu yuy% » (22); a', b' et 9' » (25) et (16); Une s6rie de valeurs de X'^ et iib^. . . » (27) et (28); Une serie de valeurs de F et G » (45), les valeurs JJ^, J',, ... qui dependent de Targument 2 V et V par les formules (46); OR/ et 12 » (47); 3C » (4). On voit qu'en somme, on a determine ^X, par des calculs analytiques, et par une interpolation repondant aux A valeurs de u considerees ci-dessus. Dans le cas de Pallas (P) et de Jupiter (P'), on a n =^'j^n! =: 18; Cauchy trouve qu'il suffirait de prendre A: = 29; il adopte k = 36, de sorte que les va- leurs attribuees a u dans la suite du calcul sont les multiples de 10^ inferieurs a la circonference. Les transcendantes de Bessel qu'il y a lieu de considerer ont pour valeurs J'o = 0,82075740, Ji = 0,000 123 57, J J =0,393 993 00, J'e = 0,000 008 97, J', = 0,088 236 48, J7 = 0,000000 56, Jj = 0,012947 72, Jg = 0,000 000 o3, J4 = 0,001 41646, J'j = 0,00000000. Cauchy forme ensuite les deux produits io«Vcos(t' -h 7C) et io«Vsin(i'-+- 7C), 294 CHAPITRE XVlI. pour chacune des valeurs de u multiple de 10*^; il trouve qu'ils se reduisent sensiblement a zero pourw = o*^, 10®, ...» i3o®; 3 10*^, 820** 35o®, tandis que les autres valeurs sont les suivantes : u. io»Vcos(t'-i- 7^). io»Vsin(»' 4- 7!;). u. io'Vcos(i' -h 7!^). io»Vsin(t» -+- 7C)- o o 140 -f- 6 -f- II 23o "^-17377 — 9445 i5o -r- 28 — 1 3 '240.. .. -H 7720 — 15267 j6o — i5 — 85 25o — 2200 — 9932 170 — 228 — 85 2G0 —3664 —2228 180 — 58i -h 35i 270 — 1241 ■+- 555 190 — 492 -+- 176^ ^^o -I- 10 -+- 345 200 -+- i652 -f- 4*84 290. .. . -H 75 -r- 8 210 -+-7/53 -+-5469 3oo — 2 4- i5 220 -1-15902 H- 982 En ajoutant les nombres compris dans la deuxieme et la troisieme colonne, on trouve io«SVcos(i^-h 70 — -+-42 100, io'SVsin(t'-h 70=:— 28899, d'oii 10*^311/ cos 12 =1 4- 11 694, 10'^ DJL sin 12 = — 65oo, 10*02011.1=26759, 12 = — 29°3'55% et comme on a log Y = 8,83i oo, Cauchy oblient enfin pour Tinegalite cherchee, iC=:9o6',6sin(i8C'-7C-290 3'55''). M. V. Puiseux a trouve que le second terme de la fonction perturbatrice re- duit le coefficient a goS'', 7 . 132. Calcul de k. — Si Ton veut que le module de A„*^^„ ne soit pas en er- reur d'une petite quantite c, il faut, d'apres la formule (42), que Ton ait (48) modp„ifboE-«?v^-h...X et, en negligeant -> on pourra se borner a j.3...(2n — i) a" cls;, — 7 , > 2.4. ..2/1 i/j g^J 1 . 3 . . . ( 2 n — I ) b** 2.4- •• 2/1 i/i _ [)2 Or, la formule de Stirling donne I .3. . . (2/1 — l) I / ^ 2 . 4 . . • 2 /I iZ/i 71 V 2 /i -h 1 II en resulte 0<&» — V//i7r(i — a*) b est de I'ordrc de c^; en negligeant ^', on pourra prendre ill^o^J, Db^— o, pour /Im I, 2, . . . . II vient done simplement Ti _ /2ab (aE-?^'^)" 296 CHAPITBE XVIT. Aa-b+z est le terme principal de I'expression (5o) de s; nous prendror plement et raSme, en tenant compte de ce que /est petit par rapport a i — n, (53) . /lib (aE-^.^)*-.^ Revenons a I'expression (49) de p. On aura nio(lp< — / f^' X I mod maximum de Vj( 1 j J, On a (54) Or, la relation ^^(-=^[-l(=-0]=2(-^)- donne, pour s = aE"''''-' , e est assez petit ; on peut prendre .-|(aE-?^-a-'E9/^)=E-''^'^''^-"'"'^', et il en resuUe, en negligeante', En portant dans la formule (54), ii vient ■^ \ ") V ' v'C -")!:(■ ■»■) Le module de cetle expression est METflODE DE CAUCHY. 297 On a done mod p< maximum del / — -. — F V * « / . Cherchons ce maximum; a, b et 9 sont seuls variables et dependent de u qui varie de o2l 21:; k — n etant grand, le maximum en question repondra sensible- ment au maximum a, de a; soient b, et 9, les valours correspondantes de b et de lo{?^. Telle est Tinegalite qui devra etre verifiee; on voit que son premier membre augmente avee k; il suffira de prendre la plus petite valeur de k satisfaisant a rinegalite. 133. Calcul de a,, b, et f|. — On pent calculer explicitement ces valours quand on neglige les secondes puissances des excentricites et de Tinclinaison mutuelle. Les formules (6) et (9) donnent alors / U = ^^cos(7-t'), Pm-Qz=sin(T' — t), f^gzzz— 2 aa' cos (r — t'), h -— — /i'=z 2aa'sin(T — r'), (57) ( 6 = a' 4- a'*, iz=zo, i'=:o, c :=z — 2a[ae — a'6'cos(T — r')], c'=: — 2a'[a^e' — aecos(T — t')], d=^ 2 aa' e' s>in{T'—T)f d'=^ 2aa'esin(T — t'). Si Ton pose (58) ae — a'e'cos(T — T')=Acosa, I A > o, a t''siii(T — t') = A sin a, a'e' — aecos(T--T') = A'cosa', i A'>o, V — aesin(T — t') = A' sin a', I T. — IV. 38 298 CHAPITRE WII. on tire aisement des formules (52), (37) et (58) (59) H'=ia»4-a'«— 2A'a'cos(«'— «')» i K'cosci)'— — aAacosa — 2aa'cos(M'-hT'— t), (60) ] I K'sinci)' = — aAasin a — 2aa'sin (m'-ht' — t). A est de Tordre de e et de e'\ en negligeant le second ordre, on a K'*=4rt»a'»-h8Aa*a'cos(a'— a-+-T' — t), (61) K' =2aa'n — ^cos(w'— a-hr' — t) . On tire d'ailieurs des formules (58), A cos (a -+- T — t') = — A' cos a', A sin (a -h t — t') = — A'sina', d'oii A = A', a -*- T — t' = a' -i- r. La formuie (6j) devient done K'=2aa' I — ^cos(w'-- a') , et, en combinantcette formuie avee la formuie (Sg), on trouve (62) -=-,- = ; — \lA J -, ,, cos(m'— a') . Mais en negligeant e*, Texpression de A^ se reduit a et, en ecrivant que cette expression s'annule pour x = aE^*^"*, il vient a K' d'oii (63) 9—00'-+- 71, I 2 11' h a 3z: • a K' En remplagant -jt,- par sa valeur (62), on aura 64) -4-a== — H 1 ,-- - cos(tt' — ol'). METHODE DE CAUCHY. a 399 Supposons a>-a'; alors a difierera de — d'une quantite de I'ordrede A'; on trouve sans peine On voit que le maximum a, de a repond a (65) m'= a' 4-71, a' ( A' Les formules (60), (63) et (65) donnent ensuite K'cosa)' = — - 2a(A -H a') cos a, K'sin ci)' = — 2a (A H- a') sin a, d'oii (»)'=: a -Htt, ?i= a. On a enfin *"*-!? -d^('""r) Ainsi, en resume, a >«', a' a a / ^ 2aa' \ a'/ On trouverait de meme a -^« V/2 SUK UNE METHODE DE JACOBI. 3oi CHAPITRE XVIIL SUR UNE MtTHODE DE JACOBI. 134. Nous nous proposons d'exposer dans ce Chapitre les principaux resul- tats du beau Memoire de Jacobi, intitule : Versuch einer Berechnung der grossen Ungleichheit des Saturns nach einer siren gen Enlwickelung (Astron. Nachr., t. XXVIII, n°^ 653-654, et OEui^res completes, t. VII, p. i^S). Soient a, e, ui, / le demi grand axe, I'excentricite, le moyen mouvement et la longi- tude raoyenne de Saturne; a\ e\ [x, /' les memes quantites pour Jupiter. 11 s*agit, en somme, de trouver dans -r les termes qui dependent de iV — 5/, A designant la distance des deux planetes. En partant des formules du Gbapitre precedent, on a pour A* une expression de la forme A»=:(o) — (i)cos(w — a'-t-D)-+-(2)C0S(l/-+-B) — (2')C0S(l/'-hB') (0 I I I H — a*c*cos2tt-f- - ci"e'*cos2a'-f- (3) cos(tt -h «'-hC), 2 2 les quantites (i), (2), (2') et (3) sont supposees > o. En se reportant aux no- tations du Chapitre precedent, on trouve aisement (o) = 6; (1) cosD=:-i(/-h^), (1) sinD =^(A-/«'), (2) cosB z=C, (2')cosB' = — c', (3) COSC =:i(/-^), (2) sinB= — dy (2')sinB'=d', (3) sinC =-l(A-t-A'); 2 (a) 3o2 CHAPITRE XVIII. d'oii, en mettant pour b, c h' leurs valeurs (9) du Chapitre precedent, (i) cosD = aa'(^ -f- N y/i — ^V' — «'*)» (i) sinD -.aa'iQs/i— e'^ — P y/i^^^ ; (2)cosB =2a(Mflr'e' — ac), (2) sinB =: — 2Paa'e'\/i — e*; (2') cosB'=: 2flr'(a'c' — Mflre), (2') sinB'=: iQaa'esJi — e'*; (3)cosC =— aa'(M — Ny/'i — eV>^^^)» (3) sinC = aa' (P y/i — e» h- Q v/T"^^^^*) . Nous recrirons d'ailleurs, pour plus de clarte, les valeurs de M, N, P et Q, Mm cosTCOsr'-h sinr sinr'cosl. N = sinr sint/ -t- cost cost' cosI, (3) { P =— sinTCOST'-f- COST sinr cosI, Q = — COST sinT'+ sinTCOST'cosI. Gela fait, Jacobi pose (4) d.= b-b;, (5) Ao = (o) — (i)cos(w -a'-f-B-B;) + (2)cos(a4-B) — (4)cos(i/'-hB;); Ai = - flr*e*cos2i/ -+- - flr'*e'*cos2i/'-+- (3)cos(a-4- w'-h C) (6) / 2 2 [(4) — (2') cos(B; — B')] cos(a' -+- B',) — (2') sin(B; - B') sin(i/'-h B',). La quantite (4) est restee arbitraire. Nous verrons dans un moment que, si Ton considere ^, e' et I comme de petites quantites du premier ordre, (o) et (i) sont de I'ordre zero, (2) et (2') de I'ordre i, (3) de Tordre 2; enfin, la suite du calcul montrera que (4) est du premier ordre, et que les coefBcients de 008(1/-!- B',) et de sin (m' -f- B',) dans la formule (6) sont du troisifeme ordre. On a d'ailleurs identiquement (7) A«zz:AoH-A„ de sorte que cette decomposition est avantageuse, A( restant toujours du second ordre. Jacobi ecrit ensuite que Texpression (5) de Ao pent se mettre sous la forme I Ao == a' 4- a'* -+- a''* — 2aa'cos(w — m'h-B — B'.) (8) f -h 2aa"cos(« 4- B)-— 2a'a''cos(a'-h B',); SUR UNE METHODE DE JACOBI. 3o3 oil CL, a! et cl" sont des quantites positives. Le rapprochement des expressions (5) et (8) donne les conditions a'-ha'^-ha'^^Co), laa' =(i), 2aa''=(2), 2a'a''=z:(4). On en tire aisement (9) «'-^, «'=^'^ 9 2a Id (lo) (4)= ;;r-> 2 a' • (l)*-t-(2)« , , ^-^ 4a' "^(^)' (J I) 2a» = (o) -hv/(o)«— (i)»— (2)». Les formules (9), (10) et (11) determinent a, a', a" et la quantite (4). 135. Nous aliens evaluer les ordres de petitesse de nos diverses quantites. Les formules (2) donnent d'abord, en y remplagant M, N, P et Q par leurs va- leurs (3), et negligeant seulement le quatrieme ordre, (3)cosC = — - aa'[( e»-he'»)cos(T — T')-hPcos(T-t-T')], (3)sinC=z~- iaa'[(e'»— e»)sin(T — T')-t-Psin(T-t-T')]; done (3) est bien du second ordre. On trouve, en operant de meme, (j)cosD = laa' [ i -. j cos(t — r ), (i) sinD = 2aa' ( i -. j sin(T — r ); d'oii (12) \ 4 / ( D =:t — t'; ces expressions de (i) et D sont exactes aux lermes pres du quatrieme ordre. Considerons le triangle CSC ayant pour sommets le Soleil et les centres des deux orbites ; soient 0, y et y' les angles, S la distance des centres. On aura CS = ae, C S = a' e\ M = cos B, ae — Ma'e' = 3 cosy, a'e' — Mae = icosy', a'e s\n9=id siny, aesinQ =- isiny'. 3o4 CHAPITRE XVllI. Les relations (3) donnent, d'ailleurs, Q^nhy/i — M*— sin'r sin'l; or —Pet -+- Q different peu de sin(T— t'), et, dans le cas actuel, le calcul numerique montre que ce sinus est positif. On doit done prendre P =: — v^siii^O — siller' sin^I, Q =v/sin'6' — sin*Tsiii*l. En ayant egard aux relations precedentes, les formules (2) donnent (2) cosB = — 2a5cosy, (2) sinB nr 2ad \/i — e* siny 4/ i r-r^sin*!, (2')cosB'=: 2a'icosy', (2') sinB'= la'is/i — c'^ siny'i/i— '*. ^^ sin*l. ^ ' ^ ' \ sin*d On en tire (2) =z 2a$ i/ I — sin'y (e* h :—^ sin'r' sin*I), (2') = 2a'54/,_sin«y'(e'«-i--^^ sin'rsinM), T. / i I sin^r' . ,- tangB =— tangy sji — e'^U \— ^j^ suiU, tangB'=: langyVi— «?''i/i— g!]^ sin'l; d'ou,en conservant seulementletroisieine ordredans (2) et(2'),etle deuxieme dans B et B\ (2)=2a5[x-isin«y(e«H-PJ;i;^)], 1800- B = y - J (e« 4- P ii^-) sin2y, B-/-j(e--^pf;j;-^)sia2/. On voit quo les valeurs approchees de (2), (2), B et B', qui sont respective- ment egales a laoy ia!oy i8o*» — y et y\ SUR UNE METHODE DE JACOBI. 3o5 s'expriment tres simplement au moyen des elements du triangle CSC. On a d'ailleurs et il en resulte / Kx n n n, !/• Psin*T'\ . I / ,, Psin-7\ . , (.5) 9 = li-B' - -^(e*+ -^r^Jsm^y- -^(e-+ -^r^jsin^y . Mais Tequation donne cos^ = cos(t — t') I'sinTsinr' 2 2 sin(T — T ) ou bien, en ayant egard a Texpression (12) de D, / fi\ fl ¥\ ' u sinrsinr' (16) d = D -^ -V - . -, • ^ 2 sin(T — t') Les formules (4), (i5) et (16) donnent SB', =B'-h^ (e*sin2y-he'*sin2y') I -J sin2y sin^r'-h sinay'siii^T -h 2sinT sinr'sin© On voit que la difference B', — B' est une petite quantite du second ordre. 136. Venons maintenant au calcul dea, a' et a". Les formules (2), (12) et (i3) donnent (o)«—(i)«— (2)«=:(a«— a'«)*— (a* — a'») I 3a»e«-h a'«e'«— \^ ^ \ V — t^aa'ee' cos(t — t') , V^(o)«— (!)»—( 2)«rra«—a'«—- ez»e»— i a''e'»4- -^^^^ 1*4- 2aa'ce'cos(T — t'); 3 2 2 a* — a' (0) = a' 4- a'-H- - r3E*e* H — a'^e'^— 2aa'ee' cos(t — t') ; 2 2 en appliquant la formule (11), il vient a^a'^' 2 a' = 2 AT* — a'e* H ; r. 1*. a* — a" (.8) «^«[._'(.._^^,,)j. T. - IV. 39 3o6 CHAPITRE XVIII. Les formules (9), (1 2) et (18) donnent ensuile (•9) «■="■[- K'--3^'.")]- Ces expressions de a et a' sont cxactes aux termes pres du quatrieme ordre. La seconde des formules (9) donne (20) a" — 6, aux termes pres du troisieme ordre. Enfin, on tire de la relation (10), en ayant egard aux valeurs de (i), de (2) et de ol'\ (2') ~ 2a* (2') ' 4 ^ ' '>. ' \ su\*0 J (2') 1 . I a'^ ,. ^ ' 'i I { fi nSin*T\ 2 2 a^ — a'* 2 ' \ sin*0/ I -h 7 e-cos2v — 7 e *C0S2y — 7 -; j-. P J 4 4 ' 4 « — a" f (21) (4) = (2') • , , . , •,-,,/ ( 4-1 2sin*0^ Les coefficients de cos(w' h- B',) et de sin(w'-f- B'^) dans la formule (6) peu- vent s'ecrire (4)-(2') et (2'){B;-B'); ils sont du troisieme ordre, ainsiquecela resulte des formules (i3), (17)61(21). Jacobi fait toutes les transformations precedentes en operant sur les nombres; nous avons pense que le calcul algebrique aurail I'avantage de mieux expliquer les choses. 137. L'expression (8) de Ao pent s'ecrire en faisant Jacobi introduit ensuite les deux nouvcUes variables yj et yj' definies par les equations (^4) ; ;„ SUR UXE METHODE DE JACOBI. 3o7 on tire dc ia / / ns (i 4-fl«)cosy) — 2|3 , ^, ^ ' ' 1 — 2pcosrj4-p* (25) ' i • / ox (j — 3-)sinYj f sin ( w -i- B) = —5^ — .-^—- ^, , et deux formules analogues donnent cos(w'-f- B',) et sin(a'-f- B,); p et P' sont des constantes encore indeterminees. On tire de la premiere formule (24) (26) (m -+- B - Yi) v^'^^ log(i - |3E-V-«) - log(i — (3E^v/-t), Vi 2 3 ; On trouve ensuite aisement a^ a' —. -+- Of!' XTT. x' x' a" a — OL' 1 = X X OL (i— pE*)v'^ — (3'E-^V-» H-(3;3'E^'J-^'H^ 4-a''(E^v/-i — p — (3'E<^-^'V-t + pp'E-^'v^) [a (i — P E-^v^^T^ p/EnV-i + pp/fi-f^-^')/^ -«' (E-<.-.-./- - (3E.-^ - p^E-.v^-^ ,S(3') -i-a''(E-^'v'-i — (3 — ;3'E-^i-^'^v^-» -h |3(3'E^'*^), On determine maintenant ^ et P' par les conditions (28) apres quoi les formules (22) et (27) donnent ( I — 2 (3 cosYj + (3- ) (I -- 2 ;3' cosr/ 4- (3'« ) Ao =: [a(i H- (3(3'E(^-V)v'^) - a'({3j3'+ E^'i-^'^v^-O-^'lP "^ (3'E'^-^'^v^)] X [a(i 4- PiS'E-f^-'iV^) - a'([3(3'-f- E-^'')-^V=T)_ ^'^((3 ^ ;3'E-(^->iV=T)J, ou bien (a--a^P;3^--a^^i3)^-f-(a^;3^-«-a^^i3r + ^(^-^^t3^~^^;3)(a3^^-y~a-p-^ (29) Ao— (I — 2^cosyj ■^i3^)(i - 2.3'cosY/-h;3'^) ~ * 138. Calcul de p et ,3^ — Posons encore a" a" (3o) sinA = ^,> sin/i'r= ;, o < A' < /* < qo«. 3o8 cnAPiTKE xvm. Nous aurons .f ^f *.ff ^" sin/i sin/t sin A sin^ On lire des relations (28) ou bien, en ayant egard aux formules (3i), ^ ^ ^ \sinh' smhj '^ [_ \sinh' sinA/ \sinA' sin A/ J ' 2(3 \sinA sin/j'/ sin/isinA'* I -t- sin A sin A' — cos A cos A' p= sinA H- sinA' (33) (3 = . A-hA' sin 2 A^=T' cos L'equation (32) donne ensuite . A -A/ sm (34) (3'=- cos Faisons enfin la formule (29) deviendra .„-. I _ (1 — ap cosn -1- P')' (1 — a(3' cost)'-t- p")' (00) -7= — j y/A. On trouve d'ailleurs aisement, en vcrtu des relations (Sa), (33) et (34), que les expressions precedentes de A et de A' deviennent . cos A cos A' cos- (36) ., .cos// cos// . A H- A' cos- SUR UNE METHODE DE JACOBl. SoQ Les formules(3o) montrent que h et h' sont du premier ordre; il en est de nieme de ^ et de P' ; enfin , les diflerences A — a et A' — a' sont du second ordre. On a aussi les relations suivantes, aisees a verifier, (37) ^' tangAiangA'' tangAtang^'' ^ ''^ aa' 139. D6veloppement de -7= Posons — , =Po-f- aP, cos(yi — Y)')-+- 2P, cos2(y) — yj') -+-. . . / 2A' A^ V 1 > / » > / 4/ J T- COS(t, - y,') H- _ (38)/ V A A« Nous savons calcuier les fonctions P|; elles ont ete etudiees dans le Gha- pitre XVII du Tome I. Faisons ensuite (39) E'^v^(i~2(3cosn H-p«)^ =:(i — p«) 26(/;E<'^-'«n«+B)y/=r m (4o) E'^V=i"(i - 2(3'cosy)'-h p'*)'= (i - p'«) ^ftl^^'E^'-^'^'J^-'^-fi'-Jv^. m' Nous deduirons des formules (35), (89) et (4^), et de la relation AA' :(i-p«)(.-(3'«) = :i^, qui resulte des formules (37), (^,) _!?_ =: V V V ?LLLp^^U)^M/)£(/4-m)(i^^ ^ ° i m m' On aura done ainsi le developpement de -= suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques; on passera de la au developpement suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, en introdui- sant les fonctions de Bessel, et Ton trouvera en particulier les termes en 2/' — 5/. Nous n'avons pas Tintention de developper ce calcul, mais nous tenons a montrer comment on obtiendra b^l^ et 6^V. En se reportant aux formules (24), 3lO CHAPITRE XVm. on trouvera EiV^(i — 2(3 COSY) H- p')"* = E'V^(i — (3E^v^)« (i — (3E-^v^~)^ E'ti>P7(,_aj3cosr, + p')«= (^-^^y(,- (3') X (i4-(3jr)»(j?-f-(3)* de sorte que la relation (Sg) deviendra , -^Vft'i'^'". On aura de nieme (i-h(3j;) « On a dans le cas actuel (3=zo,o8, {3'=:o,o4; ces quantites sontdonc petites, et il suffira de deduire des formules precedentes des expressions de V^^ et ft)*,V developpees suivant les puissances de P et de P' pour avoir un procede de calcul tres commode. On a . 1 I \ xj \ X 1.3 .r^ _ _i I H- - (/-h - ) (/-h - ) (H-(3x) ' »^i ^3^-^-^ ^-^-^^ ?.Z.p«^^_.... On en conclut aisement, par voie de multiplication, F designant la serie hypergeometrique. SUR UNE MtTUODE DE JACOBI. 3ll On pout aussi ecrire, en employant une transformation connue [Tome I, for- mule(i2), page 279], (43) 6;o=.(-,y^^l^-ll(2!±^^)^^ -^inl, /n-M,— ^i) 2.4. ..2//* r \ r / \^ 2 2 1 — p V Nous ne pousserons pas plus loin Ic ealcul du developpement de -—; on V Ao aurait ensuite, d'apres la formula (7), (44) a a I ^A, 3 aAj - " ' t nous renverrons le lecteur au Memoire de Jacobi pour le ealcul du second et du troisieme terme de Texpression de^- Nous nous contentons d'avoir reproduit la substance du Memoire et ses elegantes transformations. 140. Th6ordme de Jacobi. — Jacobi enonce ce theoreme {OEuvres, t. VII, p. 287) : les coefficients du developpement de Tinverse ^ de la distance de deux planetes, suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques u et u\ peuvent s'exprimer lineairement a I'aide de quinze d'entre eux pris arbi- trairement, sauf la reserve que ces coefficients ne soient pas relies les uns aux autres a priori. On pent demontrer ce theoreme comme il suit : en faisant ^ = E"v^, x' = E"V~, la formule (8) du Chapitre precedent pent s'ecrire \ X .t X * X XX (45) \ Posons (46) ^ - 7t=^ = 2 A-.-"^"-^'"'- On aura, en differentiant cette equation par rapport a x. 2,(;',(x«). Soient fctf les anomalies vraies, y) et rf les anomalies excentriques, (o et (o' les distances des perihelies au noeud commun; on a i; = 0) 4-/, v'= 0)'-+-/, R =/(r, r', «, co'/,/, 'J I On a maintenant A;" = '- ^bi: cos »•(«'-«), fe'r' = 61." • — OD On en tire aisement, par des transformations analogues k celles employees dans le Tome I, Chap. XVIII, p. 297 et suivantes, R(o)_i 2Aicos(jV-Js) — oe ff» 2 B''<=os [(*•-)- 1) «'- (*■ - i)s] (4) / *; (T* > CiC0SL(t+2)«'— (1 — 2)5] a«2l>'Cos[(i + 3)s'-(i-3)s] 3l6 CHAPITRE XIX. oil les coefficients A'^'\ . . . , D'^'^ ont les expressions suivantes : dm ( 5 ) { H- I cr» «. ( 6i.'-« > -t- 4 a;" -4- 6<,'-^«> ) — ^=22^^'|^^^'(^«'"^^«)' V |1 oil les indices v et (x prcnnent, independararaent Tun de Tautre, toutes les va- ieurs entieres de — x> a + qc. Les quantites A^ j^ sont des fonctions de d et de a et a'\ relativement a a et a\ elles sont homogenes et de degre — i. 143. Nous avons II faut done remplacer dans R<**^ S, s', a et a' par v^ v\ /• et /•' . Posons p = log/-, p'=log/', (3=rloga, (3'=logar', d'oii D^VELOPPEMENT DE M. NEWCOMB POUR LA FONCTION PERTURBATKICE, 3l'J On aura d¥(a,a') _ dFja^a') dFjaya') _ ,OF{a,a') d^ ~^ da ' d^' "^ da' ' si la fonction F est une fonction homogfene et de degre — i de a et de a\ la relation connue d¥ , OF „ oa da donnera + F- :0. Si Ton pose symboliquement ■ »=^- D - d dp' la relation precedente pourra s'ecrire (9) D-HD': — I • On a mainlenant (10) On a d'aiileurs p =(3 -hlog(i — ccosy)) = P H-^(c,Tn), (11) 1€ V z=:q -\ . sinyj -h... =€ H- V(e, rj ), ie' On pent ecrire (12) R =/((3, P', €, sS e, e\ rj, rj', a«). On aura di^ '^ dp d^^ dp' d^_dK. dq'^ dv' il en resulte, en designant par m, n^ m' et n' des nombres entiers positifs quel- conques, (i3) ^ n ^-* )» = loga — fe' h "3 -4-. . . ) — 2 ( 6 COSY) h — cos2r)4-. . . j; il en resulte p=:(3 — 2EC0SY) H-e*(— I — cos2Tn) H-e' ( — « cosSyj j -he* f cos4y) j (i5) I \ / \2 2 / j*( — ^ cosSm] "•"^ V "" 5 "~ 5 cosGinj 4-eM C0S7Y) j 4- . . . , p = € H- 2 6 sinrj 4- e* sin 2 Y) 4- ^ e* sin 3 yi (16) ; 4- - e*sin4T0 -+- F e*sin5Y) 4- ^ e'sinGYj 4- - e'sin7Y) 4- . . . . 2 5 3 7 ' On a ensuite ^_^^ OR dp R=/(t', i^', r,r',a«), de " di> de'^ dp dV R =/(«, «', yj, yj', e, e', (3, (3'. a«) , ou bien, d'apres le theoreme general, dt dq de dp de Soit pose symbuliquement il viendra on en tire f = D. (r ^jJ) . D, (r *) ^''^*R — n /^^ ^'R w(^'^>d'-»R /^ dr^ n d^v d'-'R d"^^ v\ ^gn-Hi ^c\^e ^g/i -^ Y de^ de''-' -^-• ••-»-« ^gn-ni ) (>7) D^VELOPPEMENT DE M. NEWCOMB POUR LA FONCTION PERTURBATRICE. SlQ Posons / R = R<<» 4- eR(*^ 4- e«R<«^ -+-... -h e^R^*) -h. . . , (i8) < i; = t^o -hevi -heV, -h.. .4-e" t',, H-..., ( p =po -^-epi -^£'P« 4-...-+-e"p„ -h..., on aura —PL. En faisant done e = o dans Tequation (17), il viendra ( (/i-+-i)R<«+'J= D.[t'iRt»)+ 2(^,Rf'^-')-+-3(^, Rf«-«) 4-...-+- (/1 4- 1) tWiR^^n (20) \ ' -+-Dp[piR<'»)-h2p,R<''-*>H-3p3R(«-') 4_...^(,i4.,) p„^,R(o)]. Cette equation permettra de calculer de proche en proche R^*^ en partant deR^**^ puis R^*\ ..., R^''^ .... Partons de Texpression (8) de R<®\ que nous ecrirons V |1 ou, plus simplement, (21) Rfo) = A'cOSN, N=:fXS4-V?'. La formule (20) nous donnera, pour /i = o, R(*)z=D5(t'tA'cosN)4-D(piA'cosN); nous ecrivons simplement D au lieu de Dp. On a d'ailleurs i^, = 2 sirno, pi = — 2 cosYj ; il vient done R^*> = — 2fxA' sinrj sinN — 2cosr) cosNDA' = (fxA' — DA')cos(N -h Yj) — (fx A' 4- DA') cos(N - yj). On pent ecrire symboliquement (22) R(*) = (fx — D) A' cos(N 4- n) — (fx 4- D ) A' cos(N — rj). On Irouvera de meme, en faisant ai = i dans la formule (20), 2R<«) = DJf'iR(')4-2t',R A', 21^, =z 2 sin 2y], ; = /i-J |)^R(«-») =:- fx 2 sin(N-+-yy))n;-«A', Sr^T^r. 3 sinSt), /■ =— n -+- J D^R^'®^ =: — fxsinMlSA'; {n -h i) i^„+i = 2sin(/n- i)yi; /= - " DR<«-') = D 2cos(N-H/,y))n;->A', ap, — _ 2 - 2cosy], DR<«> = DcosNUJA' {/i4-i)p«^., =[.-± aj — 2C0s(/i -h i)rj. D^VELOPPEMENT DE M. NEWCOMB POUR LA FONCTION PERTURBATRICE. 321 On a conserve pour la symetrie le symbole IIJ = i ; le terme ± 2 est conserve dans la valeur de (ai-H 1)^^4-1 » seulement si n-f- 1 est pair; on prend 4-2 si n-hi est divisible par 4> et — 2 si ai 4- i est divisible par 2, mais non par 4- II reste a substituer les expressions precedentes dans Tequation (20), aprfes Tavoir ecrite comme il suit, conformement a la relation (24), + (/i+i)cos[N4-(/i-3)Yi]n«!:JA'+...H-(/i4-i)cos[N-.(/i-hi)Y}]n^(V^,)A'. On trouvera, en comparant les coefficients des cosinus des memes arguments, (25) (n (n (25i) i)n;i:i f*(n + n«:| + m--i -+-. . • + n«) - -I) (02 + n2:{ +K--\ -H. . • H-nx), onri — F(nj. -, -*- n;: ■i -4-11"' :J+- .. + 01, ,) - -i)(n». .,+n- •1 -uTl"" ::+• ..+ni, ) -f*ns -Dns-2Dn2z{, (n + i)n;!}= ^(ns_»-Hn«:j-4-...4-ni,) (a5,) { -D(ns_^-i-n2:t+...-4-n!,) - /*(n;_, +n;:l)- D(n»_, + n;zi ) -aD(n?.:j - n;ij), (/n-i)nri= fz(n2_.-t-n;;:^+...-t-ni,) - D(n».. + n»:}+...-hni,) (25,) { - f*(n-_,H-n»:i + n2i«) - D(ns_, + n-i+n«:;) -3D(n;:j-nn-+-n2it)- La loi de formation est evidente, et il est inutile de prolonger I'^criture de ces relations; on peutaussi se dispenser decalculer les developpements pour des valeurs negatives de I'indice inferieur de 11, parce que U"j se deduit de !!'• en changcant (x en — (x. Voici les premieres valeurs des quantit^s 11, ni = ,*-D, 2n; = (,x-D + i)ni, anj = ,*(- nj -4- ni, ) - D (n; -h ni, -t- a), 3n5 = (fx-D-t-2)n«, 3n» = fii(nj+ni, -nj)-D(n»-i-ni, H-nj + anj). 4nt:=(^i-D + 3)n;, 4n» := ^(n» -)- nj + ni, - n| ) - D (n» -t- n« + m, + nj -4- an; ), /inii:3/i(m,+m,-nj-nj)-D(n!,+ni, + n»-t-n;+an«-a), T. — IV. 4i 322 CHAPITRE XIX. — DifeVELOPPEMENT DE M. NEWCOMB. 146. Diveloppement par rapport aux 616ments de la seconde plan&te. — Nous avons trouve la formule R('»)= 2 cos(vs'+fxs4-yYi)n7A;.^; /=-n en faisant a Av,(X = Av,JJL> Py ^^ Hy Av.Jl, il viendra ;•=— /I il faut maintenant remplacer q' par 5'-4-9(e',y,'), (3' par p' + 4;(e', y)'), et developper les resultats suivant les puissances de e'. On pose M. Newcomb d6montre ce theoreme fondamental : Supposons que Von ait developpe R suivant les puissances de e, en faisant t' = o, et que I' on ait trouve que le terme general soil de la forme e«cos(N4-/y))n;A', A' etant une fonction des distances mqyennes^ Uj un symbole operatoire^ et N une fonction line'aire de ^ et c' ne contenant pa>s r\, Supposons^ d' autre party que I' on ait developpd R suivant les puissances de t\ en faisant e = o, e/ quele terme general de ce nouveau developpement soil e"»'cos(N-+-y'y]')n;'A'; alors le coefficient de cos(N -hyiQ +fy{) dans le developpement complet sera re- prisente par g«e/n'n«n;.'A'. On pent d'ailleurs simplifier les resultats en eliminant D' au moyen de la relation Dh-D'=-i. Nous ne pouvons pas suivre M. Newcomb dans tous les details de ses cal- culs; bornons-nous a dire que Tensemble du developpement de R suivant les sinus ct cosinus des multiples de I'anomalie excentrique est renferme dans les pages 90-200 de son Memoire. M. A. Chessin [Astronomical Journal^ t. XIV, n*** XlVet XX) a apporte une simplification importante aux calculs de M. New- comb. MtTUODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLAN^TES. 3^3 CHAPITRE XX. MtTHODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANtTES. 147. Reflexions g6n6rales sur le calcul des perturbations plan6- taires. — Si nous envisageons dans leur ensemble les developpements des perturbations planetaires donnes dans le Tome I, d'une maniere generate et d'une fagon explicite, par Le Verrier dans les Annates de l*Observatoire, t. I et t. XIV, nous pouvons remarquer que certaines circonstances contribuent ^ rendre ces developpements assez rapidement convergents. Les series rencon- trees sont de la forme oil /, t^ cj, CT, 6 et 0' designent les longitudes moyennes, les longitudes des peri- helies et celles des noeuds; a, a' p, p% y et y' des nombres entiers positifs ou negatifs dont la somme algebrique est egale a zero; les coefficients A sont des fonctions de a, a', «, e\ ie\,i'\ ces quantites constantes repondent aux demi- grands axes, aux excentricites et aux inclinaisons; Acontient en facteure'^'e''*'' ifiTij'iri. Or, pour les grosses planetes, e et e'sont des quantites inferieures a o,i, sauf le cas de Mercure dont Texcentricite est egale a 0,2 environ; i et i' sont au-dessous de 3"3o', sauf le cas de Mercure dont Tinclinaison est d'environ 7**. Cette petitesse relative de e, e', 1 et i' fait que les coefficients A diminuent rapi- dement quand les entiers p, p',yety'augmentent; c*estune premiere limitation. En second lieu, les grands axes des orbites ne sont jamais tres voisins les uns des autres ; la plus grande valeur de — est o, 723, dans le cas de Venus et de la Terre. Ces valeurs, relativement moderees, limitent les coefficients a et a'; si le rapport — , etait plus voisin de i, il faudrait employer des valeurs beaucoup plus grandes pour les entiers a et a'. Enfin, dans la premiere approximation, les coefficients A contiennent en facteur le rapport m' de la masse perturbatrice a la masse du Soleil; la plus grande valeur de m' correspond a Jupiter, et est inferieure a 0,001; cela con- 324 CUAPITRE XX. tribue aussi a la petitesse des perturbations et a la convergence des approxi- mations successives. II est toutefois une circonstance qui augmente les coefficients A. Ges coeffi- cients contiennent en efTet les diviscurs a/i + a'Ai', ou meme leurs carr6s. Si les rapports -7 etaient rigoureusement commensurables, on pourrait trouver des valeurs des entiers a et a% telles que les diviseurs en question fussent nuls, au- quel cas la methode suivie serait completement en defaut. Heureusement, ce cas ne se presente pas; toutefois, il n'est pas tres eloigne d'etre realist : c*est ainsi que, pour Jupiter et Saturnc, on a et pour Uranus et Neptune, n 0 I n' '?. 60' n I Voyons ce qui arrive pour les petites planetes. Les excentricites sont beau- coup plus prononcees; ellcs vont jusqu'a o,35 et meme o, 38. L'inclinaison de Torbite de Pallas sur I'ecliptique est presque egale a 35^. La masse perturba- trice est toujours (pour la partie difficile des perturbations) celle de Jupiter; /w' est done voisin de 0,001. Le rapport — des demi grands axes de la petite planete et de Jupiter est compris jusqu'ici entre o,4o et 0,82. Enfin, il y a des rapports de commensurabilite tres approches; ainsi, pour la planete @), on a n I Tinegalite a longue periodc, dont Targument est /— 2/" + const., etant du premier ordrc, pourra acquerir des valeurs considerables. On comprend, d'apres cola, que la methode usuelle pourlecalcul des pertur- bations, celle dont Le Verrier s'est servi constamment, presente des difficultes se rieuses. Dans des cas convenablement choisis, son emploi serait materiellement impossible. On pent neanmoins s'en servir pour un grand nombre d'asteroides. C'est ainsi que M. Perrotin a fait la theorie de la planete Vesta (Annaies de r observatoire de Toulouse^ t. 1); Damoiseau avait ebauche autrefois la question des perturbations de Ceres et de Junon (Additions a la Connaissance des Temps pour 184O). Des efforts nombreux ont ete faits pour aboutir a une methode efficace pour le calcul des perturbations des petites planetes. Gauss avait travaille a une theorie de Pallas, et nous voyons dans une de ses lettres a Bessel qu'il avait trouve plus de 800 inegalites sensibles. METHODE DE HANSEN POUR LES PERTliRBATlONS DES PETITES PLANtlTES 325 A cote de cette theorie generale, Tillustre geometre avait conduit parallele- mentle calcul par quadratures, de maniereaobtenir uncontrole qui est presque indispensable. Gauss n'a jamais public ce travail; la Societe royaledes Sciences de Gottingue fait imprimer en ce moment tout ce que Ton a trouve dans les papiers de Gauss sur ce sujet important. Nous avons expose (Chapitre XVII) la methode de Cauchy, qui permet de cal- culer rapidement les inegalites a longues periodes, qui seraient insensibles dans la theorie des grosses planetes, vu la grandeur des coefficients a et a' de / et /' dans Targument, et ont cependant des valeurs notables dans le cas de cer- tains asteroides. Hansen a public dans les Mdmoires de la Societe royale des Sciences de Saxe^ t. V, VI et VII, trois Memoires importants intitules : Auseinandersetzung einer zweckmdssigen Methode zur Berechnung der absoluten Stdrungen der kleinen Plane ten. Nous aliens en presenter une analyse assez etendue. Disons tout de suite que la fonction pertubatrice est developpee suivant les sinus et cosinus des mul- tiples des anomalies excentriques; nous savons que la fonction perturbatrice s'exprime beaucoup plus simplement avec ces anomalies qu'avec les anomalies moyennes. Mais Hansen emploie aussi la methode des quadratures, de fagon a tenir ainsi un compte rigoureux de toutes les puissances de I'excentricite de la planete troublee. Les methodes de Hansen ont ete appliquees par Brunnow pour Iris et Flore, par Becker pour Amphitrite, par Lesser pour Pomone et Metis, et par M. Leveau pour Vesta; ces methodes ont done fait leurs preuves. M. Gylden a donne de son cote une theorie que nous exposerons dans les Ghapitres XXIII et XXIV; pour le moment, nous nous bornerons a dire qu'elle repose sur le developpement de la fonction perturbatrice suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies vraies. On retrouve done les trois sortes d' anomalies dans les trois principales methodes que Ton a appliquees au calcul des perturbations des asteroides. Apres cette exposition, qui nous a semble necessaire, nous aborderons la methode de Hansen; elle repose sur les memos principes que celle employee deja pour la Lune {voir notre Tome III, Chap. XVII). Nous pourrions done abre- ger beaucoup notre exposition; toutefois, nous pensons qu'il est indispensable de reprendre tout Tensemble, mais un peu plus rapidement que si nous n'avions pas encore parle des methodes de Hansen (^). 148. Nous considerons une planete P troublee par une autre P'; soient, a I'epoque /, r sa distance du Soleil et v sa longitude dans Torbite mobile, comptee a partir d'un point determine X du grand cercle qui represente Torbite sur la (•) On pourra consulter un M6moiro de M. Venturi, Metodo di Hansen per calcolare le perturba^ zioni del piccoli pianeti, Milan, i88a. 326 CHAPITRE XX. sphere de rayon i ayant son centre au centre du Soleil. Nous supposons que la rotation instantanee s'effectue a chaque instant autour du rayon vecteur r; il en resulte que, si Ton se donne la position du point X a Tepoque zero, la posi- tion de ce point a Tepoque / sera parfaitement determinee. Les equations differentielles dont dependent r ei v [formulas (6), t. I, p. 463] sont — - r — -f. ^'('•-^^^) - )t«/n'S S (" S) = *-'Tn m et m' designent les rapports des masses des deux planfetes k la masse du Soleil; A est la constante de Gauss, A'^ =/M, oii/represente la constante de Tattraction universelle, et M la masse du Soleil. On a d'ailleurs (t. Ill, p. 307 et 3o8) m' da m' da O -r— > 1 /* -7- y I -j- ni or n- ni ov A est la distance des deux planetes, et H le cosinus de Tangle des rayons ret/. Si Ton pose P(i 4- /w) = k'^, il vient dt^ dt^ ^ r'^-^ dr' dt\ dtj" dv m' Au lieu de^'^ etde > nous ecrivons, pour abreger, P et/w'; ce qui nous donnera plus simplement d^r dv" k} ,,da (^> -d? -"IT- -^ T-'=' ^ -dr' (2) ^(r^±\-j^^^, ^^^ dty dc)-'' dv' W a=„..(i-^). Si, dans les equations (i) et (2), on neglige le second membre, on trouve , ,, d}r di>^ A' METHODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLAN^TES. 827 Ce sont les equations differentielles du mouvement elliptique; on les integre, comme on sait, par les formules e — e sine = /i^ 4- c, tang -/= ^/ — ^ — tang - e , (4) I , P P vz=f^y, r— ^-- -^ -,, •^ ^ H-ecos((^ — X) H-^cos/ dans lesquelles e designe Tanomalie excentrique, /I'anomalie vraie, -^ la longi- tude du perihelie dans Torbite, comptee a partir du point X; les quatre con- stantes arbitraires sont a, ^, c et '^. Quand on voudra passer du mouvement elliptique au mouvement trouble, c'est-a-dire de I'integration des equations (i') el (2') ^ celle des equations (i) et (2), on emploiera encore, pour r et f', les expressions analytiques qui re- sultent des formules (4)* mais en faisant varier les constantes arbitraires a, e, c et y. 149. Formules auxiliaires* — Les formules (A) (t. I, p. 433) donneront, avec les changements necessaires dans les notations, s da 2/n' . a^ /« - ^ . rr P\ -J- = k ' ( Sc sin/-f- T - ) , at 1 T- /vt J I gJ \ rj (5) , \ ^^-^itv/^[Ssin/H-T(cose-hcos/)], dm dt = e(i-cosO^-hY-^ ^V^[--Scos/-4-T^i-+-^jsin/j Or, on a (t. I, p. 462) © = 0H-X — ^> d[^sin/+--^(cose + cos/)J, *=*v'4-fc„./.(i.i)g.,„/]. "^ t// Soit pose «') *=^- On deduit aisement des rmules (6) et (7) d,e^\\\y , /- ( Oil ., . c^Q fsiiK / -r 7) sin y cose cosysin/l) d.ecosy , /- { d^ . , ^ ^ ()i2\ co:i(f-\-y) cosvcose sinysiii/li ou bien, a cause de cos/ + e? cose = >» /-i-y = r: I -+- e cos/ -^ '^ — ^ = X:V>|--^cosr+-^(^^sin^ + sinr4-esinxjJ, — 5r^""^v//>[ ^sin.-h-^(^^cosi> + cosc' + ecosxjJ> dt Ov ' (8) { :j- — ^ z=z— k^cosv— — h A' I - H- - ) sinr \ dt dr \r p) — — ^ z= A:* sin r -T — h AM - H- - I cosi^ a/ or \r pj Ces formules nous seront bientot utiles. dv da 150. Principe de la m6thode de Hansen. — Nous abandonnons ici la methode de la variation des constantes arbitraires, pour lui substituer celle de Hansen. Soient Uq, Hq, eo,/?„, c^ et ts^ les valeurs, pour / = o, des elements variables a, /^, e, /?, c et x» METHODE DE UANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLAN^TES. 329 Designons, en outre, par z une fonction convenable de t, et determinons les quantites /iq, r et/par les formules - - k (9) lang ^ '/ - '- ^~ I -> /l 4- ^0 I - - / -\ I -h e^ cos/ Nous determinerons la fonction inconnue z de fagon que Nous aurons d'oii, par voie de division, /•' 0^5 _ ^P ^0 Faisons en outre (10) rz=:r(i4-v), et il viendra ('0 On aura ensuite dz hf^ di ~" A(n-v)'* 1 _ '^ _ - i-+-ecos((^ — x) _- I -^-ecosC/'-f-roo— x) — — — r • — r • I -f- V r p p Definissons 5, et y), paries formules ( eC0S(x- Wo)— eoH-(l — e«)|i, (12) I ( esin(x — Wo)— (i — ^2)^),; 5, et Y)< seront de petites quantites de I'ordre de ni \ Texpression precedente de deviendra 1 -+- V r' . = ^ l''(i-+-^ocos7) +-(i-^J)li/'cos7-^(i — cJ)Tnirsin7J, ce qui pent s'ecrire (.3) _J_=A|(. + ^,£cos7+Y,.-^sin7). T. - IV. 42 33o CHAPITRE XX. Dans cetle equation, A, $| et y], sont des fonctionsde /determinees paries for mules (12), tandis que ret /sont des fonctions de 5, qui resultent des rela- tions (9). L*equation (i 1) pent s'ecrirc dt ~" /i \i -h v/ h I 4- V ^0 ou bien, en vertu de la formulc (i3), ^ *^ dt h \i-hv / oil Ton a pose (10) VV - -. / - I -\- -.— £, - cos/-h -.- TQi - sin/. Quand on neglige la force perturbatrice, Tequation (i4) donne z = /; on est conduit ainsi a poser (16) ;5 = ^ 4- ^Zy et il en resulte i,^^ d^z __hj V Y w. L'equation (i3) n*est pas commode pour le calcul de la petite quantite v. II vaut mieux calculer -1-; les formules (10) et (ti) donnent c^v I dr V dr h^ di ~~ ^ di " '^ dz /j(i-+-v)« ' OU bien, d'apres la definition (10) de v, dv I dr ho I dr dt /. dt h r dz Or, les formules du mouvement elliptique donnent ^- =AoeoSin/; Texpression de -j- dcvient ensuite ^ = ^Aesm(r-5^)_.-OeoSm/, METIIODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANfeTES. 33 1 d'ou, en rcmplaQant r et rpar leurs valeurs, ^ = ^ { e sin (7-f isjo — x) (' -+- ^0 cos/) — Co sin7[i -+- e cos (/-H ^o — x)] ! » =1 — [e sin (7-4- cjo— x) — ^0 sin7-4- ee^^ sin (isjo — x)]- Po En ayant egard aux formules (12), on trouve aisement (18) jt~i' [^»s*"7—^»(^^s/"^^o)l- Posons enfin les formules (i5) et (18) deviendront — /• — /• (20) W = £--^ T— cos/ 4- ^— sin/, (21) gz:z--^[rsin7-^(cos74-eo)]. Bornons-nous aux termos du premier ordre par rapport a m'; nous pouvons ecrire (a) W nr S 4- r - cos/4- ^^ - sin/, (?) ^^^' dz^j'wdt, (V) ^^ = -7=1 [r sin/- ^^(cos/H- e)], 2 V f — e' (a) rcos/=:a(cose — e), rsin/=:a \/i — e'sine, £ — esine ^=z nt -h c. Les formules (i3) et (19) donnent d'ailleurs, au memc degre de precision, V— — 2 — - — I ( 1 - COS/-+-W-- sm/ ), Ao 2\a-^ ci ) II en resulte (0 := _ ^ a _- L (^r - cos/-f- T- sin/V 3 2\a "^ a •'/ 332 CHAPITRE XX. 151. Determination de la fonction W. — On tirede Texpression (19) deS dZ _ / 3 /io\ dh dt ~\'ho "^ hydt' et, en remplaijant -7^ par sa valeur (8), dE , ( ih^\ Oil On a ensuite, par les formules (12) ct (19), d'oii, en differentiant et tenant comple des relations (8), COSCTo I r . (^a /I A dai \ \ cosctq sinv' -r- 4- (- h- - I cose -r— J [ I L <>'' V p) ^^' J r agp/i' ^ dt ~ ho(i -el)] . r oa (\ \\ . c^ai I "^ Ao(i-^J) e/i'' (TV 2k^ dt [- cos.--i-^-4-~jsin.^J| \ L i' ^'-'^ M '--- ''' LV/- "^ ~^*) '""'-^"^ rr^O ^ -^ ^"^' ^'"^^' Considerons maintenant la fonction oil Ton a (23) Wrrr S -}- V " C0SG3 4- ^' " sinco, a a 1) — 6?sinyi = /2T -h c, P p . I - cos CO =- COSY] — e, - sill CO = \J\ -- e^ sinrj, METHODE l)E HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLAN^TES. 333 Commc los quantites H, Y ct ^ s'annulent pour / = o, on aura pour / = o, quel que soil t. En cliangoant, dans la fonction W, t en /, et y], co, p en £,/, r, W so changera en W. DilTerentions I'expression (23), et remplagons -^f^-^n^-jr P^i* leurs va- leurs (22); il viendra -- = 2/»psin(/-a))^--f-A^ -^cos(/-w) -i-f- 2 I ^ecoso) — 1-+- ^ cos(/- co) . Or on a P V ^ 9 9 p — : (I ou ^ e coso) — I — — — ; ^ J -I- ecoso) /? p il en resulte done ^^^^ ~dt ~^^'psin(/-w)^ "^^'d;;;! , coscz-o) -i4--rj^cos(/-a))-ij j. On devra integrer de maniere que W s'annule pour / = o, quel que soil t ou quel que soil co. On pent ramener le calcul de v a dependre de la fonction W. On a, en effet, d - cos/ d - sin/ — -7; ~ — -1=^- sm/, — -- — n: (cos/ 4- e), de sorleque Tequation (21) peuts'ecrire /* r J d - cos/ d - sin/ — 2 -r- ~ T 4- W -7 dt dl dt Or on tire de Tequation (23) >,,r d - coso) flf ° sino) dx wc dx ^ si, dans cette expression de -y-> on change t en /, on obtient la valeur trouvee ci-dessus pour — 2 ^« On pent done ecrire en indiquant par le trait horizontal qu'apres la differentiation de W par rapport 33/| CHAPITHE XX. a T, on doil faire t ~ /. On voit done que la fonetion W des deux variables / et t joue un role important dans ie ealeul de 8z et de v. 152. Calcul de la latitude. — Les formules des pages 472* 47^ et 474 ^u Tome I donnent, en negligeant Ie carre -= sin^o sin(('— ^0^ <-*> ou / et 6 designent la longitude et la latitude lieliocentriques de la planete. On a d'ailleurs (loc. cit.) s ...z Q sin(r — 0^) - Pcos(r — &o), ^P - -: hr cos «o 5^ si n (i* - - 0^^ , fit -j^ ■— hr cos /o Z cos ( 1' — 0o) ; fit Z est la composanto de la force perlurbatrico, normalement au plan de Tor- bitc. On pent remplacer v par/-i- xs^ et supprimer les indices zero devenus inu- tiles; on a ainsi 1 cos/>> s\u{l~0) "- cosfsin(/ +- js -- 0) —slangi, (aO) I cos^cos(/ - 5) " cos(/ f- cj — 6), ( sin^ -- sini sin(/-r GJ-- 0) -+- 5, (27) 5— . Osin(/-i-cy— (?) -P cos{/ ~^fn—0), (-28) Posons (29) I Pr- / / a\/'i — e* dQ ~\-» > dr r df (38) d^ __ ^ /d^\ __ erj'ine d^ ^V ~ a v/T^c* \de J y/T^"^ dr Nous avons mis des parentheses a la derivee de il par rapport a e, parce quo, quand on introduit £ au lieu de / par la relation (34), £ se trouve introduit de deux faQons, d'abord par /* et /, ensuite par r' et/' ; ( -7- ) designe la derivee de 12 par rapport a £ introduit seulement par r et /. Portons la valeur (38) de -^^ dans I'expression (36) de T, et faisons (3()) T-.Ma(^-^j-^^ar-; METHODE DE HANSEN POUR LES PERTUHBATIONS DES PETITES PLANfelES. 337 nous trouverons MrtrVi — e'j :-2prcos(y — Gj) — r^-r ^,pj:-2T [cos(/— w) — l], N a \^\ - e* — 2psin(/— co) ---.^ 2pcos(y-0); -r-i -— •^— [cos(y-co) -i] . II rcste a remplacer r et/ par leurs valeurs (37) en fonction de £, et p et o) par les valeurs analogues # p cos(k)=i a(cosyi — e), p sinwi^ a^— e* sirnrj. Nous trouverons d'abord (i — e*)M .:= 2[(cos£ — ^)(cosYj —e) -h (i — e*) sinesintj] — (i — ecoss)* •4- 2 ^ — [(coss — e)(cosyi — e) -h (1 — e-)sinesiinri — (1 — ecose)(i — ecosYj)]. (1 — e-)M in 2 I ( I — - c^) cos(£ — n) -t- - e*cos(£ -h Yi) — ecose — ecosyj -h e' I — I - e' -1 2 e cose e- cos2e -f- 2(1 — ecose) [cos(£ — in) — i], d'oii Ton tire aisement (i — c')]VI — — 3 ( I — - eM -i- 2ecos£ — - e*cos2£ -+- e'cos(Y} -he) -|-(4 — ^') C0S(yJ — £) — eCOS(Y) — 2£) — 3 e COSY). On trouve ensuite, pour le calcul de N, ... 2esin£ , - . 2pSin(/— W}— --i.:=:_^p cos (/—&)) t^ 1 — e* V 2 0 COS I I -ecos sw r / 1 . ^ • / ^ xl apsinw , . . ^ VI — « sine — ^ sin£(cose — e) ^ (cose — e 4- esin*e) :ose [^^ yi_e« J I— ecose^ ' sine 2pcosci) — 2psinci)C0se in - .-- _- [sine (cost) — e) - (i — e*)cosesinY)]; on voit que le diviseur i -- e cose a disparu. 11 vient ensuite (i — e*)N — 2 sine cost) — 2(1 — e-)simQcos£ — 2esin£ — esin£[— J -h ecose -f- 2 (cose cost) — i -h sinesiny))], (i — e») N = esine — esirno e*sin2e-h e'sin(y) -he) — (2 — e')sin(T) — «) + esin(Y) — 2£). T. - IV. 43 338 CIIAPITRE XX. Faisons enfin une transformation analogue pourU; en partantde son expres- sion de la page 336, nous Irouvcrons U :=a'Zcosi(i — e cose) [sirno (cose — e) — sine (cos y} — e)]. Si Ton pose Q — (i — e cose) [sin(Y) — e) — e simr} + e sine], il viendra U=:Qa»Zcos^. L'expression precedente de Q peutd'aillcurs s'ecrire Q ~ e sine — - e*sin2e esimrj 4- ( i 4- - eM sin(y} — e) 2 2 \ 2 / H- - e*sin(Y) 4- e) esin(Y) — 2e). 2 2 11 convient de faire un Tableau d'ensemble des formules obtenues. Remar- quons d'abord que si I'on determine les quantites r et / par les formules e — e ^im := nt -\- c -h ndz, rcos/=za (cos e — e) , r s'lnfziza^i — e'sine, la longitude troublee sera / -h o — i^; le rayon vecteur trouble sera r = r(i4- v), et les formules precedentes, en ecrivant E au lieu de e, seront E — e sinE -: nt -h c -h n dz, cos((' — Gj) — rt (cosE — c), r sin(r — ct) = ay/i — c'sinE. I -t- V On aura ainsi cet ensemble de formules : a, n, e, i, c, xs et 0 sont des constantes representant les valeurs des elements osculateurs de Tepoquc zero, Tz.Ma^-^J4-Na,-^, (^) U = Qa*Zcos/, (c) iMETIIODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANfeTES. SSp ' (i — e*)M — — 3 f iH — e^j-h 2ecos£ e*cos2£ — Secosyj 4- e*cos(y) -h e) -h (4 — e*)cos(Tr3 — e) - ecos(Yj — 2e), (i — e*)N ^lesine e'sinae — esintj ■+- e* sin(Y) -+- e) — (2 — e') sin(Y) —£)-+- esin(Yj — 2e), Q =zesine e* sin2e esimn -h ( i-h - e* ) sin(Y) — e) ^ 2 2 \ 2 / -h - e*sin(y) -+-£) esin(Yj — 2£), 2 ^ ' 2 Jo (aO E — e sinE = w^ -h c -h n 3;j, r (/) { 14-v cos(t^ — xn) =:a(cosE —e). I -+- V sin(i^— Gj) - a\/i — e-sinEj "=«=/'(^)* a s = - I/, cos^ sin(/— ^) -cos/sin(^ — 0) — s tang/, (h) j cos^cos(/— 0) - cos(^ — 6), \ s'lnb =: sin/sin(p — 0) 4-5. On aura ainsi, en negligeant le carre de la force perturbatrice, ies valeurs troubiees des coordonnees polaires r, / et b. 34o CIIAPITRE XXI. CHAPITRE XXL SUITE DE LA MfiTHODE DE HANSEN. - DtVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 154. Formules prSparatoires pour le dSveloppement de la fonction per- turbatrice. — 11 nous suffira d'avoir les developpements de Qf de r-^ et de Z. On a, en designant par H le cosinus de Tangle forme par les rayons ret r^ menes du Soleil a la planete troublee M et a la planete troublante M\ on en conclut Considerons maintenant les noeuds ascendants N et N' des deux orbites sur le plan fixe, et Tun des points 1 d'intersection de ces orbites; nous choisirons le noeud ascendant de Torbite de M sur celle de M' . La formule generale Z, / *» — »* donnera, en prenanf pour plan des xy le plan Nl, l=.m'z'[l.^-^,-^ Soit J rinclinaison mutuelle des deux orbites les quantites 11 et 11' sont des fonctions des elements elliptiques qu'il est facile de calculer. On aura ensuite H — cos(/-h H) cos(/'h- H') \- sin cos/ cos/' -f- ill) cos/ sin/' -h 3 sin/cos/'-h CD sin/ sin/'), 7' cos/' = a' (cose'— e'), 7' sin/'— a' \J v — e'* sine', r'=za'(i — e'cose') donnent pour A^ une expression de la forme A' I a'* - r-j:D — /tCOS(e'— F,) 4- — re'*C0S2e', Oil D,/, et F, sont des fonctionsde e seul. On aura toujours I ^" - — r e"cos2e' ^ [D-/,cos(£'-F.)r ^ ''' [D-/,cos(£'-F,)]* a' I 3 a'' e"cos2£' ^' [D-/,cos(e'-FOP ^ ''^ [I)-/iCOs(e'-~F,)]^ seront tres convergents. On est done ramene au developpement de Texpression [D--/.cos(e'-F,)]"% I 3 5 n recevant les valeurs ->->-> — On posera 222 '^ [I)"/|COS(£' -Fi)]"::=<^ f 2aV" cos(£' - F, ) 4- 2a'«' cos(2e' ~ 2F1) -f-.... 342 CHAPITRE XXI. On peut ramener ie calcul des coefficients (x}^\ oi^"\ ... a celui des transcen- dantes de Laplace. Posons en effet D = OTl(i 4- 0*), /, = 20X19, et nous aurons [D— /,cos(£'— FO]-'»=OTl-«[j4-0»-a0cos(£' -F,)]-» .,,.. n(n -hi). . .(n-^ i — i) 0' I" nn — i 0* '* ~ 1. 2... I ^,_6«)'*L ^ ' + I Jf — ^' Pour le calcul de 0 et de oil, on peut faire Yy =sinx, o 0=-. col-- Nous prendrons 9 Tz tangly o m' designant la masse de Jupiler : »4 a ni a m' a sill i'^ A 94*489 '22,837 cos ( e 6,975 COS( 2£ 5,715 cos( 3e 1 , 3o6 cos ( L\ c 0,373 cos( 5c o,383 cos( Gc 8, 102 cos( 7? 0,023 cos( 8£ 0,029 cos( 9£ 0,009 cos(ioe 0,001 cos(i le 0,002 cos(i2e £'•) 2e') 3£') 4£') 5£') 6£') 8£') 9«') I0£' ) 11£'} I2£'j 37,643 sin — 13,934 sin +- 0,374 sin -t- 1,864 sin — o,85i sin o,o5i sin o, 126 sin — o,o65sin 0,006 sin 0,009 sin — o,oo5sin 0,001 sin £ a£ 36 46 5£ 6e 7« 8£ 9S IO£ II£ I2£ - e') - 26') 3e') - 4£') - 5£') - 6£') - 7^') - 8£') - IO£ ) -II£') -I2£') -f- — I,7HC0S£ 0,092 C0S2£ 7,35i cos(— £') ■\- 1,042 sm£, 0,064 sin2e — 3,726sin(— £') -\- On voit, coinmo cela a ete indiquedans le CbapitreXVllI (Methodede Jaeobi), cos que les termes en . (t — i') sent les phis sensibles. » sin ^ ^ * 156. Introduction de Tanomalie moyenne g^ de la planMe perturbatrice au lieu de e'. — Cette introduction est avantageuse pour rintegration. Nous avons trouve, pour t» (t ) ^ • > des expressions de ia forme i I' — 22(/, /^^c)cos(/c --n'^') -f- ^^{i, n\ s)s\n{U — n' t') (0 ( H- Co-h C'l C0S£ -r CjC0S2£ -f . . . -k- .Vi sin £ 4- 55 sin 2£ 4- . . , oil /^' prend les valeurs successives h-i, h-2, ...; nous avons mis a part les termes qui rcpondcnt a n' -- o. Par Tinlroduction de g' au lieu de e', il viendra ^--yy.f<{hi'>c))iio^{u-i'g') -yy ((/,/', 5)) sin(^£-lV) (^) ■.-c'^-\- c\ COS£ -I- c\ C0S2£ -~ -f- s\ sin £ -h s\ sin 2£ -} 11 s'agit d'ohtenir les coeflicients du developpement(2), connaissant ceux du SUITE DE LA METHODE DE HANSEN. 345 developpement (i). Pour ceia, il faut introduire les fonctions de Besscl. On a [Tome I, p. 220, formules {d) et (rf')]. cost' A'' COS ,*'£':= /i'2^^7^[J/w(*''^')-J|'-f«(^''^'^ (3) r - • On en conclut i' — CO cos(££ — n'E )~n'2^\ -'^—^), -'cos(£e — i' g' ) -^^, ~q,q^{-iz-- i' g') , I' - 1 m (le — n'e') -^^ 2d\ ? — ^^" ^'^ "~ '^^ ^ 7 ^*" ^"" '^ ~ '^ ^ r Nous chercherons ((/, «', c)) et ((i, /', 5)), c'est-a-dirc les coefficients de cos(«£ — i'g") et de sin(i£ — I'g'); nous pourrons done nous borner a n' cos(f£ — n'e') — '^3i'-.n'{i'e')cos(ie — i'g') -+-..., if n' sin (££ — /i'£') = -yj/'_„'(£'e')sin(/e — i' g') 4-. . .. Dans (i), les deux termes {i,n',c) cos(e£ — n'e') -h {i^n'fS) sin{ie — n'e') nous donneront (4) n' -^(i,n',c) Ji^n'(i'e') cos{ie — i'g'), ^{iyn'.s) J,'_„(/'e') sin (le — i'g'). II faut maintenant, dans Texpression (i), donner a n! les valeurs 4-1, 2, . . . ; nous obtiendrons des resultats plus symetriques en donnant a n! les valeurs i'y £'±:i, I'zha, ..., f'±:(e' — i), 2/', 2t'-f-i. Nous trouverons ainsi que, dans (2), le coefficient de cos(i£ — i' g) sera ((/,/',c))^ J, {i,i',c)h{i'e') it V 7 -f ^-^~ (I, t'4-a, c)J_,(£'e')-+- '-^ (1, 1' — 2,c)Jj(«'e') T. - IV. 44 346 CIIAPITRE XXI. On aura, en changeant dans les ( ) la lettre c en s, !i' -HI i' —\ -t- —V- (/,/'-+- 1, 5) J_,(/'e')-h — V— (/,*'— 1,5) J,(e'e') V */ ^■ ^-^ (/,«' 4-2,5) J_,(e'e')-h ^^- (I, i' — 2,5)J,(i'e') +- Remarque. — II y a liou de considerer a part, dans le developpement (i), les tcrnies pour lesquels n' = i, car, dans les formules (3), nous avons suppose que cos/j'e' et sin/i'c' n'ont pas dc partie non periodique. Ceia est toujours le cas pour sin^ £'; mais, quand n' ~ i, cose' contient le terme non periodique — — (t. 1, p. 219). Prenons done, dans (i), les termes 2(i, I, c) cos(/6 — s' ) -h l{i, 1,5) sin(/6 — £'); e' .X e' cos(i£ — £') contiendra lo terme — - cosie, et sin(e£— £')Ie terme — ~ sin/e. Nous aurons done les termes e' e' 2(/, i,c)cos«£ l(i, 1,5) sinee, ou nous devrons donner a i les valcurs o, zh i, dz 2, .... Nous trouverons ainsi e' — - («» i>c) e' e' — - [('» '»^) -»-(—'» »>^')] cose — - [(I. 1,5) — (—1, i,5)]sine e' e' [(2, i,c) -\- (— 2, i,c)] cos2£ [(2, 1,5) — (—2, 1,5)] sin2£ Ces termes devront etre reunis aux termes Co -h Cx cos£ -h Cjcosafi -h . . . -h 5i sin£ 4- 5, sin2£ -f-. . . de Texpression (i). II viendra done ainsi Cq — Co— - (o, i,c). ^ C; =C|— -[(l, I,C')4-(— I, 1,6')], .V'l =5i~ - [(i, ,,A-)— (— I, 1,5)], e' e' c; - C,— - [(2, I,c)4-( — 2, I,C)], 5;z=:5j— -[(2, 1,5) — (—2, 1,5)], SUITE DE LA MIETnODE DE HANSEN. 3/|7 II convient de poser F=: - (O, O, C) -f- (1,0, C) COSE 4- (2,0, c)C0S2£ +. . . ^^^ \ 4- (1,0, 5) sins H- (2,0, 5) sin 2 £ -4-. . . oil e varie de — ooa -hoo, et t' de -f- i a -i-x; de meme, I F = - ((0, 0,C)) -+- ((1, O, C)) COS£ 4- ((2, O, C)) C0S2E -h. .. ^ ' '^ H- ((1,0, 5)) sin£ -h ((2,0, 5)) sin2£ -h. .. 4-22((£, /', c))cos(/£ — i'g') -hll{{i,i',s)) sin (ie —i'g')^ Oil I varie de — -ooa -f-oo, et i' de 4- i a 4-x). Les formules (5), (6) et (7) donneront e' ((o, o, c))=:(o,o, c) — 2X'(o, i,c); V — -; mm (C) \ ((',o,c)) — (i,o,c) — X'[(i,i,c)4-(— 1, i,c)], ((2, 0,c))r=(2,0,c) — )/[(2, l,c)4-(— 2, I,c)], ((1,0, 5)) = (1,0, 5) — X'[(i, i,.0 — (— 1, 1,5)], (D) { ((2,0,.9))=r(2, 0,5)— V[(2, 1,5) — (— 2, 1,5)], ((^«•^c))=: ^ {iyi\c)i,{i'e') i' -\'i 4 -:>- (I, /'— i,e)Ji(/'e') 4- /'4-I .p. y -^ -^ (/,«'4-I,5)J_,(f'(?') -f-^-^ (I, «'-I,5)J,(£V) Ces series seront tres convergcntes parce que les fonctions i:^{i'e') dimi- nuent tres rapidement quand A augmente en raison de la petitessede e'. II fautmaintenant passer aux developpements analogues de 12, r--; et Z [for- mules (a) de la page 34i]. 348 CnAPITRE XXI. On a d'abortl r* I I -T = I H — e* — 5ie cose H — e' cosas a* 2 2 On a ensuite, d'apres la formuie (li) (t. I, p. 225), 1 On pent done former le developpement de r ^ — r* et, par ce que Hansen ^/i ^« nomme la multiplication mecanique^ on aura le developpement de — ^^ — suivant la forme (B). On a ensuite 7/i H = ;J^ [(<^«s£ - e) (^X. y^ cos/' -t- 11^ ^ sin/'j -f- v^7=^ sin£ Ta ^^ cos/' -f- CO ^^^^ sin/M . Les formules (^) (t. I, p. 227) donnent 4- ce ^cos/'— ^4''J,'_,(l'e')C0S«V'» — 00 -f- flC r'2 ^sin/'^:s/i-e'~*2^''J/-t(^''^')sineV. On aura done aussi le developpement de -7, H suivant la forme (B); on aura soin de remplacer x, oil), a, cO et e' par leurs valeurs numeriques. Done, en se reportant aux formules (a) (page 34 1), on aura, sous la forme voulue, et avec des coefficients purement numeriques, les developpements de ail et ar-r-- dv Reste seulement a obtonir celui de a^Z; il depend des developpements de /•' r' -, eos/' et -, sin/'. Or, on a (t. I, p. 226) a *' a ,7 ^/ j:cos/--?e'-H2j.-.(*'0'^'^ — « -f-06 -, s\nf= sj\ - e'* 2^ ^i^-^{l'e') - --^-, ou la valeur i = o est exceptee. SUITE DE LA METHODE DE HANSEN. 349 Done, finalement, on a, sous la forme (B), les developpements numeriqucs des quantites or 157. Nouveau changement de forme, en vue de rintSgration. — Pour inlegrer, il faut avoir une seule variable. Or, on pent exprimer aisement g^ en fonclion de e. On a, en effet, On en tire, en eliminant /, n^' =z c' H- -TT ( - c -f- 6 — e sin £). Soit pose N (8) ^-f^' 11 vient ^' ~ c' - - cfx-h fjLfi -- fxe sin £, d'oii cos(n£ — i'ff') — cos[(n —i'ii)e. — i'(& — c/x)] cos(i'|:/esin£) — sin[(/2 — t'/x)£ — i'{c' — c/x)] s\n{i'iJ.e sin£), (9) t sin(/i£ — - i'g') rr sin[(/i ~ i'ij.)e— i'{c' — c/x)] cos (t'fxe sine) cos[(/i — «'fx)3 - i'{& — €[1)] sin(f'fjiesine). Or, on a (t. I, p. 208) cos (j7 sine) = Jo(^) -f- 2 J, ( a?) cos a e-^- ii^{x) cos4e-f-. • • , sin (djsinfi) -— 2 J, (^) sine 4- 2J3(^) sin3£ -h. . . . On en lire cos(/'|jLe sin£) ~ Jo(£'|xe) 4- 2j,(/'{xe)cos2e -\- 2j^{i' ixe) cos4£ H-. . • 1 sin (/'|jLesin£) — 2J, {i' [t-e) sine -\- iiz{i'[i.e)s>\ii^t 4-. . . . En portant ces expressions dans les formules (9), faisant et ecrivant simplement Jo, J,, . .. au lieu de ^^{i' ^e). . ., il viendra cos(/2e — «'^') = Jocos[(/i — «'|jL)e — p] 4- JiC0s[(/i-f-2— e'fx)e — P]4- J, cos[(/i— 2 — t'fx)^ — P] 4- J4 cos[(/i 4- 4 — «V)s — P] -^ J4 cos[(/i — 4 — «V)s — P] (»o) [ 4- 4- JiC0S[(/l -i- 1 — i'fJl)£ — P] — J, C0S[(/l — I '-i'[J.)t— P] 4- J, cos[(/i 4- 3 - t»e - p] - J, cos[(n - 3 ~ «»£ - P] 35o CHAPITRE XXI et aussi sin(n6 — i' g') — JoSin[(/i — i'[»-)t — |3] -f- JjSin[(/2 4- 2 — f'/jL)£ — (3] 4- Jisin[(/i — 2 — ^V)^ — P] 4- Jv sin[(/i 4- 4 — •«'i^)£ — (3] 4-J4Sin[(/i — 4 — ''p)^ — P] (11) -4- J, sin[(/i -h I — i']u)£ — {3] — J| sln[(/i — i -- e'|x)£ — 1^] 4- J3 sin [(/I 4- 3 — i»£ — (3] - J, sin [(/I - 3 - £»£ — /3] • Nous aurons a multiplier Q,o^{m — i' g') par {{n,i',c)) et sin(n£ — r^') par ((/i, «', 5)), a faire la somnie, et a donner aux entiers n et i' toutes les valeurs indiquees ci- dessus. En designant par F Tune des quantites aQ, ar ^ et a^Z, nous avions (12) ¥ = ll({n, i\ c)) cosine - i' g') -{- 12{(n, i\ s)) sin{n£ -^ i' g'); il viendra maintenant ( F-- ll[i\i\c]cos[{c-i'ix)B-?)] I -+-22[(,i%5]sin[(/-e»£-3)]. Dans les formules (10) et (i i), donnons a./i les valeurs /, /±: I, / dz 2, » et retenons chaque fois les teruies d'argument (« — /'[jl)£ — P; nous trouverons aisement [/, /', C]— ((«,/', C)) Jo ((/ -f- 2, r, C))J, -+-((/— 2, t', C)) J, (G) { 4- -+-((/ —I, /', c))Ji — ((/-f-i, t\c))J, 4- ((/— 3, f, c-))J,— ((«4-3, r, c))J, > (") 4-((i-h2,/',5))Jj4-((/-2,£',.y))J ( H- i SUITE 1)K U MKTIIODE DE HANSEN. 35 1 Rappelons que, dans ces formules, toutes les transcendantes J dependent de I'argiiment i'ac\ 158. PrScaution It prendre dans le calcul de -y-- — La derivec (■3-)» qui entre dans la formule (3g) du n° 153 devait etre prise par rapport a e, en tant que cette variable etait intro- duite par ret/seulement. Quand on avait le developpement de Q, suivant les sinus et cosinus des multiples de i e\ i\ on devait, en calculant (-y-j) conside- rer s' comme constant; g^ devait done aussi etre suppose constant quand on a remplacc i par^'; mais on a fait cnsuite g' zzz c' — cix-T- [A£ — fJL e si n 6, ce qui a introduit de nouveau i. Designons par -.- la derivee complete. On aura Oil / dil\ Oil (i3) \ -dl "-AdTr-a?^'" -fxecoss); 1 /dQ\ dQ dii . On a d'ailleurs d'oii 4-22[/, /', .9] sin[(/ — i' i>-)s, — i\c' — c\i)]\ ^:^ -il(/-e»[/,/',c]sin[(i-£»£-.'(c'-c^)] ^5 :-. lli'[i, i', c] sin[(i - l»c ~ £'(c'- c/x)] - 22£'[/, /', .9] cos[(/ — /']UL)e — /'(c'— cfjL)]. En portant ces valours de -^ et jj dans (i3), on trouve, apres reduction, (^ J -- /jLecos£21/'[4*, i'y f] sin[(i -- i'[>.)i — i'(c' - c-|jl)J — /xecos£]S2/'[/, i\ v] cos[(£ — /'/x)£ — i'{c' — c/jl)) — 12/ [/,!', c] 3in[(i — £']ul)£ — i'(c'~- c/x)] -t- 22i [«, /', 5] cos [(/ — /' /x)£ — «'(c'--c/jl)]. En posant — »«• 2 352 il vient 0^ (h CIUPITRE XXI. lilt '[i,i' ', c] siii[(t -t- I - -,»e- ■i'{c'- ■Cfx)] -r- llli 'b.i' , c] sin[(t — 1 — t»£- i'{c' c[^)-] llli 'U,i' ,i]cos[(t ■y- 1 — ■*»£- i'{c' Cfi)] - llli '[i,i' ,s] cos[(i — I — -'»£- i'(c'- •Cfx)] Hi U, i' , f] sin[( • - «»£ - ■i'(c'- -CF)] + Hi ['. '■' ,.v]cos[( I — - '»£ - - i'(c- -^F)] I variant de — ao a -f- oc, on pent, dans Ics 2S, rempiacer i par « -h i ou < — i, de maniere a avoir partout le mcnie argument; on trouve ainsi (I) ■=z.— H^i[i,{\c\ — i'l[i-^- I ^i\c]~- i'}.[i — I , i\c]\ s\\\[(i— i' ii) £ — i' {c' — c ii.)] -h22 j/[/, r,.v] - Cl[i -t- !,«*',. v] — ^'/.[i — I,/', .v]|cos[(/ — e']UL)£--i'(c'— c/x)], 'A On a trouve (p. 336) (i4) ^ (?/•' los valeurs de M et de N peuvent etre mises sous la forme (i5) M^ N =r Bo H- 2B, COS£ -h 2B, C0S2£ -+- 2 Aq COSTi -r 2 A, cos(yi -- e) i- 2A_| cos(rj -i- g) -h 2A, cos(ri — 2I), sins — 2Dj sin2e -h 2C0 simrj 4- 2C1 s'\n{n — £) -+- 2C_i sin(Tn 4- e) -\- 2C1 sin (n - — 2£), - 2£); en faisant 3 Ao^---— - '2 I - e' A.:^ ^'r- /.--P* , 2 I - - B,. C,^- I — e= B, =: 2 I - e* A, = ~r 2 1 — e' 1 2 — e- 2 I — e^ C.,-- ^ 21 — e^ c. 2 I — C 7i» I 1>1-- -T I), ^ ; I e^ 2 1 - - e' 4 I- e^ il faut maintenant porter les cxpressions(ij) dans la forniule(i4)» dontnous ecrivons ainsi la premiere partie ^17) a (^\ = llc;(i\ i\ c) cos(0 -^ a). (i8)/ SUITE DE LA METHODE DE HANSEN. 353 cn faisant (/— i' iM)e — i'{c' — cix) — Of (lonnant d'abord a a la valeur 90°, et posant (17') y(/, i\ c) = i[i, i', c] — /'X[« 4- 1, i'y c]— i'l[i—i,i',c]', on fera ensuite a = o, et I'on changera la lettre c en s. U faut faire les produits de a ( -V- ] par 2B1 COS£, 2B,C0S2e . . . , Faisons completement Tun des calculs : nous aurons 2BiC0S£fl (-y- j = Bilig(i, /', c)[cos(^H-a-h£) 4-cos(9-ha — £)], e variant do — oc a -hx), on pent, dans le second membre, changer i en i — i ou en / -h I , de maniere a ramener les arguments O-f-a-f-e et 0-f-a — e a 6-f-a, ce qui donnera .B.cose«(f)=B.22[ff(.-^.,/',c)-^ff(e-,.,'.c)Jcos(.-.«); il faut maintenant faire a = 90", puis a = o, en changeant c en s, d'oii il re- sultera 2B,cos£a( -y-j =— U,22[(j(*4-i, i',c) -h (j{i—i,i',c)]sinO, -hBtll[(J{i-hi,i',s) -h g(i- I, i',s)] cose. On trouvera ainsi „ /dii\ ^v . r,. ., X -w , ^T iB,g(«,t',c) + B,g(/+i,*',c)+B.(f(*-f-a,,',c), Mai -,- ) = — 2isui[(«— t'w)« — « (<^ cm)] 1 x» ,, . ., ^ \OtJ ^^ ^' i->J ) -t-B,g(i-i,*',c) + B,(,'(*-2,/',c)( i A_i (i(i — i,i',c)-hAa(\(l,i',c) 1 '^ ■'(+A,0(« + <,'',c) + A,(,'(i + 2,t',c) ( vy . r/- •' N V, , , n(A_, (J {i -h I ,i' ,c) + A,g{i.i' ,c) i + A,(|(«-',«,c)-t-A,0((-a,'',c) ) + 22cos[(< — <'/jt)£— t'(c'— c|i)] -+-22cosr(t — B.ff(<-I,«',5)-HB,(j'(t-2,t',5)( T. - IV. 45 334 CHAPITRE XXI. Si I'on fait ensuitc ar— = 223(i, i', c)cos[(£ — £'fji)£ — i'(c' — c/jl)] -h lie{iy i', s) sin [(£ - i»e - i'(c' — Cfx)], on pourra ecrire, comme precedcmraent, ('9) ar -J- — 22C (/, i\ 5) sin ( (9 -4- a) , et I'on trouvera - 12 sin [(/-/»£-£'((?'-Cfx) -4-73] ., p ^,. V V, — 22siu (< — tw)£ — lie — ca)— Y)|! vv ,v -, .,,. , A D. e(»-i,t',.v)+D,£(*-2,«',5), 4-22co.L(*-* P).-' (c-cf.) ]j_j^_ e(/4-..r,.)-D,e(.>3./'.5)i II resic a ajouter les expressions (i8) ct (19), ce qui donnera On est conduit a poser F(/,£%c)rr:H/j(£,/',c)-|-B,(j(/-f-r,/',C)-hB,g(/-I,l\c) -hH,Cj(t-h2,£',c)4-B,g(/— 2,|',C) •^^ ' - D,C(« -h i,/',c) -hDte(e - i,«',c) — I)j0(£ -i- 2,/', c)-hD,8(£ — 2,e',c), ^ 'M -^C_,C(/4-i,/Sc) HCoC(/,r,c)-t-C,G(/-i,/\c)-hC,S(/-2,i',c), ■^^ / -C_,S(t-i,£^c)-CuC(e,/',c')-C,C(e4-i,£',c)-C,e(/4-2,«',c). On aura des formules toules seniblables pour definir ¥(i,i\s), G(i^i\s) SUITE DE LA METHODE DE HANSEN. 355 et E{i\i\s); il suffira de changer c en ^ dans les ( ) des g{i,i\c) et e(i, i\ c) : • • • 1 («') F(/,«',«) = B« (j(t,J',*) + {b') G( t, f, s) = A .,(?(*■ + 1, *■', «)-)-..., (C) Hit, i',.i)^K_,q(i-x,i', 5) +. . . . On trouvera ainsi ■^--:=22F(j,t',5)C0S[(l-i»£-/'(c'-CJJt) ] - F(t, /',C) Sill [(»- J»£ - t'(c'-CfJl) ] ' -T-Cs{i,i',s)cos[{i—i'ii)e — i'(c' — cix) — n]—G(i,i^,c)s\n[(i — i'(i.)£ — i'{c' — cii)—-n] + U{i,i',s)cos[{i — i'iJ.)t — i^(,c' — cn) -h yj] — H(/,t',c) sin [(* — <' fx)£ — *'(c' — Cfx) -mq] Remarque. — On tire desformules (a), (6) et (c), F(«, t',c) -h i [G(t + i,i', c) + H(t - I, »■', c)] ==(Bo4-A,)g(i*,*',c)-HQAo-l-Bi4-^A,^[g(«-i,/',c)-hg(« + i,e\c)l 4- (- i Co 4- D, + i C,^ [e(/~ I, /', c)~ 3(e + I, /', c)] (d, - '- C_,^ [a(/ - 2, i', c)- 8(1 -h 2, e^ c)]. Or, les relations (i6)donnenl BoH- Aj ™ — I, _ Ao 4- B, 4- - Aj = 0, Bj-f- - A_, =o, 2 2 2 - i Co -h D, 4- i C, = o, D, - - C-i 1= o. 22 2 II en resulte done F(i,«',c)^-i[G(/4-i,/',c)4-H(i-i,«\c)]-g(i,i',c), F(,-, ,', s) = -'- [G(i + I, t', 5) -H H(i - 1,1', s)] - g(i, i', s) . Les formules {a) pourront remplacer (a) et(6) pour le calcul des F, con naissant les G et H. 159. On a trouve (p. 338) une formule qui peut s'ecrire I t/R _ [*— 2M1 sine— 2MiSin2e 4- 2NoSinY) 4- 2N, sin(Y) — £) 1 cosi c/e ^ L 4~aN._, sin(Y)4-e)4-2N,sin(Y) — 2e)J^ 356 en posant CTIAPITRE XXI. 3<; (21) M,=--, M,=:V-N_,, No = --7^, N,iz: •A I' N.=-; On a d'ailleurs, pour le devcloppement de a*Z, une expression de la forme a«Z ce qui pent s'ecrire 2;i(0(/, i', s) sin[(£ - i'JC)£- i' {& - cfx)] i2(Jb^(/, £',c)cos[(i— i!ii-)i — i'(c'— c]ul)], en observant les memes conventions que ci-dessus. On trouvera, par des calculs analogues a ceux deja faits, cos I ds = — 2isin[(/— i'[L)£ — i'{c' — ciL) ] M, (0(£4-i,/',c)-M,(D(e-+-3,i%c)| M, (0 (£ - 1 , /', c) -h M, tO (/ + 2, i', c) ) — 22sin[(/— i'ix)£— i'{c' — ciJ.)-^-n] 22sin[(/— /'|ul)£ — r(c' — cfji) — th] ( N_,cO(i— i,f',c) >J_l(0(/-h I,£',C) N, (0(/— i,/',c) 2i;C0S[(/'-£»£-/'(c'-Cfx) ] 4- Hcos[(i'—i'iJ-)£— i' {c' — c\L)-j-r)] 22ros [(/—/' |ji )£ — f' (c' — c]ul) — Y) ] •No(D(i,£',c) I N,(D(/4-2,r,c)) NoCO(/,e',c) N,(f)(i-2,e',c) — M, (C>(/4-I,f',5)— M,C0(/-h2,«',5) 4- M I (ID (/ — I , l', 5) H- Mj (0 (l — 2, i', s) — N, (C)(/-4- I,/', 5) — No (£)(/,/', ^) — N_,(C)(£— I,£',.9)— N,(£)(lH-2,e',5) N_,(0(/-f- i,/',5)H-NoC'0(e, i\,v) I -+- N, <0(/— I,/',.9)-|-Nj(0(l--2,l',5) j Oii est conduit a poser id) T(/,/', c)— -M, (D(i -M, (D(< i:(/, i',c)= N_,(0(/ V(/,/',c)"— N-,(0(i ((?') T (/,/', .9): V(/,t',.v) — -N_ta"^(£-l,^ - M, (it)(/ \-, CD ( i 4-1,/ 2, e 1,1 — ifi 4- I, I 4- I, I ,c)4-M,(^(i — i,i',c) ,c) 4- M,(0(i — 2, t', c), ,c) 4-No{0(/, /', c) ,c)4-NsiO(/ — 2, /',c), ,c) — No(0(/, /', c) ,c) — N2iO(/ 4- 2, /', c), > •' / "• • • • » » »»y 4- • • • J y S ) • • • J SriTE HE T.A METIIODE HE HANSEN ct Ton trouve finalement 357 ^R cost ds (K) llT(i, j', .v)cos[(i — i' it-)t— i'{c'— cix) ] lll{i, i', c) sin[(« - i'(x)E - i'{c'— c(j.) ], + 22U(«, i',.i)cos[(i—i'n)e—i'(c'— C(x)— ti] 22 U(/, i',c) sin [(*'— i'(j.)e— i'{c'— c[i) — v]. + 22V(/, 1', 5)C0S[(£ — «'|l)£— *'(c'— CjJl)-Mr)] 22 V (1, (',c) sin[(£ — «'fx)£— i'{c'— cjji) + t)]. Remarque. — On tire ties formules ((^), en ayant egard aux relations (21), {J(i-\- I, i'y c) 4- V(/— I, «', c) = M2(£)(^' -+- 2, /', c) -h M,iQ(/ -h i, i\ c) — MjCO(/— 2, /', c) — M,(J)(f — I, /', c); mais le second membre est egal, d'apres la premiere des relations (d), a — T(^ i\ c). On aura done les formules (e) T(/, /', c)=^ []{i-\- 1, /', c) - V(/~ I, i\ c), qui permcttront de deduire bien simpiement les coefficients T des coefficients U etV. 36o CHAPITBE XXII. Si I'on pose P(t, i', c) — -P(« ■ + 1, i', c) - - P(i — I, i', c) R ( i, e, C ) r. 1 ^ {b) ' '* • •/ il viendra W (i — ecose) i=K 6'Ki4-(Ki— £fK)cos£ 4- K,sin£ eKi cos2£ eK. sinac 2 ' 2 2 4- 22(1 - /» R(/, i',c) cos[(/ - /»£ — t'(c'- c/x)] 4- 22 (/- /'[x) R(/, /',.9) sin [(/-£»£ - i'{c'- cfx)). En mullipliant par de, integrant, et portant dans I'equation (i), il vient ( n8zz= const. 4- ( K eK, J £ 4- (K, — eK) sin£ — K,cos£ (D) ' I I — 7)e — £'(c'— cfz)] 162. Calcul de ^/. — Partons de la fonnulc (K), page 3j7; nous devrons multiplier les deux menibres par di, et integrer en considerant yj comme unc constante. On a irouve au n*" 153 les formules 0/ .2 U V I — e*r=:Zcos/ --- sin(o3 — /); d'oii -. -; - — -; ^ _sin(a) — /)a*Z. cose de rt^v I — t'* On en conclut que la constante d'integration doit etre de la forme const. =- -—:=z= - smw -+- /i - cosw, y/ , _ gi a a oil / et /, sont deux constantes absolues. On peut cerire aussi {voir\^. 337) const. = / sinr/ 4- /^(cosy) — e), 11 vient ainsi I COS£ -Kt^ (4) / €li-\- / si n Ti -h /j cos y) -^ 22 ^- ^- ^'" t('' - '»^ - '"("' - "^^^ -^ 22 v^Vi? ^^'[(' - '»' - ''^''^ '^^^ V V \LLb± U (/,/', .9) . . sm[(/ h f^ U(/,/\c) «y)e — /'(c'— C-fJL) — Yj] 224^7^ ^^^[(^-'>)'-''(^'-^"^)"^] W V(/, /', .v) . . /'|Jl)c — /'(c'— C/Jl) -f- Y)] Mais on a trouve (page 339) m = R. Si done, dans la formule (4)» ^n fait METUODE DE HANSEN. — INTEGRATION. 363 Yj = £, et qu'on ramene tout au meme apgument, il viendra u — — — — e/, -f- /sine -h /i cose Jimdjmd\ l — l'lX £-1-1 — «'|JL f — 1 — f'/JL J *-^ *^' *^-' II y a lieu de poser encore ce qui donnera (e) < . . r '"' ' ' U(£ -f- I, «', .9) V(/— !,£,.?) fJL £ -h I — I II i — I — £*' fX ; 1= — e/. 4- /sine -4- A cose C0S£ -h22 Y(£, £*',.?) sin [(/ — «'|^)e— /'(c'— cjjl)] ^^^ ' -f-22Y(£,£^c)cos[(£-l»e-£'(c'-cfJL)], .? a ££ \ COS£ r C0S£ On pout obtenir une autre expression de it en partant de la formule du n« 153. On a d'oii " = X (^) ''^ = '""''• "^ / ("*>?) ''^ <^K dR /< (i)^ dT df\ I — ecosYi ^\ n Or\ ) I -' e cose (0) Or la formule (4) donnc I dR a — consl. -f- / [~r- I "^• . . = /cosY} — /, simn cos£ ari -^^^j^^COs[{i-i'iJ.)B-i'{c'-ci.)-r>] _^ 22 ^-^ sin [( ,• - i»£ - r (c' - cfx) - T, ] + HH ^-'t>^ cos[(/- t»s - i'(c' - cp) + r,] -'^^^^^sm[(i~i'i.)e-i'{c--ci.) + -n]. 3G4 CHAPITRE XXII. On on conclut, en faisant y] = £, et ramcnant tout au meme argument, ) =z /cose — /isuie cosi \dri J II convient encore de poser ( W(«. .•', c) = ^ifi=i4^ - ^±h^, } i — i-'iu. £-Hi — rw i VV// /' c^ V(£-I,l',.9) U(/-+-I, £',5) f V\ (f, / ,,9) — — ; ^; — — . T, • 1 \' » / t — i^l'^ l^l^l'^ 11 en resultera . -= const. -\- /sine -f- /, cose cos/ (F) I -^22^^^^^sin[(i-/>)e-/'(c'~c^)] En comparant les formules (F) et (F'), on trouve (7) const. = — -;] := — 2(j(£,0, C)sin££ -\- 1(J (i, O, s) COSlt. iMETIlODE DE HANSEN. — INTECaATION. 365 II est evident qu'il suffit de donner a i des valeurs positives; on pent memc excepter i = o, car, d'apres la formule (i7')> P^g^ 353, ff(t, 0,5) s'annule pour I = o. On a ensuite, page 354, ar -^ =:28(/, o, c) cosie + 28(/, o, 5) sin/e, ou bien, en developpant lesS, ar — = S(o, c) -f- G(i, c)cos£ -f- S (2, c) cos 2 6 -4-3(3, c)cos3£ -h. . . •+■ 3(i, s) sine -f- 3(2, s) sinae -h 8(3, s) sin3£ -4-. . . , 1 ^ ( T" ) ^=^~ ff('» ^) sine — y (2, c) sinae — (("(S, c) sin3£ — . . . (9) < \^^/ ( -^(?(^> .9) cose -4- Cf(2, .?)C0S2£ -4- (|*(3, 5)C0S3£ -4-. . . , Rappelons encore les formules (page 352) M = Bo4- 2B1 cose -h aBjCOsaf + 2 A_i cos(Yi 4- £) -4- 2A0 cosy} + 2A1 C0S(t3 — £) -h 2A,C0S(r) — 2£), N =— 2D1 sin£ — 2D, sin2£ 4- 2C_| sin(r) -4- £) -h 2C0 simo -4- aCi sin(ti — e) 4- 2C1 sin(r) — 2£), (10) (n) (.2) _-=Ma(^-j-HNar (^r Cctte expression de --7- sera de la forme suivante, calquee sur la formule (J) de la page 355, dW —— = F(o,5) -4- F (1, S) C0S£ -4- F(2, S) C0S2£ -4- F(3, s) C0S3£ 4- . . . — F(i, c) sine — F(2, c) sinae — F(3, c) sin3e — . . . 4-G(i, 5)cos(e — Yi)4- G(2, 5)cos(2e — ti)4-G(3, 5)cos(3e — tj) 4-. . . (i3) ( — G(i, c) sin(e — yj) — G(2, c) sin(2£ — tj) — G(3, c) sin(3e — tj) 4-. . . 4- II(o, 5) COSY) — II(o, c) sirnn 4- II(i, 5)cos(e4-ti)4-H(2, 5)cos(2e4-r)) 4-H(3, 5)cos(3£ 4-yj) 4-.. . — H(i,c)sin(£ 4-'n) — H(2, c) sin(2£4-iQ) — H(3, c) sin(3£ 4- Y}) — Les coefficients F, G et H se deduiront aisement, par les formules precedentes, des coefficients e(y, c), e(j\ s), g{j\ c), g(y, s). Nous nous bornerons a calculer F(o, 5), H(o, ^) et G(i,^); nous trouverons sans peine F(o,5)rnB,(;(i,5)4-B,(?(2,5)-D,8(i,5)-D,a(2,5), H(o,.9) = (a,4-A-0(i('i*)-ha, y(2,5)-(C,-c_t)a(i,5)-c, 3(2,5), G(.,i) = (Ao4-A, )()(!, 5)4- A_,g(2,5)-h(Co-c, )a(i,.0 4-C-,e(2,5). 366 CIIAPITRE XXII. En ayant egard aux relations (i6) du Chapitre precedent, on en deduit (i4) F(o,.v)=: - H(o,5), G{i,s)= — ell{o,s), .a En multipliant Tequation (i3) par di et integrant sans faire varier rj, on trouve W-^ (i5) 1 - H(0, 5)£ 2 F(i,5)sine4- - F(2,5)sin2£4- ^ F(3,5) sinSe F(i, c) cose f- - F(2, c)cos2£ -h - F(3,c) cosSs 2 O G(l, 5) Sin(£ — Yj) H G(2, 5) Sin(2£ -- Y)) 3 I G(3, 5) sin(3£ — Y}) -i-. . . G(l, C) C0S(£ — Y)) H G(2, C)C0S(2c — YJ ) I i^. H- « G(3, C) COS (3c — Yj) H- — H(o, c)£ sinY) -4-lI(i, 5) sin(£-i- Y}) -h - H(2, ,9) sin(2£ -4- Y)) H-j 11(3,5) sin(3£-hrx) -f H(o, .?)£ COSY) -h 11(1, C) C0S(£ ^- Ti) -H - 11(2, C) C0S(2£ -f Y/ ) H- ^ H(3, c)cos(3£ -i- Y)) -f-. . On en conclut W -r 0(1,0) -I- - ll(o, .9)£ -h 1I(0, .V)£C0S£ — 11 (o, c)£Sin£ A 4- F(i,c)-f--G(2,c) .OS£^[f(,,. lI(i,c)-+-lF(2,c)-h J-G(3,c)J .v)-+- -G(2 2 , .f) I sin C0S2£ H(i,5)-h ^F(2,.?)-h ^G(3, .9) 1 sin2£ -U(2,c)4-^F(3,6)4- ) G(4, c)l cos3£ 2 4 '4 J ^ H (2, .V) 4- ^ F( 3, 5) 4- i G (4, 5)1 sin 3£ 368 CIIAPITRE XXII. On appliquera maintcnant la formule (i8) nSz— I W (i — ecose)de. On trouve sans peine W ( I — e cose ) = P (o, c ) — -■ P ( i , c j Si Ton pose (y) ii viendra W(i -+- H(o, .9) f I — — j £ cose — H(o, c)e sine a it H(o, 5)ecos2c -h - lI(o, c)e sinae cose C0S2£ ^ rP(i,c)-c'P(o, c)-^P(2,c)l [P(a,c) -|P(i,c)-^l>(3,c)j rP(3,c)-^P(3,c)- ^P(4,c)lcos3£ rP(i,5)- ^P(2,5)l sine rP(2,5)-^P(i,*)-^P(3,5)]sin 2£ R(o, c)-P(o, c)--P(i,c), e U(i,c) = P(i, f)-eP(o, c)--P(2,c), 2U(2,C) = P(2,f)-^P(l,C)- JP(3,C), 3R(3,c) = P(3,c)-^P(2,c) -^P(4,c), R(l,.v)=rP(,,.v)--P(2,4), j 2U(2,5-) = P(2,.V)-- P(i,*)- -P(3,*), CCOSe) =: U(0, C) + f I — — j ll(0, .v)£COS£ — H(o, c)£sin£ — - ll(o, .?)ecos2c H- - H(o,c)esin26 2 2 H(i, c) cose -h 2H(2, c')cos2e -f- 3H(3, c) cos3e R(i, s) sine -h 2H(2, .9) sin2e 4- 3R(3, s) sin3e 4- (•9) 3^0 r.lI.VPITRE XXll. On peul poser . --- =T(0,,V) 4- T(l, S) COSS -HT('i,.9)C0S:i£ -T-. . . COS! (h v » / V V / — T( I , c ) sin £ — T ( .2, c ) sin .>. s — ... -I I; (^ I , .V ) cos ( £ - - Y) ) -f- U ( 2, ,V) COS ( 2 £ — Ti ) — I (I, c) sin(£ — Ti) -- U{t, c) sin(2c — ri) — . . . -f- V(<), .v) rosr, — V((>, c) sinyj -r- V( I, .V) C0S(£-i- ri) -h V(•.^.V) C0S(2£ -r-fl) 4- . . . — V(i, c) siii( £ -1- -fi) — \'('.«, (.') sin (2£ -hri) -h. . .. On deciuira aiseinent les valeurs des cocfiicients T, U et V des coeflicients (£)(/, *); on trouvo, en particulicr, T(0,.V) -(0;I,.V)-- --^0(>,.V), Vm>,.v)l. a>(l,.V)-}- 7(.0(2,5), •>. I i 4 d'oii resuUe la relation ( 20 ) T (o, .V ) - - - c\ (O, .V ) . En integrant I'expression (m)\ il vienl : = — e\ ((), S ) £ COS t ■h T(i, .v) sin£ -•- - T( '->., s) sin2£ -i- -^ T( 3, .v) sin3£ -h. . . '.5 «^ - T(i , c) cos£ H — T('>, r) cos'.>.£ -;- ., T(3, c) cos3c -H . . . 2 O -:- L'(i, .v) sin(£ - Yj) i — L'(2, .v) sin(2£ — Ti) H :t U(3, .9) sin(3e — tq) 4-. . . -T- l'(i, c) COS(£ — -f,) -i- - L' (2, r) C0S(2£ — rt) ■:- - U(3, C*) C0S(3c — Yj) -h . . . -f- £ V (o, .V ) COS r, - - = V ( o, c ) sin r, — V(i, .v) sin(£ - Ti) -r- - V(2, .v) sin(2£ -f- Ti)-:- - V(3, s) sin(3e-r- rj) -+-. . . -i- V(l,C-)C0S(£ -I -0) -T- - \'(2, C) COS(*i£ -r- r/) ;- ^ N\3,c) COS(3£ -T-Ti) -h. . . . On a du res(e //--K, d'oii . — -- t'V(<), .v)£ i L (I, (•) -t- VlO, S) £ C0S£ -- V(o, C) £ siii £ COS/ f- T(i, .9} f- - I r«, v) sin£ -+- V(i, -v) -:- - T(2, s) h :' L'(3,5) sinas i V(i,.v) -i 7^ T(3,,y) -r 7 L'(.|..v) sin3£ -i- . . . -i- T(i, c) -h - U(2, c) cose 372 (H) (K) / 2V = CHAPITRE XXII. 2C' — e\\ (o, s)e — H(o, .?)£ cose -h H(o, c)e sine [Q(i,c)-+-H(o,c) — Ki]cose + [Q(i,5)-f-n(o,5) — K,]sin£ - Q(2, c)cos2e Q Q(3, c)cos3e -H - Q(2,5)sinae 2 - Q(3,5)sin3e -\- \- 22S(/, £', c) cos [(/ - £V)e - i'{c'-c[i)'\ 2:iS(^ /', .0 sin [(« - «»e - /^r'- c^jl)]. u COSi = 0(i,c) — e/i — eV(o, .9)e H- V(o, 5)ecose — V(o, c)esine [Y(i,.?) -f /] sine Y(2, .«) sin2e [Y(I,C) -\- /i]C0S6 Y(2,c) cos2e -i-i2;Y(/,£',.9)sin[(/-/»e-/'(c'-cfx)] -h i2Y(f, £',C)C0S[(£— £'f/)£ — «'(c' — CfJL)]. Dans COS formules, i* prend les valeurs -t- i , -h 2, . . . . On a enfin (10 a r /I/ -4- c ^=r £ — esine, 166. Determination des constantes arbitraires. — Cos conslantcs sent au nombre do sept, savoir : Nous les detorminerons par les conditions W = o, quel que soit t ou yj (voir le n^ 151), 05=-: o, v= o, et enfin R == o, quel que soit yj. Soit £0 la valeur ini- tiate de £, dcterminec par la relation £0-- esineo^^ (^» En reunissant les expressions (A) et (i5) de W, et exprimantque leur sommo est nulle, quel que soit yj, on trouverait des relations propres a determiner les constantes dont il s'agit; niais il vaut inieux proceder comme Hansen le fait, car les calculs sont plus rapides. Nous supposons que les elements a, e, cj etc sont osculateursa Tepoque / = o. On a vu (p. 333) qu'en partant de la definition de W, on doit avoir W = o, pour / = o, quel que soit t. En reunissant les expressions (A) (p. 358) et (i5) (p. 36G) deW, on a une expression de W, qui est de la forme Wm^l, 4- iPocosYj 4- Csint), oil "X, -oi) et / = o, ou £ METHODE l)E HANSEN. — INTEGRATION. SyS sont (les fonctions de e; soient d,©, ift)o et e© leurs valeurs pour £o, £o etant defini par la relation on dcvra avoir £o — €Sin£o = c, -A-o 4- i»J)o COSY) 4- 3o sinrj ::= o, quel que soit t, ou quel que soit yj. 11 en resulte les conditions (21) 4,0 =: O , \\\)Q =: O , 3o = o. La premiere do ces conditions donne la relation (^) 6 1 o = K-+- - II(o, 5)£o -+- F(i, c)cosco -+- - F(2,c)cos2eo -f -f- F( I, s) sinco -H - F(2, s) sin2£o la seule constanteK, qui figure dans cette relation, se trouve done determinee. Les deux autres formules (21) donnent de meme / 0 = Ki-i- II(o, .9)£o-i- [G(i,c) + U(i, c)]cos£o 4- [0(1, .9)4-11(1,5)] sin £0 4- -[G(2,c)4-H(2,c)]COS2£o4--[G(2,5)4-H(2,5)] sin2£o (?) + 22 22 • •» / / fX o — Kj— H(o,c)£o4- [G(i,c) — H(T,c)]sin £0— [G(i,5) — H(i,5)]cos £© 4- - [G(2,C)— lI(2,c)]sin2£o--7 [G(2,5) — H(2,.y)]COS2£o (•/) *22 -22 G(i,i\c) — H(/,i',c) . ... ., . .,. , .. ^ . -; sin Ui — I'u.) £0 — *' (c' — cix)] ' 'f ~ COS[(i — /'fX)£ — i'(c' — Cfx)], Les equations (P) et (y) donneront separement lesconstantes K, et Kj. Pour t = o, nz -he doit co'incider avec nt 4- c; done alors, z = t, et la for- 37/1 aiAIMTUE XXII. mule (G) (p. 371) donnera (0) o --- C -h TlUo, c) ^- K - ^ eKjl Ca "T" • • • » et cette rolalion delcM'mine la constanto C, piiisque K, K, et Kj sont maintcnant connus. On doit avoir aussi v -- o, pour / = o; requalion (H) donnera done oe qui delerniinera C . En reunissant maintcnant les expressions de R, donnees aux pages 3G2 et 370, on Irouve que : est de la Ibrme ' cos/ - zV t- ni)'cosY3 -4- C'simr}. cos/ On a vu d'ailleurs (p. 33 >) que* la fonclion R doit s'annuler pour t = o^ quel que soitT; si done, on designe par r\, iil>|, et z'^ les valeurs de «v, iii, a pour £ -— £^j, on devra avoir quel que soit r^; il en resulte, en j)articulier, iili,'j - o et GJ, rrzo, et ces deux relations donnent , O^ /,-t- CoV(0,.V) -t- I l'(l,.v) -r V(1,A-)] sill Sq-{- [ T m , c) -f - V^ ( I , c)] COS £0 - [ U('?,.9) -h V{i,.?)] sin2£o -h - [L'(2,c) -*- V(ri,c)] cos3£o (r,) { "'" '■■ .2j~ ~' '■ --■^-^— Slll[(7 - I jULjcy — i'(c' — CYJ)] I - - I [X -^- 2d2d / I'li <-os[u- i'ix)-^^i {C —C[l)^\ 0=: / - £o^'(o>t') -- |ll(i,c) - \'(i,r)]sin £0 - [U(r,.v.) -V(i,.v)]cos f„ -1- - [L('.).,C) V('.l,r)]sill2£o - - |1.'('.>.,.V) - V(o.,.?)]cOS2£o (?) 2^2d 7"i'u ^^ ' ~ ' '^^ ^' ~ ' (^ ■- ^f^)i - 2d2d r~ i'fl cos[((-^»£o — /'(c'— c/x)]; on determinera ainsi separement les constanlcs /et /, . METIIODE DE HANSEN. ~ INTEGRATION. 375 II serait facile dc passer des formules (a) . . . (J^) a celles que donne Hansen, et qui ont un aspect different. 167. Nous aurions a parler d'autres Memoircs de Hansen, mais ce serait sor- tir du cadre de cet Ouvrage. Bornons-nous a citer : Lc Memoire sur les perturbations dc Jupiter et de Saturne, que nous avons menlionne deja, page 3i3; il est tres interessanl et presente un caractere d'ele- gance qui ne se retrouve pas toujours dans les ecrits de Hansen. Le .Memoire intitule : Ermitlelung der absoluten StOrungen in Ellipsen von heliehiger Excentricildt luid Neigung^ Erster Tlieil, Gotha, i8^j3, dont une tra- duction fVancaise par Mauvais a paru en i845. I/auteur s'est propose de donner une inethode pour le calcui des perturbations des cometes periodiques. Les ar- guments des formules sont des multiples de Tanomalie excentrique de la pla- nete troublecet de Tanomalie moyenne de Tautre; les coefficients sont purement numeriques. On applique la metbode au calcui des perturbations de la comete d'Encke par Saturne; la convergence obtenue est suffisante parce que le rapport — est assez petit. En somme, c'est la metbode exposee dans les Irois derniers Cbapitres, qui repose principalement sur la consideration des fonctions T et U. Pour les perturbations de la comete par Jupiter, le procede serait extremement laborieux, sinon impossible; du reste, la seconde Partie du Memoire n'a jamais paru. Entin, le lecteur pourra consulter, dans les Astronomische Nachrichten^ n^** 166-168 (1829), le premier Memoire de Hansen : Disquisiiiones circa theoriam perturbationuni quce moturn corporum coBlestium afficiunt ; il y trouvera les premiers rudiments des Metbodes que Hansen a appliquees durant toute sa carriere a la Lunc, aux petiles planetes el aux cometes; tout y decoule d'un meme principe. Le Tome IV des Astronomical Papers de Washington est consacre entierement a la tbeorie des mouvements de Jupiter et de Saturne; I'auteur, M. Hill, astro- nome du plus grand merite, dont nous avons retrace les recberches sur la tbeorie de la Lune, a applique pas a pas au cas actuel la metbode de Hansen pour les perturbations des petites planetes, en ayant egard aux termes du deuxieme et du troisieme ordre par rapport aux masses; le succes a couronne ses efforts. Pour en parler utilement, il nous aurait done fallu ajouter a ce que nous avons dit de la metbode de Hansen tout ce qui concerne le calcui des inegalites qui sont du second ou du troisieme ordre par rapport aux masses; nous ne Tavons pas fait de peur d'allonger demesurement ce Volume. 376 CIIAPITI\E XXIII. CHAPITRE XXIII. MtTUODE DE GYLDEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANfeXES. 168. M. Gylden, i'emincntdirectcurdcrobscrvatoirede Stockholm, aelabore, depuisquinzeou vingtans, une methode nouvelle pourcalculer les perturbations des petiles planctes. II a ele suivi par de nomhrcux clevesparmi lesquels nous citcrons : MM. Backlund, Ilarzer, Bohlin, Charlier, Masai, Brendel, Max Wolf, Olsson, etc. 11 serait impossible de rendre compte de tous ces travaux dans Tespace, forcement limite, que nous pouvons leur consacrer ici, et nous devons nous borner a donner une idee des choses les plus imporlantes. II convient loutefois de dire des a present que les inetbodes de M. Gylden ont pour but d'empecher le temps de sortir jamais des signes sin et cos, eomme cela arrive dans les metbodes de Le Verrier et de Hansen, et elles donnent le moyen d'obtenir ce resultat qui avait ete atteint dans un cas special, la Theorie de la Lune, par Delaunay. On sail maintenant le demontrer par d*autres voies dans le cas des planetes, eomme on le verra dans le Cbapitre XXVI de cc volume. En outre, M. Gylden prend pour variable independante non plus le temps, mais la longitude vraie eomme Tavaient fait Clairaut et d'Alembert, et plus tard La- place et Dainoiseau, dans la Theorie de la Lune. Dans le cas de la Lune, Texpression du developpement de la fonction pertur- batrice est assez simple, relativement a la longitude vraie de la Lune, parce que les arguments qui conliennent des multiples eleves de cette longitude sont alfectes de coefficients tres petits; cela tient a ce que la distance de la Lune a la Terre est petite par rapport a la distance de la Lune a I'astre perturbateur, le Soleil. Quand il s'agit d*une petite planete, la planete perturbatrice princlpale est Jupiter, et le rapport — (lui, dans le cas de la Lune, etait voisin de -, — > est ici compris entre 0,^1 et 0,8. Neanmoins, le developpement est plus simple que quand on emploie la longitude moyenne au lieu de la longitude vraie. M. Gylden et ses nombreux eleves se sont preoccupes surtout de determiner les orbites absolues des asteroides; ce sont des orbites dans lesquelles on a tenu eompte des termes seculaires et des termes a longues periodes, de sorte que, si METHODE DE GYLDfeN. 377 dies sont determinees avec precision, on pourra s'en servir pendant tres long- temps pour calculer les positions de la planete, qui ne s'en ecarteraient que de petites quantites periodiques. Ce serait un point d'une grande importance, car le nombre toujours croissant des decouvertes d'asteroides empeche de consacrer a chacun d'eux une theorie complete. Remarquons encore que la condition que Ton s'impose, de ne jamais faire sorlir le temps des signes sin et cos, implique que les perturbations seculaires des elements de Jupiter doivent etre representees, non plus par des developpe- mentsde la forme rapidement convergents pour un assez grand nombre de sieclcs, mais par un ensemble de termes periodiques tel que sin sin cet ensemble resulte, commc on Fa vu, Tome I, ChapitreXXVI, de Tint^gration rigoureuse des equations differentiellesdont dependent les elements des grosses planetes, en ne considerant que les termes seculaires du second ordre par rap- port aux excentricites et aux inclinaisons; les periodes — > — > • • des divers termes sont d'ailleurs extremement longues, au moins 5oooo ans. 169. Formation des Equations diffSrentielles. — Soient .r,y, z les coordonnees rectangulaires heliocentriques de I'asteroide, rapportees a trois axes fixes; Q la fonction perturbatrice ; m' la masse de Jupiter rapportee a celle du Soleil; k la constante de Gauss. On a, comme on sait, les equations ^ ^ dt^ /•' oz Soient x^ et y^ les coordonnees de la petite planete rapportees a des axes mobiles situes dans le plan variable de Torbite, a la fagon de Hansen. T. - IV. 48 378 On a (t. I, p. 4<>5) CIIAPITRE XXIII. (3) '. .ij r= /• cosi', Vi — ^ sin i': ^ est la longitude de la planete, comptee dans Torbite mobile, a partir d'un point convenabic de cette orbite. On en conclut aisement, en tenant compte de la relation Oil Oil dil Or <>y^ et de calculs deja faits (he. aV.), (4) d' / ^i* A'« , , , OQ ^/* ^/* /•' Or On a ensuite (H2 _ £)i2 _ 0^ '<>/! (^j:, c>i' Ci) dr^ -- ^^ Oi' Rcvenons a {'equation (2), et posons (0) J^ sera le sinus de la latitude de la planetc au-dessus du plan tixe des a;, y. On deduit des equations (2) et (.1) /• d^K dr dZ ^d^r A-»C ,, ,00, dt' dt dt ^ e/^- /'* c>5 ' d/-*/- d'oii, en reinpla^ant rj par sa valeur (/|), (7) dt' d'K ^r^l"! _^_'l ^'' 'J< — ^^'!^ (^^ __ r ^^^\ dV dt' r dt dt r \ Oz Or) Les equations a rctenir sont (i), (5) et (7). 170. Transformation des Equations diffSrentielles. — On introduit conime variable independantc v au lieu de /, en posant {><) ^ dv kyJct^ii — yj^j dt "n-8 "' METHODE DE GYLDEN. 879 a est une constanle, y) et S sont des fonctions inconnues de ^ qui se reduisent dans le niouvement elliptique, la premiere a rexcentricite e, la seconde a zero; Y) sera cense contenir les inegalites seculaires de rexccnlricite, mais mises sous la forme de termes a tres longues periodes. On trouve immediatement, en tenant compte de I'equaiion (8), rfi dr _ . v^a(i — Yj*) r dt ~~ I -h ST /•» d^K __ k^ y/i — Y}' y. ( I \/i—ri^ dK\ di^ - r-' i-i-S *'\r» I-+-S di'J Les equations (4)» (8), (2) et (5) deviennent — V^i — Y)* 1^ ( V^i — TO* A* I I I I — Y)* m' r* dQ i-hS *'\i-hS f/p/ rt /(i-h S)* a (?r ' -T- =/•' ^i yAj-Yi^ /j_ y/i — Yi« d'C'N ^ i-Y)« _ 2 i-Y)» _J1 ^ - :!^ /'^^ _ r — "i-rS "V* I-+-S di'J'^^ r^i-hS)' r (i-^S)^ dv dv" a \dz ^dr)' ou bien, en developpant les calculs, rf* - \ . r d - («) I — Yj* I r I j y^i — Y)* r d sji — n* 1 __ ^ {[^ ^ (6 n-— -— >- ('-hS), I 4- S e/t' ~ < I 2(1- -f- (I^ S)« «(' /•' n'-) 1 4- S c/i^ "^ I 2 I 1 — Y — m ,.1 I — V )^' + S)«( 38o CIIAPITRE XXIII. On pose encore, en designant parp une nouvelle fonction inconnue de c, (9) r=^-J^^, et Tequation (a) devient I rd^p 0. dp dr\^ ' -+- P d^fl^ i -h p /^^*V1 "" (,-+-S)« [^r« -^ ? -^ ' -^ ,-_ ^i ^, -J^: + , _n- ~dv^ "^ "^ (I — V)' V"^/ J -M 4- _i_ r I dp^ 14-p ^i-l [jj^Jfi*^ <^ i _| f^l _ , , ^ En posant on trouve sans peine (Jf^.p = ,S-P -^^(^_L_/4i!_ ' ^*)-hS'-(.S + S«)P ' _ r \__ d^ 3 _ I /^'V_ i_ ^ I 5/5*1 . (B) —TV -7- = (I + ^)'0-i 1 -:r'y (0) ac* m- fr{i — f)-) \0z Or/ On a maintenant jj_ I xx' -\- yy' -i- zz' d'oii ( /•* H- r'* — 2 /•/•' cos H )* en represcntant par II Tangle forme par les rayons menes du Soleil a la planetc et a Jupiter. On a ensuite z-zf'Z et de mdme z':=r'Z'i done Tequation (D) pent s'ecrire (I),) ^ P L( /•'+/•'* -2 //'cos II)* J f '-^P (,--t-/--2/T'C0SlI)' '"^P ^^' METHODE DE GYLDEN. 38 1 On peut obtenir aisement une autre forme tie cette equation, employee par M. Brendel. On a, en effet, ^ _ I r cosH ,Jt d^ r'cosH — r cosH dr A3 r'» ' <>cosH '"''U /-)' d'oii !:'^--r'(^:'-KcosU)(~-■^^^{t-<:cosll)l ^^. or \A^ r'/ ' r a cos 11 On trouve ainsi Tequation «?^C . d^f I as I I dn'\ m'* di>\i -\-b civ 1 I -n^ dv I ^ ' Z = m^ -:— — r; (?' - C cosH) -^ . 171. DSveloppement de la fonction perturbatrice . — On a Si = ■ — — - cosH, y/,.2 _|_ ,./2 _ 2 rf' cos H '* Posons (ii) ,_ 1 = =Co-4- 2C1 -T - cosH +2Ci(— ) ( - I COS2H-1- . .., y I- — cosH + ^, et nous aurons «Q=,i;co4.2(^y^(c,-^«')cosH4-2c,(^;^^ ou, plus simplement, n := « 382 CHAPITRE XXIll. en convenant do reniplacer C, par C, a^. On conclut de la relation (i i). TT ^^--dn--.J^(^\„; y/i-~cosH-t-^ on bien se reportant au Tome I, p. 274, I /^' sin"'H rfH- ' r J^ v/i-«'s"»*"' i-a*siii*HL \^/\^/Ji On pent developpcr le second membre suivant les puissances de la petite quantite ' — (-) \%) qui est de Tordre des excentricites, etTon trouve k3 2 -.ir »-' 0 lit *- ^ ^ ^ '^ .A (i — a'sin'H)* On est conduit a poser I /^" sin*"H ./, (i-«»sin»H) ' il en resulte Soit pose encore ('4) >^-^ - 2. 4.6... 25 "" '^»*-^»' et il viendra jc.=,r-,r[.-CJ(^)>ni.-(0'(pTr D*apres les formules (i3) et (i4)» t/^^*^ "'^^ fonction de a dontil est facile d'obtenir le developpement en serie. La relation (j 3) donne, en effet. Pi-.V. = Jl/'sin-H [■ + (*+ I) ^sin«H + (,v+ 1) (,+ ?) j?-^ sin'H + . . .] rfH. MtinODE DE GYLDtN, 383 et il en resulte (voir t. I, p. 274) I \ 2 /i H- I a- I 4-1 .? 4- ■ 2 / 3 /i -h 2 I + |.-f.i)(54-^ \ (2/1 -Hi)(2/i -H 3) _a^ 1 / (2/H- 2)(2/l 4-4) 1.2 •••]' y. 1 . 3 . . . ( 2 ,v - I ) 1 . 3 . . . ( 2 /^ -h 2 .? - - I ) ,,('/) — l_:_ll.*_l____J •_ _.. *_11___-L__ Ll of'»-*-2*-Hi .V 2.4. . . 2,V 2.4 ... (2 /i -I- 25) a' ^^['-^-^-^0^"^ 4-25 4-1 a* 4-254-2 I / l\ / 3\ (2 /J 4- 2 5 4- I )( 2/1 4- 25 4-3) a* 1 4-5 4-- U -^ - 7 r? . '--^ h- . . . . \ 2/\ 2/ (2/i 4- 2 5 4- 2)(2/l 4- 2 5 4- ^) 1 .2 J On pent ecrire aussi, en introduisant la serie hypergeometrique, out) ' '^- ' •('^'^ " Of/' ' »\ '• 2. 4... 2 5 2.4. . . (2/e 4- 2 5) \ 2 2 / et, par suite, en faisant usage clu symbole A' (voir t. HI, p. 382, et Annates de robsenatoire, t. XXf, p. B.23), (Ic sorte que les fonctions p^"^ et y'"^ s'expriment (*) par les transcendantes de Laplace. On a, par exemple, 5z=2, 2a"Pi'''=:A*ef'»> = c^'»> — 2ae<'»-»> 4- a'e^^-'s il s*ensuit qu'on a aussi / if±i '" ^ / / !iL±J Remarquons encore que I'on deduit de la formule (r3) ^a« ~2 '^^ • {d(x}y ^2 3*^* ' ( ') Jo dois cclte roprdsontation simple 6 M. Radau. MtTHODE DE GYLDEN, 383 et il cn rcsulte (voiri. I, p. 274) 1 . 3 . . . ( 9. /i — I ) r / i\ 2n -h I otr 0,n^ 1.3...(9./t — Of ^-^^»~ 2.^ ..211 [ 2/2/14-2 I \ (2/1 4-1) (2/1 4- 3) _a* "I / (2/1 4- 2)(2/l 4-4) 1.2 •••]' 5^_iV5_^^^ (^'*~^^)(^'*"^^) ^* f'/) -_ I .3. .. (25 - 1) I .3. . . (2/i 4- 25 — 0 ,_^j^^, 2 . 4 ... 2 5 2 . /| ... (2 /I -I - 2 5) [/ 1 \ 2/1 4- 25 4- I «- I 4- 5 4- \ 2/2 /« 4-25 4- 2 I l\ / 3\ (2/1 4- 25 4- 0(2/1 4- 25 4-3) a* 1 4- - 5 4- - 7 r^ T-. h . . . . 2 / \ 2/ (2/1 4- 2 5 4- 2)(2/t -+- 2 5 4- 4) I -2 J On peut ecrire aussi, en introduisant la serie hypergeometrique, ^ , I .3. . .(2/1 - 1) „ / I I ,\ ' 2. 4... 2 5 2.4. . . (2/e 4- 25) \ 2 2 / et, par suite, en faisant usage du symbole A' (ro/rt. HI, p. 382, et Annates de rObserK-atoire, t. XXf, p. B.23), nl7{n\ 4<1'") (/I) I.i5...(25 l) -_. 1 A • l('*+*l de sorte que les fonctions p^"^ et y'"^ s'expriment (*) par les transcendantes de Laplace. On a, par exemple, 5 = 0, 2a";3'«^ — Z^(«>, 5=1, 2a"PV*^ — Ac^") i-^ic^") — acf"-*^ s — 2, 2a" Pij"' = A'ef''^ = e^«> — 2 ae^'*-*) 4- a't'f"-*^, II s'ensuit qu'on a aussi 7o (i — 2«cos^4- a') * .^ V (1— a*sii «, 0 V — ^ ^ V/Via Y -r- tA ) t/Q ^ ^1 — ^ Sin y ) Rcmarquons encore que Ton deduit de la formule (r3) "ri • a(/i+l) ^a* ~ 2 *^» • Xd7}Y ~ 2 3 *^* ' ( i; Jo dois ccUe representation simple ^ M. Radau. 'iS\ CIIAPITRE XXIII. II en resultc On a, d'ailleurs, 2 3^"' et, par suite, ''''' - I rf«' ' . ./« * t' * 1.2 (c/a*)«' On trouve aisement ' ' 2 L aa J 2 2 ^ -* 4 '^•^'"=.4.6h'-Wa» -3(.-^Oa'-^^/>-3(«« + 3. + .)« ^, Nous aurons ensuite a appliqucrla formule (12), en y supposant («6) ^ /rV/a'V Nous poscrons ^^n — /o ^/l T^ ^' ft ' ' » r --- rt (I'oii , 1 - rr- - « T ' 1 + p' , fi -?1V r-^pjv. Le coefficient cle cos^H dans Tcxpression (12), savoir ' \n-\ i / r\^ / I -4- o' \ « ^-* / I Xi^^'^ '<^"(?r'(-:)"-"^-(f-^')' I+p ) pourra etre developpe facilcmcnt en seric suivant les puissances de p, p', yj* et Y]'^. Nous le reprcsenterons par 22(-irS>(//,.v,.s')v,v'p-^p'*"t)2''n'^^'; METUODE DE GYLDEN. 385 nous aurons ainsi / £2(/i,o,o)o,o 4-i2(/i, i,o)o,ep -^^(^i^o* >)o,oP' -h£2(/i,2, o)o,op* 4- £2 (/I, I, 1)0.0 p.-' -h£2(/j, 0,2)0,0?'* — i2(/i,o,o),,oTO' -4-£2(/i,o,o)o,,t)'* (.8) «Q=z2cos/iH ; +^('^'3,o)o.oP« +i2(,l,2,,)o.oP«p' -I- £i(/i, I, 2)o,opp'* -I- ^(/i, o, 3)o.o?'' — £2(/i, i,o)j,opTn*-hl2(/J, 1, 0)0,1 pn'* — £2(/i,o, i),.op'Tn*-hi2(/i, o, Oo.ip'm'* Le coefficient 2 devra etre remplace par 1, pour n =0. Nous nous bornerons a chercher les premieres valeurs li(/i, o, o)^,©* 0(/i, i , o),,^^ P» • • • 5 pour y arri- ver, nous formerons d'abord Texpression de X, X=zi — (i4-2y)'*— -2Yi*4-...)(H-2p'— 2p-4-...), >. =r 2p — 2p'-h 2y)- — 2Yl'*-h. . . ; a ce degre d'approximation, on devra remplacer X^, X', . . . par o. La formule (iG) donnera on aura ensuite — [yo"^-+-(2p'— 2p 4-2YI'*— 2Tn')y^,''^][l 4- (/14-I)p'— /ip 4- (/I 4- l)Yi'*— /I Y)*] ~ y — bj) -4- i-n^-z / ,,cos2((' — gr — cr) [i-hncosCt^ — $P-BJ)]' (,4.y/,_ yj«)» ^ ^ — 2y)» ., C0S3(i' — Si' — BJ)4- . . . , (14-v^i — mv ou bien dX. i=i « (33) — I _4- V lB/C0S^(i'— Si'— w). On aura, comme on voit, B*~4-7Y)*7 r r7> •••> d'oii Ton tire aisement B, =r— 210, B, = 7 Y)*-t- 5 n*-4-. .., Bjzn— it)'— 3Y)»— ..., (34) { ^ \ En integrant Tequation (33), et considerant y] et gj comme des constantes, il vient X^:zzv-\ 2B/Bin^(c— Si' — gt) 4- const. 390 CHAPITRE XXIII. On aura done, en designant par A unc constante arbitraire et se reportant a la formule (29), (35) ne-{- \ — v -\ — -— 2B/sini(i' — €c — Bj) -h W, on aurait de menie, pour Jupiter, (36) «'/4-A'==:i^'-f-— |-;iB;sin/(i'' — €V' — Bj')-hW', oil (;V designe le mouvenient moyen du perihelie de Jupiter; les coefficients B) sont definis par des equations que Ton deduit de (34)» en y remplacant Y) par rf. II y a lieu de completer des a present les formules precedentes; nous avons suppose Y) et Gj constants dans Tintegration de Tequation (33); raais M. Gylden trouve plus avantageux d'aiTecter y] et gt de leurs inegalites a tres longues pe* riodes, de maniere que R se conipose autant que possible de termes k courtes periodcs. 11 nous faut done tenir eonipte de la variabilite de y] et de m ; revenons a requation(33), en ncprenantquelcs deux premiers termes du second membre; -7- = I — 2 Y) COS ( i' — € I' — CJ) , d'oii C = i' — 2 In cos (i' — € •^ — cy ) d{\ On a la formule suivante, qui se verifle immediatement, / TOCOS (p— €*' — w)t/r — — rjC0SC7sin(r — Si') — - — / sin(i' — €i')flf.Yj cos CJ — y)sinGycos(c'— sr) H / cos(r— qv)ci.n sinw. Si done on pose, en negligeant c; devant i , (37) \-z 2 I cos(r — qv)d.ri sincr - 2 / sin(r — gr) ci.n coscj, on trouve que I'equation (35) doit etrc remplaeee par (35') n( -h A=: \^ -\ 2B/ sin<(r — «*' — gj) -r- W — X ; 1 i METIIODE DE GYLDEN. Sgi on aura de memc (36') n't-hX'=v'-^--^,lBiSini(v''-i'i^'-m')-hW-\', (37') \'-2Ccos(v'-q'i>')d.-n's\nn5'—2rs\n{i>'-q^v')d.-n' COSCJ'. 174. Expression de r' en fonction de p. — Eliminons / entre les equa tions (35') et (36'), et posons pour cela n' (38) 1^=-' B=A'-|ulA, U=:|ul(W-X)-(W'-X'); n nous trouverons (39) (^'=:|UL(^-i-B4-U-+-— f^2;B/Sin£(i^-«r-cj) ^ 2B;sini(i''- ^'p'- gt'). i — 5 1 —q II s'agit de tirer de la Texpression cherchee de i^' en fonction de i^. Posons ) (1— fx)(;-B-U-«s v-i^'^E; nous aurons q'i>'=q'{\t.V-^ B -t- U-h. . .) = fjtcs'4-. . ., i^'-s'r'-Gy'=V'— H, et I'equation (Sq) donnera H=W fi- SB/siniV ^ 2B;sin/(H - V); 1— € 1—5 c'est de la que Ton tirera H en fonction de w, {^ et v* \ on pourra employer la methode des approximations succcssives; on aura d'abord H = iv ^ 2B/ sini V ^ 2B; sin ( iw - iV - -^^ 2B/ sini V^ , et ainsi de suite. Nous nous bornerons a (Ai) VLz=LW -^ ^ Yj sinV h 7 Y)'sin(iv — V). ^^ ' J — ^ I — q' On en conclut, au meme degre d'approximation, cosnH z^cos/iwp'— -J— nsinVn ; ri'^mUv — V) sin^^, sinwH = sinwiv-h -?i^ nsinVn -, Y)'sin(iv — V) cos/imp^, 392 ou bieii CHAPITRE XXIII (42) (43) cosnH = cos WW — Y) COS (/IMP'— V)4- — — ri cosinw-^ V) I— S I— € 4- -— -, Yj'C0s[(/l-r l)i^'— V] -—, Y)'C0S[(/l— i)m'-+- V']: sin/iH 1= sin/iw — ^^- — n s\n(n\v — V) + — — n sin (««'-+- V) -i ;7Y)'sin[(/i 4- i)n'~V'] — - — j,n'sin[(/i — i)iv-i-V']. 1—5 I — € II s'agit d'en deduire les developpements de P et de Q. La seconde des for- mules (24) donnera Q=—2m'i/isin/iH[0(/i, 0,0)0,0 -hQ(/i, i, 0)0.0 P H- Q(«, o, i)o.op']; on doit remplacer p et p' par pz=n cosV, p = n' co^(w — V), ce qui donnera, en negligeant (; et (;' dans ies diviseurs, 0 r ^zz:—2wO(/l, 0,0)0,0 sin/iw — fjL/nrisin(/iH' — V)-i- fx/nrj sin(/it»'-h V) H- nn's\n[{n ■+- 1)11^— V'] — nn' s\n[{n — i)w 2/1 sin/it^'Q(/i, 1, 0)0,0^0 cos V 2/1 sin/i«'0(/i,o, i)o,o^'cos(«'— V), J si I'on pose Q. (44) = Ao,o('2» — 'Osin/iMP' \^^Q{n -\- ly — n) nsinimv -{-\) -f-Ai,o(/i Ao,i('^ — ^ -+- i)ri'sin[(/i — i)iv-+- V] Ao,i(/i, — /I — i)Yi'sin[(/i -h i)(v — V']. I, — /i)y)sin(/iiv— V) On trouvera sans peine, en comparant a Texpression precedente de —> (45) Ao.o(^» —^ Ai,o(/i -hi, —/I Ai,o( '* — !, — '* Ao.i('*, — /I 4-1 i Aoa('2» — n — I — 2/1 Q(/', 0,0)0,0, — 2fI/^*Q(/^, 0,0)0,0 - -^2|Lt/^*Q(/^, 0,0)0,0 - 4-2 /i*Q(/i, 0,0)0,0 - — 2 «'Q(/^, 0,0)0,0 - nQ{n, 1,0)0,0, /iQ(/i, 1,0)0,0, nQ{n,o, 1)0,0, wQ(/?,o, 1)0,0. («' -t- art — a f*«')yo" + 2rt y'r . («« -h 2rt + a ;ji /i»)y J,"' + 2/1 y',"', («• -«)y'."'- -2/iy'"', (3n '-t- «)/»"' - a rt y","' . MtTIIODK DE GYLDlfeN. 3c)3 On a onsuite, d'apres la formule (23), 0(/i, o, 0)0,0 -- ^(/i, o, 0)0,0, 0('^ I,0)o.o = ^(/2, I, 0)0,0 --2Q(/^ 0,0)0,0, Qi^yO, j)o.o— i2(/l,0, 1)0,0, d'oii, en ayant egard aux formules (19), QC/*, 0,0)0.0^- yr. 0(w,i,o)o.o--:=~(/*-T- 2)/,-) -.:?/,''', 0(/i, o, I )o,o -= {n-i-i )7;«' 4- 2y;'»\ II en resulte enfin Ai,o(/H-i, — /i) — (46) ( A,,o(w— I, — /I) --=^ Ao,i(/i,— 'I -M) = Ao.iC'i, — 'I — 0 = Au lieu de y'q*\ il faut prendre y^^,*' — - a*. On aura de memo P — ^ Bo,o(/i, — /J)C0S/2(V, ni' (47) { -+-B,,o(/« -h 1, — /0"OCOS(/ltf' r- V) -h B,,o(/2 — I, - /O^COS(/lii'-- V) -}-Bo.,(/2, — n "h i)in'cos[(/i — i)w-^ V] -+-Bo.i(/N — w — i)y)'cos[(// x-i)w-- V']; et Ton trouvera assez facilement Bo.o(/^, -/i)==:2/2/,«'-+-4yr, B,,o(/iH-i,--/i) = (-/i*-/i-h2|ui/i«)7;'»'+( -4/1-6 f-4fJLw)yV'^---8/«', (48) / B,.o(/i-- i,-/i) = (-/i^-/i-2fx/2»)/,«»4-(-4'* -6- -4a/i)7^«'-8yV'\ Bo.,(/^ - ,14- I ) = - (,i' - ,i)/;)4- 6/«'4- 8yi% IV.C'^-'^-O^ (3/i'4-/i)yi'*^-t-(8'*-*-6)yr-+-8/,'»'. II faut renf)arquer que, pour /i = o, les expressions des B doivent etre divi- sees par 2. Remarque. — Soil & Targument general du developpement de Q; ^ sera une combinaison lineaire, avec multiples entiers, des trois arguments partiels (v, T. - IV. 5o 394 CHAPITRE XXIII. MfeTHODE DE CYLDlfeN. V et V, definis par les formules (4o). On pourra done ecrire, en designant par a', p ct P' trois entiers positifs ou negatifs, d'oii ou bien (49) ^ zn i;(a 4- fJLa'4- (3? H- P'jul?') 4- a'(B -f- U) 4- ^bj 4- ?'cj', en faisant (50) a -i- a'-f- (3 -+- (3' = o. Le cosinus de & sera multiplie par yi'y)'*', et Ton aura 5 =z I (3 I 4- un nombre pair, 5'— IP'I -h un nombre pair. Nous remarquerons encore que, dans 12, on aurait du remplacer p par (p) -h R, et non pas seulement par (p). De la une nouvelle modification de la fonction perturbatrice, mais sur iaquello nous n'insisterons pas. M. Masai, dans son Meinoire intitule Formeln und Taftln zur Berechnung der absoliiten Storungen der P/aneten, Stockbolm, 1889, a deveioppe les expressions des coefficients A et B en fonction dcs Y"\ jusqu'aux troisiemcs puissances des excentricites, et ii a donne des Tables pour plusieurs des coefficients qui figu- rent dans les formules. SUITE DE LA METIIODE DE GYLDEN. SqS CHAPITRE XXIV. SUITE DE LA M^THODE DE GYLDEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANfiTES. 175. Recherche de la partie 616mentaire de p. — Dans une premiere approximation, les equations (A) et (B) du Chapitre precedent peuvent etrc reduites a (») ^=-«- Nous allons chercher dans P et S, par suite dans P et Q, les termes dont les arguments sont V et V parce que ces termes peuvent grandir beaucoup dans rintegration de Tequation (i) ; nous nous bornerons d*ailleurs aux parties prin- cipales des coefficients des termes en queslion, lesquelles contiennent Tun des facteurs y) ou r\. Nous aurons alors P daQ. Q , , daft op m d\^ m' aQ=:(H-p')Co4-?^^— ^C,cosU; les termes en COS2H, cos3H,... doivent etre laisses de cote, parce que les por- tions 2(^, 3(v, . . . des arguments ne pourraient pas etre detruites dans les mul tiplications par p et p'. Nous aurons ensuite 396 CHAPITRE XXIV. (I'oii Ton tire aisemcnt ^i =- 2-/,"(. -+- ap'- ip) + 8y',-(P - P'), ^ =- 2/,"(. + ap'- 3p) + 8yV'(p- p'); puis I H- 2 cosH[(i 4- 2p' - 2p) /;^ 4- 2-//'(n- 5p'- 5p) - 8yVUp — p')]- On a (1 ailleurs da^ I -H 2p' ,, . „ Ov I -h p (I - 2p) -^^--2 sinH[(i 4- 2p'- 3p)vi,^' - 2(p - p')//'J. 11 reste a remplacer p, p', cosH et sinH par Ics valeurs p = n cos V, p'— ri'cos(ii' — V'), cosH — cosw — ixTi cos{w — V) -i- fxri cos («' 4- V) 4- yi'cos(2«'— V) — yj'cos V', sinH = sin w — /jlyj sin(ti'— V) 4- fxtj sin(if' 4- V) -\- Tn'sin(2«' — V) — rj'sin V, et a retenir seulement les termes d'argumcnts V et V. On trouvera ainsi ""^^^ = 2y\'^ - 6/^' n cosV - 8/,«'y] cosV 4- GyV^Yi'cosW Syi^'rj'cosV, On aura done ( Pz= 2/7i'/,^'-//i'[6-/;^ 4-8yy>^]YiCOsV4-m'[6yV'-+-8y',>»]yi'cosV', ^ ^ I Q = -2m'yV'y)'sinV'; Tequation (2) donnera On pent cfTectuer Tintegration en considerant r/ et gj' comme des conslantes; il vient ainsi 2/w'v'*' ^ ' 1 — a;' SUITE DE LA METHODE DE GYLDEN. 897 En portant dans (i) les expressions (3) et (4) de P et de S, il vient ^ -+- p = - im'Y^' 4- m'[(^Y^' -h 8/,«^]yj cosV -"^' [y>^'(r:r^ -^^) + ^y«''] ^'^^^^'• On pent supprimer la partie constante, ce qui reviendrait a une modification de la constante a, remplacer r\ cosV par p et poser (5) P = m'[6/,«'-f-8/,^>], On Ironve ainsi, en mettant (p) pour la partie elementaire de p, (7) ^^-+-(i-P)(p)-yVcos[(i-fx^')^-^']. Nous aurions pu faire le calcul ci-dessus en nous aidant des resultats obtenus au Chapitre precedent; mais il y avait de I'interet a le faire directement. 176. Intdgration de I'dquation (7). — Soient e' et co' Texcentricite et la longilude du perihelie de Jupiter; on a vu (t. I, Chap. XXVI) que e' et o)', en tenant conipte des inegalites seculaires causees par Saturne et Uranus, sont determines (*) par les formules ( e'sinw'=:x'sin(^^4-g)-hx;sin(^,/-hg,)4-)c;sin(^,/4-g,)> (o) \ ( e'cOSOj'^ x'C0S(^^ -i- 5) H- ^\ C0S(^, t-^Qx)-\- ^\ COS(^,^ 4- ^j). Les coefBcients g, g^ et g^ sont tres petits; nous donnons leurs valeurs plus loin. Posons les formules (8) deviendront ( e' sinw'= x' sin (|x?'p -h F) 4- /, sin (jx^', p -h F^ ) -+- x', sin(fx?', i^ -h F, ) , ( 8 ) { ( e'coso)'— x'cos(fx«V-f-r') -f- x', cos(|ulc'| p4-Fi) -+- x', cos(fjL«',i^ -hF,). Le coefficient x' est plus grand que la somme des valeurs absolues de x'^ et (1 ) Ell laissant de c6i6 les perturbations caus6es dans le mouvement de Jupiter par Neptune, Mars, la Terre, V^nus et Mercure. 398 CHAPITRE XXIV. de x^; done (t. I, p. 418) [jl(;V -h F est la partie non periodique de co', de sorte que, si I'on fait (10) Oi)'r=fXcV -hw', Gj' se composera seulemcnt de termes periodiques, mais de periodes tres lon- gues; la quantite <;' definie par la premiere des formules(9) est done identique a la quantite (;' introduitc anterieurement. Si I'on met r{ au lieu de e\ on deduit aisement des formules (8') f 7j'cos(gj' - T) = x'-+- x; cos[(|ULc; - ij.q')v -h r; -- r] ri'sin(nj'-r)= x^ sin[(fxc; - fxs') ^^ -hF, - F] -+-x;sin[(fjL«;-,jL«')^'-Hr;-r]. On peut ecrirc aussi Tn'cos[(i — fxc')i' — Gj'] =x'cos[(i — fxs')*'"— r'] ■i-XiCos[(i — \i^\)v — r'j] ■n' sin [( I - ixq') V — cj'] = x' sin [(1 - fJ^?' ) r - F] h- x', sin [(1 — \i(;\)v — F, ] moyennant quoi Tequation (7) devient (12) ^^+('~P)(p) = yx'cos[(i-fx«')i^-F] yx'i cos[(i - jLL^; )i> - F, ] -+- yx; cos[(i - fx?',) ^>— F',], C'est une equation lineaire du second ordre, a coefficients constants, et avec second membre. On sail que son integralegeneralesera de la forme ri3^ I (p) = xocos(pv^r^p — r)-f-acos[(i — |UL§')(^ — F] ai cos [( I — JUL $; ) t' — r; ] -h a, COS [( I — fxs, ) i' ~ F, ] , oil x^, et Fsont deux constantes arbitraires. D'apres ce que Ton a suppose, p. 388, on doit prendre (i4) v/i--p = i-5, p = 2«-s'. Les coefficients a, a< et a^ s'obtiennent en ecrivant que ['expression (i3) ve- rifie identiquement Tequation (12). On trouve ainsi sans peine 400 CHAPITRE XXIV. En portant ces valcurs dans la formule (17), il vient (22) \ 1 2a/cos[(i— ff,)i» — r;]; ou bien encore (23) (p) — eoCos[(i — q)v — GJo] -i- 2 2ai sin ( — ^v\ sin ( 1 — -- — -\ i' — TJ I- Pendant un intcrvalle de tennps pas trop grand, mais qui pent etre cependant de plusieurs siecles, on est en droit de se homer a sin — V = — i\ 2 2 La formule (23) devient alors, en reniettant pour a, sa valeur (18), 0 on pourrait meme prendre l^lise en nombre des formules : (3 = m'[6-/.<" -^ Sy'.o'], ■/ = - /«' [/," (^- - g) + By',"] , )C' = -H 0,042.675 g- 3,780.294 ^J -- 25.52.23 x', == -h 0,01 5.509 ^1=^22,500.087 (j J — 306.37. 9 Xj ::=: -h 0,Oo3.o57 8i~ 2,842.232 ^t ^= 97.5o.28 Ces nombres sont cmpruntes au Memoire de M. Max Wolf, Sur les termes element aires dans i expression du rayon vecteur (^Annates de r obser\'atoire de Stockholm, t. IV); Tauteur applique ses formules a Ceres. On a, page 9 (foe. c//.), /.y' =2,077.91, m z=i /./j«'rr 2,355.59, /.-/,»' = 3,738.81, '047»2 SUITE DE LA METHODE DE GYLDEN /|OI On trouve ainsi /. J3 --:= 4 ? ^06 • 60 , /. y = 4,4l2.22„, /.i; =z: 4,305.57. On a /I = 770", 4' '» en un jour; les valeurs de g, ^,, g.^ sont exprimees en pre nant Tannee julienne pour unite ; done on doit prendre (7 = _^-^— . 365.20/4* on trouve ainsi /. a ^= 5, 128.21 , /.(Ti = 5,902.86, /. ff, m 5 , oo4 . 33 ; ^, 7, et 72 sont, comme ^, des nombres abstraits. On a ensuile eo = sin4°22'37'', /. ^0 = 2,882.62 , et 11 vient (p) — (2,882.62) C0S[(l — q)v — GTo] — (6,741 .36)rsin ■■] (25) — (6,3oi .77)('sin I I i' 2 r; (7,596.49)^'sin[(r-^^)r-r;] On pent remarquer que, dans la formule (17), les coefficients a/ sont rela- tivement considerables, a cause des diviseurs o-/ — ^ qui sont tres petits. On a, en efFet, 0" := 0,000.013.43, a, = o , 000 . 079 . 96 , a, =: o , 000 .010.10, 5 izz 0,000.202. 10, 0" — s =^ — 0,000.188.67, ffj — S = — 0,000. 122. l4, 0*1 — ? = — o , 000 . 1 92 . 00 , et il en resulte (p)=:XoCOS[(l — s)r (26) I r] -I- (2,465.66) cos[(i -H (2,214.91) COS[(l -+- (3,3i3. i9)cos[(i 3)V - -r'l (X,)('- -r-,] (7,) (• ■ -r',1 C'est apres la determination des constantes arbitraires que, dans la forniule (23), a, se trouve multiplie par le facteur 2 Sin r 2 qui, meme pendant plusieurssiccles, est tres petit. Ainsi, pour Ceres, i^augmente T. - IV. 5i 402 CHAPITRE XXIV. (le 78^,165 en un an; au bout d'un siecle ct de cinq siecles, le facteur 2 sin V atteint les valeurs respectives — 0,026 et —0,128. M. Wolf a, dans son expression finale, des coefficients voisins de ceux de la formula (26), et non pas des coefficients reduits commo les notres. La difference, tres sensible comme on voit, tient sans doute k la fagon de calculer les constantes arbitraires x© et r. L'auteur emploie, pour cette deter- minatiouy les equations (p)o==^oCOS(i'o--TiJo), \dv) ~'"^oS^'^(^'o--^o)» (^0 designant la valeur de (^ a un moment donne. II en resulte, d'apr^s la for- mule (17), Xo C0S[(l — s) K\ — r] 4- 2 8/ C0S[(l — ff/) To— T/] — ^0 COS (i^o — ^o)» — Xo(i — €)sin[(i— s)Po — rj — 2(i — ff,)a/sin[(i — (7|)Co — r'J = — eosin{ro — liTo). Ces deux equations donnent, quand on neglige dans la seconde les petits fac- teurs I — (; et I — a,, XoCOsr=:eoCOs(nTo-- ^•'o) — -a/C0s[(ff|— €) roH-F,]. Xo sinr = eo cos(TiJo — €i^o) ~2a/ sin [(a/ — s)<'o -f-T',], et ces valeurs peu vent etre considerees comme pratiquement identiques a celles que nous ont fournies lesformules (21). Nous remarquerons au surplus que la formule finale de M. Wolf, pages 49 et 5o {loc. cit.), donne pour (p) une expression composee de vingt-neuf termes dont lesquatre premiers ont les expressions suivantes (apres des simplifications insignifiantes) : (p)i=: (2,612 So") cos[(i — 5) r — r] + (2,471 73) cos[(i — (t) r — r'] H- (2,225 98)cos[(i — o-,)i' — r,] -h (3,328 88)cos[(i — (7j) (^— r;] Les tcrmes suivants, qui n'ont pas ete ecrits, ne sont pas egaux a la 7^ partie de ceux-la. On aura, pendant un temps assez long, une valeur ires approchee de (p) en negligeant ^, a, a, et a.^. On trouve ainsi (p) ~ (2,6i2 5o)cos(t' -177035') 4- (2,471 73) cos(r — 25054') -h (2,225 98)cos((^ — 3o6° 46') -h (3,32888) cos(('— 97052'). Mais le premier terme est fautif parce que M. Wolf, dans le calcul des con- stantes Xo et r (page 19), a confondu la longitude v^ avec Tanomalie vraie SUITE I)E LA METUODE DE GYLDEN. (\0i (^0 — cT„). En rectifiant cetle erreur, on trouve /.x© = T,o347 et F = i57°a4' a peu pres, et le premier ternfie de p devient ( 1,0347) cos (p — i57°a4')« L'expression de (p) peut alors se mettre sous une forme voisine de (p) m ^0 cos ((^ — do) = (2,883 62) COS (p ■— 1^9** 22'). On pent remarquer Tanalogie de ce qui precede avec ce que nous avons ren- contre (p. 56 do ce Volume) pour les satellites de Jupiter; des coefficients considerables, quand on emploie des expressions rigoureuses avec des termes a longues periodes, se reduisent a de tres petites fractions quand on embrasse un intervalle de temps limite, en developpant suivant les puissances de /. Remarquons encore que Ton a 2 Sin r = ((y — s)r— -^ -, h ... 2 24 Le rapport du second terme au premier, qui est V en valeur absolue, resle encore inferieur a j^ au bout de mille ans. 178. Calcul des termes k courtes p6riodes de p. — L'equation (A) du Chapitre precedent sera reduite ici a S =r - Tq ds^. On pourra prendre P est developpe en une serie de cos, Q en une serie de sin; done le second membre de I'equation (27) se developpera en une serie de cos, et en appelant, comme precedemment, ^ le coefficient de yjcos[(i — <;)^ — tar], on aura une equation de la forme (28) ^4-(i-(3)p = 2Hv.v(/i./i'),.,'Y)'V''cos&, A = /Id 4- n'm' 4- v'B, v-hv'-f-/i-Hn' = o, 5 = |/i|-+-2p, 5' = I n' I -1-2 3'. La signification des diverses quantites est la meme qu'a la page394i sauf que V et v' remplacent a et a% n et n' rempla^ant aussi ^ et ^\ /|o4 CIIAPIinE XXIV. Kn faisant (3o) p---:(p)H-H, et defalquant (hi signe 1, dans le second inembrc de I'equation (28), Ic termc pour Icqucl 2r — ( i — (Ji^')t^ — tm'j on trouvera (3i) 'i -t- (i -?)!< - inv,v'(/', /*'),,,- "n'r/^'cosS. L'expression de R sera de la forme (32) H — l\V,y{n, w'),,, Y]'ri'*'cos2r. En suhstituant dans Tequation (3i), on trouvera, pour determiner Ics coef- ficients Rvy(^, '''Xy» '^ relation (33) lU.vifiyfi'js.s — . /„-,,/; Hv,v'(/i, /i')*.*» ou V >.v,v(^«, /«') =1 — ;3— (v4-v'fJH- W^-h w'fxs')-. On pourra prendre le plus souvonl (34) >.v,v (/«,//') -- I — (V -t- v'jUL)-. Donnons d'abord a n et n' les valeurs zero; s et 5' scront egaux a o, 4-2, f- 4» • •» ct, si nous ncgligeons le carre des excentricites, nous pourrons prendre s =-• Oy s' = 0; par suite La relation v 4- v' -f- /? -f- /^' = o donnera d'ailleurs v'== II en resultera - V, d*oii 2r = V ( I — ;jl) p — v B. (35) H —l o; la condition v 4- v' = i donne alors V =z O, v'=: — i; V=:l, v' — — 2\ V =: 2, v'rrr — 3; • « • De ineme, la condition v -f- v' = -h i donne V z= O, v'm-l-i; v=zij v'=:o; V i= 2, v' tz: — i; .... On trouve ainsi, en reduisant en un seul les termes dont les arguments sont egaux et de signes contraires, et omeltant les arguments employes dans la for- mation de (p), j H— R| -2(1,0)1,0^0 C0S[(l — 2/X-H €)*'-+- CT — 2H] M- R2,_3(i,o),,oyi cos[(2— 3^-i-5)rH-CT~3H] -t Hj,-, (— I , o),,oYi cos [(2 — /x — $) r — CT — B] -t-Ro,l (— I,o),,o1QCOS[(|JL— 5)(^ — CT-f- B] (36) -f- Ri,_,(o, i)o,iTQ'cos[(i — 2ix-hixq')i> -\- gj'— 2B] 4- R2,-8(0, l)o.,Y)'COS[(2— 3/JL H- fJt^')^' H- W'— 3B] 4- 4-R,_i(o, — i)o.,Y)'cos[(2 — /x — //5')r — ct'- B] -+-R0.1 (o, — i)o,iTO'cos[(fz — /xs') i' — ct'-+-B] J.a valeur de R sera la sommc des expressions (35) et (30). M. Masai a construit (Annates de I observatoire de Stockholm, t. V) des Tables donnant les valeurs de Rv,-v(«>^)o,o po"^>^ '^s valeurs o, i, ..., 5 de v avec Tar- gument loga = log — qui, pour les 25o premieres pelites planeles, reste com- pris entre i,Goo et i,85o; d'autres Tables donnent les autres fonctions R/j qui figurent dans la formule (36). Quelques-unes de ces Tables ont du etre calcu- lees avec plus de precision que les autres; par exemple, R2,-2(o, 0)^0 accom- pagne Targument (2 — 2[jl)(^ — 2B; pour les planetos, tres nombreuses, dont 4o6 CHAPITRE XXIV. Ic moyen mouvemcnt difTore peu du double do celui de Jupiter, (x est voisin de -; rargument en question differc peu de i^ — 2B, et son coefficient se trouve fortement agrandi par Tintegration; il en est de meme de Ra,-,, car Tar- gument ( 2 — 3(ji 4- (J^^')^' -1- gj — 3B differe peu de ^ -+- ex' — 3B, quand \l est voisin de g^ ce qui correspond auxplanetes, nombreuses aussi, dont le moyen mouvement est a peu pres le triple de celui de Jupiter. Enfin, M. Masai a calcule des Tables donnant les quantites fondamentales ^ et Y des formules (5) et (G), qu'il represente respectivement par et Ci,o(o, — 1)0,1 = Ri.o(o, — l)o,i- 179. Calcul approchS du temps rSduit. — On a, formule (29) du Cha- pitre precedent, et la formule (3i) du meme Chapitre d\\ —7- :— S — 2R -r (6R — 2S)tQ COSiv — ^i'— XS) -\- . . . CIV donnera une expression de la forme -^- :r:2Tv,v (/I, n'),., -n't)"' COS^. On en conclut par Tintegration Wv,v (/^, n') : .: -, ^—, Tv.v'( /^, n' ). On aura ainsi W r- Wo,o(o, 0)0,0 -^ W,._,(o, 0)0,0 sln[(i — fjL) v^ — B] 4- W,,-., (o, 0)0,0 sin [(2 - - 2 ];x) i> — 2 D] .3g. , 4- W3,-, (0,0)0,0 sin [(3 -3u)i^-3B] H- W,,_2(i, o),,oTQ sin [(l — 2 fJt 4- €)«' H- CJ— 2B]» [le reste comme dans la formule (36)]. Lcs fonctions Wo,„(o, o)o,o» qui figurent dans cette formule, ont ete egale- lenient reduites en Tables par iM. Masai. SUITE DE LA METHODE 1)E GYLDEN. /J 07 Nous ne nous occuperons pas des approximations uUerieures qui demandc- raient des developpements assez longs; nous nous contenterons de rcnvoyer Ic lecteur au Memoire de M. MasaU Entwickelung der Reihen der Gyldenschen StO- rungslheorie bis zu Gliedern zweiter On//iw/ig^ (Miinchen, 1892), et aussi au Me- moire de M. Olsson, Ueberdie absolute Bahndes Planeten @J?g'ma( Stockholm, 1893). Nous remarquerons cependant que, dans ce dernier travail, I'expression de se compose de plus de cent termes de la forme Acos(c' -hep-H- A' oil e est tres petit; il est vrai qu'on a tenu compte aussi des inclinaisons. Vu la petitesse des coefficients e, il semblerait plus commode de reduire tous les termes en question a deux termes tels que A cos (i^ -4- A' ) -h El i' sin ( i^ -h A', ) cela suffirait pour un intervalle de plusieurs siecles. Nous remarquerons encore que Ton pourrait calculer aisement, dans les me- thodes anciennes, des Tables analogues a celles de M. Masai, en se bornant aux premieres puissances des excentricites. 180. Analyse du Mimoire de M. Brendel, Om Anvdndningen af den ab- soluta Storingsteorien. . . (Annates de I' observatoire de Stockholm, t. IV). — Ce Me- moire contient un expose assez simple de Tapplication des methodes de M. Gyl- den au cas de la planete @ Hestia, dont le moyen mouvement est voisin du triple de celui de Jupiter. Rappelons d'abord que, dans la metbode adoptee, les equations a integrer presentent Tun des deux types suivants : I. ^+(i-OV---2B/Cos(X,f^-+-G,), II. J^2A,sia(X,i^H-U,). oil les quantites A, et B/ sont de I'ordre de m'. II y a lieu de considerer d'une maniere speciale les termes pour lesquels It^LV — ky dans I, \i^=z ky dans II, 4o8 CHAPlTflE XXIV. k etant Ires petit. Suivant la nature de X% on distingue deux sortes de termes : k est de I'ordrc de m! \ les tormcs en question sont dits termes elementaires ; k esl petit par suite d'une commonsurabilite approchee des moyens mouvements, sans eontcnir appendant m' en faeteur; ce sont les termes caracicrisiiques A^ M. Gvlden. Clairaut avait considere les termes elementaires dans sa theorie de la Lune; ec sont en somme les termes seculaires, les termes caracteristiques etant les termes a longues periodes. Les arguments correspondant aux divers termes seront de Tune des formes termes 616mentaires, (B) (l-?.)i'-I3;, \ (C) ^«i'-C« ) ... • lormes oaracleristiques. (I)) (i_^,,)r-I), \ Nous avons vu (p. 89 {) que, quand on neglige les inclinaisons, les argu- ments du developpement de la fonction perturbatrice sont des combinaisons lineaires des trois suivants on a pose d'ailleurs A et A' designent les longitudes moyennes de Tepoque, pour la petite planete et pour Jupiter; W est defini par Tequation {'^\) de la page 389 et W le serait par une equation analogue. L'auleur se borne, pour simplifier, a la formule (4o) U-^W. Pour les planetes du groupe considere, les termes d'arguments 3(i^ — V el 3u^— V contienncnt (3 — 3 a — i)i'; ils sont caracteristiques de la forme (D), parce que 3a difTere pen de 1 et qu'il en est de mcme de 2 — 3(jl. La methode d'integration consiste a developper les formules suivant les puissances derj et tq', en prenant d'abonl les termes du premier degre, puis ceux du second, etc. Nous nous bornerons ici a la premiere puissance de m'. On voit aisement, (Papres la forme de Tequation diflerentielle dont depend p, que U doit avoir la forme (ii) H - ;3i-ocos(3»r — V} f i3jr/cos(3(r- V), • <'n considerant seulement les termes caracteristiques du premier ordre; on voit qu'avec (p), qui conticnt les lermes elementaires, on aura pris ainsi les parties les plus importantes de p. On aura d'ailleurs a considerer dans les developpe- SUITE 1)E L\ aiETHODE DE GYLDtN. 4^9 meats des composantes dc la force perturbatrice les parties ^ ( P --2Bo,o('^ — 'Ocos/itf -hBiY) cosV H- Bjtq'cosV ^^ I 4- B3Y) cos(3«' - V) -+- B,Y)' cos(3 ir - V), ( Q = 2Ao,o(/^ — 'O^in/ur -h AiTQ sinV^- AjTo'sinV (43) { / -+-A,Y)sin(3ir- V)4-AvY)'sin(3i»'- V). On voit qu'on a mis en evidence les termes elementaires et les termes cri- tiques les plus simples; les termes de degre zero, en cosnw ou s'xnmv, n'appar- tiennent a aucune de ces categories ; ils peuvent cependant donner naissance a des termes caracteristiques, a cause de la presence de U dans Targument M^'. Les equations a integrer tout d'abord sont (45) ^^=-Q; -+-aS-P, rindice o, qui accompagne -r^ dans la premiere de ces equations, veut dire que -^j doit etre calcule en ne conservant que les termes du degre zero. Cher- cbons a integrer Tequalion (45); d'apres Texpression (43) de Q, on est conduit a poser \ S -- 2So,o('i, — w)cos/e(r -+-rt,Yi cosV-H flr,y)'cosV' (4") 1 f H-«3Y)cos(3ii^ — V) -+- a^n' co^{3iv — \' ). On en tire — yj = y;- i/iSo,o(/i, —'0 sln /^(v -h flTj ( I — s)yi sin V -haj(i -fJts')Y)'sin V atfils -: I-+-SJ sin(3ii'— V) -ha^n' f 3 -^ i -^ ixg'j sin(3iv— V); les formules (89) et (4o) donnent ensuite div d\} dW av ^ av * * d%> d'oii \ 3 -r 1 = 1 — d — 3a-T— , (4;) / di> ^ dv Or on a (p. 388) 3|jL=i I -hS. ~S — 2B-2BS-H.... ds^ T. — IV. 52 4lO CIIAIMTRE XXIV. Si Ton ne prend que Ics termes les plus sensibles, on peut se boriior a c/W (4:') —p— — 2Rr=-2?iy)C0S(3ir--V)-2{3,Yl'C0S(3> ^^) quand Ro,o(o, o) sera connu. SnTE DE LA METIIODE DE GYLD^N. 4*1 181. Integration de Tiquation (44). — Nous devrons prendre dans cette equation —j-- — Yjsinv, fill ^ /^di%' d\\ . ,„ ... ^ , /o ^^^ ^V'\ . ,5 ,,. 5 — - r= 2 — 0 — oU. - , » iVoix .ID -^ =:-(i~(5)p,y)sin(3(v~V) - (i~a)P,Vsin(3(v— V). II vient ensuite -r!i 4- p — 2 2So,o('^ - /l)COS/l«' -f (2flri — B,)TQCOSV-h (2flr, — B,)tq' COS V 4- (2^3 — B3)TQCOS(3tlP' — V) -h (2^74 -— B4) TQ' 008(3^— V) — Ii Bo,o ( « , — 'j) COS mv — - tq2Ao,(,(//, -■ n) cos(/it»'— V) Y)2Ao,o (''» — '0 cos(/itr-i-V) -f-2Ao,o(/?, — /2)sin/i ~ V) -\- 3fjL(i - h) W,._3(o, o) ?,rj cosV; d}\v - 3(3, -^ Y) sin (3iv -V) = - 3{3, y) sin (Zkv —V) x 3|jl(i — |jl) W3,-.3(o, o) sin3ir = — ^ |;x ( 1 - fx) W,,_, (o,o) ?, TQ cos V. 11 vient ainsi KV -^=-(1 — fx)*2/i«R„,.„(o,o)cos/i -+- [3fjL(i - 3) — i8fjL(i - fjL)] P1R3.-, (o,o) Y) cos V -h [3/ji(i - d) - i8fx(i - fjL)] (3,lV3(o»o) Vcos V on a -(r — d)«(3,Y)Cos(3iv~V)-f-r3fjL(i--3)-3fjL(i--fjL)lp,W3._3(o,o)y)COsV - (I - 3r ?,Y)'cos(3tv-V') h- I 3fjL(i _ 3) - I p(, - p)l 13,W,.- 3(0,0) Y)' cosV; ce qui est tres petit, et Ton peut supprimer les deux dernieres lignes de IVx pression precedente. On trouve ensuite, en ayant egard a la formule ( 52), d>\\ -j^ -+-R = 2[i — n*(i — fjt)']R„,_„(o,o)cos/itv (54) ; -+-(2d — 3*)P,Yicos(34) donne (55) [i — /i*(i — fx)«] R„,_;, (0,0) = 2So,o(''>— '0 — Bo,o(/i, — n), (56) (a3-3«)Pi==C3, (ad- 3»)P, = C,. Cj et C4 sont, comme on le demontre, des fonctions lineaires de pi et de (3^; de sorte que les equations (56) sont du premier degre en j3| et p^, et determinent ces quantites. On trouve ainsi 2(1 -f- d)A,.o(2,-~3) - B,,o(2,-3) -+- i Ao.o(3, - 3) ^''^ 20-a«-t-BiVo(o,o) ' 3 ^s>rf-4->^)Ao.,(c>,~3)-R,,,(9,-3) P* •2o-o«-+-Hi%(o,o) /jr4 CHAPITRE XXIV. L'equation (55) donne cnsuite, pour n — o, Ro.o(o,o) - 2So,o(o,o) — Bo.o(o»o) ; en combinant cette relation avcc la formule (49)» il vient 1^0,0(0,0) — J Bo,o(o,o); So,o(o,o) = J Bo,o(o,o). Enfin, la soustraction des equations (5o) et (54 ) donne, pour deternniner ( ,i )• une equation de la forme mais nous ne nous arreterons pas a Tintegration de cette equation, qui a ete consideree en detail au commencement de ce Chapitre. On obtient ainsi les resultats qui concernent la premiere puissance des excentricites ; M. Brendel determine ensuite les termes du second degre; mais les calculs sont plus compliques et ne sauraient trouver place ici. 182. Nous ferons cependant une remarque importante: dans les diverses ap- proximations, S est determine par des equations de la forme oil A;, contient m! en facteur; si X^ ^^^ aussi de Tordre de m\ on voit qu'il en resultcra dans S un terme d'ordre zero. En calculant W par Tequation - r- r= S — 2R 4- . . . , dv on (rouverait un terme contenant m' en denominateur. Ces termes ont ete nommes parM. Gylden hyperelementaires ; ils seraient tres genants, mais heu- rousement ils se detruisent. Une circonstance identique s'est presentee a La- place dans la thcorie de la Lune. Pour ce qui concerne les termes hyperelemen- taires, nous renverrons le lecteur aux travaux de M. Gylden et aux Memoires suivants de M. Backlund : Ueberdas Auflreten von hyperelementdren Gliedem in der Storungslheorie (^Bul- letin de I' Academic de Saint- Pdtersbourg, t. Vi, deux Notes). Ueber die kleinen Divisoren bei den elementdren Gliedem in der Theorie der Planelenbewegungen (Astron. Nachr., n^ 2920). SUITE DE LA METIIODE 1)E GYLDEN. 4^5 Parmi les ternies dont se compose Texpression de / en fonction dc (^, notons les suivants, trouves par M. Brendel, (56) nt—... +- 23<>,67 sincAo — 22°,59sin«Jl)| 4- 20<>, 38sin 2) oil les coefficients cii,, x^ et ^^ sont de la forme olv -+- a', a etant extremement petit. On ne pent s*empecher d'etre frappe de la grandeur des coefficients; celte grandeur tient a ce que Ton a integre une expression telle que acos(^/ 4-b) -ha|Cos(^i^4- bj -\- ^^cos^g^t 4- b,), provenant de la theorie des inegalites seculaires; Tintegration introduit les tres petits diviseurs g, g^ etg^^. II nous semble que des expressions de cette nature ne devraient pas etre integrees sous cette forme dans Tetat actuel de nos con- naissances. La periode du terme en sind, n'est pas inferieure a 27000 ans, et les autres sont encore plus grandes. Dans ces conditions, nous pensons qu'il serait preferable de developper en series sin x, sinx< et sinoA^a suivant les puissances de v ou de r, et de ne conserver que le terme en / et peut-etre celui en /- [je trouve qu'au bout d'un siecle, le terme en /^, dans la premiere partie de Texpression (56), est inferieur a o", 2]; tous ces termes a coefficients enormes n'auront pour effet que de modifier la longitude moyenne de Tepoque et le moven mouvement. M. Charlier avait cru ( Vierteljahrsschri/t der astronomischen GesellscJia/t, t. XXV, p. 196) que I'expression de nt devait contenir un quatrieme terme ayant un coefficient de 45*", 61. M. Gylden a montre (meme Volume, p. 3i5) que le coef- ficient du nouveau terme est seulement de i3®, 8, quand on fait un calcul correct. Quoi qu'il en soit, il nous semble que les termes dont il s'agit doivent etre evites; c'est ainsi qu'on n'a pas cherche a exprimer I'acceleration secu- laire de la Lune avec une serie de termes a tres longues periodes, ce qui serait facile cependant, car la variation de Texcentricite de Forbite de la Terre, cause de I'acceleration, s'exprime, comme on sait, a Taide de termes de cette nature. 11 resterait enfin a considerer la question de convergence des series de la forme (56); on sait, en effet, que M. Poincare a demontre que la convergence absolue n'existe pas. La methode de M. Gylden parait devoir etre importante dans les cas de com- mensurabilite tres approchee; le savant auteur introduit alors les fonctions elliptiquesqui sont utiles, sinon necessaires ; cette maniere devoir sera confirmee par ce que nous dirons dans le Chapitre XXV. Le Memoire de M. Harzer sur la planete (^ Hecube ('), dont le moyen mouvement differe peu du double de ( ' ) Untersuchungen &bcr ei/ten speciellen Fall des Problems der drei Korper ( Mdmoires de I'Jca*^ demie de Saint- P6tershourg, 7* s6rie, t. XXXIV; 1886). 4l6 CHAPITRE XXIV. — SUITK DE LA 31^TII0DE DE GYLD^N. celiii de Jupiter / -, — 2 = -^ j» est cc qui a ete fait de plus complet sur ce sujet, et nous regrettons beaucoup de ne pas pouvoir Ic reproduire, non plus que celui de M. Backlund, Ueberdie Bewegung einer gewissen Gruppe der kleinen Planeten^Memoires det Academic de Saint'Petersboiirg, 7*serie, t.XXXVIH. 1892). Dans ce dernier travail, qui se rapporte aussi aux planetes dont le moyen mou- vement est a peu pres le double de celui de Jupiter, I'auteur a cboisi le temps comme variable independante, et il a imite la tbeorie de Laplace pour les satel- lites de Jupiter. Remarquons en passant que le cas de - = ]l voisin de - est plus difficile que celui oil [X est voisin de j> parce que les planetes sont plus voisines de Torbite de Jupiter dans le premier cas que dans le second, et que les inegalites a longue periode sont du premier ordre relativement aux excentricites; elles sont seule- ment du second ordre quand [x est voisin de ^ • M. Gylden a public recemmentle premier Volume d'un grand Ouvrage inli- titule Traitc des orbilcs absolucs dcshuit planetes principalesy dont nous ne pou- vons rendre compte ici ; nous renverrons le lecteur a I'analyse qui en a ete faitc par M. Andoyer (Bulletin astronomiquc^ t. XII, p. 79). Nous n'avons aborde directcment qu'une portion de I'oeuvre considerable de M. Gylden, et nous n'avons formule qu'une critique sur la consideration des orbites absolues : il nous semble que, dans I'etat actuel de la Science, vu le nombre restreint d'annees d'observations dont on pent disposer, Tensemble des termes a tres longues periodes, telles que 20000 ans et au-dessus, devrait etrc remplace par a -+- b^ -+- c/^, les termes periodiquespouvant remplaccr avan- tageusement les termes seculaires, seulement dans un avenir eloigne. COMMENSURABILITE DES PETITES PLANETES ET DE JUPITEB. ^»'7 CHAPITRE XXV. RECHERCHES SUR LES CAS DE COMMENSURABILITJE TRfeS APPROCHEE ENTRE LES MOYENS MOUVEMENTS DES PETITES PLANETES ET CELUI DE JUPITER. 183. Distribution des petites plan^tes d'apr^s la grandeur de leurs distances moyennes au Soleil. — En nous ve^oridint SiVAnnuairedu Bureau des Longitudes pour iSgS, qui donne les elements elliptiques des Sgo premieres planetesy nous avons pu dresser le Tableau suivant, qui donne le nombre des planetes dont les moyens mouvements diurnes sont compris entre 4oo''et 43o", entre 43o" et 45o", . . ., entre 1 170" et 1 190'' : Tableau I. Planetes. 4oo-43o I 43o-45o I 450-470 3 470-490 o 490-5io o 5io-53o o 53o-55o '2 550-670 7 570-590 I 590-610 I 6io-63o i5 63o-65o 43 650-670 18 670-690 i5 690-710 7 710-730 20 730-75© 10 760-770 25 770-790 46 790-810 17 A reporter. . . 23*2 PlaQMes. Report.... 232 8io- 83o'. 26 83o- 85o 17 85o- 870 i5 870- 890 6 890- 910 o 910- 930 10 930- 960 19 950- 970 18 970- 990 i3 990-1010 7 ioio-io3o 6 io3o-io5o 3 1050-1070 2 1070-1090 9 1090-1110 5 iiio-ii3o I ii3o-ii5o o ii5o-ii7o o 1170-1190 1 Total 390 On pent remarquer que les moyens mouvements ne sont pas les valeurs moyennes qu'il faudrait adopter, mais les valeurs osculatrices a des epoques T. - IV. 53 /|l8 CIIANTRE XXV. determinecs; toutefois, les diU'erences n'atteignent, dans chaque cas, qu'un petit nombre de secondes. Cc qui frappe dans le Tableau precedent, c'est I'existence dc deux maximums principaux, vers n = G4o" et n = 780", et de deux minimums principaux, vers n = 600" et n — 900". Or, le moyen mouvement diurne de Jupiter etant d'en- viron 299", on voit que les laciines principales, dans Tanneau des asteroides, repondent a des regions pour lesquelles le moyen mouvement serait exactemenl le double ou le triple de celui de Jupiter. La premiere lacune est moins pro- noneee que la seconde, soit parce que Tanneau est reellement moins dense a sa limite superieure, la plus voisine de Jupiter, soit parce que, dans ces parages, les planetes etant plus eloignees de nous sont plus difficiles a observer. On aper- Coitd'autreslacunes moins importantes vers/i= 75o"( — = -)> /i = 5oo"( — , = j)» n = I o5o' ( -7 = ^ ) • C'est M. Kirkwood qui a attire le premier (en 1866) ['attention sur les lacunes de Tanneau des asteroides, en les rapprochantdes vides de Tanneau de Saturne, qui repondent a des regions oil le moyen mouvement d'un satellite serait le double du premier ou du second satellite. Quelques astronomes ontete ainsi conduits a penser que les petites planetes ne pourraient pas subsister si leurs moyensmouvements etaient exactement commensurables avec celui de Jupiter, le rapport etant exprime par le quotient de deux nombres entiers simples. Ce ne serait, dans tous les cas, qu'une presomption, car il pourrait se faire que les petites planetes n'aient jamais existe dans les regions dont il s'agit, sans qu*il ait ete necessaire de recourir aux perturbations pour les faire sortir de ces regions. D'autre part. Gauss faisait remarquer a Bessel, en 1812, que le rapport des moyens mouvements de Jupiter et de Pallas differe pen de la fraction ^, et il ajoutait « que Tattraction dc Jupiter doit maintenir exactement ce rapport, comme cela arrive pour Tegalite des durees de rotation et de circulation de la Lune ». Citons encore I'opinion de M. Newcomb (Astron. Nachr.^ n^ 2617) : « On s'i- magine volontiers que, dans ce cas (celui des moyens mouvements exactement commensurables), les perturbations ne manqueraient pas de croitre au dela de toute limite, de maniere a compromcttre la stabilite du systeme. Or, cette consequence n'est nullement necessaire; il n'y aurait probablement que des oscillations plus ou moins "irregulieres, et Tequilibre se retablirait incessam- ment. » 184. Ces opinions diverses montrent que la question n'est pas tranchee en- ticrement; avant d'aller plus loin, il convicnt de donner avec plus dc details le Tableau ci-dessus, dans le voisinage des deux lacunes principales : COMMENSURABIUTE DES PETITES PLANf:TES ET DE JUPITER. /lT() Tableau II. Lacune correspondant a n=i2n', Planetes. //. e. i, (m) 551*6 o,iio 6^3 121 55a, 9 o,ia5 7,6 65 557,6 0,106 3,5 76 562,5 ^j*7o ^>o 229 564 ,5 o , 1 52 2,2 319 566,9 <^j'^i7 '0,7 225 567,6 0,261 20,7 168 57[,9 0,071 4,5 (S^ 6o5',4 0,377 ^>o 38i 6i3,5 0,106 12,0 122 614,7 0,041 1,6 175 614,9 0,202 3,2 325 6i5,o 0,149 ^>6 108 616,6 0,101 4j4 3oo 6i7j4 0,042 0,8 i54 620,5 0,079 ^')0 286 621,5 0,012 17,9 3i8 622,5 0,071 10,5 184 623,3 0,073 1,2 92 6'M,'^ 0,102 9,9 176 624,5 0,168 22,6 199 626,4 0,169 >5,4 3i6 6^7,* o,i3i 2,3 106 629,6 0,179 4,6 Tableau 111. Lacune correspondant d n = 3n', Plandtes. n. e, 1. (m^ 868*8 0,064 14,4 29 .. 869,0 0,074 6,1 262 869,4 o,2i5 7,8 232 870,2 0,175 6,1 89 870,8 0,181 16,2 355 876,6 0,108 4,3 ^92 881,9 o,o3i 14,9 46 883,6 0,164 2,3 i32 888,8 0,342 24,0 (^/ 9»o,i 0,175 5,1 329 91'j' 0,026 16,1 17 912,6 0,129 5,6 248 9^3,2 0,066 3,8 178 9>9»o 0,044 ',9 '98 9»9,9 0,227 9,3 II 9^3,6 0,099 4,6 189 925,0 o,o36 5,2 i38 925,7 0,162 3,2 79 928,9 0,194 4,6 19 930,1 o,i59 1,5 42 93o,9 0,226 8,6 126 931,0 0,106 2,9 fl8 , 93', 9 0,161 7,8 420 CHAPITRE XXV. On remarquera que le nombre des planetes pour lesquelles n est compris entre 2/1'— (jet2n' est de beaucoup infcrieur a celui des planetes pour les- quelles n est compris entre 2w' et 2n'-4- a. Ainsi, pour (j = 48'',4» 'e premier nombre = 8, et le second = 57 (toutes ces dernieres n'ont pas ete inscrites au Tableau). II est vrai que les premieres planetes sont plus eloignees, done plus difficiles a observer que les secondes. La meme chose a lieu, mais d'une maniere moins prononcee, pour le groupe voisin de /I = 3/*'. La planete (w) Hestia a fait Tobjet des etudes de M. Brendel; (jS^ Hecube a ete consideree en detail par M. Harzer. Les Tableaux precedents seront utiles a considerer pour les jeunes astronomes qui desircnt faire la theorie d'une planete. L'une des plus difficiles serait sans doute @;, car Texcentricite est tres forte, et —=2-4-7-; mais cette planete est peut-etre decouverte depuis trop peu de temps pour que son moyen mouvement soit connu avec precision. Nous avons mis dans les Tableaux Texcentricite e et Tinclinaison 1, parce que les trois facteurs importants, pour la difficulte de la theorie, sont les valeurs plus ou moins grandes de —, — 2, — — 3, e et i. II semble que la methode usuelle, celle de Le Verrier, ou plutot celle de Han- sen, pourra etre appliquee a toutes les planetes qui ne sont pas comprises dans les Tableaux II et III, et meme a un assez grand nombre de ces dernieres. Pour les autres, en assez petit nombre jusqu'ici, on pourra imiter Tapplica- tion de la methode de Gylden au cas de (13 Ilecube, par M. Harzer, en la sim- plifiant peut-etre, ou la methode de M. Bohlin dont nous aurons occasion de dire quelques mots plus loin. Nous allons examiner analytiquement ce qui arriverait a une petite planete dont le moyen mouvement serait a peu pres le double ou le triple de celui de Jupiter. 185. Premiere m6thode. — Considerons,danslafonction perturbatrice pro- venant de Jupiter, le terme d'argument On a, en ne prenant que la partio principale du coefficient, 11 = - ~ m' i\b<^^ -+- a ^ ) e cos6. On pent ecrire 0^..^ //i^/-^£ j 4-cj — 24;', COMMENSURABlLITfe DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 421 (I'oii d'O da dH d^xs On a cnsuite et il en resulte c//* dt dt'^ dt t/^i _ _ £ em dt "" a- OK^' dt^=''l-^'\^^''~^^-^)''''^-^di^-^-di^'^ Ji} ^^ 'd^ contiennent le facteur m''^\ on peut les negliger d'abord, sauf a en tenir compte ulterieurement. On trouve ainsi (i) -TV = m' A* Sin 7, ^ dt^ 1 (2) A« = — e(^4^^*^4-a-^j, . = -,. Laplace suppose A constant et discute Tequation (f); c'est Tequation diffe- rentielle du mouvement du pendule simple; on en tire, en multipliant par 2rf6, integrant et designant par c une constante arbitraire, (3) ^ = m'yi«(cose-4-c), (4) hsJJ^'dt= "^^ v/cos6 Si Ton a c> I, 0 varie toujours dans le meme sens et croit au dela de toute limite; le mouvement du pendule est revolutif : c'est le cas general de la Meca- nique celeste. Si Ton a c^o, ou la valeur o si c^*' -+- a --t — I da. y II y aura libration dans le cas de k- > r , ce qui donne la condition (9) U-^ <■!?- ^^^'^-^«-^>o^'T- a* On peut calculer la valeur du second membre par a = -^ qui repond a n^ = in'. On trouve ainsi (10) |/7,» i5,3 12,5 8,8 4,6 0,0 e o,i5.. . . 21,7 21 ,0 18,8 i5,3 ro,8 5,6 0,0 tf — 0 , 20 . . . . 25, o 24,2 21,7 17,7 12,5 6,5 0,0 e = 0,25.. . . 28,0 27,0 24,2 19,8 14,0 7,3 0,0 En se reportant au Tableau II, p. \i^y on voit immediatemenl que les 8 pla- netes pour lesquelles n^<^in' remplissent la condition du mouvement revo- lutif sans qu'il soil besoin de calculer 0^. 11 en est de meme des planetes @), @), (^, (318), (m), (52), (m), (j§), (m) et @). II faut calculer 6^ pour les planetes @), (Si), (g), (ns) et ^05^' . Je laisse de cote les trois premieres, dont les decouvertes sont peut-etre encore trop recentes pour que Ton puisse bien compter sur leurs elements, et je trouve que la libration n'a pas lieu pour (n?i et (^ ; cependant, il s'en faut d'assez pen pour cette derniere, qui reste une des plus difficiles. L'attention des astronomes se trouve appelee tout naturelle- ment sur les planetes @), (^ et (S). II faut remarquer toutefois que ces trois planetes n'ont ete suivies que dans une opposition, et que la premiere etait de i5* grandeur et n'a ete observee que sur des cliches photographiques; ses elements sont tres incertains; cepen- dant il n'est pas impossible que Ton decouvre des planetes presentant le phe- nomena de la libration pour Targument On'peut remarquer que le coefficient de /, dans le developpement de 0, est, pour ^ < I , I 4- (;)■'■■* (^r*-- 6ni' n'^e 4^(J) a' a doL sm* — : 2 i.3\* il tend vers zero pour A = i , car le denominateur 1 -h ( - . ... . . , est alors infini; ainsi se trouve menagee la transition entre un coefficient iini et un coefficient nul. Je ferai observer encore que, quand il y aura lieu d'appli- quer la theorie des fonctions elliptiques a des planetes voisines de la limite de separation des deux genres de mouvement, comme @), le module sera loin d'etre petit; il pourra meme etre voisin de 1. 4^6 ClIAPITRE X\V. II s'est occupe de Tintegpation de cette equation dans son beau Memoire Unier- suchungen liber die Com^ergenz der Reihen, welche zur Darstellung der Coordinaten der Planetenangewendel werden (Ada mathematical t. IX). On peut consulter sur le meme sujet le Memoire de M. Harzer sur la planete (m) Hecube, dont nous avons deja parle (p. 4>5), et le travail de M. Backlund, egalement mentionne (p. 4i6). Nous allons maintenant confirmer les resultats precedents par una autre voie que nous avons indiquee il y a quelques annees (Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. CIV, p. 259, et Bulletin astronomique, L IV, p. i83). 189. Deuxi^me m6thode pour les cas de commensurabilit6 trhs appro- ch6e. — Considerons, pour simplifier, le mouvement d'un asteroide P de masse nulle, se mouvantdans le plan de I'orbite d'une planete P' (Jupiter) supposee decrire autour du Soleil un cercle de rayon a'. Si nous prenons pour plan fixe le plan de Torbite de P', les elements de P seront au nombre de quatre seule- ment, a, e, cr et e. Soit R la fonction perturbatrice provenant de Taction de P'. On aura les for- mules connues (16) da di na de dx3 \J I — e* d\\ "dt " na-e de' de dt de dt sji - e^ di\ I I — v/i — e« rJR na^e arn na*e ae — 3- -H V I — c* "^ -r- ; na da na^e ae R =x«m' r _ - ' - - -r- cos((^-r)l x' m /?'a', x'(i H-m') ^n'^a'^; ^et^' sont les longitudes des deux planetes. L'argument general du develop- pement de R est une combinaison lineaire de ^, i^ et cr, ou plutot de 4^— ci et ^ — tar, et Ton peut ecrire, en designant par i et i deux entiers quelconques dont Tun peut etre pris posilif. x«/n' ^ = -"^22^''''^^'t''(^-^)-''( !'((" — ro)]. I I' Remplagons a, ^, gt et £ par les nouvelles variables L, G, / et g, definies comme il suit L = xy/a, G=::xv/a(i — e*), / = 41 — GJ= I ndt-h e — ^, g-=XS — 4^' zi: GJ — /i' / — e'. COMMENSURABILITE DES PETITES PLANfelES ET DE JUPITER. 4^7 Nous trouverons aisement les formules x«/n' Si Ton pose on obtient sans peine dl~^ dl' dt ~ dg ' (U _ im dg __ ,_^ dt ~~^ dL' dt ~~ ^ dVi' dL dA ({G_ dA dt dl dt dg dt '^ OL' dt ^ OG (.8) ^=^-^ \y-/ - T^ ^^t,,-cosiU + .'ff). Les equations differentielles (17) admettent i'integrale de Jacobi, Si = const. Considerons le terme non periodique de ^, et un tenne periodique deter- mine; nommons^o I'ensemble des deux, de sorte que Nous allons montrer que Ton pent integrer rigoureusement les equations (17), en y remplagant a par a©. Nous choisirons i et 1' de maniere que Targument il-h I'g'corresponde aux inegalites a longue periode; c'est en sommela methode de Delaunay que nous alions appliquer. On salt que le coefficient C/,/' depend du rapport a = ^ et qu'il contient le facteur e^, h designant la valeur absolue de i — i\ On pent ecrire C/,f' = e^^{(x, e»), Co,o = ?(«, «')» p et ^ designant des quantites de la forme o Ao -h Aj e* -f- Aie* -h . . . , oil Ao, A^, ... sont des fonctions de a. 4a8 CIIAPITRE XXV. On aura done Ao = - B - A cos 0, d = a 4- i'g = t <_- tX' + ( '' - 0 ^' (21) dL dc-fto dt Og dt on Les deux premieres Equations (21) donnent (22) -j^=i\smO, ---■=« Asm©, at at d'oii cette integrale (23) G — -L-h const. L'integrale Ro= const, des equations (21) donne d'ailleurs (24) Acos04-B^C, en designant par C une constante arbitraire. Si i*on elimine 0 entre la premiere des relations (22) et la formule (24), il vient (25) idt= ^'^ V/A»— (C-B)» Les equations (23) et (25) determinent L et G en fonction de t et de trois constantes arbitraires; (24) donnera ensuiteO en fonction des memes Elements. L'equation dl d'Ro <)B ^O/i dl = --dL=dL'^'''''^dL donnera /, et g sera fourni par la relation 190. Transformation des formules. -- Designons par a,, e,, 0^, A, et B, les valeurs de a, c, 6, A et B pour / = o. Les equations (28) et (24) don- neront ^i _ (26) \/ai,i — e*) =)/ai{i -- e\) -h 7 {sja — sja\), (27) C=:A,C0S(?, -i-B,. COMMENSURABILITE DES PETITES PLANltTF.S ET DE JrPlTER. 4^9 Nous poserons cnsuite ' 'I (28) j « * ( a i=a,(i4-d?), a = ai(i-ha:). Nous introduisons une petite quantite x^ afin de pouvoir proceder a des developpements en series. En combinant les formules (26) et (28), on trouve sJT^TJ^^l 1 — e -X 4-^, (29) \ e« z= e* 4- a: v/i — ej (y/i — t?J — X) + • • • ' / 5 v/i — <^f — >') , Faisons encore, pour abreger, ^ aa oe (3o) / et designons respectivement par i 1 -I- . . . , ^ ""^ [x,+^^a,\ j -r- . . . I ou bien (32) C — B = — 7 I),jr 4- D,a?* -f-. . .-^ /?i'(-^, cos0i + Y^^x -\- . . .) h en faisant, pour abreger, (33) D, T=z — — 7 X v/o^ — y/aj ( ~ — 7 -r /i — e* E, = - a, 111,; -H v/i - e j" — ""-- — ^ \n>; , 2t', Faisons de meme (34) Fj = 2a,.l,; - v/i - ej -— ^^^^ ^ .1.; , et la formule (3i) nous donnera x*m'* (35) A* = -^,-(X;4-A,iFia?4-...). Si Ton porte dans Tequation (25) les valeurs (32) et (35) de C — B et de A', et que Ton ait egard a la relation on trouvera aisement la formule ( 36 ) -= at — ) V«i y(i-^x)[j oil Ton a pose^, j U=i/?i'*(Jl£,} -+-X,F,^-+- . ..) COMMENSURABlLlTt DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 43 1 ce qui peut s'ecrire aussi (38) ^ U,=rm' ajlojcos'^ 4- j; Q Fj 4- E, ) 4-. . . 1 -h Djo: -f- D,a:» 4-. . . , f U, — mTaX, sin« ^ 4-^ ("^ F, - E,') -h. . .1 - D,a: — D,a:* -. . . . On a aussi les formules A 4- C - B = 2 A cos* - zz: -^ U, , I A- C4-B = 2Asin* -=:-l--Uj; 2 2a' fl C-B COS& = : ) d'oii, en vertu des relations (32) et (35), ,, . ^ D,a: 4- D,a:' 4-. . .4- m'(Jli>, cosS, 4-Ei^4-. . .) ( ii|0 ) cos U = • m' IXi -i — FiX -h. . . ) 191. Discussion de r6quation (36). — On doit avoir constamment (4i) U,U,>o, car, X etant necessairement petit, la quantite (i 4- ^)U, qui figure sous le radi- cal de la formule (36), sera positive si Tinegalite (4i) est satisfaite, et reci- proquement. L'expression (33) de D, montre que cette quantite est petite seulement quand -7 differe peu de -; s'il en est ainsi , D^ est voisin de T-v/a,. Si D| n'est pas trfes petit, on peut prendre, dans une premiere ap- proxiniation, U, = 2m' X, cos' — 4-Dia?, 2 Q U, = 2m'Xj sin* — — Djo:. 2 La formule (36) donne alors simplement (i'n'—in^)dC = ^ If 2m'Xj ,0,\ /2m'i sin*— — Dja? — DiJf') X est done une fonction elliptique de /. Cherchons a obtenir la forme cano- nique en posant (43) ^=y-~^; Nous trouverons aisement (44) L^'Pjrf, '''■ ^*' / Sn.m'X.cos'^ — 1)« /D?-4-8D,m'J».,sin*^ V •^'"^ W\ V '^\ II V a trois cas a considerer. 192. Premier cas. (45) DJ>8Dj/7iM>,cos»^. On peut poser D? — 8D,mM,, cos* - D« -t- SD.m'J*., sin* -i (46) />' ^ T-n, " ' /»'' = — -^ r* 4DJ ' '' 4DJ COMMENSL'RABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 433 3 /' — et, en remplacant D^ par sa valeur approchee y-s/oL^, la formule (44) de- viendra (47) U''^dt^ 4 vV'^-/>*)(/>'*-y*) On doit avoir En faisant (48) / //* — />' \ y^zzz p^ sin* 9 -t-/>'- cos'o z=/>'* ( i — j^^ si 11-9 ) , la formule (47) devient lr,^/dt=. ^^ 4 V^/>'*— (/>'' — /?') si n« 9 On en conclut, en designant par c une constante arbitraire, 3 9 =:amf/, It = y p' i' h\t -\-c), mod./, y z=z p' ^ am w. Les lormules (4o) ct (43) donnent ««^^ -^kK'^ "''-'' '"''^'■-in;) Si Ton remplace j^ par sa valeur (48), puis/?'^ et//^ par leurs expressions (46), il vient simplement COS0 = COS2 9, d'OU 0=:±:2 9. On trouve ainsi cet ensemble de formules : I), -f-SDam'e^iSin'-i (5o) { 9, ^ ^ ^ 1)J — 8l),//^M,cos'~ I - k' — J > o , l)5-+-81),m'ol,isiii' - 2 11 = T u'i'n'il (5i) 0=2amw, u^=iy u' i' n' U ^ c) 4 I)^^ zr-.- 1), -f- i/l);- -f- 8 1), '/i'ctj siii» -^i A amz/. T. - IV. 55 434 CHAPITRE XXV. On voit que Tangle 0 auginente sans cessc, jusqu*a Tinfini. Lorsque D| n^est pas trop petit, Texpression (5o) de P est tres petite, de I'ordre de fn\ et Ton peut prendre les fonctions circulaires comme premiere approximation, ainsi qu'on I'a fait ci-dessus ; mais, si D^ est de I'ordre de v^/w', les deux termes de la fraction qui represente P contiennent le facteur m\ et P est fini, ce qui est un point fondamental. 193. Nous allons appliquer la solution precedente en supposant i''= a, « = i, de sorte que Nous considererons done le groupe des asteroides dont le moyen mouvement est voisin du double de celui de Jupiter. Nous aurons alors (52 ) Di = sJoLx (2 ; j, Dj = -y^ai approximativement. On a, d'ailleurs, oil W^^ represente la transcendante bien connue. L'expression (5o) de k^ don- nera 0 (53) / //,, Y , fl, ,-yt«=..'^ — 2 j -hffj sin* — ) (S-") 2 I —or J COS' -f- (j: sm* — ' 2 ou Ton a fait, pour abreger, (54) ,.^__(^46--H«.^) = -^..V On a, par hypothese, (55) (^J_,y>^5cos«^. L'expression (46) de p'^ donnera, en ayant egard aux formules(52), (56) 3/.'=zy/(j|-2y-i-^Jsin«^* Les formules (5i) donneront ensuite, en adoptanl les notations des Funda- COMMENSURABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 435 menta de Jacobi, (57) u = -p'n'{e-^-c)--- \/ (/ii- 2 /i')'-i- 2/j'; done Dj2n', de sorte que Ton ne puisse jamais avoir exactement n = in' . On est ainsi conduit a considerer I'inegalite 436 CHAPITRE XXV. ou bien '?^ Posons pour un moment Q fii— 2n' — on', /!*= (jj cos' — » etrinegalite precedente donncra (2-f-p)Mp'-^')>pS d'oii h est petit, et Ton en deduit ^ (2 4-/0 I - — 2 I > (Tf cos' — 4- 7 (tJ cos* --+-.. Done, si cette inegalitc est satisfaite, on aura toujours /i>2/i'. On pourrait avoir a un moment donne n -- in\ si i'on avait •' cos' -^ < -7 — 2 < 77 cos' — H- 7 0-: CO * 2 \/r / * 2 t\ * S' 2 Mais, les deux limites de (^ — 2 j sont teilement voisines, vu la petitesse do (j^, que, pratiquement, elles peuvenl etre confondues, et nous pouvons ad- mettre que, dans notre premier cas, -} rcstera toujours au-dessus de 2. Soit n^ le terme constant de /?; on aura, d'apres la formule (Sq), (60) ^,^„,(^,_^)4-3/>',,.^, (61) /l=: /Jo H- 3/>'/ej -. ( '—7 cos -^ -I ^ 7 COS -77 h. . . . ^ K \ 1 4- 7- K 14-7* K ) On en conclut, en integrant et tenant compte de Texpression (57) de 1/, (62 ) \ ndt—n^t-\ -A '— sm -^ 4- --^ — ^ — .-, sin -i- h . . . . 19i. Occupons-nous de determiner la constante c. Nous pourrons ecrire ^ volonte I'une des conditions 0zz:9,, Oil 0-31:0, pour/.— O. COMMENSURABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DK JUPITER. 4^7 En representant parw© la valour correspondante de w, les equations (J7) ct (58) donneront (63) 0 — -— ? H -^ sin -^ 4- — — '— - sin — ^ -h . . . , K I -h 7^ K 2(1 -H 7*) K O =: -7 — 2 - - 3/>' -TT 1 -i ^ COS -=7-- H -'-- r COS — r^ h . . • . /i' ^ 2K\ I -+-7* K H-r/» K / Cette derniere formule peut etre transformee au moyen de la relation • * cins I - — • '•'=\/W^' 4- (7; Sin' — '— , ' 2 ' i/i-A-^sin' ^ On Irouve ainsi (64) 4/ I — A-' sin- -i z^-rrf iH ^^-^ cos -^ H- — ^'— . cos — ^— -h. . . . Les equations (63) et (64) donnent la meme valeur pour w©; nous emploie- rons la premiere, qui se prcte mieux aux approximations successives. II convient maintenant de proceder a des developpements en series suivant les puissances de A^; nous emploierons pour cela les formules conniies A' A* 2iA« 3iA 8 ^- 16 "^ 35 "^ 7^4 "^ 2o48 "*'•••■ La formule (63) sera reduite a on en tire 6^= -^- "+- 47 sin -j^- H- 27« sin —^l -TT^ = 0, — 47 sin 0, 4- 67' sin 2 Oi^ (65) -^ — 9,— _./ ,-|-_jsin9, 4- -^ sin20i. Si Ton pose (66) m = 3p'n' ~ = 2K on aura ^ y/(/i,-2/i')'+<^?'*'*sin«^ (67) X^TT"^'' • 438 CHAPITRE XXV. Les formules (57), (65) et (67) donneronl 6z=9^-h mt -\- Y [siii(/w^ -^ 0,) — sin^i] A:* H Q [i6s\n{mt~\-9i)—j6s\n6i-\- sin{2mt -\- 261) -\- 3 sin 2 di — Ssia 6 1 cos (mt-^ 0,)] 120 Nous nous bornerons k •1 w»'t (68) 0=z0, 4-/n^-f- -' V — Q [sm(/nr 4-0j) — sin0,]. On aura ensuite, en partant de (61), 1 /T #7 M (69) 71 = /1, 4- g ' ' [C0S(m^4-g|) — cosgt]> 4/( Til — 2 /i' )' H- <7? /i" sin« -^ . ^ I o-?/ii/i'cos0i (70) /io=:/i, — i/(/ij — 2/i')* -4- <7j n'* sin* — La formule (62) donne de meme (71) 1 ndt^zHot-h ^ ^— ? g-sin(/nf-h0i). *^ (/I,— 2n')* -h <7j/i'* sin* -i Lorsque n, — 2/1' n'est pas tres petit, les formules (69) et (71) peuvent etre reduites a I (T^n^n' nzzzn^-h Q — ^— ^ — , [cos(/n^4-0i)— cos0,], O Hi — 2 Fl II est interessant de voir que les petits diviseurs n, — 2/1' et (/i| — 2/1')* sont, dans la theorie actuelle, remplaces respcetivement par 4/(/ii— 2/i')*H-<7 Jsin* — et (/ij — 2/i')*-4-(7j sin* — *• II y aurait lieu de presenter ici le calcul de xs; mais, pour ce point, je ren- verrai le lecteur au Bulletin astronomique (decembre iSgS). COMMENSURABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 4^9 195. Deuxi^me cas. (72) DJ<8D,/nM,,cos«-- Si Ton pose 8D,//jM., sin«^ 4-1)? (73) \ 8Dj/w'A>iCos'- — DJ CI "■■ = m^ — la formule (44) devient -r i' n' dt:= ——■ = \/{y'-^p'")(p"-y') y variera de — p a -H /?'. Soil pose on aura y^p'cos^y 3 , , d^ vj; =ama, ^ — 7 i't^'^P'^-^p"'{.^ + c) (mod. A:), (74) { )t«---e^ d'oii sin - = -====— sin J^ = lb A: sin dt On voit par cette derniere tormule que sin - ne peul jamais depasser k en va- lour absolue; done 0 ne pent jamais devenir egal a i8o*'; il oscille autour d'une valeur moyenne egale a zero : c'est le cas de la libration ; le coefficient du temps 44o CHAPITRE XXV. dans 6 est nul. Les formules finales sont, dans le cas de i'= 2, (75) I) J 4-8D8mM,iSin« -i " 8D,/w'cUi 8D,/n'cil,|Cos»- — DJ ^ - ^'' ~ 8D,mMoi 3 /•>.ni'A.^ ,. , (76) 2 DjvT = — Dj -I- i/l>I 4- 8D,/w'e,l.i sill* - cosam//, . 0 , . sin ~ — rizk sin am u. 2 L'expression precedente de x prend une autre forme quand on remplace D, et Da par leurs valeurs (02), et que I'on introduit Texpression (54) de aj; on trouve (77) ^-^"^5 ~^"^ V (J? ""^) ^-<^! sill* -^ cosam f/. On en conclut (78) '^^''l'-"S'"^v^(s-'y-^^*'^"'7^^'"*"4 On a done les limites de n en faisant Je dis que Ton a La premiere de ces inegalites revient, en effet, a (/2j — 2/t')* H- /i, t/(/ii — 2n'y -\- (7?/t'* sin* — > o, et la seconde pent s'ecrire '^i l/(''i— 2/i')*-H (/i, — 2/i')S COMMENSURABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 44^ d'oii, en elevant au carre et reduisant, ce qui a bien lieu, car w, est >► n' . II resulte de la que /i, variant periodiquement entre deux limites, Tune infe- rieure, Tautre superieure a 2/1', sera necessairement egal a 2/1' a un moment donne. En faisant dans Tequation (78)/^= 2/^^ et designant par m, la valeur correspondante de w, on trouve COS am «! — ; ^^ \/( /It — 2 /i' )« -h <7j /i'- sin» ^ cette quantite est tres petite en valeur absolue, car le numerateur est du second ordre, etle denominateur du premier seulement; ainsi amw, est un peu>-; aux deux limites qui correspondent a N'etN", ama = o, ou =ir; donc/i devient egal a irt! quand ami/ est sensiblement egal a la moyenne arithmetique de ses valeurs extremes. On voit ainsi que les moyens mouvements sont exactement commensurables a un moment donne, sans qu'il en resulte aucune instabilite; les oscillations sont regulieres de part et d'autre, et la circonstance de la commensurabilite exacte se reproduit periodiquement; cela est conforme a cc qu'avait presume M. Newcomb. Remarquons que la condition (72), relative a la libration, pent s'ecrire cos* — 2 Elle est identique a la condition (9), que nous avons rencontree dans la methode de Laplace, en tenant compte de la relation approchee * llx ~ 2 196. Troisi^me cas. — Reste enfin a considerer le cas de 1 I)f =8I),m'.v,cos»^i, (79) ', OU bien T. - IV. 56 44'^ CHAPITRE XXV. L'equation (42) donne ici - n at = 2 on a d*ailleurs d'ou 3 , , dx - n'dtz 2 (^-^ ? ^«4) v/f- (^+T^^4y Pour integrer, on pose (80) "^ "*" y ^^^ a ~ T ^*"^' il vient alors l(j^n! dt— -r^, 2 sinx tang ^ = CE' Pour determiner la constante C, nous remarquerons que a: = o pour / = o; a relation ( 80) donne ^1 sinv = cos — > ^ 2 d'oii / I — sm — V ' -^ sni — ^ 2 II vient done (81) O^irz-^iCOS— I 7j jr-r I I 4- sm — -f- ( I — Sin ~ J E^.** On a ensuite (86) — = I ^ cos — I ^ 7 ^-r 1 * I 14- sin — -4- ( I — sin — jE*'»'»' Jl n'y a plus d'oscillation ; t croissant de zero a Tinfini, x varie de o a — ~ cos ~ COMMENSURABILITE DES PETITES PLAN^TES ET DE JUPITER. 443 et /z de /I, a Nous avons ici un exemple des solutions appelees asymptotiques par M. Gylden; leur etude approfondie est due a M. Poincare. 197. Nous avons dit plus haut que le calcul sommaire qui resulte des for- mules de Laplace conduit pour la libration a la meme conclusion que notre calcul plus complexe. Ce dernier presente neanmoins des avantages qui sont a considerer : il permet, en effet, de tenir compte des termes negliges, et pent etre ainsi complete facilement. On pourrait en outre avoir egard, par le meme procede, a tons les termes ayant pour arguments 0, 26, 36, . . . , en prenant Ro=:: — B — Acos0 — A'COS20 — A^cosS^— On aurait, en effet, (87) rintegrale , = f(Asind -h 2A'sin2^-H 3A*sina0-f- . . .)> — =ii'(Asin0-h 2A'sin20 -i-3A''sin2 0 -h . . .); (88) G=^Lh- const. subsiste done encore ; on a d'ailleurs (89) B H- Acos0 -h A'cos20 -i- A*cos20 -h . . . rz= const. Si Ton elimine 6 et G entre les equations (87), (88) et (89), on sera ramene a une equation de la forme dt ■= V(L)dL =: T7' '•• sont petits. On pourra enfin appliquer la methode de De- launay, de maniere a avoir egard aux autres termes periodiques les plus sen- sibles; il y aura lieu de voir si ces nouveaux termes ne modifient pas la libration. Les resultats que nous avons donnes ont aussi ete obtenus dans leur ensemble par M. Gylden et par M. Poincare; mais nous avons donne des developpements qui rendront les applications fac iles; ce qui nous a paru interessant, c'etait de 444 CHAPITRE XXV. — COMMENSCRABlLITt DES PETITES PLAXfeXES, ETC. deduire les conclusions de notreancien Memoirc du Bulletin astro nomique, t. IV ; et de preparer les applications. M. Callandreau a etudie de son cote la question des lacunesetde la libra- tion dans un Memoire auquel nous renvoyons le lecteur (Annales de COhsetva- toircy t. XXII). Nous voudrions parler encore d'un important Memoire de M. Bohlin, Ueber eine neue Anndherung s Methode in derStorungstheorie; Stockholm, 1 888. L*auteur s'occupe de Tintegration de I'equation d-t: ^ = - -«/.y «i" ('*? -jn't-^- yijy dans laquelle les a,j et y^j sont des constantes; /i' est le moyen mouvenient de Jupiter et ^ la longitude moyenne de la planete troublee. Quand on ne prend qu'un terme du second membre, celui pour lequel in — jW est petit, on retombe sur I'equation de Laplace -j-r = m' /r s\nO; cit^ 2 les autres termes apportent a la solution des complements appreciables. M.Bohlin a applique sa theorie au calcul des perturbations des planetes dont le moyen mouvement est voisin de 3/i' (Astron. Nachr., n® 3294); mais ii a public seulc- ment les resultals numeriques pour trois planetes, deja traitees par la methode de Hansen, se reservant d'exposcr la theorie complete dans un Memoire special; aussi devons-nous nous contenter des indications qui precedent. DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 44 ^ CHAPITRE XXYL SUR LA FORME GENEIULE DES DEVELOPPEMENTS DES COOUDONNfiES DANS LE MOUVEMENT DE TROIS CORPS QUI S'ATTIRENT MUTUELLEMENT SUIVANT LA LOI DE NEWTON. 198. Nous jugeons utile de reproduire ici un Memoire que nous avons insere dans les Annates de r Observatoire de Paris (t. XVI II, Memoires). Considerons, pour fixer les idees, le mouvement des deux planetes, Jupiter et Saturne, soumises a Tattraction du Soleil et a leur attraction mutuelle. Les developpements pratiques auxquels s'est arrete Le Verrier, pour les expressions des elements elliptiques variables, contiennent le temps en dehors des signes sin et cos, et, par ce fait meme, ils ne sauraient convenir pour un intervalle de temps illimite; ils sont cependant appropries aux besoins de TAstronomie pour un intervalle de plusieurs siecles. Mais il est bon de se demander si Ton ne pourrait pas obtenir des developpements dans lesquels le temps ne sortirait jamais des signes sin et cos, comme cela arrive dans la theorie de la Lune de Delaunay. Cette question a ele resolue par M. Newcomb (Smithsonian Contributions to Knowledge, 1874), en employant la methode de la variation des constantes ar- bitraires, et plus tard par M. A. Lindstedt {Annates de l^Ecole Normalcy 3* serie, t. I, p. 85), qui est arrive a un theoreme nouveau et important; il a pris pour point de depart le Memoire celebre de Lagrange {voir t. I de cet Ouvrage, Cha- pitre VIII). En raison de I'importance du sujet, j'ai pense qu'une autre demon- stration du theoreme de M. Lindstedt pourrait presenter quelque interet; celle a laquelle jesuis arrive trouve sa base dans le travail bien connude Jacobi \Surre- limination des ncBuds dans le probleine des trois corps {Journal de Liouville^ t. IX)]. 199. Soient S, M et M' les trois corps reduits a trois points materiels de masses i, m et m'; G le centre de gravite de S et M, SM = r, GM' = r'; X, Y, Z, X', Y', Z' les projections de r et r' sur trois axes fixes OX, OY, OZ; 446 CHAPITRE XXVI. (X et (x' des constantes ayant pour valeurs a — , u' —. m' 7- *^ I 4- m ^ 1 -h /w 4- /n' On a (t. I, Chap. IV) les equations differentielles suivantes, pour determiner les six variables X, . . ., Z' en fonction du temps/, d'Y dl] ,d'\' dl] d^ _d}l , d^T __ dl] ^^ dt^ ~' dl' ^ dt^ " d'L ' Dans ces equations, U est une fonction des six variables X, ..., Z\ definie par les formules suivantes r'« = X'» -h Y'* H- Z'\ R ==SM = r, R'r=SM', A = MM', ,^x ] R'«=:r'«-4-^^(XX'+YY'4-ZZ')-h('-^^^y, A' =r'«- ^ (XX'4-YY'4-ZZ')4-f— ^^y. \i 4- m/ m m' mm' 1 -h #w Quand on aura integre les equations (i), les coordonnees 5» iQt ^* 5% t)\ J^' des points M et M', rapportees a des axes paralleles aux axes fixes et se coupant en S» seront (^) h'=X'+-^^X, V=Y'-h-^?-Y, C'-Z'+-^^Z. Les equations (i) admettent les integrales suivantes, qui ne sont autre chose que les integrales des aires en designant par C,, C\ et C, trois constantes arbitraires. D^VELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 44? 200. Nous allons changer d'axes de coordonnees, et, au lieu de OX, OY, OZ, nous introduirons de nouveaux axes rectangulaires Ox, Oy, Oz; I'axe Ox sera situe dans le plan XOY: nous designerons par N la longitude du noeud ascen- dant du plan xy par rapport a XY, et par J Tangle de ces deux plans. Nous au- rons les formules I X=: J7C0sN— vcosJ sinN -4-5 sinJ sinN, (5) < Y = j: sinN -h/cosJeosN — 5 sinJeosN, ' Z = y sin J -+- 5C0sJ, et des formules semblables donnant X', Y' et Z'. Si Ton determine J et N par les relations smJ = — ^ — ' - - * cos J — c c sinN= ^ C0SN = ==^L=> et, si Ton pose on trouvera que les equations (4) deviennent / dx dz \ , ( , dx' , dz' \ Les equations (i) et (2) donneront du reste d^x dV , d^ __ dU ^It^ ~ dx' ^ dt^ " dx'' d}z_d\} ,d^_dV ^di}-"d^' ^ dt^ -~dz'' (2') s m m' mm' U ==:=T 4-^ H- R ^ R' ^ A ^ les constantes arbitraires C, , C\ et C^ seront remplacees par C, J et N 448 CHAPITRE XXVI. Les equations (4) el (G) montrcntque le nouveau plan fixe des ay est le plan invariable du systeme conipose des deux points M et M', ayant pour coordon- nees a?, v, z, x\y\ 5' et pour masse (x et (x'. 201. Nous appeilerons, suivant I'usage, plan de Torbite du point M a Tepoque t le plan qui passe par I'origine, la position et la vitesse du point M au meme instant, et de meme pour M'. Soient I et i les angles formes a I'epoque / par Ics plans des deux orbites avec le plan des xy\ h et h! les longitudes de leurs noeuds ascendants sur le plan des xy^ comptees a partir de Oo?; / et /' les doubles des vitesses areolaires des rayons ret r'. Les equations (7) pourront s'ecrire /jl/ cos i 4- [i!f cos t' =r C, /ji/sin/ sin A 4-fx'/' sin/' sin A' = 0, fx/ sin i cos li ~\- \i! f sin t' cos ^' = o. On en conclut W = /i 4- ISC'*, l^/sin/— ^y sin/'; e'est le resultat bien connu de Jacob! : les deux orbites coupent le plan inva- riable suivant la meme droitc. Soit I I'inclinaison mutuelle des deux orbites; on aura egalement les formules connues sin/ = ^-~- sinl, sin/' — ^;- sin!, de sorte que les inclinaisons / et i seront connues quand on aura determine/ et/' en fonction de /. Soient r etr' les distances angulaires des deux points M et M' aux noeuds ascendants de leurs orbites sur le plan invariable, V Tangle MOM' des deux rayons vecteurs r et r' ; on aura (9) xj:'4- vv'-f- ^3'=: r/' cosV. Le triangle spherique ayant pour sommets M, M' et le point J, nneud ascen- dant de I'orbite de M sur le plan invariable, donne, en rcmarquant que le noeud ascendant de M coincide avec le noeud descendant de M', (10) cos V r= — cost' cos i'' — sin (' sin c' cosi, DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. /\4g En ayant egard aux formiiles (2'), (8), (9) et (10), on voit que la fonctionU depend actuellement de r, r , v, r',/et/' ; les quantites 1, i\ h et h! ne figurent plus dans U ; nous allons profiler de cette circonstance pour simplifier les equa- tions differentielles du mouvement. 202. Nous aurons a recourir ici a un Memoirc important de M. Radau, Sur une transformation des equations differentielles de la Dynamique (Annales de I'Ecole Normale^ i^* seric, t. V), ou mieux encore a un article du meme auteur insere dans le Bulletin des Sciences mathematiques^ 2* serie, t. V; i88f), ayant pour litre : Travaux concernant le probleme des trois corps et la theorie des per- turbations, M. Radau s'est propose de deduire des equations (i') les equations differen- tielles relatives aux variables r, r', r, ^'',/,/'. En posant dr , , dr' p. =f*^' p'=f^w 2 IX 2|JL 2 JUL/-' 2^1 r^ il est arrive a ce resullat simple el elegant dr dlJj dr^ _ (?U, dl dp I dt dp\ dt--^ df,' dt —^ df\' (12) < ^ dp, _ <^U, dp\ _ <^Ut »— ) dt "' dr dt ~ dr' df\__d^ df[__d^ dt ~~ dv ' ~dt ~ dv' ' On a done ainsi un systeme canonique de huit equations differentielles du premier ordre; U, est une fonction des huit variables r, /, p,, p\, ^, ^', fs,f^\ cette fonction ne renferme pas le temps explicitement, de sorte qu'on deduit des equations (12) Tintegrale U, = const. Nous allons nous placer maintenant plus specialement au point de vue de TAstronomie; S designera le Soleil; M et M' seront deux planetes, Jupiter et Saturne, par exemple. Les nombresm et m' seront petits, au-dessous de j^; en nous reportant aux formules (2'), nous verrons que Ton pent ecrire ni ni' u zzz - ^ ::v + w, 1 r r (»3) ( w = "^'(n-'-?)- T. - IV. 57 mm' 4 JO CHAPITRE XXVI. R' ne differant de r* que de quantites de Tordre de /n, on voit que W sera du second ordre par rapport aux masses; U se compose done d'une partie ~ -h ^, du premier ordre, et d'une autre, W, du second. Nous allons faire une premiere approximation et integrer les equations (12) en remplaQant U| par ^ ^' > /• r' 2|JL 2|JL afxr* 211' r^ pi II y a lieu de remarqucr que, d'apres les equations (11), le5 termes ^-^ > •••> 'l „ sont du premier ordre. On aura ensuite (i5) U, = U? + W. II s'agit done d'integrer le systeme suivant dr <^UJ dr' c^U? Nous connaissons d'avance le resultat de Tintegration. Reportons-nous , en effet, aux equations (i'), etremplacons-y U par — 1 — 7; il viendra d*x IX X d*x' tiJ x' dr- ^ r» -^^ dt^ ^ r'^ ~"^' nous aurons done deux mouvements kepleriens. Nous allons neanmoins proceder a rintegration des equations (16), et cela en suivant la methode de Jacobi; on verra plus loin que les resultats ainsi obtenus nous seront utiles. Nous aurons a trouver une integrale complete de I'equation suivante aux derivees par- tielles : _dS_/^_m' ^(^\- _L./^\' JL^(^\ 1 (dSy ^*7^ ^^ dt r r' ~^' 2ix\dr ) '^2ix'\0r') '^ 2ixr^\dv ) '^ 211' r'*\di>') ' c'est-a-dire une solution S, fonction de /, r, r^, r et v\ et de quatre constantes arbitraires a,, (x\y ol.^ et a'j. En designant par ^,, P',, pa et ^[^ quatre nouvelles constantes arbitraires, on sait que les integrates generales des equations (16) seront (18) P'-dJ' ^'^d?" ft — ^^ /a, _ (^S DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. '45 1 L'equation (17) ne renfermant pas explicitement les variables /, retr', nous poserons, en designant par S' une fonction de r et de r', S = — ( a J H - a', ) ^ 4- a, f' 4- «; r' • H S' , et nous aurons, pour determiner S', l'equation — \-^-] -^ S «2 -^ iKT-i) -^ T-Tt — T7 — «J "^ ^• 2ix\drJ 2ixr* r 1^ \or ) 2|jl r* t ' Nous poserons separement 2[JL \dr J i[xr^ r "^ .rrjvi "~ 7" — «i — o d'oii S'= ^^f^^^-!l-^,ar^^'fJ,,^f-A^,,,. (20) S — — (a, 4-ai)^-f-ai^ -Hajf>' Telle est la solution cherchee, et il n'y a plus qu'a la porter dans les equations (18) et (19); on trouvera d'abord Soient a et ^ le demi grand axe et Texcentricite de la premiere ellipse ; a et e! les quantites analogues pour la seconde ; a(i — e) et a(i 4- e) seront les racines de l'equation «•/' -I- mr 5- = o. On en conclut m aj = > «! =: V^fx/na^i — e*) = v^fji/w^. 2a Nous poserons a:' = — = I -H m , , ,, m' I 4- m 4- m' fx' I 4- m / ) )2 CIIAPITRE XXVI. ct nous aurons aj — — — - > 2a , _ ix'k'^ «i=- '2 a ct.y—[ik^p, (x\ —^'k'\fp'. Reste a trouver la signification des autres constantes. On peut, dans la for- mule (20), faire commencer les integrales relatives a r et / a parlir des limites a{i — e) et a'{\ — e); ['equation donnera ainsi ^ ^ ,..4 /a 4-^^-^ on en conclut i— ?j pour /'r^ Cr(l - e); (lone ^1 ct ^\ sont les distances angulairesdes perihelies au noeud commun J des deux orbites. L'equation doL^ donnera t-^^t — V 2J«„_.,V /• 2/xr« done — P2 est egal au temps du passage au perihelie; de meme pour ^\^. L'equa- tion f. = -T- donnera /, =r a, = |jlA y//> =: COHSl. Au lieu de developper les equations (18), nous prenons tout de suite les formules du mouvement elliptique; ce qui nous donne I n =: a^ u — e smw r (21) 1 lang 2 = /*(/ -4- c), = ^ ( I — 6'COSa), /l -f- 1' Vt tang -, a, =: — F^ «i 2 a lJ.k\Ja{ I — c'^'), — rr — .5 » — c, /< -— A' -3' a */'— e'sinw' - r'zr. a'{ I — e' cos It'), lang--^ ' 7 / ' I 4- e w >tang-, a. — — fJL'A'* 2 a DEVELOPPEMENTS DES COORDONXEES. 4^3 Nous aurions pii nous dispenser des calculs precedents en renvoyant le lec- teur au Chapitre VII du Tome I; cependant, il y a quelqucs differences de notation, tenant a la presence des facleurs (x et it.', et nous avons mieux aime ne rien sacrifier a la clarte. 203. II s'agit maintenant de passer de Tintegralion des equations (iG) a celles des equations (12), qui en different par le changement de UJ en UJ -h W. Nous emploierons pour cela la methode de la variation des constantes arbitraires, en gardant les formules (21) et (18) pour exprimerr, ^, r' et ^' et leurs derivees par rapport au temps. La methode de Jacobi nous apprend que nos huit nou- velles variables dependront des equations (22) dxi dt d(x\ dt doLi dt doL^ dt d?r (?W dp\ dW dt ~ Oxi dt doL\ ' ^|3, dW d?^\ c^W dt Ooci ' dt c^a; W est une fonction de r, r et de xx' -\- yy' -h zz\ definie par les equations (2') . et (i3); on a, du reste, xx^ -^ yy ^ zz'i=— /•/•'( cos i^ cos c'h- sine sinr'cosl), et, en rcmarquant que a, designe/, = (x/, __ C« - a? - a? cos I r= - aai^e'i Enfin, en ayant egard aux formules (21), on voit que W sera une fonction connue de / et des huit nouvelles variables a,, p,, ct^, p2» a'i» P'i» ^a^ P'a- On est conduit, comme on Ta vu (t. Ill, p. 188), a faire un changement de variables, pour eviter de faire sortir le temps des signes sinus et cosinus. Au lieu de a, =1— *- — > am—' p, ' 2 a * 2 a' nous introduirons au lieu de ^^ et ^2* '^s anomalies moyennes l-n{t-^ c), l'=n'{t-\-c'), 4^4 CHAPITRE XXVI. el enfin, a la place de W, la fonelion IX k^ ix'k'* '^a la On trouvera aisementles formules suivantes : («) {h) (O \. — ^k\a \J — [t!k'\la', G = fjL A- v/a^i^=~t?^, (] ' — ^' A'' vV(i — e'*) , / el /', anomalies moyennes, g el g\ dislances angulaires des p6rih6lies au nceud commun J; dt "" "^ dl ' flfG_ ^ dl! dA dt """^ c?/"' dl^_ dt ~" d^ _ di~ dl _ dt ~ dt ■ I fiiH-^ ]ul'»A-'* ^--^.-V L' ^^--'(iT'--,-^) mm IV*-- /'^H //'cosV-i- I -t- m A» ~ r'» -h rr'cosV I 4- m cosV =— cosi' cost'' — - sini^ sinp' cosi, cosi = C* - (i* - G' 2GG' u — e sin « i— /, u' e' sin «' — /' , r ^=za{\ — e cos//), /-' — a'(i — e'cosu')^ tang — ^ /i + e. a — P —4/ lang-, lang ^^-^g'_ u On voit quo la fonelion a esl maintcnanl une fonelion des huit variables /, g, l\ g\ L, G, L\ G' el qu'elle ne contientpas le temps explicitement; desorteque les equalions (b) admetlenl Tinlegrale A = conslanle. DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 4^5 204. Quand on aura integre les equations {b), on connaitra R',A, r=R, VyS^' et I en fonction de t et de huit constantes arbitraires, ou plulot de neuf, en comptant C. On connaitra done en particuiier les distances mutuelles des trois corps; pour achever la solution du probleme, il taut obtenir A, i et i\ J'emprunte au premier des Memoires de M. Radau, cites plus haut, la formule , ,v dh C mm' / i i \ . . . , En tenant compte des expressions (c) de W, R', A, cosV et cos I, on pent en- core ecrire dh d\\ dA dt dC ~ di:' en integrant, on introduira une autre constante arbitraire. On aura ensuite sin/ = yr sinl, sinr = -7 sin I, (e) / . (l-hG'cosl ., (.'+-(. cos I COST — p ) Ii'tzlIi -\- i8o"; I X -=z r(cost'COs/i — sinpsinAcos/), y = /•(cost' sin/i + sin (^ cos A cos/), z =^ r sin v sin /, x'r:=~ /'(cost'' cos A — siu t'' Sin // COS/' ) , y'zzz— /•'(cost'' sin h -\- sin f' cos// COS/'), (/) I z' T=z /-'sint^' sin/'. Done X, }', :;, x\ y\ z se trouveront exprimees en fonction de t et de dix con- stantes arbitraires. Les form.ules (5) introduisent deux nouvelles arbitraires, J et N; de sorte que Ton aura finalement x, y, z, x\ y, z' et, par suite, en vertu des for- mules (3), $, yj, J^, ^', y]', X,' en fonction de t et de douze constantes arbitraires. Si Ton n'avait pas eu egard aux trois integrales des aires, on aurait ete con- duit a introduire les variables Hi = G cos/, Hj — G' cos/'. 4)6 CHAPITHE XXVI. et Ton aurait obtenu Ics doiize equations iliiTerentielles dt ~' '" di ' dt ~' "^ di ' d{\ dA rfCV _ M dt ~"'' dg' 'dt '"'^' V ^11, _ M (m\ _ dA 1 dt ~^ diV dt "^ dh'' ^ dl _ dA (U' _ d^ (ft "'' dL' di "~~ dL'' d:: _ dA d/r' _ ^.-R in ~ ~ 7nV "di ~~'dCi'' dh _ _ M dh' _ _ dA "dl '"' 'MC ~dt ~~~ dVi\ l/emploi qn'on a fait des integrales dcs aires a permis de conserver sous la ineme forme huit des equations (^3), ct de remplacer les quatre autres par la seule equation (r/'), 205. Nous allons nous occuper de Tinlegration des equations (Z>), par une serie d'approximations. La fonction A depend, comme nous Kavons dit, des va- riables /, g, l\ g d'unc part, L, G, L', G' de Tautre. Elle conserve la meme valeur quand on augmente de 2- ehacune des quantites /, g, t et^'. Si nous admettons qu'elle reste toujours finie pendant toute la duree du mouvcment, nouspourrons la developper comme il suit: en designant par a, ^, a', ^' des nombres entiers variant de — 00 a -h xj. Le coefficient A* J. depend seulement des variables L, G, V et G'; il contient en facteur 6''*' e'*', ce qui limite dans la pratique les valeurs absolues de a et de a'; les valeurs de ^ el de ^' sont limitees par le fait de la petitesse de Tincli- naison mutuelle I, et surtout parce que le rapport — est, en general, notable- ment inferieur a Tunite. Kntin, a, a\ e et c' sont des fonctions de L, L', G et G', definies par les relations (a). Nous allons montrcr que la metliode suivie par Delaunay dans sa theorie de la Lune pent etre apprKjuee ici, en la generalisant. Nous renverrons pour les details a un Memoire que nous avons public autrefois dans le Journal de Liou- ville, 2* serie, t. XIH, et nous ne donnerons qu'un resume permettant de com- prendre la niarcbe gcnerale des operations. DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 4^7 Considerant a part, dans le developpement (24), le terme non periodique tout entier et Tun des termes periodiques, nous poscrons (25) ^ — — B — Acos(a/-t-p^4-a'r4-py)4-^,. Nous integrerons d'abord rigoureusement les equations (6) en negligeantc'R,, c'est-a-dire en posantseulement (26) A — — B — \cos{oLl-hP^ff-h on demontre que la formule (29') donne pour L une expression developpable en serie de cosinus des multiples de I'argument Oo(/ -H c), oil 0^ designe une cer- taine fonction des constantes (C), (G), (L'), (G'). On a cherch6, dans le Cha- pitre XXV, a donner une idee de ce qui se passe dans le cas d'exception vise ci-dessus. Les formules (27) et (29') donneronlainsi, pourL, G, L'etG'des dcveloppements de la forme L =Lo 4- L, cos^oC^ -^ (^)] -+- L, cos 2 00 [^4- (c)] G —Go 4- Gicos(?o[^4-(c)] + G,cos2 0o[^-+-(c)] 4-. . . , (3o) { L'— Lo4- L'|COS0o[^-H (c)] -+- L', cos 2^0 [^H- (c)] -H- • • , G'=: g; 4- g; cos9o[^ -\- (c)] -+- g; cos20o[^ -t- (c)] -+-.... Dans ces formules L^, L, . . ., Go, G,, . ., L^, L',, . . ., G',,, G',, ... sont des fonctions des quatrc constantes (C), (G), (L') et (G')- On a ensuite (3i) / =(/) 4- /o [^-+-(c)] -+- /i sin(?o[^-+- (c)] -f-/, sin2 0o[^-+-(c)]4-. . ., g = (g)-^go [^ 4- (c)] 4- ^'1 sin0o[^ 4- (c)] 4- ^, sin20o[^ 4- (c)] I' =(/') + /; [t-^(c)]-hr, sinOo[^+(c)]4-/; sin2(?o[^4-(c)] ^'=(/^') + ^'o[^ + (O] -+-^''iSinOo[^ 4- (c)] 4-^; sin20o[< 4-(c)] avec les relations suivantcs I 0-0^[t-^ (c)] 4- 0^ sin (?o U -+- (^)] -+- ^i sin2(?o [^ 4- (c)] 4- . . . , ^ a/o -hP^'^o -^oL'l'o -?'/o -^0, «/t 4-(3^j 4-a'/; -h(3'^-; :z.0„ Les coefficients Oo, 0,, ... . /o» 'i» •• « g*o» S^n •• • ^o» ^i ^o» ^r ••• sont aussi des fonctions desquatrc constantes (C), (G), (L') et (G'). On voit que ces con- stantes entrcnt d'une inaniore compliquee dans les expressions (3o) et (3i) de nos huit variables. H en est tout autrement des constantes (r), (g)j (f) et (5^); la premiere (c)accompagne partout le temps t ; chacune des trois autres n'entre DtVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 4^9 qu'au premier degrc dans les expressions de /, g^ I' et g\ et ne figure pas ail- leurs. Nous n'aborderons pas la question de la convergence des developpe- ments(3o) et (3i). 207. II faut prendre maintenant les resultats precedents comme point de depart pour integrer les equations (i), en y reraplaQant ^ par sa valeur com- plete (25), et non plus par I'expression (26). On y arrivera par la methode de la variation des constantes arbitraires. Nous conserverons pour nos huit variables L, G, L', G', /, g, I' et ^ les expres- sions analytiques (3o) et(3i); seulement, les huit quantites (C), (G), (I/). (G'), (c).(g), (/') et(^'), au lieu d'etre constantes, seront des variables. On pourrait former les equations differenlielles dont elles dependent; mais il y a lieu de leur en substituer d'autres, sans quoi le temps sortirait des signes sin et cos. Nous designerons ces nouvelles variables par A. r. A', r, A, X, A , X . Yoici les equations qui lient les nouvelles variables auxanciennes : On a d'abord (33) r =Go-+-- (9,Gj-h20,G, + 39,G,4-... r =G'o 4- i (0,G;4-20,G;-f-303G;-h. . . Ces equations, dont les seconds membres sont des fonclions connues de (C), (G), (L') et (G'), determinent ces quantites en fonction de A, F, A' et F. On a ensuite x'=(r)-t-/;[^-f-(c)], x'=(^')+^;[^-+-(c)]; (34) de sorte que les nouvelles variables X, x, X' et x' sont les parties non perio- diques des expressions(3i)de/, g^, t eig^. On deduitdes equations (32)et (34) Oo[i + {c)] = aX -t- Px + a'l' H- (3 x', 46o CUAPITRE XXVI. (le sorte que les forinulcs (3o) el (3i) pourront s'ecrire / L = Lo H- Li cos(aA + (3x -h a')/ -h (3'x') + . . . , G =Go4-Gi cos(aX4-(3x-+-a'X'4-(3'x')-h V — L; -\- L\ cos(aX 4- ;3x -h oi'V -h ;3'x') -+- G'= G„ -h G; cos(aX -t- jSx -h ol'V 4- ;3'x') -+-..., ^^^^ ' / =X 4-/1 sin(aX4-;3x-ha'>/4-(3'x')4-..., ^'^ =x 4-^'i sin(aX 4- ;3x 4- a'X'4- (3'x') 4-. . . , /' =X' 4-/; sm(aX4-i3x4-a'>/-t-;3V)4-.... \ ^'' — x' 4-^"; sm(aX4-Px4-«'X'4-(3'x') oil les Lo, ..,/,, "'^ g'r • ^ont maintenant des fonctions counues de A, F, A' et r. Si Ton pose cnfiii (36) i«.' = ai-(G), on aura ce nouveau systeme canonique (37) i d\ dA' dt "^ (>X' dV OA' dt ' OV' dY dA' dt "^ c^x ' dr dA' dt • c^x' ' dl OA' dt " d\' dW OA' dt ^ d\'' d/x OA' . dt dV d'/ dA' dt "" or ' Le terme (C) qui figure dans (36) est une fonction de A, F, A', F; dans A' on devra remplacer L, ..., ^' par leurs valeurs (35). On voit qu'on est ramene a une question toute semblable a celle qu'on avail resolu d'abord ; seulement le terme A cos(a/-f- ^g -h cffl'-^ ^' g'^ a disparu. Considerant uu autre terme periodique de a! ^ on pourra le faire disparailre a son tour. Les quantites A, ..., x' seronl remplaceespar de nouvelles, A,, .. ., x',, qui dependent d'equations semblabies aux equations (37), ^' etant remplace para.',. On continuera ainsi jusqu'a ce que Ton aitenleve tous les lermes perio- diques sensibles. Soienl Ay, ..., y!j les dernieres variables employees; les termes periodiques de a!j etant supposes insensibles, on aura d\j OA] ~ zn HZ O dt Olj DEVELOPPEMENTS DES COORDONNEES. 46 1 Done Ay est constant; il en sera de meme de Fy, A} et T' . On aura ensuite dXj _ dAj dt — d\/ ce qui se reduit a une simple fonction de Ay, Ty, Ay etFy, e'est-a-dire a une constante. Done --77^ -jt^-t: et -77 seront constants. at dt dt dt On aura done finalement j Ay i=r X, Xy :=:: a H- aj ^ r:r a, (38) { r;=i:'Db', x;=b'4-b;^=T', X, Db, X', Db', a, b, a', b' designant huit constantcs absolues, d'ailleurs arbi- traires; a,, b,, a', et b', seront des fonelions eonnues de x, Db, x' et alb'. En remontant, on exprimera Ay.,, ..., Xy_, en fonction de x, ..., Db' et de a, 'T, (j\ t'; L, G, L', G', /, gy /' et g' se trouveront ainsi exprimes a Taide des quatre arguments a, t, ct' et 't', lesquels varient proporlionnellement au temps. Les formules (c) montrent qu'il en sera de meme de R = r, de R' et de A. On a done ainsi ee theoreme important, deeouvert par M. Lindstedt, et demontre par lui en suivant une voie differenle : Dans le probleme des trois corps^ Its distances mutuelles de ces corps s'expriment en general sous la forme de series periodiques; sous les signes s'lnet cos, il nenlre que des multiples entiers^ positijs ou negatifs^ de quatre arguments qui varient cha/cun proportionnellement au temps. II reste maintenant, pour completer la solution du probleme, a determiner la quantite h en fonction du temps. II faut recourir pour cela a Tequation (rf); en y rempla^ant G, G', A, R', rsin v etr' sinv^' par leurs valeurs obtenues prece- demment, on voit que -^ se composera d'une partie constante A,, et d'une serie de termes periodiques dependant des quatre arguments a, t, a' et t'. On aura done, en designant par h^ une constante arbitraire, el par Q une fonction perio- dique des quatre arguments, (39) A = Ao -+- Ai ^ 4- Q = u -h Q, ce qui introduitun nouvel argument de meme forme que les quatre premiers, \j z=z Iiq -^ hit. Les formules {c) donnent d'ailleurs cost, cose', sine et sine' exprimes a Taide 462 CUAPITRE XXVI. — DEVELOPPEMENTS DES COORDONNteS. desquatre premiers arguments. En remplagant dans les equations (/), h parsa valeur(;^9), on en tire aisement [ a?cosu -h/sinj = rcospcosQ — rsinf' sinQ eosi, (4o) K — J? sin-j -h/cosj = rcosf^ sinQ -h r sint'COsQ cos/, 5 3= /• sinp sin/; / x'cosj -t-y' sin J = — /*' cos t*' cos Q H-r' sin i>' sinQ cosi', (4i) < — J?' sin J -f-/' cos J =1— /'cos r' sin Q — /' sin r' cos Q cos £*', ' z' = /•' sint'' sin/'. Les seconds membresde ces equations (4o) et (4i) sont des fonctions perio- diques des quatre premiers arguments. On a done le theoreme suivant : Par rapport a deux axes rectangulaires mobiles, situes dans le plan invariable et animes d'un mouvement de rotation uniforme^ de vitesse angulaire ^ = ^o ^^ par rapport a I' axe du plan invariable, les coordonnees des points M et M' sont des fonctions periodiques des quatre arguments a, t, o"' et t'. La melliode que nous avons suivie nous a servi a etablir la forme des expres- sions analytiques des coordonnees. Dans la pratique, elle conduirait a des cal- culs extremement laborieux; si nous la comparons, en efiet, a la methode de Delaunay pour la Lune, qui, dansce cas relativement simple, a exige des deve- loppements considerables, nous voyons qu'au lieu d'avoir partout six equations differentrelles canoniques, nous en aurions huit. En second lieu, le rapport -79 qui est tres petit dans le cas de la Lune, environ ^, ne Test plus dans le cas de deux planetes, de Jupiter et de Saturne, par exemple. Nous aliens du reste parler des travaux remarquables de M. Poincare, qui a demontre que les series periodiques employees ci-dessus ne sont pas absolument convergentes. INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCAR^. 4^3 CHAPITRE XXVII. 9 INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARfi SUR LE PROBLfeME DES TROIS CORPS. 208. La solution rigoureuse duproblemedestrois corps n'est pas plus avancee aujourd*hui qu'a I'epoque de Lagrange {voir le Chapitre VIII de notre Tome I), et Ton pent dire qu'elle est manifestement impossible. On ne Ta obtenue jus- qu'ici que dans le cas particulier oil les distances mutuelles conservent des rapports constants pendant toute la duree du mouvement, les trois corps res- tant toujours en ligne droite, ou formant les sommets d'un triangle equilateral. Dans lecas general, on connait quatre integrales, celles des aires et des forces vives; il en reste huit a trouver ; Lagrange a montre que, si Ton etait arrive a en obtenir sept, on acheverait la solution par une simple quadrature. M. Bruns a cependant decouvert un theoreme important, en prouvant {SocUte Royale des Sciences de Saxe^ 1887) que le probleme des trois corps n'admet pas d'integrales algebriques en dehors des integrales deja connues. On doit a M. H. Poincare des travaux importants qui ont renouvele la face de la question : En premier lieu, la connaissance des solutions periodiques, dont nous avons deja dit quelques mots (t. I, p. i/)8); Et en second lieu, la demonstration rigoureuse de ce fait capital, que les se- ries auxquelles conduisent les methodes d'approximation les plus perfection- nees(*) pour les coordonnees des trois corps ne jouissent pas de la con- vergence absolue, ce qui n'empeche pas ces series d'etre utilisees par les aslronomes, mais s'oppose dans une certaine mesure aux predictions a longue echeance auxquelles on s'etait habitue. Ces decouvertes, accompagnees d*autresresultats importants, ont ete presen- tees par M. Poincare dans un Memoire Sur le Probleme des trois corps et les equa- tions de la Dynamique, qui a ete couronne par le roi de Suede le 21 Janvier 1889, (<) Par exemple, la m6tbode expos^e dans le Chapitre pr6c6dent. 464 CHAPITRE XXVII. et a paru depuis dans le Tome XFII des Acta mathemadcn. L'auteur a developpe et etendii ses conclusions dans son Ouvrago intitule : IjesMethodes nouvelles de la Mecanique celeste, dont deux Volumes ont paru en 1892 et 1893 ; le Tome troisieme et dernier est attendu prochainement. J'avais con?u un moment Tes- poir de donner ici un resume substantiel de ces publications; mais j'ai dii comprendre bientot que je ne pourrais pas le faire dans un cspace restreint, el j'ai prefere reproduire d'abord une analyse du Memoire de Stockholm, faite par Tauteur lui-meme, et inseree dans le Bulletin astronomique/jSitwier 1891 ; void cetle analyse lexiuelle. 209. « J'ai public dans le Tome Xni dcs Acta mathematica un Memoire oiij'ob- tiens quelques resultats relatifs a un cas particulier du probleme des trois corps et a divers problemes de Dynamiquc; jc crois qu'il ne sera pas inutile de repro- duire ici, sans demonstration, quelques-uns de ces resultats pour les lecteurs qui n'auraient pas le temps de lire in extenso le Memoire original qui est assez volumineux. w Je ne parlerai ici que de ce cas particulier du probleme des trois corps que je viens de mentionner et qui est le suivant : M Supposons trois masses A, B, C se momant dans un mdme plan. Je suppose que la masse A soit tres grande, la masse B tres petite, la masse C infiniment petite et incapable, par consequent, de troublerles deux autres. Alors AetB se mouvront suivant les lois de Kepler. Je suppose de plus que les excentricites de A et de B sont nulles, de telle sorte que ces deux masses A et B decrivent des cir- conferences concentriques (*), et je me propose d'etudier le mouvement de A et de B dans le plan de ces deux circonferences. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d'une petite planete, si Ton negligeait Texcentricite de Jupiter et Tinclinaison des orbites. » Tons les resultats que je vais enoncer se rapportent a ce cas particulier. Depuis, j'ai cherche a les etendre au cas general du probleme des trois corps; tel a ete le principal objet des Lemons que j'ai professees a la Sorbonne, de no- vembre 1889 a mars 1890, et qui seront publiees prochainement chez MM. Gau- thier-Villars et fils (^); mais je ne m'occuperai pas pour le moment de cette extension. w Voici d'abord les notations que je compte employer: je definirai la position du point C par ses elements osculateurs. Je designerai par 2a, ^ et /i le grand axe, I'excentricitc et le moyen mouvement, par j^ I'anomalie moyenne etpar^ la longitude du perihelie. Je designerai par i la masse de A et par (jl celle de B; *) Autour du centre de gravil6 du sysleme. *) Cette publication a 6t6 faite dans TOuvrago sur les Mdthodes nouvellesde la Mecanique celeste, dont il a et6 question plus haut. INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 4^5 (jL sera done une quantite tres petite. Je choisirai les unites et Torigine du temps de fagon que la constante de Gauss soit egale^a i; que le moyen mouvement de B soit egal a i, et la longitude de B egale a t. Je poserai F sera la fonction perturbatrice augmentee de x^ -\ ^; les equations difleren- tielles du mouvement prendront alors la forme symetrique (') dt ~' dfi' dt ~ dy^' dt dx^ dt dx^ » La fonction F sera susceptible d'etre developpee suivant les puissances en- tieres de (jl, et nous ecrirons on aura d'ailleurs » Enfin, F sera fonction de a;,, x^^y^ et ja seulement, et sera periodique de periode 2ir par rapport ay, et^a- Les equations (i) admettent comme integrale Fz=C; cette integrale, connue sous le nom AUntegrale de Jacobin pent etre obtenue en combinant celle des forces vives avec celle des aires. On pent aussi la regarder comme I'integrale des forces vives dans le mouvement relatif du point C par rapport a deux axes mobiles tournant d'un mouvement uniforme : a savoir la droite AB et une perpendiculaire a AB menee par le centre de gravite du sys- teme, suppose fixe. C'est pourquoi je conserverai a la constante C le nom de constante des forces vives, » 210. « Solutions piriodiques. — Les premiers resultatssu lesquellsjeveux appeler Tattention sont relatifs a certaines solutions particulieres des equa- tions (i). Je citerai d'abord les solutions de la forme suivante, que j'appellerai solutions periodiqueSy ^j = 9i(0, .r,rr:9j(0, y^- n^t -\' <^^i,t)y ^j = /ij< -h 94(0- (1) On reconnait ais6ment Tidenlil^ de cos Equations avec les ^qualions (17) de notre Cha- pilre XXV. T. - IV. 59 466 CHAPITRE XXVIl. » Les fonctions (p,, 92, 9, et 94 sont des fonctions periodiques, de periode T, ctsont, par consequent, deveioppables suivant les sinus etcosinus des multiples de ~; de plus, /i, T et n^T sont des multiples de 2it. » Je distingue les solutions periodiques du premier genre, pour lesquelles les fonctions 91, 92, 9, et 9^ sont developpables suivant les puissances de p.. A chaque systeme de valeurs de n, et de n^ commensurables entre eux corres- pondent au moins deux solutions periodiques du premier genre, renseigne k former les coefficients des series 9 qui sont absolument convergentes. » Solutions periodiques du deuxieme genre. — II existe egalement des solutions periodiques pour lesquelles les series 9 ne sont pas developpables suivant les puissances de (jl, et que j'appellerai solutions du deuxieme genre. Voici sous quelle forme elles se presentent d'ordinaire : )) Soit une solution periodiquc du premier genre, c'est-a-dire developpable suivant les puissances de (jl; soit T la periode. Soit ce que devient cette solution quand on y donne a (jl une certaine valeur pio*, alors les fonctions ^® sont developpables suivant les sinus et cosinus des mul- tiples de -Y" 1' existera, dans certains cas, une solution periodique de la forme suivante : ^. = +J(0 + (f^ - /^o)Hi*UO + (f^-f*o)+i''(0 -^ (f* - f^ofeuo -t- . . . , » Les fonctions ^\*\t), '\f\^\t), 'Y^\t), ... sont periodiques par rapport a /; mais la periode n'est pas egale a T, comme pour les fonctions ^*(^), maisa itT, k etant un nombre entier. Par consequent, or,, x^^ v, — n^t oiy^ — n^t sont developpables suivant les puissances de v^[x — [x^ et suivant les sinus et cosinus des multiples de ^ • )) Pour (x>(i.o, on a deux solutions periodiques du deuxieme genre (*), 1 (>) Suivant le signe de (fi— fio)*. INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 4^7 reelles et distinctes; pour p. = fJ^-o ^H^s se confondent entre elles et avec la so- lution du premier genre, pour [JL< Uo, elles deviennent imaginaires. » Dans certains cas, le contraire pent avoir lieu, et il pent arriver que les deux solutions soient reelles pour ^ fXo. » 211. (( Exposants caractSristiques. — Les solutions periodiques semblent d'abord sans aucun interet pour la pratique. La probabilite pour que les circon- stances initiales du mouvement soient precisement celles qui correspondent a une pareille solution est evidemment nulle. Mais il pent tres bien arriver qu'elles en different fort peu; la solution periodique pourra jouer alors le role de pre- miere approximation, d'orbite intermediaire (*). II pent done y avoir interet a etudier les solutions qui diflerent peu d'une solution periodique. Voici comment on operera : » Considerons une solution peu differente et posons » Si les ^/ et y]/ sont des quantites assezpetites pour qu'on puisse en negliger les Carres, les equations differentielles (i) deviendront dl~ 2^ dyi dx, ^''^^ dfi dy, ^'*' (a) { \ (£, A: = i, 2). dt ~ 2ddxidxk^^ 2d dXidYk^^ k k )) Dans les derivees secondes de F qui figurent dans les equations (2), on doit remplacer Xi par 9,(/) et j, par /i/^-f- 9/+2(^); les coefficients de ^* et de y]* dans les seconds membres de ces equations (2) sont done des fonctions perio- diques donnees de/. » L'integrale generale des equations (2) s'ecrit (^) 5, -AE«'S/4-BE-«'S;-i-(C4-^D)S;4-DS7, I ._^ Yj,3=:AE«'T,-+-BE-«'T;-i-(G-+-/D)'n-hDT7 \ ^'~''^^' A, B, C, D sont quatre constantes d'integration; a est une constante non arbi- (> ) Pour employer le langage de M. Gyld^n. (») En vertu des theories connues concernant Tinlc^gralion d'un sysleme d'^quations diff6rentielle8 lin^aires sans seconds membres, h coefficients periodiques. 468 CHAPITRE XXVIl. traire. S,, S[, SJ, SJ, T,, T), T,' et TJ sont des fonctions periodiques de /, deve- loppables suivant les sinus et les cosinus dcs multiples de -^-* ))Laconstanteaetles coefficients deS/, S^, T/ etT| sontdeveloppables suivant les puissances de v^(x; ceux de SJ, SJ, TJ et TJ suivant les puissances de (x. J*en- seigne a former toutes ces series qui sont absolument convergentes. » L'exposant a s'appelle exposant caracterisdque. II est reel ou purement ima- ginaire. Dans le premier cas, la solution periodique sera dite instable, et stable dans le second cas. Cette denomination se justifie aisement, bien qu'elle ne doive pas etre prise dans un sensabsolu, puisque nous avons neglige les carres des \ et des y]. » Nous avons vu qu'il y aura au moins deux solutions periodiques du premier genre, correspondant a chaque systeme de valeurs de n^ et de /ij, commensu- rabies entre elles. J'ajouterai qu'ily en aura toujours un nombre pair et preci- sement autant de stables que d'instables. » 212. (( Solutions asyxnptotiques. — Soit une solution periodique quelconque instable. II existe deux series de solutions particulieres remarquables, que j'appellerai solutions asymptotiqaes . Les solu- tions asymptotiques de la premiere serie seront de la forme suivante : IXi= (^i{t) -f-AE-«'0i»'(O 4- A'E-»«'^i*HO +A»E-»«'0i»UO -+-..., 7, = ,1,/-+. (p,^,(0 -+- AE-«'0iV, (0 + A«E-»«'^;:UO-+- A»E-»«'^liUO + . • • (i= 1,2). A est une constante arbitraire d'integration, a est Texposant caracteristique (que je suppose positif); les fonctions 0^*^(/), 0J'^\/), . ., (1 = i, 2, 3, 4) sont periodiques, de periode T, et developpables, par consequent, comme les 9/(/) par rapport aux sinus et cosinus des multiples de -?p— Les coefficients du deve- loppement sont eux-memes des series dont les termes sont rationnels en ^[l. » Inutile de faire remarquer que, si Ton reprend les notations du paragraphe precedent, on a ^^)(0 = s;, 0}ii(O = T;. » Les series (3) sont convergentes pour les valeurs de t suffisamment grandes. On voit que, quand / croit indefiniment, les solutions representees par les equations (3) se rapprochent indefiniment de la solution periodique. » Les solutions asymptotiques de la seconde sorte seront de la forme suivante {^i= ?/(0 4-BE«'coi'^(0 -+-B»E««'a)i»'(0 +•••• I 7,z= ml -f- 9/^,(0 + BE*' a)iV,(0 -+- B«E'«'(.)}iUO -H. . . ; INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCAR^. 4^9 B est une nouvelle constante d'integration, a est encore Texposant caracteris- tique; les fonctions co sont de meme forme que les fonctions 0 qui entrent dans les equations (3 ). On obtient d'ailleurs les fonctions w si, dans les fonctions 0, on change y/[u en — v^fx. Les series (3 bis) convergent pour les valeurs de t nega- tives et suffisamment grandes; quand / tend vers — qo, les solutions qu'elles representent se rapprochent asymptotiquement de la solution periodique. » Solutions doublement asymptoliques . — II existe une infinite de solutions qui appartiennent a la fois aux deux series, et qui sont, par consequent, represen- tees par les equations (3) pour les valeurs de /positives et tres grandes, et par les equations (3 bis) pour les valeurs de t negatives et tres grandes. » L'orbite, d'abord tres pen differente de celle qui correspond a une solution periodique, s'en eloigne pen a peu, et, apres s'en etre ecartee beaucoup, finit par s*en rapprocher asymptotiquement. » L'existence des solutions doublement asymptotiques est un point d'une de- monstration tres delicate et qui m'a donne beaucoup de peine. En effet, les se- ries (3) ne convergent que pour des valeurs de / positives et tres grandes, les series (3 bis) pour des valeurs de / negatives et tres grandes. II y a, generale- ment, un intervalle oil aucune des deux series ne converge. » 213. « Divergence des series. — Les considerations qui precedent peuvent permettre d'etablir que les series habituelles de la Mecanique celeste sont divergentes : ce n'est pas qu'elles ne puissent neanmoins etre utilement em- ployees; en effet, il pent arriver que les termes d'une serie decroissent d'abord tres rapidement pour croitre ensuite indefiniment, et, par consequent, que cette serie, quoique divergente, puisse servir a representor une fonction avec une approximation tres grande, mais non indefinie. Tel est le cas de la serie celebre de Stirling et de quelques developpements usites en Physique mathe- matique. Tel est aussi celui des series de la Mecanique celeste, et Tapproxima- tion qu'elles fournissent est tres suffisante pour les besoins de la pratique. Ce que je veux dire de leur divergence n'est done pas une raison pour en proscrire I'usage. )) Les series de M. Lindstedt ne peuvent pas converger uniformement pour toutes les valeurs de la constante d'integration qui y entre; on demontre, en effet, que, s'il en etait ainsi, il n'y aurait pas de solutions asymptotiques. )) Je prendrai comme second exemple certaines series derivees des series (3) et (3 bis). La serie (3) converge; mais nous avons vu que ses coefficients peu- vent eux-memes se developper en series convergentes dont les termes sont ra- tionnels en y^; quand on a fait ce developpement, la serie (3) reste encore convergente. » Supposons maintenant que Ton developpe ces fonctions rationnelles de \f^ 470 CHAPITRE XXVIl. suivant les puissances de V(^; ce developpement sera possible pour chacune d*elles. Mais, si Ton ordonne ensuite la serie (3) suivant les puissances crois- santes de v^(x, la serie ainsi obtenue devient divergente; on demon tre, en effet, que, si elle convergeait, toute solution asymptotique deyiendrait doublement asymptotique, ce qui n'a pas lieu. )> Le developpement auqucl on parvientde la sorte etqui, bien que divergent, pent rendre des services au memc titre que ceux de M. Lindstedt, se met sous forme elegante, si Ton elimine / et A entre les quatre equations (3) par les regies ordinaires du calcul. On trouve, en effet, que x^ et x^ s^expriment en series ordonnees suivant les puissances de vV ^^ suivant les sinus et cosinus des multiples de ^ et de — • » Non-existence des integrates uniformes. — Les equations (i) admettent une integrate qui s'ecrit F(j:-i,^,.yi,/t) — C. G'est rintegrale des forces vives : le premier membre est uniforme par rapport air<,a?2,y, etja, periodique et de periode 2ir par rapport ay< ety,, develop- pable suivant les puissances de [x. )) Je dis qu'il n'y a pas d'autre integrale de meme forme, c*est-k-dire que les equations (i) ne peuvent admettre une integrale distincte do la premiere, et oil $ soil periodique en y^ etja, developpable sui- vant les puissances de [x, et uniforme pour toutes les valeurs reelles de j'l et j',, pour les valeurs suffisamment petites de [x et pour les valeurs de x^ etde x^ comprises dans un certain domaine. )) On demontre en effet que, s'il en 6tait ainsi, les series de M. Lindstedt convergeraicnt. Ce resultat est d'ailleurs susceptible d'etre generalise de plu- sieurs manieres. » 214. (( Forme des orbites. — On pent se proposer de dessiner les courbes correspondant auxdiverses solutions particulieres dontje viens de parler, et j'ai rintention de revenir sur ce point dans un autre article. Pourcela, le mieux est de considerer deux axes mobiles, a savoir : la droite AB et une perpendicu- laire a AB, menee par le centre de gravite du systeme, et de chercher a dessiner la trajectoire relative du corps C par rapport a des axes mobiles. » Dans le cas des solutions period iques, cette orbite relative est une courbe fermee; dans le cas des solutions asymptotiques, c'est une courbe en spirale se rapprocliant asymptotiquement d'une courbe fermee. 11 convient d'ajouter que les diverses spires se recoupent mutucllement. INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARt. 4?' )) Considerons une orbite fermee correspondant a une solution periodique et les deux series d'orbites asymptotiques afferentes a cette meme solution. Par un point M du plan passeront, en general, une ou plusieurs orbites asympto- tiques de la premiere serie, ainsi qu'une ou plusieurs orbites de la deuxieme serie. SoitT, une orbite de la premiere serie, passant par M; soit p Tangle sous lequel elle coupe une orbite Tj de la deuxieme serie, passant par M. Si p est nul, les deux orbites se confondent en une seule et deviennent ainsi double- ment asymptotiques; il y a une infinite de points pour lesquels il en est ainsi. Mais, en general, p n'est pas nul; cependant, si la masse [x est regardee comme un iniiniment petit du premier ordre, on demontre que, parmi les angles ^ (sous lesquels T, coupe les diverses orbites asymptotiques de la deuxieme serie qui passent par M), il y en a un qui est infiniment petit d'ordre infini ; je veux a dire qu'il est du meme ordre de grandeur que Texponentielle E Vi^, a etant une constante positive. » II est encore un point sur lequel je desire attirer I'attention. » Les series (3) ne changent pas si Ton y change A en AE*^ et / en / -h T; si done Ton change A en AE"^, Torbite asymptotique correspondante ne change pas; la seule difference est que le mobile C passe en un meme point de cette orbite a des epoques differentes. Ainsi les valeurs suivantes A, AE=^«^ AE=*^*«^ ... de la constante d*integration correspondent a une seule et meme orbite asympto- tique. II est done toujours permis, s'il ne s'agit que de definir cette orbite, de choisir la constante A entre i etE*^. » Cela pose, considerons n orbites doublement asymptotiques quelconques ; pour des valeurs de t suffisamment grandes, les equations de ces orbites peu- vent se mettre sous la forme (3). A ces n orbites correspondront n valeurs de la constante A, que j'appelle •A-i* Aj, ... I A/i, et que je puis toujours supposer comprises entre i et E"^. Pour les valeurs de / negatives et tres grandes, les equations de ces memes orbites (en changeant au besoin Torigine du temps) pourront se mettre sous la forme (3 bis), A ces n orbites correspondront alors n valeurs de la constante B, que j'appellerai "i> I'lj • • •> K/i, et que je pourrai toujours supposer comprises entre i et E**"". )) Eh bien, ce qu'il importe de remarquer et ce qui met bien en evidence la complication du probleme des trois corps, c'est que, si A, , Aa« . m A„ sont ranges 4'J2 CHAPITRE XXVII. par ordre de grandeur croissante, les constantes B^, B^, ...» B^ seront, en gene- ral, rangees dans un ordre tout different. » 215. (( Invariants intSgrauz. — Une notion nouvelle, celle des invariants integraux, m'a etc tres utile pour demontrer les resultats qui precedent. Je me bornerai ici aenoncerquelques propositions saillantes relatives a cette theorie. )) Considerons le probleme des trois corps; pourdefinir la situation du systeme, nous nous donnerons dix-huit variables : ce seront d'abord les trois coordon- nees x^, cc.^, x^ du premier corps, les projections y,,,r2,yt dc la quantite de mouvement de ce corps sur les trois axes. Ensuitej?^, ^5, x^^Vj^.y^ et j^o seront les quantites analogues pour le deuxieme corps; a:,, a-g, x^, y^^ y^ et j', les quantites analogues pour le troisieme corps. » Nous envisagerons alors, dans un plan, neuf points que j'appellerai M|, M2, ...» M9, et dont les coordonnees seront respectivement Cela pose, considerons une solution des equations differentielles du mouve- ment, dependant de deux constantes arbitraires a et p. Alors les Xi et les r, seront des fonctions du temps /, de a et de p. Soit N le point dont les coordon- nees sont a et P; si le point N reste interieur a une certaine aire ri/i\ dont nous nous sommes occupe nous-memes (ill, p. 896), et il a trouve, par des calculs tres simples, en partant dc ses formules approchees, a ~ pres la valeur du coefficient de cettc inegalite, qui a cte regardee pendant longtemps comme tres difficfle a determiner. M. Poincare, dans les premiers Chapitres du Tome 11 de son Ouvrage, s'oc- cupc de la forme des expressions qui donnent les coordonnees de deux planetes en fonction explicite Aw temps. II y parvienten partant des methodes de M. Lind- stedl, qu'il modifie avanlageusement. M. Newcomb etait arrive au meme but INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCAR^. ^\']5 par la methode de la variation des constantes arbitraires, et Ton a vu, dans le Chapitre precedent, que je m'etais servi, de mon cote, de la methode dc De- launay; mais mes resultats etaient loin de presenter la rigueur de ccux de M. Poincare. Vient ensuite Tetude des series finales considereesen elles-memes, et la demonstration de leur divergence. Mais, malgre mon desir, je renonce a donner en quelques pages une idee de ces belles theories, et je vais me borner a presenter des indications assez completes sur les solutions periodiques. 11 est bon de commencer par des considerations preliminaires sur la forme des equa- tions diflerentielles du probleme des trois corps. 217. Considerations preliminaires. — Occupons-nous encore une fois des equations differentielles du mouvement de deux planetes autour du Soleil. Rapportons la premiere, M, directement au Soleil, et soient a:, j, z ses coor- donnecs, m^m sa masse; la seconde, M', sera rapportee au centre de gravite G du Soleil et de M; soient a?', y, z\ m^m' ses coordonnees et sa masse; m^ de- .signe la masse du Soleil. On peut conclure des formules du Chapitre precedent, ou de celles de notre Tome I, page 84, les equations suivantes : ni cT'X dU - I 4- ni d^x^ d\] 1 4- m dt^ Ox I -h m -h ni' dl- dx' oil Ton a pose J /• -h/rnQfTim' _ Si Ton neglige W, et que Ton fasse I -1- fH on aura les equations d^x k^x d}x' k'^x' "0» -TTT -+- -nr- =0- dt'' r» ~ ' df^ /'^ En introduisanl les fonctions suivantes des elements elliptiques (4) /=X-ra, g-^m-Q, 0=Q, lJ—k'\Ja'. G'— A-Va'(i — e'»), %' = k' s/a'{i — e'-)cosi'. /{jG CHAPITRE XXVII. oil X el X' designent les longitudes moyennes, on aura, en faisant varier les ele- ments elliptiques pour tenir compte de W, et invoquanl les principes de la me- thodc de la variation des constantes arbitraires, on aura, disons-nous, ce sys- teme de douze equations canoniques : dL J -\- m <}W, dt m dl ' dl i-\-m dW, dt m dL dV \-\-m-\- fn' dW, dt m'(i 4- m) 01' ' (if n- m 4- m' d W, dt m'{i-\-m) dU oil Ton a pose , 1 4- m k'' I 4- w 4- w 2 L * m' ol' 11, I -h m 2 L* Faisons maintenant [x etant petit, a et a' finis, et posons en outre I 4- m I 4- //I 4- /n Nous aurons les equations ' ^ dL _ OF ^ dG (5) dF dB '^ dt dF dO' dF dg" < - ^ dt dF de" dt ()l "^ dt "~ ^ dt ^ dl" ^ dt '~ dl__ _^ ^ - _ ^ ^l _ _^ dt~ '^()L' dt ~~ P^G' dt ~ (3(^e' dl' _ d¥ dg' _ (W dB' _ d¥ dt — ^'dL' dt ~ {3'(iG' dt "~ P'(W (6^ fi- "^ a^ - ^^ ' -^ ^f^ ^;_« __ r4ja_-hoOF . ^ a A* , I 4- au At'* F iiii h a =- I 4- a// 2L' I 4- (a 4- a')F ^^'* A*a (7) 4 /,.'«+ _lff/i. (^.^'+ yy^ 5./) ^. (^_^5f^ ,.y A-« aa' f^ ap. \A"H {'rx'-\-yy'-\-zz')-^( ^ V INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 477 P et ^' sont finis, ainsi que la premiere ligne de F; les deux dernieres lignes contiennent au contraire le petit facteur fx. On a vu, dans notre Tome III, page 238, qu'au lieu des variables canoniques L, G, e, L', G' et e', /, g, 0. l\ g' et 0', on pent prendre, avee M. Poincare, les suivantes : L, v/2(L — G)sincj, v^2(G — 0) sin0, L', v^2(L'— G') sincj', v/2(G'— 6') sin9', >., v^2(L — G)cosGj, v^2(G — e)cos0, X', v^2(L'— G') coscj', v/2(G'— e')cos6', oil X et X' designent les longitudes moyennes des deux planetes. On en conclut aisement, par des changements reciproques de variables d'un des groupes dans I'autre, des changements de signes, et en comprenant les facteurs p et P' dans de nouvelles variables, que, si Ton pose A = (3L, X=X, 5 =V'2(3(L — G)cosTij, Y) = — v^2(3(L — G)sincj, /?z=v/2p(G — e)cose, 7 = -v/2j3(G — e)sin0, ^ A'=(3'L', X'zziV, ^'zn V^2(3'(L'- G') cosw', V=: - v^2(3'(L'— G') sincj', /?' z= v/2(3'(G'— 6') cos 0', 7' = - v'2p'(G'~e') sin 0', on aura ce systeme canonique (9) dt ~ dt dF dp dt dF dk dV dti dF dq _ dF dt d\' dt ■ ^V dt ~ dp d\' dF di:_ dF dp' dF dt or' dt dv" dt dq' dt dF d\'' dr,' dt dF di" dq' dt dF dp' 218. Revenons au systeme (5), et montrons, en suivant M. Poincare, com- ment on pent reduire le nombre de ces equations en tenant compte des inte- grates des aires, et prenant pour plan des xy le plan invariable. On a alors, comme on Ta vu dans le Chapitre precedent, et comme on pent le voir d'ail- leurs directement, ^'^^ I (3«(G»-e«)=:p'*(G'«-e'«). 478 CHAPITRE XXVIl. La fonction F depend d'ailleurs des variables L, G, 0, L', G', S , on sail qu'ellc doit etre independanto de la position de Taxe des x dans le plan invariable; elle ne doit done contenirO ct O'que par la difference 0 — 0'; puisque 0 = 0', la fonction F sera done independante de 0 et de 0'. L'equation donne d'ailleurs ( ") Faisons maintenant dO_dO^ dt "~ 7u Gi=r, G'-T'; les relations (10) nous donneront (12) Nous en tirerons ^r — ^^G "^ OB C dS^ P'C oa bien, en ayant egard a la ibrniule (i i), et de meme OF OF dr~ -OG' d¥ OF ,)i-' ' - OG' Les equations (5) deviendront ainsi (i3) rfL OF dT OF d\J OF rfT' dt poi' dt ^Off' dt (3' 01' ' dt dl dt ~ OF ^OL' dg OF dt p OF ' dl' OF dt |3' OL' ' dl OF P'dg' OF On a done upere ainsi la reduction u Iiuit equations canoniques, d'une facon plus simple que dans Ic Gliapitre precedent; la quantite C est une constante absolue et doit etrc rcgardee comme une donnee de la question. II convient de INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 479 completer ces formules par les suivantes, auxquelles il faudrait encore joindre I'expression (7) de F, 3rC0SI=: - -f- 7,^- ) pT'C0Sl'= - 4- ^ -^ > •J — e sin J = /, j' — e' sin *j' = /', /• =:a(l — eCOSu), /•'=zrt'(l — e' cosu'), ^-^ ^-=^^ ==cos(a'-^ «') cos (^'4- ^v') -H sin (5^4- tr) sin(^'-h ir')cos(/— i')\ rr on voit bien, par cet ensemble de formules, comment la fonction F depend des huit variables L, I/, r, r, /, /', g el g\ 219. Considerons encore le cas oil le mouvement a lieu dans un plan, et pre- nons ce plan pour plan des xy. Nous aurons i = i •= o, et par suite, 0 = G et 0' = G'. Voyons ce que deviennent alors les equations (5). Un argument quel- conque de F sera de la forme et un theoreme bien connu nous donnera yi4-y; = o; done les arguments de F seront de la forme oil Ton a pose TS — CJ' r^ h. On a ensuite et, puisque F est independant de i et de i\ OF dF puis dh dt oe ds' **' ^F dF dF dF dF dF dg Ots5 dh' dg' duy' dh' dxs dxs' dQ dg dO' dg' dt dt dt ' dt dt dt dF dF i3()G ' i^'dG' 48o CHAPITRE XXVir. Les equations (5) deviendront done „rfL dF '^ dt dl' rfL'.._aF P dl dl' dG dF P dT dh ' dC dF ^ dt dh' dl dF dt (3dL' dl' dF dt p' dV dh dt dV dF (3dG ' p'dG'' On en conclut c'est I'integrale des aires. Si Ton pose (30 = 11, (3'G'=C-H, F deviendra une fonction de L, L', H et des arguments /, /' et A; on aura ainsi ces equations differentielles, qui correspondent au probleme actuel, ('4) rf((3L) dt dF dl' dl dt ~ dF d{^L)' dt dF dl'' dl' dt dF d(P'L') dR dt dF dh' dh dt dF dR' Nous avons a presenter une remarque importante au sujet de developpe- ments qui se rapportent au probleme des trois corps. Reprenons les douze va- riables qui figurent dans les equations (5), et posons 7i = ^ yi = i'y y^ = gy y^ — g', y^ = o, y^ — ^'. Les equations (5) pourront etre representees par , .. dxi d¥ dvi d¥ . . ^. ('^) -d^^djr dT^-d^,' («=..... ..,6). La fonction F est d'ailleurs representee par la formule (7), et Ton a» en serie convergente, F = Fo-+-fxF,-+-|UL»F,4-..., Fo = a -r-: 4- a' la fonction Fq ne depend done que des variables ,r, et iCa- INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCAR^.. 4^1 Lorsque [x= o, les equations (i5) donncnt /?, := = — > //« = — I 1 — > '*t — 5 — en designant para?" et j" douze constantes arbitraires; les trajectoires des deux planetes sont alors des ellipses kepleriennes. Supposons maintenant [Jt. n , Plagons I'origine du temps au moment d'unc conjonction; a ce moment les longitudes de M et de M' pourront etre supposees nulles, en choisissant Torigine des longitudes. Au bout du temps — -^, ces longitudes seront devenues res- pectivement __ , et _ ,; leur difference sera egale a 2t:. Les deux petites masses se retrouveront en conjonction ; les trois corps seront de nouveau dans la meme position relative, tout le systeme ayant seulement tourne de Tangle __ r Si done on rapporte le systeme a des axes mobiles tournant d'un mou- vement uniforme, avec la vitesse angulaire /i, les coordonnees des trois corps, par rapport a ces axes mobiles, seront des fonctions periodiques du temps, et la duree de la periode sera T = 27: n — n Ainsi, dans le cas limite de [jl = o, le probleme admetdes solutions perio- diques, quand on choisitconvenablement les circonstances initiales du mouve- ment. Avons-nous le droit d'en conclurc qu'il en sera de meme pour de petites valeurs de [x? Nous prendrons les variables (8) que nous pouvons reduire a huit, puisque, le mouvement ayant lieu dans un plan, il est permis de faire p = q=p' = q'=o. 1= s/\sli{i^s/i^e') COSCT, r r:= sj\'>jl{\ - V^I - e'») COSCJ', Ti = — v^ yJi(^i — \U — e^) sincT, r/== -v/V \/2 (i - v/i -- e'») sincj'. Les distances mutuelles des trois corps et les derivees de ces distances par rapport au temps dependent seulement des sept quantites suivantes (A, H cosX — Y) sinX, ? sinX h- y) cos>., (16) I X— V; ^^ (A', $'cos)/-r)'sin>/, ^'sin?/-i-rj'cosX\ INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARK. 4^3 on a, en effet, en designant par / el /' les anomalies moyennes, r z=za{ I —e cos / H- - e* e* cos 2 /-i- . . . ) , \ 22 ) 5 t' ~X -f- 2esin/H- 7 e'sinaZ-h. . . ; 4 /•' = rt'( 1 — e'cos/'-h - €?'' e?'*cos2/'H-. . . ), \ 1 ->, ) 5 f' =:X'h- 2e'sin/'-h -7 e'« sin 2 /' -f- . . .. 4 xj?' 4- y/' = /•/•' cos (y — v^) = rr^ cos (X — X'h- 2esin/-- 2e'sin/'-+- y e*sin2/— ^ e'2sin2 /'+...) ^cosX — Yj sinX =:\/\ \'2 (1 — v^i — «*) cos/, ; sinX 4- Yjcos). =v^A \2 (i — y/i — e-) sin/, On en conclut A* e'-- (|cosX — n sin>.)'4- (> sin). 4- yi cos>.)- I r(^cos). — n sinXj* -h (J sin). 4- to cos).)**]^ "U :^^ J' , JsinX— ocosX ^ 5 cos A 4- Yi sin A et des formules analogues pour a', e' et /'. On voit ainsi que /• ct r' dependent de A, ^cosX — Y) sinX, |sinX 4- yj cosX, A', ^'cosX' — Yj'sinX', ^' sinX'4- yj'cosX'; (vx'-hyy introduit I'angle X — X'. Pour que la solution soit periodique, il faut done qu'au bout d'une periode les variables (i6) reprennent leurs valeurs primitives, et que X — X' augmente de 27r. Si Ton fait [jl = o, le mouvement est keplerien ; supposons de plus que, pour / = o, on ait X = X' 1= ^ = Y] = ^' = Y)' — O, A — Ao — — p 9 A — Aq — — • Les mouvements des deux planetes seront circulaires et uniformes, avec les moyens mouvements n et /i'; la solution sera periodique, et de periode ^ ,- 4^4 CIIAPITRE XXVll. Ne supposons plus inaintcnant [x = o, ct considerons unc solution quel- conque; nous pourrons choisir Torigine du temps au moment d'une conjonction moyenne, ct prendre pour origine des longitudes la longitude de cette conjonc- tion. Les valeurs initiales de X et de X' seront nulles ; soient A© ■+- Pi et A^ -h p, les valeurs initiales de A et de A'. Soient encore 5o» ^o> 5'o» ^'o '^^ valeurs initiales de ^, Y], ^' et Y]'; ce seront aussi les valeurs initiales des quatre quantites |cosX — rj sin>., ^sinX -h n cosX, ^'cos>/ — yj'sinX', |'sinX' h- yj'cosX' qui tigurent au nombre des variables (iC). Soit maintenant 27: -h ^0 1^ valeur de X — X' au bout de la periode __ , (que nous supposons la meme que dans le cas de [x = o). Soient, au bout de cette periode, les valeurs de A et A', et les valeurs des quatre dernieres variables (16). Pour que la solution soit periodique, il faut que Ton ait ^0 -• '|i — 'I2 -- ^J^3 = ^; = 4^8 — ^e = o. S'il en est ainsi, les valeurs de a, e, ci, a\ e\ gj' et X — X' seront les memes, en efTet, au commencement et a la fin de la periode; il en sera dc meme des distances mutuelles des trois corps et de leurs derivees par rapport au temps. Ces equations ne sont pas toutes distinctes; les equations difTerentielles du mouvement admettent, en eifet, deux integrales, celle des aires et celle des forces vives. En ecrivant que les premiers membres de ces integrales prennent les memes valeurs au commencement et a la tin de la periode, et supposant que les condi- tions (17) ^0 = '^^5 -- 'W — ^5 = '^6 — O soient veritiees, ce qui entraine Tegalite de e, ct, c\ gj' et de X — X', on trou- vera que a et a' doivent reprendre aussi les memes valeurs : done on doit avoir ^^ = 'I2 = o. Nous aurons done seulement a resoudre les cinq equations (17), auxquelles nous adjoindrons Tequation des forces vives F= C, oil nous regar- derons la constante Ccomme une donnee de la question; ces six equations con- tiennent les six inconnues (18) (3,, 3„ ;o, TOu, 'Co el Yl'^. INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 4^5 Les 4*1 sontdes fonctions holomorphes de [x, et des six variables (i8), que nous ne chercherons pas a former; elles s'annulent avec ces sept variables. D'apres un theoreme demon tre par M. Poincare (t. I, n"^ 30), on pourra re- soudre les equations (17) et F = C par rapport aux inconnues (18), pourvu que le determinant fonctionnel des quantites F et ^, par rapport aux inconnues ne soit pas nul pour F = fii = Pi = ?0 = TOo = ?0 = TOi = O. Rappelons que le determinant fonctionnel, ou jacobien, de fonctions Vi , J2> • • • » yi par rapport aux variables x^, x,,, ..., a?/ est le determinant Or, pour tjL = o, on a (19) F = Fo=: dyx dy^ dxi Ox^ ^yi dxi (>yi (>yt Ox I dx^ Oxi « • • • • • • Ox I dXi dxi • a k^ ol' X '* OC^H' OL'i^'^k'^ 2L» 2L'* 2 (Ao^PO* ■ 2(a; + p,)" done Fo ne depend que des deux variables ^, ct ^2- Soient ensuite X, et X', les valeurs de X et X' a la fin de la periode; pour p. = o, Xo etX', serontegaux aux produits du temps ecoulc _ , par les moyens mouvements N et N' qui sont N = ou bien 1^' N --pa-' On a done (20) ou encore (21) La relation ''-(.Vo+P.)'' N , _ |3'» k^ (A', + ?,)» ).„ = 2/1 TT n — n' 1-+- A,y -3 ^, inn " n — n' \ A —3 2 7:-t-^o = >.o— >'o donnera done (22) ^^ = ,„^-JL.(^ 1 4- A. n n — n' \ A fer-]= done, comme F^, 'j'o ^^ depend que de p, et de ^a- 486 CHAPITRE XXVll. En ecrivant d'ailleurs que Ics quantitcs ^ cosX — Yj sinX, I sinX 4- Y) cosX, 5'cosX'— r/sinX', ^'sinX'4- rj'cosX' prcnnent les memes valeurs au commencement et a la fin de la periode, on trouve les relations lo = (lo -+- '|j) cosXo — (yjo -4- ^0 sinXo> Y)o= ( lo -H vj^j) sinXo -f- (yjo -h ^{^0 cosXo, To =(li -^ ^s) cosx; — (yj; h- vJ^,) sinx;, Vo = (I'o -^ +») sinX; -f- (m'o -+- ^e) cosX;. On en tire sans peine ^3 (23) ^. = - |o(COsXo lo sinXo i;(cosx; lisinX; 0 -1)-H lOoSinXo, YIo(COsXo misinX r)'o(cosX -0, 0> -t). En se reportant aux expressions (20) de X^ et de X'^, on voit que '!», et '1*4 ne dependent que de l^, iq^ et j3, ; '^g et '|e ne dependent que de T^, yj'^ et ^j. Notre determinant fonctionnel est done 0¥o op. O'W op. op, o-h op. 0 0 OFo OPt 0^, op. 0 0 op. 0 0 «^lo 0 0 0 0 drio 0 0 0 0 0 0 01', 01', 0 0 0 0 O'W OK o-w O-n't II est egal au produit des trois determinants (1)- OF, op. 0-^0 op, OFo op. O'W opt (II) = 0^ 0^ 0^0 Oc,o 0;h 0;h On, Or,, (III) = d']fi 0'^, <^l'o Oto ^'W «^l. Ori'. Or,', INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARfe. 4^7 II faudra done calculer ces determinants, v faire ensuite Pi = P2 = ?0 = TQo = ?0 = TO'o = O , et voir si ancun d'eux n'est nul. Or, en se reportant aux formules (19), (22) et (23), on trouve aisement quantite negative essentiellement differenle de zero; (II)o == (1 — cos>.o)* -f- sin*Xo, (III)o-(i-cos>;)*-f-sin«X;. Ces quantites ne peuvent s'annuler que si I'on a V et v' designant deux nombres entiers. En remplagant X^ et>,, par leurs va- leurs (21), apres y avoir fait p, = Pj= o, il vient n n' , d'oii n V v'4- 1 , _ , ou = — J- n V — I v' La solution periodique dont on vient de demontrer Texistence ne peutdonc cesser d'exister que si le rapport des deux moyens mouvements est exactement commensurable, et si, en outre, le numerateur et le denominateur de la fraction qui represente alors ce rapport different d'une unite. Remarque. — La solution dont il s'agit est la suite d*un developpement de Laplace {voir notre T. I, Chap. XXII); en supposant e = e' = 0, les formules citees peuvent s'ecrire /• =rt -h V A/C0S£(A — X')> 1 (24) / ,.'=^^'4-2 a;cos/(>. — X'), 1 •0 488 CHAPiTRE XX vn. A/, B,, A) et B] sont des fonclions connues de a eta', qui contiennent m' ou m en facteur; X et X' designent Ics longitudes moyennes. La demonstration de M. Poincare montre que les formules conservent la meme forme dans les ap- proximations successives ou Ton tient compte des carres, des cubes, ..., des masses; les quantites A/, . . . sont alors developpees suivant les puissances de [x. Les equations (24) representent alors une solution du probleme des trois corps, quand les conditions initiates sont convenablement choisies et que le mouvement a lieu dans un plan. On a r -X=:i;B/sini(X — X'), /- X = V- X -f- i;B;sini(X - V) ; ce qui montre que, par rapport a un systeme d'axes mobiles tournant uniforme- ment avec la vitesse -j- = /?, les coordonnees des deux planetes sont des fonc- tions periodiques du temps; la periode est T= __ ,• Nous allons donner maintenant quelques indications sur les solutions de la seconde sorte, trouvees par M. Poincare. 221. Solutions p6riodiques de la seconde sorte. — Supposons que les corps se meuvent dans le meme plan. Les variables canoniques sont A==pL, A'=P'L', H, /, /', //. Une solution sera periodique si, au bout d'une periode. A, A' et H ont repris leurs valeurs primitives, et si /, /' et A ont augmente de 27:. On a d*ailleurs F =:Fo-+-fJLFi-4-|JL«F,-r- ..., on voit que Fo ne depend que de A et de A'. On a les equations (25) ^A ^F dt 01' dR OF dt ~ dh' dS! dt OF dl d¥ dt ox' dh OF dt e^H' dV dt OF Si Ton suppose [x =r o, ces equations donnent ^A ^A' d\\ dt dt ~ dt ^' dh_ "[l—^^o^ dl^__ ^o__ , dt - ^' dt ~ d\ ~"' ~dt^ OS! ~ '* ' INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARE. 489 d'oii, en designant par Ao, Ai, Hq, Aq, /© et l^ des constantes, A = Ao. A'=A;, H=:Ho, h = h,, Done, pour (jl = o, si A© et A^ ont ete ehoisis de maniere que d'oii n V oil V et v' sont des entiers, les equations du mouvement admettront une solu- tion periodique, de periode T, quelles que soient d'ailleurs ies constantes Ho, Voici la question que nous posons : Est-il possible de choisir les constantes Ho, /q » /J ^t ^o de fagon que, pour les petites valeurs de [jl, les equations du mouvement admettent une solution pe- riodique de periode T, et qui soit telle que les valeurs initiales des six variables soient respectivement Ao4-Pi, A;-f-(3,, Ho-f-|3,, /o-+-|34, /i^-Ps, /io-H^e, les ^i etant des fonctionsde [jl s'annulant avec ui? Remarquons pour cela que, la fonction F, etant periodique en /, /' et A, on pent ecrire F, = 2A cos(m,/-h m^l'-h m^h -+-x), /7i<, /Wa et /W3 etant des nombres entiers, et les quantites A el x des fonctions de A, A' et de H. Remplagons dans F, les six variables A, A', H, /,• I' el h par Ao, a;. Ho, lo-^nt, I'^-^n't, h^. II viendra en faisant G =:m,/i -h /Wj/i', G'=:/ni/o -Hm,/o 4- m^h^^ -h x. F< est une fonction periodique de /; soit R sa valeur moyenne, on aura Ri=i;acosG', T. - IV. 62 490 CHAPITRE XXVII. la sommation etant etendue k tous les termes tels que (26) G = o ou bien m,/i 4- m,/i'=: o. D'apres les principes exposes precedemment par M. Poincare (t. I, n^ 46), on trouvera les valeurs cherchees de H^, /q, 4 et Ao» ^^ l^s determinant par la condition que la fonction R de ces quantites soit un maximum ou un minimum, c'est-a-dire, en resolvant le systeme On a d'ailleurs -T7-=— 2AsinG' -vr =— 2m,A sinG', -777 = — 2AsinG' ^77 =— 2m,AsinG', d'oii, en ayant egard a la condition (26), (^R , dR V r» A • o / n -r7- ■+- n' -5-77 = — 2 GA sm G' = o . On peut d'ailleurs choisir I'origine du temps de faQon que /o = o; done ^ = o; il reste ainsi seulement les trois equations 6ioooooi'i. Ainsi, la vitesse de propagation de I'attraction devrait etre au moins egale a six millions de fois celle de la lumiere. Dans le cas de la Lune et de la Terre, Tinegalite 8l aurait pour valeur, au bout d'un siecle, ^ X 68000000'; 49^ CHAPITRE XXVIII. en ecrivant que cette quantite est inferieure a 2", on trouve que la vitesse V devrait etre au moins egale a trente millions de fois la vitesse de la lumiere. Mais il faut reconnaitre que cette conclusion relative a la vitesse enorme, et pour ainsi dire infinie, de la vitesse de I'attraction, n'est pas demontree rigou- reusement. La maniere dont Laplace introduit la force perturbatrice consideree plus haut laisse a desirer. II y a une double consideration de vitesses et de forces, qui est beaucoup moins satisfaisanteque quand il s'agit d*obtenir Tangle d'aberration. 224. M. Lehmann-Filhes (Astron. Nachr., n®2630; 1884) a cherche a tenir comptc autrement de la vitesse de propagation de Tattraction. Nous allons presenter rapidement ses calculs. Soient, a Tepoque /, ^o» ^o» ^0 l^s coordon- nees rectangulaires du Soleil 0, rapportees a des axes fixes; 5, y]» ^ les coor- donnees d'une planete P ; a;, j, z ses coordonnees relatives par rapport au Soleil. On aura ? — ?o = «2?, 10 — 100=7, C — Co = -> k^m L*auteur suppose que Taction que subit la planete a Tepoque / est partie de la position So qu'occupait le Soleil a Tepoque / — ^ = / — Xr, en faisant X = y« On aura done, en designant par $i,*^ r^^^ et Co ^ les coordonnees de S©, or, ^' -^' Vdl -^^ ^'^^ On aura done ^0 dt^ 3 > d'oii, en negligeant X^, Admettons de meme que Taction que subit le Soleil soit partie de la planete a Tepoque / — Xr. On aura VITESSE DE PROPAGATION DE l'aTTRACTION. 497 or, si Ton neglige Xm, on pent prendre On conclut des equations (i) et (2) ^-^ *•('+'") r» = ^' (3) ;gH.^.(, + ^)Z = Y. ■^ +*•(' + '») 7, =Z» oil Ton a pose (4) XAa 6 kK X . ,0 \ =— 7r«-+--7i— («^-+-Pr-^y«)' = - TT 7 + —.V- («^ + P/ + 7-)' \ dt' ^ dt' ' dt Ces composantes X, Y, Z n'admettent pas de potentiel, comme on s'en assure aisement. II faut calculer les composantes R, S et W de la force perturbatrice suivant les axes mobiles. On a, en designant par L la longitude dans I'orbite, - z=cos0cos(L— B) — sin0sin(L--0)cos9. - =sin0cos(L— 0)-+-cos0sin(L-- 0)coscp, -, =sin(L — 0)sincp, K -X X - •+■ ;• /• S = x r r Wrzr X sindsiiicp — Y cos^siiKp ^- Z COS9. r. — IV 63 498 CIIAPITRE XXVUI. On en deduit aisement W = ^ ( a sin 0 sin 9 — ^ cos d sin 9 •+- 70059). M. Lehmann-Filhes, dans Tignorance oil Ton se trouve du mouvement absolu du Soleily prend pour a, ^ et y les composantes (d'ailleurs encore assez mal connues) de la vitesse de translation du Soleil par rapport aux etoiles. On ne pent s'empecher de remarquer que, tandis que Laplace tient comple seulement du mouvement relatif de la planete par rapport au Soleil, M. Lehmann- Filhfes fait intervenir seulement le mouvement de translation du Soleil, a tel point que, si Ton suppose a = p = y = o, les equations (3) sont les equations differentielles du mouvement elliptique. Calculous Sa et S/i, en supposant 0 = 0; nous aurons ^ - y -^. -=:cosL, -=::sinL, -=o, L=zw-\-in. r r r Negligeons c^, il viendra ^ = - [Resm»v-hb(i •■\- e co^w)], K = — ;j~ (acosLn- (3sinL), S = —5- (asinL — (3cosL); da 2 XXr* -rr = r (asinL — flcosL) dl n r* ^ ^ ' ie X A' H J- [2sini^(«cosL-h |3sinL)-+-cosi^'(asinL— (JcosL)]; da 1 X A* -^ = — ^ (i-+- 2ecosiv)(asinL— (3cosL) -+- —^ XA^*[2siii«'(acosL-h j3sinL)4-cosi*'(asinL— (3cosL)]. Cherchons seulement la partie seculaire, et tenons comple de la relation L = iv 4-Bj; VITESSE DE PROPAGATION DE l'aTTRACTION. 499 nous trouverons da X/r* . - . -,- = — 5 efasincj — Scosbj). dt na^ ^ Soit a sine? — ^coscrrz rosinll; (^0 sera la projection de la vitesse du Soloii sur ie plan de i*orbite de la pla- nete, H Tangle que fait cette projection avec la direction du perihelie de la planete : da dt nae -^ sinH, dn dt " ^ i ♦'© • XX - n^e -ry SinH , 2 V a/i- - n*et Yr sinH y 2 V %dt — J enU^' ^ siuH , il L'inegaiite est de I'ordre de celle a laquelle conduit la methode de Laplace, cette derniere etant noultipliee par e, car ^o est de Tordre de v, dans Ie cas de la Terre. On serait done encore conduit a une vitesse de Tattraction beau- coup plus grande que celle de la lumiere, bien que moins forte, a cause du facteur e. Nous citerons encore un Memoire de M. v. Hepperger (Sitzungsberichte de Vienne, 1888), fonde sur les memes principes que celui de M. Lehmann-Filhfes, mais dans lequel I'auteur a tenu compte d'un certain nombre de termes com- plementaires. 225. Loi d'attraction conforxne k la loi 61ectrodynamique de Weber. — Nous passons maintenant a un ordre d'idees entierement different, concer- nant les phenomfenes electrodynamiques. Gauss avait cherche une formule fai- sant connaitre Tattraction mutuelle de deux elements de courants, quand on suppose que ces elements, au lieu d*etre enrepos, sont animus d'un mouvemenl relatif connu. II avait obtenu, dans ce but, une formule qui n'a ete publiee qu'apres sa mort, et sur laquelle nous donnons plus loin quelques indications. Weber, de son cote, en a propose une autre qui est bien connue; Taction mu- tuelle de deux elements serait dirigee suivant la droite qui les joint, et son intensite serait representee, a un facteur constant pres, par Texpression dr* 2 d* r\ i t\ \ d^Jr 5oO ClIAPITRE XXVlll. le terme -, de cette formule represente Teffet statique, et les autres tiennent compte de Teffet dynamique; c est une vitesse qu'il faudra determiner par les observations. Si Ton suppose que les deux elements de courant soient animes d'un mouvement relatif uniforme, suivant la direction de la droite qui les joint, et si cette vitesse -j- est egale a c, I'effet dynamique detruira Teffet statique, et la formule precedente donnera ^= o; cela pent etre considere comme une definition dec. La formule (6) embrasse a la fois les phenomenes d'electricite statique qui sont regis par la loi de Coulomb et les phenomenes electrody- namiques qui sontcompris dans la loi d'Ampere. II ne semble pas que la for- mule (6) ait ete demontree; on s'est borne a verifier quelques-unes de ses con- sequences. Zollner a 6te conduit a penser que la loi de Weber pouvait etre employee, non seulement en Electrodynamique, mais encore en Astronomic; ses idees sur ce sujet ont ete exposees ensuite dans TOuvrage intitule : Principien einer electrodyncunischen Theorie der Materie^ Leipzig, 1876. S'il en etait ainsi, deux elements de masses m et m\ separes par la distance r, exerceraient Tun sur I'autre une attraction qui, au lieu d'etre representee par la loi de Newton ~T-^ serait donnee par la formule de Weber, / V ^ fmm! I I dr^ 2 d}r\ La question se posait, des lors, de savoir quelles perturbations apporterait dans les mouvements des planetes I'introduction de la loi de Weber. On pent se borner a considerer une planete et le Soleil; les equations differentielles du mouvement sont alors d}x __ k}x f I dr^ 2 cPr\ 11^ ~"~"7»~ V "" c* di^'^'c^^'di})' d^z dt z k'^z / I dr^ 2 c?* r\ Dans une these soutenue a Gottingue, en 1864, M. Seegers a montre que Ton pouvait integrer rigoureusement les equations (8) a I'aide des fonctions ellip- tiques, mais son travail est purement analytique et Ton ne voit pas bien les mo- difications cherchees. M. J. Bertrand ayant bien voulu attirer mon attention sur ce sujet, j'ai considere les equations (8) comme etant celles d'un mouvement elliptique trouble par une force dont les composantes seraient k^x [dr^ d*r\ k^y/dr* d*r\ k^z /dr^ d>r c^r^Kdt* ^' dl^j' c* VITESSK DE PROPAGATION DE l/ ATTRACTION . 5oi J'ai employe la methode de la variation des constantes arbitraires; les resul- tats de mes calculs ont ete presentes a TAcademie des Sciences (Compies ren- dusy 3o septcmbre 1872). Mais il me semble preferable ici de les conclure de integration rigoureuse des equations (8). 226. Integration rigoureuse des Equations (8). — Ces equations admet- tent les integrates des aires; done Torbite est plane. Prenons son plan pour plan desxj; nous pourrons nous borner aux deux premieres equations (8). Nous en deduirons sans peine (9) ■''Tt-yTt=''^p^ d dx^-hdy^ '^k^ dr / i dr^ 2 d^r\ _ ,^ d /i i dr^\ di Iw """" >»■ dt\~^7^dr- "^ c^ 'in^) —^ 5i Vr"" cV dFJ* , ^ dx* -+- dy^ , • / "^ 2 dr^ i \ dt* a etp designantdes constantes arbitraires. Nous mettrons^ sous la forme p := a(i — e* ) . En introduisant les coordonnees polaires r et 6, les equations (9) et (10) deviennent dO r«-=X:v/^, dr^ H- r« d6^ dl * "" \/- "" ^i "" c* /• dt* ) On en conclut (11) kdL=——y ^ "^ —dr, \ r a r' ri I a (I — e*) ' \ r a /•' Soil pose r' — a{\-- e), /•" —.a{\-\-e)\ on aura (12) d^— ^ dl. r si ik^ I I 4- V \'' ^7 U' n 5o2 CHAPITRE XXVI 11. On voit que les limites a(i — e) et a(i -t- e), entre lesquelles varie r, restent les memes que dans le mouvement elliptique. Mais le perihelia ne reste plus immobile. Soil, en effet, 0 Tangle decrit par le rayon vecteup quand il passe de ia valeur / a la valeur maxima r'' qui la suit immedialement. Nous aurons e — v/^ Posons V ( /•' /•) \ r r'J '- = p cos'(p ■+■ p sin' En general, au bout du temps /, on a (l3) dGJ=r -z—. rr nt. II est aise devoir, en se reportant aux formules (i i) et (la), que la longitude moyenne de I'epoque conliendra aussi un terme en nt\ mais on sait qu'il n'y a pas a se preoccuper de ce terme; enfin il y aura des inegalites periodiques, mais elles sont insensibles. L'inegalite seculaire (i3) n'arrivera a produire un effet sensible qu'en raison du facteur t qui croit sans cesse. Mercure est la planete pour laquelle, en un temps donne, Scr sera le plus sensible, et cela en raison du facteur n k VITESSE DE PROPAGATION DE l' ATTRACTION. 5o3 qui sera d'autant plus grand que la planete sera supposee plus voisine du Soleil. Soit ('o Id vitesse de la Terre dans son orbite, en negligeant son excentricite ; on aura v\ = — > et la formule (i3) pourra s'ecrire ^ ' \c/a(i — e*) Proposons-nous de calculer irs pour Mercure, au bout d'un siecle. Dans cet intervalle de temps, le moyen mouvement de la planete est nt =z 538107000*^; d'ailleurs — = o , SSt ; e =r o , 206 ; d'oii On pent prendre c© = 3o*''",o. D'autre part, Weber a trouve par ses experiences electrodynamiques (voir ZoMneVf loc. cit., p. 112), c = 439450*"". En admettant que c ait la meme valeur dans le cas de {'attraction du Soleil, on trouve log ^^y== 9,668 42. 11 en resulte 5nj:= 6", 77. Ainsi, en un siecle, en vertu de la loi de Weber, le perihelie de Mercure tour- nerait dans le sens direct de 6*^,77; cette quantite est appreciable a cause de la grande excentricite de I'orbite de Mercure. En un siecle, le perihelie de Venus se deplacerait seulement de i'',36, cequi produirait un effetpresque insensible, en vertu de la tres petite excentricite de Venus. Concluons done que la substitution de la loi de Weber a celle de Newton ne produirait aucun changement sensible dans les mouvenoents des planetes, si ce n'est un petit deplacement proportionnel au temps dans le perihelie de Mer- cure, a raison de 6", 77, par siecle. Si Ton supposait c egal a la vitesse de la lumifere, 3ooooo^™, on trouverait, pour Mercure, et en un siecle, lts = i^'\Si. Si Ton demandait enfin quelle devrait etre la valeur de c pour que, en un siecle, le perihelie de Mercure tourne de 38", on trouverait tr = 180000*"", soit les f de la vitesse de la lumiere. Ces donnees numeriques trouveront leur application dans le Chapitre suivant. 5o4 CHAPITRE XX VIII. 227. Loi de Riemaxm. — Riemann a propose une autre loi electrodyna- mique (voir les Lemons de Riemann, Schwere, Elektricitdt und Magnetismus^ pu- bliees par Hattendorff). Mais, avant d'arriver a cette loi, il convient d'indiquer une extension de la notion du potentiel. Supposons que, dans les phenomenes electrodynamiques, le potentiel ait pour expression, non plus— > mais (.5) *-(i-,^). oiiD est une fonctiondeo?,/, z etdea?' = ^,y = ^, s'= ^; nous supposons D homogene et du second degre en x\ y\ z' . Soient X, Y, Z les composantes de la force ; si Ton veut avoir encore I'equation du travail ou des forces vives, Ax dX'¥\dy^Zdz)= f{Xx'-\- Yy-f- Zz') dt = k^ U - ^V il faudra prendre (*) (^^> r=^l^^Ao^'dc[dy)\^ ^^~~i^ '^'^\ji~ di\d^^)\ Nous pouvons verifier aisement ce theorfeine. On tire, en effet, des for- raules (i6), en supposant z = o, Z = o, pour simplifier Tecriture, dl Or on a _ M "'■ *•[,) J finales de /'Mservatoire, t. IV. CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 5l5 Action de Mars. d(/zin-2',4sin(2r— 2/'') — o%7 sin(2r— r— cj") i',5sin(2r-r— cj'')-ho%5sin(4/''— Sr-cj*') o%6sin(4/''— 2r-2cj*'); Action de Jupiter, 7%2 sin(/''— T) — 2%7 sin (2/'^— 2/') — !%5 sin (2/'^— /"— gj") 2%6sin(^' — T;j»'')-+-o%6sin(2/''— r — cj'^) — o",6sin(3/'^— 2/"— Gj"^). t, f^ r et /'^ sont les longitudes moyennes de Venus, la Terre, Mars et Jupiter; nous n'avons releve que les inegalites dont le coeflBcient est superieur a o", 5; dans ces conditions, les perturbations causees par Mercure, Saturne et Uranus devaient etre laissees de cote. Le Verrier n'a pas discute moins de 891 1 observations du Soleil, faites de 1750 a 1846 dans les Observatoires de Greenwich, Konigsberg et Paris. Cette discussion a presente des difficultes serieuses, provenant surtout de Tequation personnelle, variable d'un astronome a I'autre, dans les observations des bords du Soieil. La conclusion de cette discussion a montre que les observations ^taient bien representees par la theorie, a la condition d'astreindre les incon- nues V, v', . . . a verifier certaines relations. Nous nous arreterons seulement a Tune de ces relations, la plus importante, et qui resulte des determinations de Tobliquite de I'ecliptique. Ces valours, quand on en defalque la nutation, sont reproduites dans la troisieme colonne du Tableau suivant : Obliquitd moyenne observde. calculdc. RdsiduH. 23 . 28 . I 5 , '22 i5"',3o • — 0,08 » 27.67,66 57,00 H-o,66 » 27.55,05 55,63 — o,58 i 27.47,48 47,85 -0,37 j 27.43,78 43,27 -h o,5i ») 27.35,56 35,95 — 0,39 » 27.33,88 33,66 -H 0,22 Anndes. N. 1755 i5 1795 20 1798 19 1815 j 1825 j^^ 1841 12 1846 26 N designe le nombre de solstices employes. On pent relier les valours obser- vees par la formule (2) 03 = 23o27'3i%83 — o^4576^ Oil /designe le nombre d'annees, apres i85o,o. Les nombres de la quatrieme colonne du Tableau ci-dessus designent les valeurs de co, calculees par ia for- 5l6 CHAPITRE XXIX. mule (2), pour chacune des epoques considerees. On voit que les residus sont assez faibles, et que leur allure ne presente rien de systematique. Mais alors, en remplaQant dans la formule (i) co par sa valeur (2), et multi- pliant le resuUat par 100, il vient, en iaissant de cote v'^ et v% qui peuvent etre supposes bien connus, (3) 28%9v'4-o%8v"'-ho%5v4-i%8i=o; cette equation de condition est importante a cause de la grandeur du coefficient de v'; il parait impossible que le terme tout connu soit en erreur de i". 231. Th6orie de Mercure (*). — Le Verrier a trouve, pour les inegalites seculaires des elements e et ex, les formules suivantes : ( he = -h 0^,0419^ -ho'', 0282 v'/ -Ho'jOioev"/-!- . . . , ^^ \ te= + 5\27i4^ + 2%8o64v'^ + o%836iv''/-h .... Nous ne reproduirons pas ici les inegalites seculaires du noeud et de Tincli- naison, non plus que les inegalites periodiques de la longitude heliocentrique de Mercure. Les observations anciennes rapportees dans V Almageste ne peuvent pas etre employees utilement. Heureusement on possede des observations des passages de Mercure sur le disque du Soleil, et Tobservation de chacun de ces phe- nomenes permet d'en deduire, avec une grande precision, la position de la planete. Le premier qui aitete observe est celui du 7 novembre i63i. Les passages ont lieu, soit quand la planete passe par son noeud ascendant, au mois de novembre, ou au mois de mai, pres du noeud descendant. Apres discussion et rejet des ob- servations defectueuses, Le Verrier a conserve neuf passages de novembre, s'etendant de 1677 a 1848, etcinq passages de mai, de 1753 a i845. II a joint a ce materiel 897 observations meridiennes faites a Paris de t8oi a 1842. Donnons quelques indications sur la maniere d'utiliser les observations des contacts dans les passages. Au moment d'un contact, la distance angulaire des centres du Soleil etde Mercure cstegale a la somme ou a la difference des demi- diametres apparents des deux astres, le tout etant vu du point oil se trouve Tobservateur. Soient ^' etX' la longitude et la latitude du centre de Mercure, 0' et A' les memes coordonnees pour le centre du Soleil, les deux astres etant vus du lieu d'observation ; soit enfin D la distance apparente de leurs centres. On aura la formule cosD = sin X' sin A' 4- cos X' cos A' cos (41'— B'), (>) Jnnales de rObservatoire, I. V. CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. Siy d'oii cosD = cos(X'-— A') — 2COs>/cosA'sin* ^^^ ; la latitude A' du Soleil est extremement petite; X' est seulement petit. On peut ecrire I 1- I — .^ U -4- 1^^ i L_ * I » • • — — « I • • • I • • • f 2 2 2 et se borner a Cette formule simple permettra de calculer la distance apparente des centres pendant toute la duree du phenomene. Soit /© le moment de i'observation (sup- posee exacte) d'un contact; soient 4^, X, 0 et A les valeurs des coordonnees tirees des Tables pour i'epoque /©> et transportees du centre de la Terre au lieu d'observation. Ces valeurs ne sont pas exactes, mais elles ^»nt besoin de corrections S^, SX, S0 et SA; de meme, si c designe, par exemple, la difference des demi-diametres apparents, la quantite c aura besoin de la correction 8c. Done, a I'instant /o> on doit avoir D« = (<_— e -+- d\i— ssy 4- (X - A 4- dx - sa)* = (c 4- Scy. Soit maintenant tc le temps du contact, calcule avec les valeurs tabulaires inexactes; la valeur de 4La I'instant t^ sera egale a On aura done 4:+§(/c-o En retranchant cette equation de la precedente, et negligeant de tres petites quantites, il vient / cdc = (^— e)(dc— 5^) + (^ — A) (dX — 6\) Soient maintenant r, {^ et s les coordonnees heliocentriques de Mercure, A sa distance au centre de la Terre, R la distance de la Terre au Soleil. On a les formules / AcosXcos41 = rcosscosi' 4- R COS0, (6) ' AcosXsin41= rcos^sint' -t-R sin0, lAsinX =rsin5 -+-RsinA. 5l8 CHAPITRE XXIX. Supposons que les quantites tabulaires r, v, ^, R et 0 aient besoin des correc- tions Sr, S^, 8s, SR et §0, on pourra admettre que 8{^ est la correction de la longitude dans Torbite. En differentiant la derniere des equations (6) et negli- geant les quantites tres petites, on a d'abord Les deux premieres equations donnent ensuite — A cosX sin^d^-h cos413(A cosX) = — r cos5 sin i>dv -h cos pd( r C0S5) — R sinOdO •+■ cos 03R , 4- A cos X cos (^3(^4- sin^d(AcosX) = -h rcos^coscdi' -h sini'd(rcos5) + RcosOdO -h sin6dR; d'ou, parTelimination deS(AcosX), A cosXd^ = rcos5 cos( p — -C)^^ sin( p — ^)d(rcoss) + R cos(e — i^) 50 4- sin (0 — 41)*I^- Or, les differences ^— 0 et ^ — ^sont voisines, la premiere de zero, la seconde de iSo**; on pent ecrire simplement d'oii 341-30 ==-^di>+ 5^ 3e=^(3e-3r). En portant dans Tequation (5) les valeurs que Ton vient de trouver pour SX et S^— §0, et regardant comme exacte la latitude A du Soleil, il viendra c3c = -(<_- 6) £ ((Ji' - 56) 4- (X - A) ^35 4- (^^- /o)A, oil Ton a pose (7, A=-(4:-e)^<^>-a-A)^(^. L'avant-derniere equation sera mise sous la forme (^) J^(oV-3e)-i^-:^&4-5c-(/,-o^ = o. 11 y aurait aussi a tenir compte, dans S^^— §0 et SX, de la correction a CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. SlQ apporter a la valeur attribute a la parallaxe du Soleil; mais cet effet est moins important et peut etre laisse de cote. Cela etant, nous allons reproduire I'equation (8) pour chacun des passages observes, avec les valeurs numeriques correspondantes des coefficients; nous ne nous attacherons qu'aux coefficients de S(^. Passages de novembre. (9) (lo) 0,86 0,75 0,01 0,99 0,9^ 1,81 Epoques. Entrde. 1697, 84 1723, 85 o,458(' 1736, 86 o,288(' 1743, 84 0,34 Sf' 1769, 85 0,44 8(^ 1782, 86 o,i78(' 1789, 84 o,388(» 1802, 85 \ i848, 86 -+-o,468(' Epoques. Entrde. 1753, 34 1786, 34. o,458('-h4",84 I '799* 34 o, Soot' H- 5,65 i832, 34 0,61 0(^ -HO, 17 \ 1845, 35 0,748;^— I, o3 o o o o o o Sortie. 0,398(^-4-0,45 = o, o,i68('-+-o,i3 = o, o,4'28(» -h 0,92 = o, o,o38(' -*- 0,23 = o, o, 44 Sf'-f- 0,97 = 0, o,468p -H 1,47 = o; -*-2,27 = o Passages de mai. Sortie. o o o o 0,778^^ 0,6581^ 0,6981^ 0,7781' 12, o5 5,11 3,83 o,58 = 0, = 0, = 0, = o. L'inspection de ces equations est tres instructive : c< On remarquera, des Tabord, que les observations des passages par le noeud ascendant ne donnent lieu qu'a de faibles erreurs; tandis que les passages par le noeud descendant donnent lieu a une erreur de i2'',o5 en 1753, et qui, dimi- nuant a peu pres regulierement a mesure que le temps augmente, se reduit a — i",o3 en 1845. Ces treize secondesde variation, en quatre-vingt-douzeannees, demandent a etre prises en serieuse consideration, en raison de Texactitude du mode d'observation dont elles resultent. Elles ne sauraient, en effet, etre attri- buees aux incertitudes des observations des passages, puisqu'il faudrait supposer que tons les astronomes auraient commis des inexactitudes considerables dans la mesure des temps des contacts; ces inexactitudes devraient en outre varier d'une maniere progressive avec le temps, et differer de plusieurs minutes au bout de la periode de quatre-vingt-douze ans. Circonstances tout a fait inad- missibles! » Cela etant, on apergoit qu'on ne parviendra a detruire les erreurs signalees dans les passages de mai, sans en introdulre dans les passages de novembre. Sao CHAPITRE XXIX. qu'en modifiant les valeurs attribuecs aux parties proportionnelles au temps de deux des elements de Torbite. Les deux corrections devront se detruire a peu pres dans les passages de novembre, tandis qu'en s'ajoutant, elles rendront raison des ecarts observes dans les passages du mois de mai. La consideration du mouvement du noeud ne peut des lors servir a resoudre la question; Terreur de la longitude du noeud influe sur le calcul du temps des passages d*une ma- niere toute differente, suivant la latitude de la planete (*). » On a les formules 5 i'= /h- ijesin(/ — cj) + 7 e* sin(2/— 2Gj) -H. . ., 4 1 = nt -h e, Supposons que nous fassions varier les elements n, t^ e et ts et, en outre, les parties proportionnelles au temps, ou les inegalites seculaires de c et tzr; les va- riations completes de ces deux elements seront done representees par t designant un nombre d'annees ecoulees a partirde i85o. Nous aurons ii'ziz {8e-htdn) i-{-2ecos{l — xn) -h - e'cos(2/— acj) -t-(de-t- ^e') 2 sin(/ — Gj) -+- - e sin(2/— 2cj) — (<5gJ-4-/GJ') 2eC0S(/ — CJ) 4- - e'C0S(2/— 2CJ) OU bien (ii) di^ = ^ r r ' 3 000 000 et (m) la valeur, sans doute plus exacte, de la meme masse, \ / ^ r » 7000000 On voit que la masse de la planete supposee augmente quand on admet qu'elle est plus voisine du Soleil ; elle serait egale a la masse de Mercure a la distance 0,21, et, dans ses grandes digressions, elle s'ecarterait du Soleil d'environ i3®. On Taurait certainement apergue depuis longtemps, meme a Toeil nu, dans des conditions favorables. Plus loin du Soleil, la masse troublante est plus faible; mais ne Taurait-on pas apergue pendant les eclipses totales de Soleil, ou meme, n'aurait-on pas du la voir de temps a autre passer sur le disque du Soleil? « Telles sont, dit Le Verrier, les objections qu'on peut faire a Thypothese del'existence d'une planete unique, comparable a Mercure pour ses dimensions, et circulant en dedans de Torbite de cette derniere planete. Ceux a qui ces objections paraitront trop graves seront conduits a remplacer cette planete unique par une serie d'asteroides dont les actions produiront en somme le meme effet total sur le perihelie de Mercure. Outre que ces asteroides ne seront pas visibles dans les circonstances ordinaires, leur repartition autour du Soleil sera cause qu'ils n'introduiront dans le mouvement de Mercure aucune inegalite periodique de quelque importance. » L'hypothese a laquelle nous nous trouvons ainsi amenes n'a plus rien d'ex- cessif. Un groupe d'asteroides se trouve entre Jupiter et Mars, et sans doute on n'a pu en signaler que les principaux individus. II y a lieu de croire meme que Tespace planetaire contient de tres petits corps, en nombre illimite, circulant autour du Soleil. Pour la region qui avoisine la Terre, cela est certain. » La suite des observations de Mercure montrera s'il faut definitivement admettre que de tels groupes d'asteroides existent aussi plus pres du Soleil. . . Dans tons les cas, comme il se pourrait qu'au milieu de ces asteroides il en existat quelques-uns de plus gros que les autres et qu'on n*aurait d'autres moyens d'en constater Texistence que par Tobservation de leurs passages devant le disque solaire, la discussion presente devra confirmer les astronomes dans le zele qu'ils meltent a etudier chaque jour la surface du Soleil. II est fort important que toute CONFRONTATION DE LA LCI DE NEWTON AYEC LES OBSERVATIONS. 627 tache reguliere, si minime qu'elle soil, et qui viendrait a paraitre sur le disque du Soleil, soit suivie pendant quelques instants avec la plus grande attention, afin de s'assurer de sa nature par la connaissance de son mouvement. » Or, un amateur d'Astronomie, ie D'' Lescarbault, observa, le 26 mars iSSg, a Orgeres (Eure-et-Loir), le passage sur le Soleil d'un petit disque noir, bien circulaire, dont le diametre apparent lui sembla inferieur au quart du diametre qu'il avait trouve a Mercure dans son passage sur le Soleil le 8 mai i845. II fit connaitre les points du disque solaire oil avaient eu lieu I'enlree et la sortie, ainsi que les instants de ces phenomenes : la duree du passage avait ete de i**i7™. Le Verrier, en discutant Tobservation du D"^ Lescarbault, arriva a determiner la position du plan de Torbite de Vulcain (e'est le nom qui fut donne au nouvel astre); il trouva que ce corps circulait autour du Soleil en 19^,7; en lui suppo- sant la meme densite qu'a Mercure, et adoptant le diametre apparent de 'i" au moment de Tobservation, il en conclutque sa masse n'etait que le — de celle de Mercure; sa plus grande elongation au Soleil etant d'environ 8®, et la lumiere totale qu'il nous envoie etant beaucoup plus faible que celle de Mercure, on comprendra, ajoute Le Verrier, qu'on n'ait pas apergu cette planete jusqu'ici. Ce corps serait du reste beaucoup trop petit pour produire, a lui seul, Tirregula- rite signalee dans le mouvement de Mercure. En se rapportant au Tableau de la page 526, on voit qu'il faudrait au moins 25 masses egales a celle-la, et situees dans la meme region, pour produire I'effet voulu (il en faudrait meme plus de 60, en admettant la masse la plus probable de Mercure). A diverses reprises, des observateurs avaient note le passage sur le disque du Soleil de petits corps obscurs qui ne pouvaient etre confondus avec des taches solaires, soit a cause de leur mouvement rapide, soit en raison de leur appa- rence meme. M. R. Wolf, de Zurich, avait dresse une liste de 20 observations de ce genre, dans son Handbuch der Astronomie. Une observation analogue, faite parM. Weber en 1876 et signalee a Le Verrier, le conduisit a discuter ces pheno- menes. II en rejeta plusieurs comme douteux, et parmi ceux qui pouvaient etre conserves, il en reconnut quatrequi pouvaient appartenir au petit corps observe par M. Lescarbault. II calcula une orbite, et annonga un nouveau passage, dou- teux d'ailleurs, pour le 22 mars 1877, ^^ ^^ autre, beaucoup plus certain, pour le i5 octobre 1882 Les astronomes ont surveille a ces dates la surface du Soleil etn'ont rien vu d'anormal. Lors de Teclipse totale de Soleil du 29 juillet 1878, les astronomes ameri- cains avaient inscrit dans leur programme la recherche des planetes intra-mer- curielles, durant la totalite. M. Watson crut en avoir decouvert deux; malheu- reusement, il leur assignait a fort pen pres les positions que devaient occuper au meme instant deux etoiles 0 et !^ de la constellation de I'Ecrevisse; Topinion 528 CHAPITRE XXIX. des astronomes competents a ete que M. Watson avail observe ces deux etoiles, et non pas deux planetes. Pour plus de details sur les planetes intra-mercu- rielles, je renverrai le lecteur a une Notice que j'ai publiee sur ce sujetdans VAnnuaire du Bureau des Longitudes pour 1882. Les recherches systematiques de Carrington, deSporer et d'autres astronomes sur les taches solaires, les photographies innombrables du Soleil qui ont ete prises dans ces dernieres annees, et Tinsucces des recherches faites pendant plusieurs eclipses totales, semblent indiquer que I'explication de Tanomalie du perihelie de Mercure, donnee par Le Verrier, ne pent guere etre maintenue ; dans tons les cas, il faudrait supposer qu'il s'agisse d'unenuee de corpuscules, dont chacun echappe aux observations par sa petitesse, leur ensemble formant cependant une masse notable, comparable a celle de Mercure. Nous aurons a discuter plus loin d'autres hypotheses mises en avant pour expliquerl'anomalie en question. Mais auparavant nous voulons donner encore quelques indications sur les resultatsde la confrontation, faite par Le Verrier, de la loi de Newton avec les observations de Venus et de Mars. 233. Theories de V6nu8 et de Mars (*). ~ Le Verrier a etabli la theorie de Venus sur les deux passages de la planete sur le Soleil, observes en 1761 et 1769, et sur les observations meridiennes faites de 1751 a 1857. Le passage de 1639 a ete observe par Horroxius qui n'a pu noter aucun des contacts, mais a mesure a plusieurs reprises la distance des centres des deux astres, sur une image solaire de six pouces de diametre. On ne pent malheureusement tirer aucun parti de cette observation dont la precision laisse trop a dfesirer. Le resultat de la discussion a ete que les observations de V^nus sont bien representees si Ton diminue d'environ moiti^ la masse de Mercure, mais surtout si Ton augmente de 0,09 la masse de la Terre; mais Taccord serait detruit si Ton augmentait de — la masse de Venus; Le Verrier trouve meme qu'il faudrait la diminuer d'environ —• On voit ainsi confirmee Timpossibilite d'expliquer Tanomalie du perihelie de Mercure en corrigeant les masses des planetes per- turbatrices : on porterait ainsi le trouble dans la theorie de la Terre et dans celle de Venus. En discutant les observations du Soleil et determinant le coef- ficient de I'equation lunaire, Le Verrier avait deja ete conduit a admettre que la masse de la Terre devait etre augmcntee de plus de — de sa valeur. Pour la theorie de Mars, Le Verrier disposait d'observations meridiennes nombreuses, de 1751 a i858, et d'une conjonction de Mars avec les etoiles ^o ^a et ^3 du Verseau, observee en 1672 en France, par Picard, et a Cayenne, (*) J finales de I'Ohservatoire, t. VI. CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AYEC LES OBSERVATIONS. 629 par Richer, en vue de determiner la paraiiaxe de Mars, et par suite celle du Soleil; mais les Tables ont ete fondees uniquement sur les observations meri- diennes. tt Nous mentionnerons, dit Le Veruier, le fait capital auquel conduit la dis- cussion, savoir : rimpossibilite absolue de representer les observations sans un mouvement du perihelie de Mars plus fort que celui qui resulte du calcul base sur les valeurs habituellement regucs pour les masses planetaires. Et de plus il est remarquable que, si Ton veut obtenir cet accroissementdu mouvement du perihelie de Mars en augmentant les masses perturbatrices, on n'y puisse par- venir qu'en supposant pour la Terre une masse plus forte d'/m dixieme (au moins) que celle qu'il est d'usage de lui attribuer. C'est un resultat pareil a celui que nous avons conclu des latitudes de Venus et du mouvement du noeud de cette planete. » Mais, s'il est ainsi necessaire d'accroitre la quantite de matiere admise dans la partie inferieure de notre systemc planetaire, s'ensuil-il que cette addi- tion doive reellement porter sur la masse de la Terre? ou bien la nouvelle matiere occupe-t-elle une place speciale, telle que les pelites planetes situees entre Mars el Jupiter, ou telle que les asteroides dont Tobservation a constate la presence dans les environs de la zone oil la Terre circule autour du Soleil? Une grave objection semble s'opposer a ce que Ton ajoute a la masse de la Terre : on ne pourrait I'accroitre du dixieme de sa valeur sans augmenter d'w/i tren- ii&me\^ quantite admise pour la paraiiaxe solaire, et cette consequence est con- Iraire a toutes les idees regues touchant Texaclitude de ce dernier element du systeme solaire. L'action d'un anneau de corpuscules, circulant autour du Soleil, parait au contraire rendre compte des phenomenes observes, sans soule- yer de difficultes nouvelles. » Disons maintenant que la determination, par Tensemble des observations, de Texces de mouvement du perihelie de Mars, represente tres bien toutes ces observations. C'est une chose bien remarquable que la crainte de Le Verrier a la pensee de toucher a la masse de la Terre; nous indiquerons dans un moment quelle etait la raison de cette crainte. Mais nous voulons faire observer imme- diatement que Tobservation n'a pas indique, comme semble le croire Le Verrier, Texistence d'une sorte d'anneau enveloppant Torbite de la Terre; si cet anneau existait reellement, sa masse s'ajouterait tout entiere a celle de la Terre dans le calcul des perturbations seculaircs causees par la Terre sur les planetes les plus voisines, Venus et Mars. Or Tobservation nous revele seulement I'existence des etoiles filantes et des bolides dont les orbites rencontrent certainement I'orbite terrestre. Mais M. Schiaparelli a demontre que la vitesse absolue des etoiles filantes est comparable a celle de la Terre multipliee par sfi\ ces corpuscules cheminent done, non pas sur des orbites semblables a celles de la Terre, mais T. - IV. G7 53o Cn\PlTRE XXIX. sur des orbites paraboliques. Quant aux bolides, leurs vitesses sont parfois plus grandes encore, ct quclques-unes des trajectoires sont hyperboliques. L'en- semble dc ces asteroides ne pout done pas etre considere comme formant un anneau enveloppant Torbite de la Terre. Voyons maintenant comment avait ete determinee la masse dc la Terre, employee au debut des calculs de Le Verrier. Quand on compare la chute des graves a la surface de la Terre a la chute de la Terre sur le Soleil, pendant unc seconde, on obtient, par la methode proposce par Newton, la relation suivante entre la parallaxe du Soleil et la masse de la Terre : (20) m"— 4)4320 ( I : \iooo/ d'ou Ton deduit Cette formule montre que, si la masse de la Terre est donnee, la parallaxe s'en deduit, et inversement. OrEncke avait conclu de la discussion des obser- vations des passages de Venus de 17G1 et 1769 : TT = 8% 5776^0", 0870; cette valeur a ete acceptee pendant longtemps par les astronomes avec unc entiere confiance. On en deduit, par la formule (20), //i" = o , 000002797 ; c'est, a fort peu pres, la valeur adoptee par Le Verrier. C'est done la confiance generale dans le nombre d'Encke qui Tempechait de songer a corriger m"\ les quatre decimales donnees par Encke dans la valeur de t: en imposaient a tout le monde; or on sait aujourd'hui que la premiere decimale etait fausse! Si, a Tepoque oil Le Verrier publiait ses Tables de Mars, il avait adopte la correction ^ = — 5 il en serai t resulte -- = ^, 7: = 8'', 86, valeur a tres peu presexacte. Le Verrier pouvait done, a Toppose de ce qui s'etait passe pour Mercure, fairc disparaltre presque tout Texccs de mouvement du perihelie de Mars (2V' par siecle), en corrigeant la valeur fautive de m\ M. Newcomb, en employant une (») Voir, pour la d6monst ration de cette formule, notro M6moire Surle r^sum^ des tcntatwes faites fusqu'ici pour determiner la parallaxe du Soldi {Annales de rObservatoire, I. XVI). En partant des donnees les plus r6centes, nous avons trouv6 7^ = 609", 49 //n*. CONFROM'ATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 53 1 parallaxe beaucoup plus exacte, a pu, comme on le verra plus loin, reduire beaucoup Texces de mouvement du perihelie de Mars. 234. Les theories de Jupiter et de Saturne (*) presentent de grosses diffi- cultes tenant principalement a la grandeur de Taction perturbatrice exercee par chacune de ces planetes sur i'autre. Pour nous en rendre compte, designons pour un moment par m et m' les masses de Jupiter et de Saturne, parr, r' et A leurs distances au Soieil et leur distance mutueile. Le rapport de la force per- turbatrice du mouvement de Saturne a Tattraction exercee sur cette planete par le Soieil est r' or, a certaines epoques, -r pent etre voisin de 2, de sorte que la force perturba- trice est le -4- de la force principale; c'est une fraction tres notable. Une autre cause de difficuite provient de la commensurabilite tres approchee des moyens mouvements des deux planetes, qui sont a peu pres dans le rapport de 5 a 2. II en resulte une inegalite dont laperiode treslongue est voisine deneuf cents ans, et qui, dans son maximum, atteint 1200" pour la longitude moyenne de Jupiter, et environ 3ooo" pourcelle de Saturne. Le Verrier a voulu surmonter toutes les difficultes, et il a calcule ses Tables pour des epoques tres eioignees, jusqu'a deux mille ans, a partir de Tepoque actuelle. Le succes a repondu a ses esperances pour Jupiter; les observations meridiennes de cette planete, faites de lyjo a 18G9, sont en effet representees avec une precision qui ne laisse rien a desirer; les erreurs de la longitude depassent rarement i". Le Verrier a ete moins heureux pour Saturne : les residus atteignent ± 5" pour les observations comprises entrc 1837 et 1869, et meme -- 9" pour la periode plus ancienne de 17 jo a 1826; en outre, la marche des residus presente un caractere systematique prononce. Nous avons dit (p. 170) que M. Gaillota decouvert dans les calcuis de Le Verrier de petitcs inexactitudes; en les corri- geant, il est arrive a representor les observations de Saturne, faites do 1750 a 1890, de facon que Terreur de la longitude ne depasse jamais =h 3''. Neanmoins, ces petits residus presentent encore une allure systematique bien nette, qui disparait completement quand on attribue a la valeur calculee du mouvement secuiaire du perihelie de Saturne un accroissement de 4^' par siecle; mais il resterait a trouver la cause de cet exces de mouvement, analogue a celui qui s'est presente pour Mercurc. (*) Anncdes de I'Obse/vatoire, t. X, XI ct XII. 532 CIIAPITRE XXIX. Les Tables cle Saturne, pubiiccs tout recemment (189^) par M. Hill, et dont nous avons parle (p. 370), du moins au point de vue de la iheoric qui leur sert de base, represententbien Ics observations de 1700 a 1888 :les residus S»l,cosCD depassent rarement 3" pour Ics observations de la premiere periode (lySo a 1826), et i" pour les observations posterieures. Cependant, la marche de ces residus est encore netlement systematique. Les calculs thcoriques de M. Hill sont sensiblcment plus simples que ceux de Le Verrier; c'est un avantage de la methode de Hanson. II semble toutcfois que cette methode ne donne pas le mouvement seculaire du perihelie avee la meme precision que les calculs de Le Verrier. 235. M. Ncwcomb a cntrepris, depuisquclques annees, un travail considerable : la refection des Tables des quatre planetos les plus rapprocbeesduSoleil, ce qui a necessite la reduction de soixante-deux mitte observations meridiennes, soil au moins quatre fois plus que n'en avait utilise F.e Verrier; il a pu employer, en outre, les donnees resultant de quatre nouveaux passages de Mercure, et des .passages de Venus de 1874 et de 1882. L'augmentation du materiel d'observa- tions est Tune des raisons de Tenlreprise de M. Newcomb; il y en a une autre : les diverses Tables planetaires de Le Verrier ne sont pas calculees avec les memes masses des planetes; quand une correction avait ete bien ctablie par une theorie, on en tenait compte dans la theorie suivante. M. Newcomb, partant des travaux deja si complets de son predecesseur, a pu introduire dans scs Tables un systeme de donnees homogenes. L'ensemble des resultals de ce grand travail est expose dans un petit volume fort interessant, The Elements of the four inner Planets, and the fundamental constants of Astronomy (Washington, 189J). Nous aliens en presenter une ana- lyse succincte. Disons d'abord comment on a determine les masses. Celle de Mars resulte de Tobservation de ses satellites. Pour la Terre, on a calcule sa masse en partant de la parallaxe du Soleil [yo/rla formule (20)]; cette parallaxe elle-meme, 7: = 8%8o2±o",oo5, a ete conclue de sept valours assez concordantes; on a attribuc un poids assez considerable a la determination qui resulte de la constante de Taberration et de la vitesse de la lumiere. Ayant oblenu la masse do la Terre, on y ajoule la masse de la Lune, et c'est Tensemble qui figurera dans les calculs de perturbation, sous le nom de masse de la Terre. La masse de Jupiter resulte de six valours obtenues par Tensemble des observations des satellites, et par les perturbations causoes par Jupiter dans les mouvements do Saturne, ou des comotes Faye et Winnecke, ou des petites planetes Themis et Polymnie; c'ost la determination fondee sur les observa- CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 533 tions (le Polymnie, qui a regu iin poids considerable, et joue presque un role exclusif. La masse de Venus a ete deduite des inegalites periodiques que produit cette planete dans la longitude do la Terre; Tenscmble de ces inegalites ne depasse guerc 8"dans des conditions favorables; mais le nombre des observations du Soleil que Ton peut utiliser est considerable, ct Ton ne voit pas d'erreurs syste- matiques a redouter. Cependant, le Tableau suivant donnant les valours de la correction relative v' a apporter a la masse de Le Verrier, d'apres les moyennes de onze series chacune de six annecs d'observations faites a Paris, montre que la determination est delicate : 1866-70... v'=:-i- 0,000 1871-79... -+-o,o48 1880-89... -f-o,oo2 1801-07... v' — — 0,025 1837-41. . . v'= — o,o34 1808-15... -:- 0,015 18iD-52... -»- 0,009 1816-22... — o,o5o 1833-59... -+-o,oi4 1823-29... — o,o5o 1860-65... -h o,oo3 Finalement, comme moyenne generale des observations faites pendant un siecle, dans dix observatoires, M. Newcomb a adopte v' = — 0,01 18 ±0,0034. On n'a pas pu determiner v' par les observations de Mars, parce que, dans la iheorie de cette planete, existe un petit defaut donl Texplication n'a pas encore ete trouvee. La masse de Mercure a ete conclue des inegalites periodiques que produit cette planete dans la longitude de Venus. Si Ton adopte la masse choisie comme point de depart par Le Verrier, a , Tensemble des inegalites en question ne depasse guere i" dans des conditions favorables. Si, en meme temps, Venus est dans le voisinage de sa conjonction inferieure, Tecart correspondant sera d*environ 2" dans la longitude geocentrique. Get ecart n'atleint sans doute que i", parce que la masse prise pour point de depart semble deux fois trop forte. On voit done que la determination de la masse de Mercure, par cette voie, n'est pas chose facile. M. Newcomb trouve "~ ' — *^ 7 900 000 L'influence de la masse de Mercure sur le mouvement de la comete d'Encke est plus sensible, parce que ces deux astres peuvent se rapprocher beaucoup a certaines epoques. II est vrai que cette comete est soumise a Taction d'un milieu resistant et que cette action parait discontinue. Cependant, elle semble avoir 6te constante de 1871 a 1891, et, dans cet intervalle, Tinfluence de Mercure se traduit par une perturbation de 5" sur Vanomalie moyenne de la comete. M. Backlund a trouve ainsi {Bulletin astronomique, t. XI, p. 473) ^^^^ pour 534 CIIAPITRE XXIX. la masse de Mercure; cette valeur, qui merite une serieuse consideration, est comprise entre les deux limites indiquees par M. Newcomb. M . Newcomb introduit done les masses de Mercure et de Venus, par les fac- teurs V et v', dans les inegalites periodiques, mais pas dans les inegalites seculaires. II fait figurer comme inconnues independantes, pour chaque planete, les variations seculaires des cinq elements e, o, «, H et e. Cette augmentation notable du nombre des inconnues doit sans doute diminuer, dans une mesure appreciable, la precision des resultats obtenus; mais M. Newcomb y trouve un avantage serieux : ce qui s'est passe pour le perihelie de Mercure montre qu'il n'y a pas de valeurs admissibles des masses, pouvant faire cadrer les valeurs, observec et calculee , de -r?- Des lors, le controle efficace de la loi de Newton consistera dans Taccord des valeurs inconnues -^^y e-^> ~> sin 1-7- et -^^ de- at at at at at duites pour les quatre planetesdes equations de condition, et des memes valeurs calculees par les principes connus, avcc les masses admises pour Mercure, Venus, la Terre, Mars et Jupiter, et corrigees en raison des valeurs trouvees en meme temps pour v et v'. Nous donnerons bientot ce double Tableau des valeurs des variations seculaires deduites des observations et du calcul; mais auparavant il convient dedonner quelques indications sur des points importants du travail de M. Newcomb. Le savant astronome a cherche a determiner les corrections des elements de Torbite terrestre, non seulement par les observations directes du Soleil, mais encore par les observations geocentriques des trois planetes Mercure, Venus etMars. II trouve que le succes n'a pas ete aussi grand qu'il pouvait Tesperer d'abord; ccpendant, il y a des avantages a proceder ainsi, pour la longitude moyenne s de Tepoque, a cause de la grandeur des equations personnelles qui affectent les observations du Soleil. Quoi qu'il en soit, les corrections trouvees pour les elements de Torbile terrestre et leurs variations seculaires sont trcs faibles, et montrcnt rexcellence des Tables du Soleil do Le Verrier. Pour les planetes Mercure et Venus, une difficulte se presente : les passages de ces planetes sur le Soleil donnent entre les inconnues des equations de con- dition plus precises que les observations meridiennes, parce que ces dernieres observations sont impossibles quand les planetes sont voisines de leur conjonc- tion inferieure, et que, dans cette situation, Tinfluence d'une petite variation de la longitude heliocentrique de Venus est a peu pres doublee dans la longi- tude geocentrique. D'autre part, les observations des passages ne donnent pas quelques elements directement, mais seulement des relations entre les correc- tions des inconnues. On pent se demander alors quels poids il faut donner a ces relations, et c'est la une question difficile a resoudre. M. Newcomb a eteamene a donner deux solutions ; dans la premiere, il a employe exclusivement les observations meridiennes, et dans la seconde il a combine les equations nor- CONFRONTATION DE LA LOl DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 535 males provenant des passages avec celles tirees des observations meridiennes. II est arrive a ce resultat : si I'on n'avait pas les observations des passages de Mercure, les erreurs des elements et de leurs variations seculaires, calculees avec tout Tensemble des observations meridiennes, auraient cause une erreur de 5" par siecle sur la longitude heliocentrique de la planete, au moment des passages de mai, et une erreur de 3" au moment des passages de novembre. C'est un fait important qui montre, comme Le Verrier Tavait dit, que les obser- vations meridiennes determinent mal les variations seculaires des elements, et ce point merite peut-etre encore d'attirer Tattention des astronomcs. Voici, d'apres M. Ncwcomb, pour les quatre planetes considerces, les valours finales des variations seculaires dcdnites des observations; les valours des memos quantites deduites de la theorie, et enfin les differences, observation moins theorie, avec les erreurs moyennes dc ces differences : Mercure, Obsen-ation. Thdoric. Differences. de dt -h 3", 36 -f- 4^M — o',88 -'- o,5o dm \it -Ml8,24 -+-109,76 + 8,48 -^ 0,43 di -+- 7,14 -^ 6,76 -h o,38 -+■ 0,80 dt . .dQ ''""'dt - 9»,»9 — 92,50 Vdntis, -H 0,61 ■±L 0,52 de dt - 9^,46 — 9*67 -+- o',21 ■^ o",3i dm dt -+- 0,29 -f- 0,34 — o,o5 =b 0,25 di dt -\- 3,87 -+- 3,49 -h o,38 -^ 0,33 . .dQ ''""'dt --ioj,4o — 106,00 La Tcrrc. -1-0,60 ± 0,17 de dt — 8", 55 - 8", 57 H- 0,02 ■^-. 0,10 dm '^dl ^- 19,48 -r- 19,38 Mars. -f- 0, 10 -^- o,i3 de V » ■ w dt -f- 19,00 -4- 18, 7J H- 0,29 I-t 0,27 dm ""dt H-i/i9,55 -1-148,80 -\r 0,75 -+- 0,35 di — 72,60 — 2,25 - 7^,63 €\ €\\ — ^ ft *y(\ dt . .da -h o,o3 dz 0,22 536 CHAPITRE XXIX. On devra multiplier les erreurs moyennes precedentes par 0,67 pour en de- duire les erreurs probables. Onvoit queTaccordcomplet entre la theorie et ['observation, dans les limites des erreurs de cette dcrniere, existe pour les variations s6culaires de i et Q clans le cas de Mercure, » )) e, Tsj et i )) V^nus, )) » e qX jss )) la Terre, » » e, i et Q » Mars. II y a un desaccord manifeste, celui qui a\ait ete si bien mis en lumiere par Le Verrier, pour le perihelie do Mercure; Texces de mouvement en un siecle est meme porte de 38" a 4i' • II y a d'autres desaccords, beaucoup plus faibles : Pour le mouvement du noeud de Venus, le desaccord depasse cinq fois Ter- reur probable; Pour Ic perihelie de Mars, le desaccord est trois fois I'erreur probable; Pour Texcentricite de Mercure, le desaccord depasse deux fois I'erreur pro- bable; raais cette erreur probable est tres difficile a fixer et pent tres bien avoir ete estimee au-dessous de sa valeur reelle. II ne reste done, outre le perihelie de Mercure, que le perihelie de Mars et le noeud de Venus. 236. M. Newcomb examine les diverses hypotheses que Ton pent faire pour expliquer ces desaccords. Hypothese de la non-sphericile du SoleiL — II suffirait de tres petits aplatisse- ments dans les surfaces de niveau, pour expliquer I'anomalie du mouvement du perihelie de Mercure. Si I'equilibre existe a la surface du Soleil, on aura, pour le potentiel relatif a I'attraction du Soleil sur Mercure, I'expression suivante (t. II, p. 210) oil M designe la masse du Soleil, a^ son rayon equatorial, e, son aplatissement superficiel, 9 le rapport de la force centrifuge equatoriale a Tattraction, r la distance de Mercure au centre du Soleil et S sa declinaison rapportee a I'equa- teur solaire. On aura, pour determiner le mouvement du perihelie de Mercure, produit par I'aplatissement du Soleil, Tequation ^1. CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 537 d'oii, en ne prenant que la partie principale, dL chn naa\ / i \ r' Or, si Ton ne cherche que les inegalites seculaires, on peut prendre et il en results 5=»(^)'('-^)> Or, d'apres la theorie de Clairaut, on a 5 done En remplaQant -

[e' — 9*— 9j4-29(pocos((? — 0o)]; 9 sin0 =/?, 9 cos(? =^, 9oSin(?o = />o> 9ocos0o=7o; On aura ensuite (t. I, p. 172) d'ou dp I d3{. dq 1 di^ dt nd^ dq dt /la* dp ' -£z=i I monaB(^^(qo — q), •^ = — ^ monaB^'^ipo — p); dp z= - moaB^*)(7o— 7)'i^ dq =— ym^aB^^^{p^--p)nt\ or on a trouve, page 525, 4 il viendra done, en rempla^ant Sex par 41'' pour Mercure, 5/> = 4i"(^o-^), ^g^=-^l''{p,-p)^ on aura des equations analogues pour Venus, avec une autre valeurque4i\et/>' CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. SSq et (( au lieu de p et de q. On aura aussi une equation pour faire cadrer la valeur de cj' avec celle observec {voir le Tableau de la page 535); on remplacera de nieme ^, S^r, Sp' et Sy' par leurs valeurs deduites de ce Tableau. On aura done finalement cinq equations contenant au premier degre les in- connues/>o et q^\ on en conclura/>oet q^^ puis on aura G,, et (po* M. Newcomb a trouve ainsi Nous ne reviendrons pas sur Timpossibilite physique d'une seule planete perturbatrice. M. Newcomb n'admetpas davantage Thypothese de Tanneau qui, etantdonnee la grandeur de sa masse, reflechirait beaucoup de lumiere. II sembic bien que cette hypothese ne soit guere admissible. On pent se de- mander alors a quoi se rapportent les observations telles que celles de M . Les- carbault. II ne serait pas absolument impossible que ce soient des passages de cometes sur le disque du Soleil. M. Newcomb ecarte aussi I'hypothese d'une masse etendue de matiere diffuse analogue a celle de la lumiere zodiacale ; la partie qui agirait le plus pour faire tourner le perihelie de Mercure dans le sens direct serait la partie voisine du Soleil, etl'on rentrerait ainsi dans les difficultes de Thypothese precedente. II trouve encore que Ton pourrait rendre compte des variations anormales des Elements de Mercure et de Venus, en supposant un anneau d'astero'ides situe entre ces deux planfetes; I'inclinaison devrait etre de 7°, 5. On pent se deman- der comment il se fait que I'anneau pent etre suppose, soit en dedans de Mer« cure, soit entre Mercure et Venus; cela tient a ce que, Texcentricite e' de Venus etant tres petite, le produit e'^ts' sera encore assez petit, dans le second cas. Mais un tel anneau n'aurait pas pu echapper jusqu'ici aux investigations des astronomes. Hypothese de M. A. Hall. — On sait par le theoreme de Newton (t. I, p. 49). que, si Texposant de la loi d'attraction^ au lieu d'etre exactement egal a 2, en differait tres peu, il en resulterait des deplacements tres sensibles pour les perihelies des planetes: on pent voir (/oc. cit.) que, si Ton prenait 2,001 pour la valeur de cet exposant, le perihelie de chaque planete se deplacerait de io'48", dans le sens direct, au bout d'une revolution. On se trouvait ainsi naturellement conduit a voir quelle modification il faudrait apporter a Texpo- sant pour obtenir le deplacement de l\i'\ en un si^cle, pour le perihelie de Mercure. C'est ce qu'a fait M. A. Hall (AsironomicalJournal, t. XIV, p. 49); la formule (34) (t. I, p. 49) donne, en designant par N I'exposant, tres voisin de 2, . nt r (N-4-i)(N-2) .1 v/3 - N I »4 J 54o CHAPITRE XXIX. En faisant N = 2 + a, et remplacant nt par 538 000 ooo"", le mouvemeni de Mercure en un siecle, e par p et Star par 4i"» on trouve I'equation , 538 000 000 / / 4'=— 7=— (i-v^»- On en conclut, avec une precision suffisante, 200 ...) \ 100/ 8a 538 000 000 (Tl 14- a = 0,000 000 i5i, N = 2,000000 i5i Les valeurs de Star, pour Venus, la Terre etMars, s'obtiendront en multipliant 4i" par les rapports des durees de revolution de Mercure aux durees de revolu- tion des planetes considerees. On trouvera ainsi les nombres suivants : 00. e8o. Morcure 41" V611U8 16" 8% 4 o',i La Terre Mars . . . . 60. 5" 0%2 o',5 de telle sorte que Ton representerait bien ainsi Tanomalie du perihelie de Mer- cure, sans toucher aux perihelies de Venus et de la Terre qui vont bien; la correction du perihelie de Mars serait meme presque celle qui convient, puisque, d'apres le Tableau de la page 535, eStar est egal a -r- o'%75 pour Mars, en un siecle. Pour la Lune, la meme loi donnerait pour le mouvement seculaire du perigee 4- i4o"; la difference a expliquer est do -f- i56"; Taccord va done tres bien en- core, mais il reste dans le noeud un desaccord de — 286'' qui n'est pas explique par rhypothese de M. Hall; enfin,ranomalie du noeud de Venus reste entiere. M. Newcomb cherche a annuler les corrections des variations seculaires des elements autres que les perihelies, notamment celle du noeud de Venus, par des corrections v, v', v" et v*^ convenables; les valeurs ainsi trouvees pour v, v' etv*^ sont assez d'accord avec cellos employees precedemment; malheureuse- ment, il n'en est pas de meme de v". La valeur trouvee pour cette derniere quantite conduit a tt = 8", 759, valeur assez differente de celle a laquelle avaient conduit les meilleures determinations de la parallaxe solaire. Finalcment, pour construire les Tables, il fallait prendre un parti et distri- buer, en quelque sorte, egalement les erreurs. M. Newcomb ajoute aux perihe- lies des diverses planetes les mouvements seculaires suivants : Mercuro 43", 87 V6nus 16", 98 La Terro. Mars io',45 5% 55 CONFRONTATION DE LA LOl DE NEWTON AVEC LES OBSERVATIONS. 54 1 le premier de ces nombres etant suppose donne, les autres s'en deduisent enle T T T T multipliant par ^> =j^, ™ et ^iv; comme si la loi de Tattraction avail pour expo- sant 2 000 000 1612 au lieu de 2. Les masses de Mercure, Venus et Mars sont legferement modifiees; celle de la Terre repond a laparallaxe 8", 790; Texces de la valeur de s\ui-^} pour Venus, est reduit a-{-o",25; mais, en supposant bien connue la vitesse de la lumifere, la constante de Taberration se trouve portee a 2o",5ii. La supposition d'un exposantde la loi de Newton, egal a deux entiers plus seize unites du huitieme ordre, est-elle vraisemblable? Les astronomes et les geo- mfetres I'admettraient avee une certaine repugnance. Au reste, M. Newcomb ne parait pas etre convaincu de la realite de cette augmentation; il semble I'avoir adoptee, en I'absence de toutc hypothese vraisemblable, comme un procede d'interpolation, en attendant mieux. Les theories les plus recentes de la Physique donnent lieu de croire que les attractions des corps celestes ne peuvent se transmettre a distance que par Tin- termediaire d'un milieu, sans doute Tether. Mais on ne connait rien encore sur ce modede transmission. II parait probableque le meme milieu sert devehiculeades actions electriques ou electromagnetiques. Pour les cometes, Tinfluence d'une action electrique du Soleil a ete admise par plusieurs astronomes, notamment Olbers et Bessel. La relation entre les phenomenes magnetiques a la surface de la Terre et les taches solaires tend a nous confirmer dans cette voie. G'est ainsi qu'on se trouve amene a considerer, au lieu de la loi de Newton, des lois d'filec- trodynamique, telles que celles de Weber; nous avons examine quelques-unes de ces lois dans le Chapitre precedent, et nous avons cherche a faire disparaitre Texces de mouvement du perihelie de Mercure (38" ou 4j")» en determinant convenablement la constante qui figure dans les termes correctifs que ces for- mules apportenta la loi de Newton. Mais nous sommes loin de pretendre a Texis- tence de ces lois, d'autant plus qu'elles n'expliqueraient pas tons les petits desaccords. La loi de Newton represente, en somme, avec une tres grande precision, les mouvements de translation de tons les corps celestes. Si I'on^se reporte ace que nous avons dit a la fin du Tome III, on pent etre emerveille de voir que les inegalites, si nombreuscs, si compliquees, et quelques-unes si considerables, du mouvement de la Lune, soient representees comme elles le sont par la th^orie. Sans doute, il reste quelque chose : dans un intervalle de deux siecles et demi environ, la Lune s'ecarte pen a pen de la position calculee, jusqu'a un maximum de i5", de maniere que, durant ce long intervalle, le bord eclair6 de la Lune passera un pen plus tot ou un pen plus tard devant les fils d'araignee de la lunette meridienne, sans que Tavance ou le retard depasse unesecondede temps. 542 CHAPITRE XXIX. — CONFRONTATION DE LA LOI DE NEWTON, ETC. De meme, les positions des planetes, pendant un si^cle et demi d'observa- tions precises, sont representees a moins de o!' pres. II y a une exception : Mercure pent etre en avance ou en retard d'une quantite qui, pour certaines regions de I'orbite, s'eleve a 8" environ, soit une demi-seconde de temps au bout d'un siecle. Les desaccords pour le noeud de Venus et le perihelie de Mars sont bien moins importants. On ^prouve, en fin de comptc, un sentiment d'admiration profonde pour le genie de Newton et de ses successeurs, et pour les immenses travaux de Le Ver- rier, poursuivant pendant plus de trente ans son enquetemethodiquedans toute I'etendue du systeme planetaire, travaux si habilement continues et developpes par M. Newcomb. FIN DU TOME IV ET DERNIER> ERRATA. TOME II. Paf«f. Llgnes. 8 26 f en remontant 32 5 46 8 5i 7 75 6 en remontant 99 5 en remontant 106 3 ii3 9 1 37 8 en remontant 186 0%^. 19) 207 3 en remontant 236 I en remontant 238 5 en remontant 25i i3 299 8 3o8 3 3ii 6 en remontant 325 12 / An lieu de : a — JC — 4irM F3-F, X = dadbdc (Bi) 3— v/g(5 — 2a) {/a(3 — 2a)» / 04) I centre de S S^CIettre suivant Si) TQ| = P ^ sin* e COS* e sin* 6' cos* 0' 4 Y, / fff-^ Uses : X dadbdc — 4'«fM F*-Fs X ^ f fip "" (B') 3--v/tt(5 — 2a) V^a«(3 — 2a)* /" (16) /■ centre's S, * TQl = Pl /' i5 . — sin«0 cosO sin* O'cosO' 4 Yi 544 ERRATA. Paces. 377 Lifoes. 386 7 en remontant 388 11 en remontant 399 5 en remontant 400 11 4ao 9 e» remontant 434 6 439 17 45a la 465 4 en remontant 471 5oi 5ii 5ii 5i3 5i6 5i8 oai ao II la la II 4 5ao I a 5ao i3 16 (8) Au lieu de : dr di di ~ 03 (M) fonuule (ao) X Q'Z a = — r^quation (la) (i-hfx«)(afi-4-[ji)« — i9,9C09(C o,oi46y 0,00186,5 — Y Li = Msina M| = — Mcosa dpo cos© Ao dt (/? sintpn-H ^ C09 i 7.V — 'inw 1 /\«7 7 en remontant m'^a^ 107 a'» 1 II 16 en remontant ^0 126 \ en remontant -.(, 5 2 , 1 33 1 en remontant (H)-4-(liI) i34 m D (II) + (III) i5i 1 1 en remontant 21t n'/' -i-|//i — i) 167 7 d3 188 I en remontant — anomalie 190 2 Equations {a) 192 3 Equations (a) I — 'im e 'J a «o ...j — 8/71M— -/n /w«H-...J T. - IV. (I)-i-(IH) (I) -(in) 27r /»'(v/n-|m — i) / = anomalie ^nations (A) Equations (A) 69 546 ERRATA Ptfet. Llgnet. j4u lieu de : 207 4 en remontant L 209 2 en remontant A cos/ 226 I e 245 3 en remontant 2eJ«oa^* 258 1 en remontant n 205 4 en remontant 22 266 i3 et i5 2 270 14 H-0,0I02I . . . 279 3 valeurs (Bo) 280 2 ot 3 1 1 283 10 i' — fo 287 •J Chapilre IV 292 10 et i3 A 4-Be« 29^ 10 3 10 2 H21 8 en remontant 323 4 en remontant 3'27 9 329 10 329 J en remontant 335 9 en remontant 335 8 en remontant rri ik-^r 2FII 295 1 en remontant E(ef-+-c«)-"A-e; 297 1 4 formule (8) '97 1 1 en remontant cosaj 297 7 en remontant (Y*-Y?) '-97 2 en remontant (T*-T?) 298 10 (y'— Ti)^Y-Yi)^ 3oi 1 1 sini -TT ai 3o2 1 1 en remontant sine 3o8 9 on remontant formule (12) a] I en — I 45 fx«a*e'cos^' 16 B^i) D^i'^ 2 ■4- 00 -i°2 r(i -h v) daQ Or Uses : L' A cos/' ecosl n' 2 0,01021. . . valeurs (Ao) S — So Chapitro II A-4-Be« rrt (k - ;)■ formule (4) cosai (T'-Y?)' (Y*-Y])(T-Yi) 8.11,5- sine formule (i3) r i en — i et *' en — i' ^7 fX«W«. 336 a 330 3 318 37' 37';t 37A 373 3:4 3y5 398 399 399 401 411 419 I19 ^9 49/) Liffnet. 33- 7 et 8 en remont. 338 6 3 en remontant 343 4 345 ^1 en remontant 3>G I en remontant 3:8 3 en remontant 36; i3 en remontant 368 5 en remontant 37. 8 on remontant 6 en remontant 3-5t 'X 3 \ 10 3 en remontant I on remontant \'x en remontant 7 en remontant 10 8 en remontant 6 en remontant 7 en remontant II \'X i3 I en remontant iijiiitii lii • /4n lien de : Ufi) ot 2(1) 1 1 — V {^w et 2(x) 547 a: t>»T, dg* R = t>T,

log Lune 8%io I I I I " crD /~ D r' Tanomalio cos(2'L — iV) (irbi)V'-(/rFi)V' C08(2V'— /i') cosO R. = 3 ^--i:! . . . 4 o", 026 apres 1750 - 3r et -T-i',6 — 9/ et — o',8 -3' et -t-3',4 ligno a supprimor Usez . li'' et £ I -+- V u^'^ ot S r« rt* ()»To dg^ Y V — — log Terre 8',o I I I I r D Tanomalie vraie cos(/L'— iL') (/r^i)V'-(£:-^i)V':;:2// C08(2V''— 2/p'; 2 I sinO m' 4 o'',0O26 apres i85o — 29' et -+-r,6 -1' et — o%8 — 3' et -h3',4 Les fautes ci-dossus nous ont 6t6 signal<^es principalement par M. L. de Ball, et quelques autres par M. G. Levcau ot M. E. Brown. 548 ERRATA. TOME IV. Pagea. LIgnes. 5 6 on romonlant io 3 CQ remonlant 25 5 en remontant 45 17 45 i8 4o3 2 Au lien de : •ill — / — ITS I 2 /2 6* Lisfz : 2 /i — / — CT 7. v/2 6* PIN DE L'ERRATA DE9 TOMBS II, III ET IT. 21^93 Paris. — Imprimcric GAUTIIIER-V[LL.\RS ET FILS, quai des Grands-Augusttns, 55. ^-